3. F jest lewostronnie ciągła

Transkrypt

1 Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )<x Wniosek: Jeżeli X jest zmienną losową, to { : X( ) x }, { : X( ) x }, { : X( ) > x }, { : X( ) = x }, { : X( ) [,] }, { : X( ) [,) }, { : X( ) (,] }, { : X( ) (,) } Jeżeli f jest funkcją przedziłmi ciągłą i ziór wrtości zmiennej losowej X D f, to Y( ) = f(x( )) jest też zmienną losową określoną n. Np. 1. Rzucmy rz monetą. = { O,R }. Zmienn losow X(O) =, X(R) = 1.. W tlii 5 krt, krty zostły ponumerowne. Losujemy jedną krtę. = { k 1, k,, k 5 }. Zmienn losow X(k i ) = i, i=1,,5. Def. Dystryuntą zmiennej losowej X nzywmy funkcję F: określoną wzorem F(x) = P({ : X( ) < x }) = P( X < x). Funkcj F: jest dystryuntą pewnej zmiennej losowej 1. F jest niemlejąc. lim F x = lim F x = 1 x x + 3. F jest lewostronnie ciągł Wniosek: P(X = x) = lim F t F(x), P(X x) = lim F t, P(x t x + t x + 1 X < x ) = F x F(x 1 ), P(X > x) = 1 lim F t, P(x t x + 1 < X < x ) = F x F x 1 P(X = x 1 ) itd.

2 Np. 1. Doierz prmetry A,B,C,D tk, y funkcj F(x) ył dystryuntą pewnej zmiennej losowej A, x Bx, < x 1 F x = x. x + C, 1 < x lim x lim x + D, < x F x = A = F x = 1 D = 1 F jest niemlejąc i lewostronnie ciągł lim F x = F(1) lim F x lim F x = F() lim F x x 1 x 1 + x x + B lim ( x x + C) = C 1 C D A = B C 1 C 1 = D x 1 + A = B 1 C 1 = D, x,15 x, < x 1. Dl F x = x olicz P( X = 1), P(X 1), P(1 < X < 1,5), x +,75, 1 < x P(,5 < X < 1,5), P(X > ) 1, < x P( X = 1) = lim F t F 1 =,5,15 =,15, P( X 1) = lim F t =,5, t 1 + t 1 + P(1 < X < 1,5) = F(1,5) F(1) P(X = 1) =,375,15,15 =,15, P(,5 < X < 1,5) = F(1,5) F(,5) P(X =,5) =,815,7815 =,7337, P(X > ) = 1 - lim F t = t +

3 Def. Mówimy, że zmienn losow X jest dyskretn (typu skokowego) X m skooczony lu przeliczlny ziór wrtości,x 1, x,, x n, } Mówimy, że zmienn losow X jest typu ciągłego ziorem wrtości X jest przedził, często nieogrniczony, orz dystryunt X m postd F(x) = x f t dt Wniosek: Dl zmiennej losowej X typu skokowego dystryunt X m postd F(x) = x i <x P(X = x i ) jest przedziłmi stł i m skooczoną lu przeliczlną liczę nieciągłości typu skok Def. Niech X ędzie zmienną losową typu ciągłego. Funkcję f nzywmy gęstością zmiennej losowej X dystryunt zmiennej losowej X jest postci F(x) = f t dt. x Funkcj f jest gęstością zmiennej losowej X 1. x: f x +. f x dx = 1 Wniosek: Jeżeli istnieje gęstośd f zmiennej losowej X, to 1. w punktch różniczkowlności dystryunty F zchodzi związek f(x) = F (x).. P(X [,]) = P(X (,]) = P(X [,)) = P(X (,)) = f x dx Np. 1. Dl jkich wrtości prmetrów i funkcj f x = 1+(x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej. Wyzncz jej dystryuntę. z wrunku f(x)

4 + z wrunku f x dx = 1 + f x dx = π = 1 =, π x F(x) = dt π(1+ t ) lim lim A B A B 1 + (x) dx 1 = lim rctg( t) A π A x = 1 rctg x + 1 π = lim lim B A B rctg(x) = A π. Sprwdź, że funkcj F(x) = e e x jest dystryuntą zmiennej losowej X. Znjdź gęstośd zmiennej Y = X. poniewż e x jest funkcją mlejącą F jest rosnąc lim x e x = lim x + e x = lim F x = lim F x = 1 x x + funkcj e x jest ciągł F jest ciągł dystryunt zmiennej Y: G(x) = P(X, x < x) = P( X < x), x > =, x F x F x, x > =, x = e e x e e x, x >, x gęstośd zmiennej Y: g(x) = 1 x (e e x + x + e x e x ), x > Def. Rozkłdem zmiennej losowej X nzywmy: 1. prwdopodoieostw p i = P X = x i, i p i = 1 dl zmiennej X typu skokowego. gęstośd zmiennej X dl zmiennej typu ciągłego

5 Momenty zmiennych losowych: Def. Niech F(x) ędzie dystryuntą zmiennej X przedziłmi ciągłą i różniczkowlną w przedziłch ciągłości orz ziór,x 1, x, } ędzie ziorem punktów, w których funkcj F m skok. Cłką Stieltjes z funkcji g: względem dystryunty F(x) nzywmy liczę Wniosek: g x df x = g x F x dx + g x i [ lim t xi + F t F x i ] i 1. Jeżeli X jest typu ciągłego, to g x df x = g x F x dx. Jeżeli X jest typu skokowego, to g x df x = g x i P(X = x i ) i Np. Dl dystryunty F(x) =, x 1 1 e x, x > olicz cłkę x + 1 df(x). x + 1 df(x) = 1 lim B = x + 1 d B (x + 1)e x dx + x + 1 d(1 1 e x ) + 1 = 1 lim B [ x + 1 e x + e x ] + lim t + (1 1 e t ) F x i = B 1 + = 1 Def. Wrtością oczekiwną (ndzieją mtemtyczną, wrtością średnią) zmiennej losowej X o dystryuncie F nzywmy liczę (o ile cłk x df(x) jest zieżn) EX = xdf(x)

6 Jeżeli F jest dystryuntą zmiennej losowej X orz Y = g(x) dl funkcji g przedziłmi ciągłej, to o ile cłk EY = g x df(x) jest zieżn. g(x)df(x) Wniosek: 1. Jeżeli X jest zmienną typu ciągłego o gęstości f, to EX = xf(x)dx, o ile x f(x)dx jest zieżn. Jeżeli X jest zmienną typu skokowego o wrtościch,x 1, x, }, to EX = i x i p i, gdzie p i = P(X = x i ), o ile szereg i x i p i jest ezwzględnie zieżny Oserwcj: Jeżeli F jest dystryuntą zmiennej losowej X orz Y = g(x), to 1. jeżeli zmienn X typu skokowego m skooczoną liczę wrtości, to istnieje EY. jeżeli gęstośd f zmiennej X typu ciągłego m nośnik ogrniczony (tzn. istnieje ogrniczony ziór A tki, że f(x)= dl x A) orz g jest przedziłmi ciągł i ogrniczon n ziorze A, to istnieje EY, x x Np. Dystryuntą zmiennej losowej X jest F x =, < x 1. Olicz EY dl Y = ln(x+1). 1, x > 1 EY = ln (x + 1)dF(x) = 1 1 ln x + 1 dx = 1 [(x + 1)ln x + 1 x ] = = ln

7 Jeżeli istnieją wrtości oczekiwne EX i EY zmiennych losowych X i Y, to E(X+Y) = EX + EY Def. Niech F 1, F,, F n ędą dystryuntmi zmiennych losowych X 1, X,, X n. Mówimy, że zmienne losowe X 1, X,, X n są niezleżne x 1, x,, x n : P X 1 < x 1 X < x X n < x n = F 1 x 1 F x F n (x n ) Jeżeli zmienne losowe X 1, X,, X n są niezleżne, to E(X 1 X X n ) = EX 1 EX EX n Np. Znjdź wrtośd oczekiwną zmiennej Z = 3X-XY+Y, jeżeli X i Y są niezleżne orz EX=, EY=1. EZ = 3EX - EXEY + EY = = 3 Def. Momentem rzędu k zmiennej losowej X nzywmy E(X k ). Oznczenie m k. Wniosek: m k = x k df(x), o ile x k df(x) jest zieżn. Jeżeli dl zmiennej losowej X istnieje m k, to istnieją m l dl kżdego l k. Np. Olicz moment dowolnego rzędu dl zmiennej losowej X, jeżeli: 1. X m rozkłd zero-jedynkowy, tzn. P(X = 1) = p, P(X = ) = 1 p. m k = 1 k p + k 1 p = p

8 . X m rozkłd jednostjny n odcinku *,1+, tzn. gęstością X jest funkcj f x = m k = 1 x k dx = xk+1 1 k + 1 = 1 k + 1 1, x [,1], x [,1]. Def. Wrincją zmiennej losowej X nzywmy liczę D X = E(X EX). Oserwcj: D X Def. Średnim odchyleniem stndrdowym (dyspersją) zmiennej losowej X nzywmy liczę = D X Dyspersj jest mirą rozrzutu zmiennej losowej, tzn. odchyleni zmiennej losowej od jej średniej wrtości. Jeżeli istnieje wrincj zmiennej X, to D X = EX EX = m (m 1 ) Wniosek: Jeżeli X m moment co njmniej -go rzędu, to istnieje wrincj X. 1. Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi o skooczonych wrincjch, to D X = D X D X + = D X. Jeżeli X i Y są niezleżnymi zmiennymi losowymi o skooczonych wrincjch, to D X ± Y = D X + D Y D X = P X = = 1 tzn. X przyjmuje stłą wrtośd z prwdopodoieostwem 1

9 Def. Momentem centrlnym rzędu k zmiennej losowej X nzywmy liczę c k = E(X EX) k. Wrincj jest momentem centrlnym rzędu. Wniosek: Jeżeli istnieją momenty zwykłe m i, i k, to c k = Np. c 3 = m 3 3m m 1 + (m 1 ) 3 c = m m 3 m 1 + 6m m 1 3(m 1 ) k i= k i m k i ( m 1 ) i Def. Kwntylem rzędu p dl p (,1) rozkłdu zmiennej losowej X nzywmy liczę ξ p tką, że: 1. P(X ξ p ) p. P(X ξ p ) 1 p Wniosek: Jeżeli dystryunt F jest nieciągł, to kwntyle mogą nie yd wyznczone jednozncznie Jeżeli dystryunt jest ciągł, to kwntyl ξ p jest rozwiązniem równni F(ξ p ) = p. Oznczeni: Kwntyle rzędu 1, 1, 3 nzywmy kwrtylmi rzędu 1,, 3 odpowiednio. Kwrtyl rzędu nzywmy mediną i oznczmy Me. Odchyleniem dwirtkowym zmiennej X nzywmy liczę Q = 1 (ξ3 ξ1). Np. Olicz kwntyle rozkłdu zmiennej losowej X: 1. o rozkłdzie prwdopodoieostw P(X = k) =,1 dl k=,1,,9. P(X ξ p ) p P(X ξ p ) 1 p k ξ p,1 p 1 k<ξ p,1 1 p 1 1p k ξ p 1 1p k<ξ p

10 np. medin Me [,5] kwrtyle ξ1 =, ξ3 = 7 Q = 1 7 = 5, x <. o gęstości f x = λe λx, x. ξ p λe λx λe λx ξ p dx p dx 1 p np. medin Me = ln λ kwrtyle ξ1 = ln ln3 λ, ξ3 3. o dystryuncie F x = e λx ξ p p lim B e λx B ξp = ln λ ln3 Q = λ 1 p 1 e λξ p = p ξ p =, x 1 x 3 + 1,15, 1 < x,6 1, x >,6 ln (1 p) λ lim F(x) p x ξ+ p 1 F ξ p 1 p np. medin Me = 3 5 kwrtyle ξ1 = 3 7, ξ3 lim F(x) p x ξ+ p F ξ p p = 3 3 Q = 7 ξ p = , p (;,15] p 1,15, p (,15;,99],6, p (,99; 1)