f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Transkrypt

1 Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co ns doprowdzi do fnkcji pierwotnej F (x). Nstępnie liczymy wstwimy grnicę cłkowni (liczymy różnicę grnic) b f(x)dx = F (x) = F (b) F () (.) wrto zwrócić wgę, że cłk oznczon nie jż fnkcją liczbą, orz, że po prwej stronie nie mmy jż stłej C jk w przypdk cłke nieoznczonych. Interpretcją geometryczną cłki nieoznczonej. Jest to pole powierzchni ogrniczone wykresem fnkcji f(x) i osią Ox i prostymi ogrniczjącymi ten wykres x = i x = b (wrtość bezwzględn). Zdnie. Oblicz cłkę oznczoną: njpierw liczymy cłkę nieoznczoną z fnkcji ln x (przez części) e = ln x ln xdx = = x v = v = x = x ln x ln xdx (.3) dx + C = x(ln x ) + C (.) terz liczymy różnicę grnicy górnej i dolnej (możn jż pominąć stłą cłkowni) e x(ln x ) = e(ln e ) (ln ) = e( ) ( ) = (.5) dlej tkie cłki będziemy zpisywli w postci: e e e ln xdx = x ln x dx = e ln e ln x. Włsności cłki oznczonej Jeżeli b c to c f(x)dx = f(x)dx + Stły czynnik możn wyciągnąć przed znk cłki, tzn. c b e = e (e ) = (.6) f(x)dx (.7) kf(x)dx = k f(x)dx (.8)

2 gdzie k stł. Cłk smy, równ się smie cłek Cłkownie przez zminę zmiennych: ( ) f(x) + g(x) dx = f(x)dx + f ( g(x) ) g (x)dx = g(b) g() g(x)dx (.9) f()d (.) Zmin górnej z dolną grnicą jest równoznczn ze wstwieniem znk mins, tzn. Przykłd: sin x cos xdx = f(x)dx = f(x)dx (.) b = sin x d = cos xdx d = sin() = g = sin( ) = = d = = (.) Przykłd: Oblicz pole powierzchni ogrniczone wykresem fnkcji f(x) = x + w przedzile [, ] orz w grnicch [, ]. Liczymy cłkę oznczoną z fnkcji f(x) w grnicch,. Terz policzymy w -,. (x + )dx = x + x (x + )dx = x + x = + = (.3) = ( ) + ( ) = (.) le to jest liczb jemn! Więc pole powierzchni nie może być jemne. Jeżeli chcemy policzyć pole powierzchni ogrniczone przez wykres fnkcji i osią ( wykres znjdje się poniżej osi x nleży wziąć wrtość bezwzględną). Więc podejście, które zstosowliśmy w tym przykłdzie nie jest do końc poprwne. Msimy znleźć pnkt, w którym wykres fnkcji f(x) przecin oś Ox i rozbić nszą cłkę n dw obszry. Część, któr jest nd osią i część, któr jest pod osią Ox. Szkmy f(x) = czyli x + = jest to w pnkcie x =. N lewo od tego pnkt wykres fnkcji będzie pod osią, n prwo od x nd osią. Więc P = (x + )dx + (x + )dx = x + x + x + x = (.5)

3 gdzie z pierwszej cłki liczymy wrtość bezwzględną, poniewż wykres znjdje się pod osią. Stąd P = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = + = 6 (.6) Widć, że trzeb wżć przy liczeni pól powierzchni. Zdnie. Oblicz cłki / 5 5 tn xdx = (.7) tn xdx = (.8) dx x + 6x + = (.9) x sin x dx = (.) sin x cos xdx = (.) xdx x = (.) e x cos xdx = (.3) x 3 sin xdx = (.) e x x cos xdx = (.5) Rozwiązni: Pierwszą cłkę nleży rozwiązć przez zminę zmiennych. Jeżeli przedstwimy tn x = i dokonmy podstwieni = cos x wtedy sin x cos x tn xdx = = cos x d = sin xdx d = cos() = g = cos( ) = = ln =, ntomist w drgim wyrzie rgment możn zpisć jko d = ln (.6) = ln ln = (.7) więc korzystjąc z włsności logrytm log b = b log osttecznie otrzymjemy tn xdx = ln (.8) 3

4 Przykłd (.8) chciłoby się powiedzieć, że rozwiązjemy tk smo, tylko wstwi się inne grnice. Jednk tk nie jest! Trzeb wżć, żeby w sposób mechniczny nie podchodzić do cłek oznczonych! Cłk t nie jest zbieżn. Wynik to z wrtości tngens w /. Czyli t cłk nie istnieje. Przykłd (.9). dx (.9) x + 6x + Jest to cłk z fnkcji wymiernej. Więc poniewż licznik nie jest pochodną minownik, msimy policzyć deltę, któr w tym przypdk wynosi = 36 = czyli jest jemn. Rozkłdmy minownik n postć knoniczną czyli x + 6x + = (x p) + q = x px + p + q (.3) stąd wynik, że 6x = px czyli p = 3 wstwijąc tę wrtość p do wyrżeni p + q = otrzymjemy, że q =, czyli x + 6x + = (x + 3) + (.3) Jest to wyrżenie, które przedstwi nm minownik, terz dokonmy podstwieni x + 3 = czyli dx = d, ntomist przy tkiej zminie grnice będą się zmienić od d = + 3 = 3 do g = + 3 =. Więc dx x + 6x + = dx (x + 3) 3 + = 3 d + = rctn 3 = rctn rctn 3 (.3) Nstępnym przykłdzie (.) znow będziemy dokonywli zminy zmiennych / x sin x dx = = = x d = xdx d = xdx d = g = pi/ = sin d = cos Przykłd (.) rozwiązywny jest przez podstwienie. sin x cos xdx = = = ( cos ) = = sin x d = cos xdx d = sin = g = sin = = d = 5 5 = 5 (.33) (.3) Zdnie (.) xdx = x = d = xdx x d = g = = d + = rcsin = rcsin = 6 = (.35)

5 Zdnie (.3) rozwiążemy przez części = e I = e x x cos xdx = = e x v = cos x v = sin x = ex sin x gdzie I jest cłką, któr wynosi = e I = e x x sin xdx = = e x v = sin x v = cos x = ex cos x wstwijąc ten wynik, otrzymjemy I = przenosząc n jedną stroną wyrzy I mmy, że + e x sin xdx = e I (.36) e x cos xdx = + I (.37) e x cos xdx = e ( + I ) = e I (.38) 5I = e I = e (.39) 5 Zdnie (.) również rozwiązjemy przez części = x I = x 3 3 sin xdx = = 3x v = sin x v = cos x = x3 cos x +3 x cos xdx = () 3 ( )+3I (.) Cłkę I dlej rozwiązjemy przez części do moment, kiedy pozbędziemy się wolnego x = x I = x cos xdx = = x v = cos x v = sin x = x sin x x sin xdx = I (.) i osttni rz liczymy cłkę przez części I = x cos x + cos xdx = (.) osttni cłk znik, poniewż pole powierzchni nd osią i pod osią fnkcji cosins od do jest tkie sme, z tą różnicą, że wchodzi jedn część ze znkiem pls drg ze znkiem jemny, co prowdzi ns do cłki równej zero. Zbierjąc wszystkie wyrzy z poszczególnych kroków osttecznie otrzymjemy I = 3 6I = 3 6 (.3) Osttni cłk ntomist (.5) jest reltywnie skomplikown, żeby sobie z nią pordzić. Ale ze względ, że liczymy wyłącznie cłkę oznczoną możn sobie z nią w prosty sposób pordzić 5 e x x cos xdx (.) 5 Wrto zwrócić wgę, że fnkcj podcłkow jest nieprzyst, tzn. f( x) = f(x). A poniewż cłkownie jest po obszrze symetrycznym, więc cłk tk msi wynosić zero. 5

6 Zdnie 3. Oblicz pole figry ogrniczonej przez wykres fnkcji i proste:. f(x) = sin x, x = orz x =.. f(x) = sin x, x = orz x =. 3. f(x) = /x, x = / orz x = e.. g(x) = ln x, x = / i x =. W pierwszym przykłdzie nleży obliczyć cłkę z fnkcji sin x w grnicch do. Nleży jednk pmiętć, że fnkcj sin x przyjmje wrtości jemne, więc trzeb podzielić cłkę n części, gdzie wykres jest pond i pod osią. Obszry znjdjące się pod osią, będą obliczne ze znkiem przeciwnym. Tk więc pole wynosi P = sin xdx+ sin xdx = cos x + cos x = ( ) ( )+ ( ) = (.5) W nstępnym przykłdzie możemy bezpośrednio obliczyć cłkę oznczoną z fnkcji sin x w grnicch do, poniewż, wykres nigdy nie znjdje się pod osią iksów. Stąd = sin x P = sin x = = cos x v = sin x v = cos x = cos x sin x + cos xdx (.6) Pierwszy człon wynosi zero, ntomist drgi zmienimy z jedynki trygonometrycznej (cos x = sin x) i przerzcmy n drgą stronę, co ns prowdzi do Kolejny przykłd rozwiązjemy nlogicznie. P = sin xdx = dx = P = (.7) e dx x = ln x e = ln(e) ln( ) = + ln (.8) Kolejnym przykłdzie znow msimy rozbić obszry cłkowni, poniewż wykres fnkcji logrytm znjdje się pod osią Ox, gdy x (, ]. Njpierw policzymy sobie cłkę nieoznczoną z ln x, którą liczymy przez części = ln x ln x = = x v = v = x = x ln x dx = x(ln x + ) + C (.9) Wiemy terz, że obszr cłkowni nleży podzielić n x [, ] i x (, ], więc P = x(ln x + ) + x(ln x + ) = ( ln ) + (ln + ) = ln (.5) 6