Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera"

Transkrypt

1 Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu na wszystkie dzia lania określone w pierścieniu P (zredukowane do A). Stwierdzenie 9.. A P jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia nastepuj ace warunki: (I) A oraz (II) a,b A a b, a b A. Dowód. Za lóżmy, że A jest podpierścieniem pierścienia P. Wtedy 0, A (ze wzgledu na wykonalność dzia lań 0-argumentowych) oraz dla dowolnego a A, a A (ze wzgledu na wykonalność dzia lania -argumentowego) i ponadto dla a, b A, a b A oraz a b = a + ( b) A (ze wzgledu na wykonalność mnożenia i dodawania). Na odwrót, za lóżmy, że A oraz a b, a b A dla dowolnych a, b A. Wtedy 0 = A, skad dla b A, b = 0 b A, wiec dla a, b A, a+b = a ( b) A. Zatem w A jest wykonalne mnożenie i dodawanie. Ponieważ wszystkie aksjomaty pierścienia sa spe lnione nawet w P, wiec (A, +,, 0, ) jest pierścieniem. Stwierdzenie 9.3. W dowolnym pierścieniu P podzbiór = {k : k Z} jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podpierścieniem P. Dowód. Ponieważ =, wiec. Weźmy dowolne a, b. Wtedy istnieja k, l Z takie, że a = k i b = l. Stad a b = (k l) oraz a b = (k ) (l ) = (kl). Zatem na mocy Stwierdzenia 9., jest podpierścieniem w P. Niech A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P. Wtedy A i A jest podgrupa grupy P +. Stad A, czyli jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem w P. Twierdzenie 9.4. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podpierścieni pierścienia P jest podpierścieniem P. Dowód. Niech {A t } t T bedzie dowolna niepusta rodzina podpierścieni pierścienia P oraz niech A = t T A t. Ponieważ A t dla każdego t T, wiec A. Weźmy dowolne a, b A. Wtedy a, b A t dla każdego t T, wiec ze Stwierdzenia 9., a b, a b A t dla każdego t T. Zatem a b, a b A. Stad na mocy Stwierdzenia 9., A jest podpierścieniem pierścienia P.

2 Przyk lad 9.5. Niech P bedzie pierścieniem. Udowodnimy, że dla dowolnego podzbioru X P istnieje najmniejszy (w sensie inkluzji) podpierścień pierścienia P zawierajacy zbiór X. Nazywamy go podpierścieniem generowanym przez zbiór X i oznaczamy przez X. Zatem: X X i X jest podpierścieniem pierścienia P oraz () X A dla każdego podpierścienia A pierścienia P takiego, że X A. () Rzeczywiście, niech {A t } t T bedzie rodzina wszystkich podpierścieni pierścienia P zawierajacych zbiór X. Wtedy P {A t } t T, wiec z Twierdzenia 9.3 mamy, że A = t T A t jest podpierścieniem pierścienia P. Ale X A t dla każdego t T, wiec X A, skad A jest najmniejszym elementem w rodzinie {A t } t T, czyli A jest najmniejszym podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór X. Ze Stwierdzenia 9.3 wynika od razu, że = = {k : k Z}. Natomiast dla X mamy nastepuj ace Stwierdzenie 9.6. Niech X bedzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas X sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Dowód. Oznaczmy przez S zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Ponieważ =, wiec S. Weźmy dowolne a, b S. Wtedy a jest skończona suma elementów postaci s oraz k x x... x n, dla pewnych s, k Z, x, x,..., x n X i pewnych n N oraz b jest skończona suma elementów postaci t oraz l y y... y m, dla pewnych t, l Z, y, y,..., y m X i pewnych m N. Z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania wynika zatem, że a b jest skończona suma elementów postaci (s ) (t ) = (st), (s ) (k x x... x n ) = (sk) x x... x n, (k x x... x n ) (t ) = (kt) x x... x n, (k x x... x n ) (l y y... y m ) = (kl) x x... x n y y... y m, wiec a b S. Ponadto, s t = (s t) i (l y y... y m ) = ( l) y y... y m, wiec a b S. Zatem na mocy Stwierdzenia 9., S jest podpierścieniem pierścienia P. Ponadto dla dowolnego x X mamy, że x = x, wiec x S. Zatem X S. Niech teraz A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P takim, że X A. Ponieważ A i A P +, wiec A, skad s A dla każdego s Z. Weźmy teraz dowolne k Z, dowolne n N i dowolne x,..., x n X. Wtedy x,..., x n A i A jest pierścieniem, wiec k x x... x n A. Ale A jest podgrupa grupy P +, wiec wszystkie skończone sumy elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,..., należa do A. Zatem S A. W ten sposób wykazaliśmy, że S spe lnia warunki () i (), czyli S = X. Jeśli X jest zbiorem skończonym oraz X = {a,..., a m }, to zamiast {a,..., a m } b edziemy pisali a,..., a m.

3 Uwaga 9.7. Ze Stwierdzenia 9.6 wynika od razu, że jeśli X = {a}, to podpierścień a sk lada si e ze wszystkich elementów postaci k 0 +k a+...+k m a m, gdzie k 0, k,..., k m Z oraz m = 0,,,.... Zatem: a = {k 0 + k a k n a n : k 0, k,..., k n Z, n = 0,,,...}. (3) Podstawiajac X = {a, b} uzyskamy, że podpierścień a, b sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i b j, gdzie k Z oraz i, j N 0. Podstawiajac X = {a, a,..., a s } uzyskamy, że podpierścień a, a,..., a s sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i a i... a is s, gdzie k Z oraz i, i,..., i s N 0. Stwierdzenie 9.8. Niech X i Y bed a podzbiorami pierścienia P. Wówczas: (i) X Y X Y, (ii) X = Y (X Y oraz Y X). Dowód. (i). Za lóżmy, że X Y. Ponieważ na mocy (), X X, wiec stad X Y. Na odwrót, za lóżmy, że X Y. Wtedy Y jest jakimś podpierścieniem, który zawiera podzbiór X, wiec na mocy (), X Y. (ii). Ponieważ X = Y (X Y oraz Y X), wiec teza wynika od razu z punktu (i). Przyk lady pierścieni i podpierścieni Przyk lad 9.9. Każde cia lo jest pierścieniem. Podpierścienie cia l sa pierścieniami. Przyk lad 9.0. Podpierścienie cia la C nazywamy pierścieniami liczbowymi. Oczywiście sa one pierścieniami. Niech P bedzie pierścieniem liczbowym i niech k Z, m N bed a liczbami wzglednie pierwszymi. Pokażemy, że wówczas: k m P m P. Rzeczywiście, za lóżmy, że P. Wtedy k = k P, wiec k m m m P. Na odwrót, m za lóżmy, że k P. Ponieważ liczby k i m s a m wzglednie pierwsze, wiec istnieja x, y Z takie, że kx + my =. Stad = x k + y P, bo P jest podpierścieniem cia la C m m oraz k P i P. m Przyk lady pierścieni liczbowych: a) Pierścień liczb ca lkowitych Z. b) Z Uwagi 9.7 wynika, że dla ustalonej liczby naturalnej a > { n } = a a : n, k Z, k 0 k 3

4 jest najmniejszym podpierścieniem w Q zawierajacym. Ponadto a = a pα p α... p αs s dla pewnych różnych liczb pierwszych p, p,..., p s i pewnych α, α,..., α s N. Zatem n = p α... ps αs N. Ponadto p... p s = n p α... pαs s a. Zatem ze Stwierdzenia 9.8, p... p s a. Niech α b edzie najwieksz a z liczb α,..., α s N. Wtedy α α i N 0 dla każdego i =,..., s, skad m = p α α... p α αs s N oraz = m a p α =... pαs s (p... p s). α Zatem na mocy Stwierdzenia 9.8, a p... p s i ostatecznie a = p... p s. Zauważmy jeszcze, że dodatkowo zachodzi wzór: =,,...,. (4) p... p s p p p s Rzeczywiście, p... p s = p p... p s p, p,..., p s, wiec ze Stwierdzenia 9.8, p... p s p, p,..., p s. Ponadto m i = p p...p s N dla każdego i =,,..., s oraz p i = m i p... p s p... p s, wiec na mocy Stwierdzenia 9.8, p, p,..., p s co kończy dowód wzoru (4). Z Uwagi 9.7 mamy ponadto wzór:,,..., p p p s { = n p i p k p k... p ks s p... p s, : n Z, k, k..., k s N 0 }. (5) c) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej. Wówczas z teorii liczb wiadomo, że d nie jest kwadratem liczby wymiernej. Określamy d jako zwyk ly pierwiastek arytmetyczny z liczby d dla d > 0, zaś dla d < 0 określamy d = d i. Zatem w obu przypadkach ( d) = d. Wówczas na mocy Uwagi 9.7 d = {a + b d : a, b Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawierajacym d. Ten podpierścień b edziemy dalej oznaczali przez Z d. Zatem Z d = {a + b d : a, b Z}. Z niewymierności liczby d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b d = a + b d (a = a oraz b = b ). d) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej taka, że ( + d (mod 4). Ponieważ ) d = + d + d, wiec 4 na mocy Uwagi 9.7, + d = {x + y + d : x, y Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawieraj Ten podpierścień bedziemy dalej oznaczali przez Z. Zatem: Z + { d = x + y + d 4 + d : x, y Z }. acym + d.

5 Z niewymierności liczby + d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b + d = a + b + d (a = a oraz b = b ). Przyk lad 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna i niech Z m = {0,,..., m }. Dla a, b Z m określamy: a m b = reszta z dzielenia a + b przez m; a m b = reszta z dzielenia a b przez m. Wówczas na mocy Wyk ladu (Z m, m, m, 0, ) jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem reszt modulo m i oznaczamy przez Z m. Przyk lad 9.. Zbiór wszystkich wielomianów o wspó lczynnikach zespolonych (rzeczywistych, wymiernych, ca lkowitych) z dodawaniem i mnożeniem funkcji tworzy pierścień. Oznaczamy go odpowienio przez Cx, Rx, Qx i Zx. Przyk lad 9.3. Niech P,..., P n bed a pierścieniami. określamy dodawanie i mnożenie nastepuj aco: W zbiorze P... P n (a,..., a n ) + (b,..., b n ) = (a + b,..., a n + b n ), (a,..., a n ) (b,..., b n ) = (a b,..., a n b n ), Ponadto określamy 0 = (0,..., 0) oraz = (,..., ). Można sprawdzić, że wtedy (P... P n, +,, 0, ) tworzy pierścień. Nazywamy go iloczynem kartezjańskim pierścieni P,..., P n. Przyk lad 9.4. Dowolny zbiór jednoelementowy P = {a} z dzia laniami + i takimi, że a + a = a i a a = a oraz z wyróżnionymi elementami 0 = = a tworzy pierścień. Nazywamy go pierścieniem zerowym. Zauważmy, że jeśli pierścień P jest niezerowy, to P >, wiec istnieje niezerowe a P. Wtedy a = a oraz a 0 = 0 a, skad wynika, że 0 w P. Na odwrót, jeśli 0 w pierścieniu P, to P >, wiec pierścień P nie jest zerowy. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a podpierścieniami pierścienia P. Oznaczmy przez AB zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci a b, gdzie a A, b B. Wtedy = AB. Ponadto z określenia AB oraz z tego, że (a b) = ( a) b wynika od razu, że jeśli x, y AB, to x y AB. Ponadto z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania i z tego, że dla a, a A, b, b B jest (a b ) (a b ) = (a a ) (b b ) AB wynika, że dla dowolnych x, y AB, x y AB. Zatem na mocy Stwierdzenia 9. mamy, że AB jest podpierścieniem pierścienia P. Zauważmy jeszcze, że dla a A i b B, a = a AB i b = b AB, a wiec A B AB. Jeśli S jest podpierścieniem pierścienia P takim, że A B S, to dla dowolnych a A i b B mamy a, b S, skad a b S, a zatem AB S. W takim razie AB = A B, czyli AB jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór A B. 5

6 3 Elementy odwracalne Definicja 9.6. Powiemy, że a P jest elementem odwracalnym pierścienia P, jeżeli istnieje x P takie, że a x =. Zbiór wszystkich elementów odwracalnych pierścienia P oznaczamy przez P. Przyk lad 9.7. Niech d bedzie liczba naturalna, która nie jest kwadratem liczby naturalnej. Z elementarnej teorii liczb wiemy, że istnieje wówczas nieskończenie wiele par (x, y) N N takich, że x dy =. Stad w pierścieniu Z d: (x+y d)(x y d) =. Wobec tego x + y d (Z d) i pierścień Z d ma nieskończenie wiele elementów odwracalnych. Przyk lad 9.8. Niech p, p,..., p s bed a różnymi liczbami pierwszymi. Pokażemy, że,,..., = {±p k p k... p ks s : k, k,..., k s Z}. p p p s Ze wzoru (5) wynika, że ±p l p l... p ls s p, p,..., p s dla dowolnych l, l,..., l s Z. Weźmy dowolne k, k,..., k s Z. Wtedy (±p k p k... p ks s ) (±p k p k... p ks s ) =, skad ±p k p k... p ks. s p, p,..., p s Niech teraz a. p, p,..., p s Wówczas a b = dla pewnego b p, p,..., n p s. Ponadto ze wzoru (5), a = n i b = p k pk...pks s p l p l...p ls s dla pewnych n, n Z oraz dla pewnych k i, l i N 0 dla i =,,..., s. Zatem n n = p k +l p k +l... p ks+ls s. Wobec tego n = ±p t p t... p ts s dla pewnych t, t,..., t s N 0, skad a = ±p t k p t k... ps ts ks, co kończy nasz dowód. Twierdzenie 9.9. Dla dowolnego pierścienia P system algebraiczny (P,, ) jest grupa abelowa. Dowód. Ponieważ =, wiec P. Niech a P. Wtedy istnieje x P takie, że a x =, skad x a =, czyli x P. Dalej, dla a, b P istnieja x, y P takie, że a x = i b y =, wiec (a b) (x y) = (a x) (b y) = =, czyli a b P. Ponieważ mnożenie jest l aczne w P, wiec mnożenie jest l aczne w P. Zatem z tych rozważań mamy, że (P,, ) jest grupa. Natomiast z P5 wynika od razu, że grupa ta jest abelowa. Uwaga 9.0. Element odwrotny do elementu a P oznaczamy przez a. Z dowodu Twierdzenia wynika, że dla dowolnych a, b P mamy wzór: (a b) = a b. Stwierdzenie 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna. Wówczas zachodzi wzór: W szczególności Z m = ϕ(m). Z m = {a {,,..., m} : (a, m) = }. 6

7 Dowód. Weźmy dowolne a Z m. Wtedy a {0,,..., m } oraz istnieje x Z m takie, że a m x =. Stad a x m =, a wiec a x (mod m). Zatem z elementarnej teorii liczb, (a, m), skad (a, m) =. Ale m >, wiec (m, 0) = m >, czyli a {,,..., m}. Na odwrót, niech a {,,..., m} i (a, m) =. Ponieważ m >, wiec (m, m) = m >, skad a {,,..., m }, czyli a Z m. Ponadto z elementarnej teorii liczb istnieje y Z takie, że a y (mod; m), skad x = y m Z m i a x (mod; m). Zatem a m x = a x m = m =, wiec a Z m. Stwierdzenie 9.. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: (P P... P n ) = P P... P n. Dowód. Weźmy dowolne x (P P... P n ). Wtedy x P P... P n i istnieje y P P... P n takie, że x y = (,,..., ). Ale x = (x, x,..., x n ) i y = (y, y,..., y n ) dla pewnych x i, y i P i, i =,,..., n oraz x y = (x y, x y,..., x n y n ), wiec x i y i =, skad x i Pi dla i =,,..., n. Zatem x P P... Pn. Na odwrót, weźmy dowolne x P P... Pn. Wtedy istnieja x i Pi, i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Stad dla każdego i =,,..., n istnieje y i P i takie, że x i y i =. Wobec tego y = (y, y,..., y n ) P P... P n i x y = (x y, x y,..., x n y n ) = (,,..., ). Zatem x (P P... P n ). 4 Dzielniki zera Definicja 9.3. Mówimy, że element a pierścienia P jest dzielnikiem zera, jeżeli istnieje niezerowy element b P taki, że a b = 0. Elementy pierścienia P, które nie sa dzielnikami zera nazywamy elementami regularnymi. Zbiór wszystkich dzielników zera pierścienia P bedziemy oznaczali przez D(P ), zaś zbiór wszystkich elementów regularnych pierścienia P bedziemy oznaczali symbolem R(P ). Uwaga 9.4. Zauważmy, że w dowolnym pierścieniu P : D(P ) = P \R(P ). W każdym pierścieniu niezerowym P mamy, że 0 oraz 0 = 0, wi ec 0 jest dzielnikiem zera w każdym pierścieniu niezerowym P. Dzielniki zera różne od 0 nazywamy w laściwymi dzielnikami zera. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a niezerowymi pierścieniami. Wówczas pierścień A B posiada w laściwe dzielniki zera, którymi sa (, 0) i (0, ), gdyż te elementy sa różne od (0, 0) i (, 0) (0, ) = ( 0, 0 ) = (0, 0). Przyk lad 9.6. Dla liczb z lożonych m pierścień Z m posiada w laściwe dzielniki zera, gdyż istnieja liczby naturalne a, b < m takie, że a b = m i wtedy a, b sa niezerowymi elementami pierścienia Z m oraz a m b = 0. 7

8 Stwierdzenie 9.7. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: W szczególności: R(P P... P n ) = R(P ) R(P )... R(P n ). D(P P... P n ) = (P P... P n ) \ R(P ) R(P )... R(P n ). Dowód. Weźmy dowolne x R(P P... P n ). Wtedy x = (x, x,..., x n ) dla pewnych x i P i, i =,,..., n. Ustalmy i =,,..., n i weźmy dowolne a i P i takie, że x i a i = 0. Niech a j = 0 dla wszystkich j {,,..., n} \ {i} oraz a = (a, a,..., a n ). Wtedy x a = (0, 0,..., 0), wiec z regularności x, a = (0, 0,..., 0), skad a i = 0. Oznacza to, że x i R(P i ) dla każdego i =,,..., n. Zatem R(P P... P n ) R(P ) R(P )... R(P n ). Weźmy dowolne x R(P ) R(P )... R(P n ). Wtedy istnieja x i R(P i ), i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Weźmy dowolne a P P... P n takie, że x a = (0, 0,..., 0). Wtedy a = (a, a,..., a n ), wiec (0, 0,..., 0) = (x a, x a,..., x n a n ), wiec dla każdego i =,,..., n: x i a i = 0, skad na mocy regularności elementu x i, a i = 0. Wobec tego a = (0, 0,..., 0) i element x jest regularny. Zatem R(P ) R(P )... R(P n ) R(P P... P n ). Twierdzenie 9.8. W dowolnym pierścieniu P : (i) iloczyn elementów regularnych jest elementem regularnym; (ii) jeśli a P jest regularny i a x = a y, to x = y; (iii) każdy element odwracalny jest elementem regularnym. Dowód. (i). Niech a, b P bed a elementami regularnymi. Weźmy dowolny x P taki, że (ab)x = 0. Wtedy a(bx) = 0, wiec z regularności a, bx = 0, skad x = 0, z regularności b. Zatem ab jest elementem regularnym. (ii). Niech a P bedzie elementem regularnym i niech x, y P bed a takie, że ax = ay. Wtedy a(x y) = 0, skad z regularności a mamy, że x y = 0, czyli x = y. (iii). Za lóżmy, że tak nie jest. Wtedy istnieje element odwracalny a P, który jest dzielnikiem zera. Zatem istnieje niezerowe b P takie, że a b = 0 oraz istnieje x P takie, że a x =. Wobec tego b = b = b (a x) = (b a) x = (a b) x = 0 x = 0 i mamy sprzeczność. Wniosek 9.9. Dowolne cia lo nie posiada w laściwych dzielników zera. Definicja Niezerowy pierścień P, który nie posiada w laściwych dzielników zera nazywamy dziedzina ca lkowitości. Wobec tego, dziedziny ca lkowitości sa to takie niezerowe pierścienie, w których każdy element niezerowy jest regularny. W szczególności na mocy Wniosku 9.9, każde cia lo 8

9 jest dziedzina ca lkowitości, a nawet każdy podpierścień cia la jest dziedzina ca lkowitości. Z Twierdzenia 9.8 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek 9.3. Jeżeli a jest niezerowym elementem dziedziny ca lkowitości P oraz x, y P sa takie, że ax = ay, to x = y. Zagadka. Udowodnij, że dla dowolnych pierścieni A i B: D(A B) = A D(B) D(A) R(B). Zagadka. Wyznacz (Q Z), D(Q Z) i R(Q Z). Zagadka 3. Czy suma dwóch dzielników zera pierścienia P może być elementem odwracalnym w P? Zagadka 4. Czy i należy do podpierścienia 3 4 i cia la C? Zagadka 5. Niech k i Z, m i N, m i > oraz NW D(k i, m i ) = dla każdego i =,,..., s. Udowodnij, że w ciele Q zachodzi wzór: k, k,..., k s =. m m m s m m... m s Zagadka 6. Niech A bedzie podpierścieniem pierścienia P i a A. Czy jest prawda, że (a) jeśli a P, to a A? (b) jeśli a A, to a P? (c) jeśli a jest dzielnikiem zera w P, to a jest dzielnikiem zera w A? (d) jeśli a jest dzielnikiem zera w A, to a jest dzielnikiem zera w P? Zagadka 7. Niech P b edzie pierścieniem skończonym. Udowodnij, że R(P ) = P. Uzasadnij też, że skończona dziedzina ca lkowitości jest cia lem. 9

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Pojęcie pierścienia.

Pojęcie pierścienia. Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna I Analiza matematyczna I 1 Spis treści 1 Wstep. Ograniczenia i kresy zbiorów. 4 1.1 Oznaczenia..................................... 4 1.2 Zbiory liczbowe................................... 4 1.3 Kwantyfikatory...................................

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

LIX Olimpiada Matematyczna

LIX Olimpiada Matematyczna LIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (10 września 2007 r. 10 grudnia 2007 r.) Zadanie 1. Rozwiązać w liczbach rzeczywistych x, y, z układ równań x 5 = 5y

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4. Grafy skierowane

Wyk lad 4. Grafy skierowane Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G)

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń 2012 1. Wykazać, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. 2. Wykazać, że liczba 222222 555555 + 555555 222222 jest podzielna

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo