Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności"

Transkrypt

1 Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć, że cia lo jest to niezerowy pierścień, w którym każdy element niezerowy jest odwracalny. Niech (K, +,, 0, ) edzie cia lem. Jeżeli istnieje licza naturalna n taka, że n = 0 w ciele K, to najmniejsza taka licze naturalna n nazywamy charakterystyka cia la K. Jeżeli takiej liczy naturalnej nie ma, to mówimy, że cia lo K ma charakterystyke 0. Charakterystyke cia la K oznaczamy przez ch(k). Woec tego, jeśli w grupie addytywnej K + cia la K, o() =, to ch(k) = 0, a jeżeli o() N, to ch(k) = o(). Twierdzenie 4.. Jeżeli n N jest charakterystyka cia la K, to n jest licza pierwsza. W szczególności charakterystyka cia la skończonego też jest licza pierwsza. Dowód. Za lóżmy, że n nie jest licza pierwsza. Ponieważ 0 w K oraz =, wiec n > i istnieja k, l N takie, że < k, l < n oraz n = k l. Wtedy 0 = n = (k l) = (k ) (l ). Zatem z Wniosku 9.29, k = 0 lu l = 0. Ale k, l < n, wiec mamy sprzeczność z minimalnościa n. Woec tego n jest licza pierwsza. Jeśli K jest cia lem skończonym, to grupa K + jest skończona, wiec ch(k) = o() N i na mocy pierwszej cześci dowodu, ch(k) jest licza pierwsza. Przyk lad 4.2. Dla dowolnej liczy pierwszej p cia lo Z p ma charakterystyke p, o o() = p w grupie Z + p. Natomiast cia lo Q ma charakterystyke 0, o dla n N jest n = n 0. Twierdzenie 4.3. Niech K edzie cia lem dodatniej charakterystyki p. Wówczas dla dowolnych a, K i dla dowolnego n N: (a + ) pn = a pn + pn. Dowód. Zastosujemy indukcje wzgledem n. Dla n = ze wzoru Newtona mamy p ( ) p (a + ) p = a p + p + a k p k. k k= Ale z elementarnej teorii licz p ( ) p k dla k =,..., p, wi ec ( p k) = p lk, l k N. Zatem ( p k) = (p lk ) = l k (p ) = l k 0 = 0. Woec tego (a + ) p = a p + p. Za lóżmy, że dla dowolnych x, y K i dla pewnego n N jest (x + y) pn = x pn + y pn. Weźmy dowolne a, K. Podstawiajac x = a p i y = p uzyskamy, że (a p + p ) pn =

2 (a p ) pn + ( p ) pn = a pn+ + pn+. Ale a p + p = (a + ) p, wi ec (a p + p ) pn = [(a + ) p ] pn = (a + ) pn+ i ostatecznie (a + ) pn+ = a pn+ + pn+. Twierdzenie 4.4. Każda skończona podgrupa grupy multiplikatywnej cia la K jest grupa cykliczna. W szczególności grupa multiplikatywna cia la skończonego jest cykliczna. Dowód. Niech A edzie skończona podgrupa rzedu n w grupie K cia la K. Wtedy istnieje a A takie, że o(a) = s jest maksymalne w ziorze {o(x) : x A}. Ponieważ z twierdzenia Lagrange a a n =, wiec s n. Ponadto z Lematu 3.20, o() s dla każdego A. Zatem s = dla A. Stad wielomian f = x s K[x] ma w ciele K co najmniej n pierwiastków. Zatem z Wniosku 2.0, s n. Ale s n, wiec n = s. Ponadto a = o(a) = A, wiec A = a, co kończy dowód. 2 Podcia la i cia la proste Definicja 4.5. Niech (K, +,, 0, ) edzie cia lem i niech L K. Powiemy, że L jest podcia lem cia la K, jeżeli L tworzy cia lo ze wzgledu na wszystkie dzia lania określone w K, tzn. gdy 0, L oraz dla dowolnych a, L mamy, że a L, a + L, a L i L dla a 0. Mówimy też, że wówczas K jest rozszerzeniem cia la L. a Stwierdzenie 4.6. Ziór L K jest podcia lem cia la K wtedy i tylko wtedy, gdy L oraz dla dowolnych a, L jest a L i dla dowolnych a, L takich, że 0 jest a L. Dowód.. Za lóżmy, że L jest podcia lem cia la K. Wtedy L. Niech a, L. Wtedy L, stad a = a + ( ) L. Niech a, L, 0. Wtedy L, wiec a = a L.. Na odwrót, L, wiec 0 = L. Niech a, L. Wtedy = 0 L oraz a + = a ( ) L. Ponadto dla = 0 jest a = 0 L, a dla 0, L, o L, wiec a = a L. Zatem na mocy Stwierdzenia 9.2, L jest podpierścieniem cia la K, czyli L jest pierścieniem. Ale 0 w L oraz każdy niezerowy element z L jest odwracalny w L, wiec L jest cia lem, czyli L jest podcia lem cia la K. Uwaga 4.7. Niech L edzie podcia lem cia la K. Z określenia charakterystyki cia la wynika od razu, że ch(l) = ch(k). Ponadto, jeśli M jest podcia lem cia la L, to na mocy Stwierdzenia 4.6, M jest podcia lem cia la K. Stwierdzenie 4.8. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podcia l cia la K jest podcia lem cia la K. Dowód. Niech {K t } t T edzie niepusta rodzina podcia l cia la K. Wtedy K t dla każdego t T. Zatem t T K t. Weźmy dowolne a, t T K t. Wtedy a, K t dla każdego t T, wiec ze Swierdzenia 4.6, a K t dla każdego t T, skad 2

3 a t T K t. Jeśli dodatkowo 0, to ze Stwierdzenia 4.6, a K t dla każdego t T. Zatem a t T K t. Woec tego na mocy Stwierdzenia 4.6, t T K t jest podcia lem cia la K. Uwaga 4.9. Niech cia lo K edzie rozszerzeniem cia la L. Wówczas K jest przestrzenia liniowa nad cia lem L, gdy dla α K, a L określimy a α = a α, gdzie oznacza mnożenie w ciele K. Moc dowolnej azy K nad L oznaczamy przez (K : L) i nazywamy stopniem rozszerzenia L K. Jeżeli (K : L) jest licza naturalna, to mówimy, że K jest skończonym rozszerzeniem cia la L. Przyk lad 4.0. Zauważmy, że (C : R) = 2, o {, i} jest aza C nad cia lem R. Natomiast (R : Q) = R N, o ziór R jest nieprzeliczalny, a ziór Q jest przeliczalny. Definicja 4.. Jeżeli cia lo K nie posiada podcia l różnych od K, to mówimy, że K jest cia lem prostym. Przyk lad 4.2. Zauważmy, że Q jest cia lem prostym. Rzeczywiście, niech K Q edzie podcia lem cia la Q. Wówczas K jest podpierścieniem w Q, wiec na mocy Stwierdzenia 9.3, Z K. Weźmy dowolne q Q. Wówczas istnieja n Z i k N takie, że q = n. Ale n, k K i k 0, wiec k q K. St ad Q K, czyli K = Q. Przyk lad 4.3. Dla dowolnej liczy pierwszej p, Z p jest cia lem prostym. Rzeczywiście, niech K Z p edzie podcia lem cia la Z p. Wówczas K, stad K. Ale = Z p, wiec K = Z p. Uwaga 4.4. Niech K i L ed a cia lami i niech f: K L edzie homomorfizmem pierścieni. Wówczas f() = 0, skad Ker(f). Ale Ker(f) K i K jest cia lem, wiec na mocy Stwierdzenia 0.4, Ker(f) = {0}. Woec tego na mocy Stwierdzenia 0.27, f jest różnowartościowe. Zatem każdy homomorfizm pierścieni z cia la K w cia lo L jest zanurzeniem. Zauważmy jeszcze, że dla K \ {0} istnieje K, wiec = f() = f( ) = f() f( ), a zatem [f()] = f( ). Woec tego dla a K i K \ {0} mamy, że f( a) = f(a ) = f(a) f( ) = f(a) [f()] = f(a). St ad f() i ze stwierdzeń 0.27 i 4.6 uzyskujemy, że f(k) jest podcia lem cia la L. Jeśli dodatkowo homomorfizm pierścieni f jest na, to mówimy, że f jest izomorfizmem cia l. Mówimy, że cia la K i L sa izomorficzne i piszemy K = L, jeśli istnieje izomorfizm cia l f: K L. W algerze utożsamiamy cia la izomorficzne. Twierdzenie 4.5. Każde cia lo K posiada dok ladnie jedno podcia lo proste F. Jeśli ch(k) = 0, to F = Q i F = { k n : k, n Z, n > 0}, a jeśli ch(k) = p > 0, to 3

4 F = Z p i F = {k : k = 0,,..., p }. W szczególności, jedynymi cia lami prostymi z dok ladnościa do izomorfizmu sa: Q i Z p dla p ed acych liczami pierwszymi. Dowód. Rodzina K wszystkich podcia l cia la K jest niepusta, o K K. Zatem na mocy Stwierdzenia 4.8, M K M jest podcia lem cia la K zawartym w każdym podciele cia la K. Woec tego M K M jest najmniejszym podcia lem cia la K, a zatem na mocy Uwagi 4.7, M K M jest cia lem prostym. Jeśli F jest podcia lem prostym cia la K, to M K M F, sk ad F = M K M. Woec tego cia lo K posiada dok ladnie jedno podcia lo proste F, które jednocześnie jest najmniejszym podcia lem cia la K. Za lóżmy, że ch(k) = 0. Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że funkcja f: Q K dana wzorem f( k ) = k dla k Z, n N, jest dorze określona i jest homomorfizmem n n pierścieni. Woec tego na mocy Uwagi 4.4, f(q) jest podcia lem cia la K izomorficznym z cia lem Q. Ponadto f(q) = { k : k, n Z, n > 0}. Jeśli M jest dowolnym podcia lem n cia la K, to na mocy Stwierdzenia 9.3, l M dla każdego l Z. Stad f(q) M, a wiec f(q) = F. Niech teraz ch(k) = p, gdzie p jest licza pierwsza. Ponieważ o() = p w Z + p i o() = p w grupie K +, wiec funkcja g: Z p K dana wzorem g(k ) = k dla k Z, jest dorze określona. Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że g jest homomorfizmem pierścieni. Woec tego na mocy Uwagi 4.4, g(z p ) jest podcia lem cia la K izomorficznym z cia lem Z p. Ponadto g(z p ) = {k : k = 0,,..., p }. Jeśli M jest dowolnym podcia lem cia la K, to na mocy Stwierdzenia 9.3, l M dla każdego l Z. Stad g(z p ) M, a wiec g(q) = F. Twierdzenie 4.6. Niech K edzie cia lem skończonym. Wówczas K = p n i ch(k) = p dla pewnej liczy pierwszej p oraz dla pewnej liczy naturalnej n. Wszystimi różnymi podcia lami cia la K sa L m = {a K : a pm = a}, gdzie m N i m n. W szczególności licza wszystkich podcia l cia la p n -elementowego jest równa liczie wszystkich dzielników liczy n. Dowód. Z Twierdzenia 4., ch(k) = p dla pewnej liczy pierwszej p. Niech L edzie podcia lem cia la K. Wtedy K jest przestrzenia liniowa nad cia lem L. Ale K jest skończone, wiec istnieje skończona aza {α,..., α s }, K nad L. Każdy element należacy do K może yć zapisany jednoznacznie w postaci kominacji liniowej elementów tej azy. Zatem K = L s = L s. Z Twierdzenia 4.5 istnieje podcia lo F cia la K takie, że F = p. Stad K = p n dla pewnego n N. Jeżeli L jest dowolnym podcia lem cia la K, to F L, wiec na mocy pierwszej cześci dowodu, L = p m dla pewnego m N. Ale p n = K = L s = p ms dla pewnego s N, wiec n = ms i m n. Ponadto grupa L ma rzad równy p m, wiec na moc twierdzenia Lagrange a, a pm = dla każdego a L \ {0}. Stad a pm = a dla każdego a L. Zatem L L m. Ale z Wniosku 2.0, L m p m, wiec L = L m. Niech teraz m N i m n. Ponieważ pm =, wiec L m. Weźmy dowolne a, L m. Wtedy a pm = a i pm = oraz ( ) pm =. Zatem z Twierdzenia 4.3, (a ) pm = 4

5 a pm +( ) pm pm = a, wiec a L m. Ponadto, gdy 0, to ( a )pm = apm = a, wiec pm a L m. Zatem ze Stwierdzenia 4.6, L m jest podcia lem cia la K. Dalej, z Twierdzenia 4.4 istnieje c K takie, że o(c) = p n w grupie K. Ale m n, wiec, p m p n. Woec tego w grupie cyklicznej K element u = c pn p m ma rz ad p m. Zatem elementy, u, u 2,..., u pm 2 sa parami różne i jest ich dok ladnie p m. Ponadto u pm =, wiec u pm = u, skad u L m. Zatem {0,, u,..., u pm 2 } jest p m -elementowym podziorem podcia la L m, skad L m p m. Ale każdy element z L jest pierwiastkiem wielomianu x pm x K[x], wiec na mocy Wniosku 2.0, p m L m. Woec tego L m = p m i L m = {0,, u,..., u pm 2 }. Zatem L m jest podcia lem p m -elementowym cia la K. Uwaga 4.7. Pokażemy jak można skonstruować cia lo p n -elementowe dla licz pierwszych p oraz n N. Najpierw znajdujemy w pierścieniu Z p [x] wielomian unormowany f stopnia n, który jest nierozk ladalny w tym pierścieniu. Niech I = (f). Wtedy z Wniosku 3.6 pierścień ilorazowy Z p [x]/i jest cia lem. Ponadto z Twierdzenia 2.3 każdy element pierścienia Z p [x]/i można zapisać jednoznacznie w postaci a 0 + a x a n x n + I dla pewnych a 0, a,..., a n Z p. Ale Z p = p, wiec Z p [x]/i = p n, czyli Z p [x]/i jest cia lem p n -elementowym. Jeśli n = 2 lu n = 3, to ze Stwierdzenia 2.32 wystarczy ay f nie mia l pierwiastka w ciele Z p. Stad dla p = 2 i n = 2 wystarczy wziać f = x 2 + x + i otrzymujemy cia lo 4-elementowe Z 2 [x]/(x 2 + x + ). Jeśli n = 2 i p > 2, to C = {c 2 : c Z p } = {0 2, 2,..., ( p 2 )2 } jest ziorem + p = 2 p+ -elementowym. Ale p > 2, wi p+ ec 2 < p i istnieje a Z 2 p \ C. Wtedy wielomian f = x 2 a nie ma pierwiastka w Z p, wiec Z p [x]/(x 2 a) jest cia lem p 2 -elementowym. Jeśli n = 3, to mamy dok ladnie p 2 (p ) wielomianów postaci f = x 3 + ax 2 + x + c Z p [x] takich, że c 0. Natomiast rozk ladalne wielomiany unormowane stopnia 3 z niezerowym wyrazem wolnym na mocy Twierdzenia 3.5 sa postaci (x + k)(x 2 + lx + t) dla pewnych k, l, t Z p, k, t 0. Zatem takich wielomianów jest co najwyżej p(p ) 2. Ale p(p ) 2 < p 2 (p ), wiec istnieje f, które nie ma pierwiastka w Z p i woec tego Z p [x]/(f) jest cia lem p 3 -elementowym. Można udowodnić, że dla każdej liczy pierwszej p i dla każdego n N istnieje wielomian nierozk ladalny f Z p [x] stopnia n, a wiec wtedy Z p [x]/(f) jest cia lem p n - elementowym. 3 Cia lo u lamków Każdy podpierścień cia la jest dziedzina ca lkowitości. Okazuje sie, że także każda dziedzina ca lkowitości jest podpierścieniem pewnego cia la. 5

6 Definicja 4.8. Powiemy, że cia lo K jest cia lem u lamków dziedziny ca lkowitości P, jeżeli (i) P jest podpierścieniem K oraz (ii) każdy element cia la K można zapisać w postaci a dla pewnych a, P, 0. Przyk lad 4.9. Niech P edzie dowolnym podpierścieniem cia la Q. Wtedy ze Stwierdzenia 9.3 mamy, że Z P. Woec tego każdy element z Q można zapisać w postaci a dla pewnych a, P, 0. Zatem z Definicji 4.8 mamy, że Q jest cia lem u lamków dla P. Woec tego Q jest cia lem u lamków każdego swego podpierścienia. Przedstawimy teraz konstrukcje cia la u lamków dowolnej dziedziny ca lkowitości P. Niech S = P (P \ {0}). W ziorze S określamy relacje przyjmujac, że dla dowolnych (a, ), (a 2, ) S: (a, ) (a 2, ) a = a 2. Pokażemy, że jest relacja równoważności w S: Jeżeli (a, ) S, to a = a, wi ec (a, ) (a, ). 2 Jeżeli (a, ), (c, d) S oraz (a, ) (c, d), to a d = c. Stad c = a d, czyli (c, d) (a, ). 3 Jeżeli (a, ), (a 2, ), (a 3, 3 ) S sa takie, że (a, ) (a 2, ) oraz (a 2, ) (a 3, 3 ), to a = a 2 i a 2 3 = a 3, stad a 3 = a 2 3 i a 2 3 = a 3, wiec a 3 = a 3. Ale 0 i P jest dziedzina ca lkowitości, wiec a 3 = a 3, stad (a, ) (a 3, 3 ). Klase astrakcji o reprezentancie (a, ) S edziemy oznaczali przez a. Ziór wszystkich klas astrakcji relacji edziemy oznaczali przez P 0. Zauważmy najpierw, że dla (a, ) S i 0 d P jest a = a d d. Rzeczywiście, a ( d) = (a d), stad (a, ) (a d, d), wiec a = a d. d Dla (a, ) S mamy też, że a = 0 a = 0. Rzeczywiście, dla a = 0 jest a = 0 = 0, wiec (a, ) (0, ), stad a = 0. Jeżeli zaś a = 0, to (a, ) (0, ), sk ad a = 0, czyli a = 0. Niech = i 0 = 0. Ponieważ 0 w P, wi ec z naszych rozważań wynika, że 0 w P 0. Określamy teraz w P 0 dodawanie i mnożenie przy pomocy wzorów: a = a, () 6

7 a a2 = a a 2. (2) Sprawdzimy, że te określenia nie zależa od wyoru reprezentantów klas astrakcji. Niech (a, ), (x, y ), (a 2, ), (x 2, y 2 ) S oraz (a, ) (x, y ), (a 2, ) (x 2, y 2 ). Wtedy a y = x i a 2 y 2 = x 2. Musimy udowodnić, że wówczas (a + a 2, ) (x y 2 + x 2 y, y y 2 ) i (a a 2, ) (x x 2, y y 2 ), czyli że (a ) y y 2 = (x y 2 + x 2 y ) i a a 2 y y 2 = x x 2. Ale a a 2 y y 2 = (a y ) (a 2 y 2 ) = x x 2 = x x 2 oraz (a +a 2 ) y y 2 = (a y ) y 2 + (a 2 y 2 ) y = x y 2 + x 2 y = (x y 2 + x 2 y ), wiec wzory () i (2) sa dorze określone. Teraz udowodnimy, że (P 0, +,, 0, ) jest cia lem. W tym celu sprawdzamy spe lnienie aksjomatów cia la:. Niech (a, ), (a 2, ), (a 3, 3 ) S. Wtedy ( a ) + a 3 a 3 +a a 3 3 = a 3 +a 2 3 +a 3 3, o a a +a 2 = (a +a 2 ) = a +a 2. Ponadto: 3 = a +a 2 + a 3 3 = = a +a 2, gdyż a = a + ( a 2 + a 3 3 ) = a 3 +a 3 3 = a a 3 3 = a 3 +a 2 3 +a 3 wiec dodawanie jest l aczne. 3, 2. Niech (a, ), (a 2, ) S. Wtedy a 2 + a = a 2 +a = a +a 2 = a, wiec dodawanie jest przemienne. 3. Niech (a, ) S. Wtedy 0 = 0 oraz a + 0 = a + 0 = a+0 neutralnym dodawania. = a, wi ec 0 jest elementem 4. Niech (a, ) S. Wtedy ( a, ) S oraz a + a ( a). = a+( a) = 0 = 0. Zatem ( a ) = 5. Niech (a, ), (a 2, ), (a 3, 3 ) S. Wtedy ( a a ( a 2 a3 3 ) = a a 2 a 3 3 = a a 2 a 3 3, wiec mnożenie jest l 6. Niech (a, ), (a 2, ) S. Wtedy a 2 jest przemienne. a2 ) a3 3 = a a 2 aczne. a = a 2 a = a a 2 = a a3 3 = a a 2 a 3 3 a2, wi ec mnożenie 7. Niech (a, ) S. Wtedy a = a = a = a, czyli jest elementem neutralnym mnożenia. 8. Dla (a, ), (a 2, ), (a 3, 3 ) S : a ( a 2 + a 3 3 ) = a a a2 + a a3 3 = a a 2 + a a 3 3 = a a a a 3 rozdzielne wzgledem dodawania. oraz, wiec mnożenie jest a2 3 +a 3 3 = a a 2 3 +a a = a a 2 3 +a a Niech (a, ) S edzie takie, że a 0. Wtedy, jak wiemy a 0, wi ec (, a) S oraz a = a = =, o a, 0. St ad a a ( a ) =. a 7 i

8 Z 9 wynika zatem, że (P 0, +,, 0, ) jest cia lem. Niech f: P P 0 edzie funkcja dana wzorem f(a) = a dla a P. Wtedy dla a, P : f(a) = f() a = (a, ) (, ) a = a =. Zatem f jest różnowartościowe. Ponadto f() = = oraz dla a, P : i f(a + ) = a + = a + = f(a) + f() f(a ) = a = a = a = f(a) f(). Zatem f jest zanurzeniem pierścieni. Stad dla a P można dokonać utożsamienia: a a. Przy tym utożsamieniu P jest podpierścieniem cia la P 0. Dla 0 P mamy, że = ( ) =, wiec dla a P jest a = a = a, stad P 0 = {a : a, P, 0}, czyli P 0 jest cia lem u lamków dla P. Ponadto dla (a, ), (a 2, ) S mamy, że a = a 2 a = a 2, o a = a 2 (a, ) (a 2, ) a = a 2. Jeżeli L jest cia lem, to cia lo u lamków pierścienia L[x] oznaczamy przez L(x) i nazywamy cia lem funkcji wymiernych zmiennej x nad cia lem L. Wówczas L jest podcia lem cia la L(x), skad ch(l(x)) = ch(l). Ponieważ, x, x 2,... sa liniowo niezależne nad L i należa do L(x), wiec (L(x) : L) =. Podstawiajac L = Z p uzyskamy stad, że istnieja cia la nieskończone dowolnej dodatniej charakterystyki (np. cia la Z p (x)). Zagadka. Skonstruuj cia lo 8-elementowe. Zagadka 2. Skonstruuj cia lo 27-elementowe. Zagadka 3. Skonstruuj cia lo 25-elementowe. Zagadka 4. Skonstruuj cia lo 7 3 -elementowe. Zadanie 5. Skonstruuj cia lo 6-elementowe. Zagadka 6. Ile podcia l ma cia lo elementowe? Zagadka 7. Niech d edzie licza ca lkowita, która nie jest kwadratem liczy ca lkowitej. Udowodnij, że Q( d) = {x + y d : x, y Q} jest cia lem u lamków pierścienia liczowego Z[ d]. 8

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki aproksymatywne. niecharakterystyczne. S. Brzostowski

Pierwiastki aproksymatywne. niecharakterystyczne. S. Brzostowski 1 Pierwiastki aproksymatywne niecharakterystyczne S. Brzostowski Denicja pierwiastka aproksymatywnego. 2 2 Denicja pierwiastka aproksymatywnego. Denicja 1. R - pierscien przemienny z 1, f 2 R[Y ] - wielomian

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Pojęcie pierścienia.

Pojęcie pierścienia. Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

Baza i stopień rozszerzenia.

Baza i stopień rozszerzenia. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 3 dla ZE III dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 3 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

MATEMATYKA 3 dla ZE III dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 3 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 MATEMATYKA 3 dla ZE III dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 3 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G; 1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo