Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera"

Transkrypt

1 Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu na wszystkie dzia lania określone w pierścieniu P (zredukowane do A). Stwierdzenie 9.. A P jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia nastepuj ace warunki: (I) A oraz (II) a,b A a b, a b A. Dowód. Za lóżmy, że A jest podpierścieniem pierścienia P. Wtedy 0, A (ze wzgledu na wykonalność dzia lań 0-argumentowych) oraz dla dowolnego a A, a A (ze wzgledu na wykonalność dzia lania -argumentowego) i ponadto dla a, b A, a b A oraz a b = a + ( b) A (ze wzgledu na wykonalność mnożenia i dodawania). Na odwrót, za lóżmy, że A oraz a b, a b A dla dowolnych a, b A. Wtedy 0 = A, skad dla b A, b = 0 b A, wiec dla a, b A, a+b = a ( b) A. Zatem w A jest wykonalne mnożenie i dodawanie. Ponieważ wszystkie aksjomaty pierścienia sa spe lnione nawet w P, wiec (A, +,, 0, ) jest pierścieniem. Stwierdzenie 9.3. W dowolnym pierścieniu P podzbiór = {k : k Z} jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podpierścieniem P. Dowód. Ponieważ =, wiec. Weźmy dowolne a, b. Wtedy istnieja k, l Z takie, że a = k i b = l. Stad a b = (k l) oraz a b = (k ) (l ) = (kl). Zatem na mocy Stwierdzenia 9., jest podpierścieniem w P. Niech A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P. Wtedy A i A jest podgrupa grupy P +. Stad A, czyli jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem w P. Twierdzenie 9.4. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podpierścieni pierścienia P jest podpierścieniem P. Dowód. Niech {A t } t T bedzie dowolna niepusta rodzina podpierścieni pierścienia P oraz niech A = t T A t. Ponieważ A t dla każdego t T, wiec A. Weźmy dowolne a, b A. Wtedy a, b A t dla każdego t T, wiec ze Stwierdzenia 9., a b, a b A t dla każdego t T. Zatem a b, a b A. Stad na mocy Stwierdzenia 9., A jest podpierścieniem pierścienia P.

2 Przyk lad 9.5. Niech P bedzie pierścieniem. Udowodnimy, że dla dowolnego podzbioru X P istnieje najmniejszy (w sensie inkluzji) podpierścień pierścienia P zawierajacy zbiór X. Nazywamy go podpierścieniem generowanym przez zbiór X i oznaczamy przez X. Zatem: X X i X jest podpierścieniem pierścienia P oraz () X A dla każdego podpierścienia A pierścienia P takiego, że X A. () Rzeczywiście, niech {A t } t T bedzie rodzina wszystkich podpierścieni pierścienia P zawierajacych zbiór X. Wtedy P {A t } t T, wiec z Twierdzenia 9.3 mamy, że A = t T A t jest podpierścieniem pierścienia P. Ale X A t dla każdego t T, wiec X A, skad A jest najmniejszym elementem w rodzinie {A t } t T, czyli A jest najmniejszym podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór X. Ze Stwierdzenia 9.3 wynika od razu, że = = {k : k Z}. Natomiast dla X mamy nastepuj ace Stwierdzenie 9.6. Niech X bedzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas X sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Dowód. Oznaczmy przez S zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Ponieważ =, wiec S. Weźmy dowolne a, b S. Wtedy a jest skończona suma elementów postaci s oraz k x x... x n, dla pewnych s, k Z, x, x,..., x n X i pewnych n N oraz b jest skończona suma elementów postaci t oraz l y y... y m, dla pewnych t, l Z, y, y,..., y m X i pewnych m N. Z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania wynika zatem, że a b jest skończona suma elementów postaci (s ) (t ) = (st), (s ) (k x x... x n ) = (sk) x x... x n, (k x x... x n ) (t ) = (kt) x x... x n, (k x x... x n ) (l y y... y m ) = (kl) x x... x n y y... y m, wiec a b S. Ponadto, s t = (s t) i (l y y... y m ) = ( l) y y... y m, wiec a b S. Zatem na mocy Stwierdzenia 9., S jest podpierścieniem pierścienia P. Ponadto dla dowolnego x X mamy, że x = x, wiec x S. Zatem X S. Niech teraz A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P takim, że X A. Ponieważ A i A P +, wiec A, skad s A dla każdego s Z. Weźmy teraz dowolne k Z, dowolne n N i dowolne x,..., x n X. Wtedy x,..., x n A i A jest pierścieniem, wiec k x x... x n A. Ale A jest podgrupa grupy P +, wiec wszystkie skończone sumy elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,..., należa do A. Zatem S A. W ten sposób wykazaliśmy, że S spe lnia warunki () i (), czyli S = X. Jeśli X jest zbiorem skończonym oraz X = {a,..., a m }, to zamiast {a,..., a m } b edziemy pisali a,..., a m.

3 Uwaga 9.7. Ze Stwierdzenia 9.6 wynika od razu, że jeśli X = {a}, to podpierścień a sk lada si e ze wszystkich elementów postaci k 0 +k a+...+k m a m, gdzie k 0, k,..., k m Z oraz m = 0,,,.... Zatem: a = {k 0 + k a k n a n : k 0, k,..., k n Z, n = 0,,,...}. (3) Podstawiajac X = {a, b} uzyskamy, że podpierścień a, b sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i b j, gdzie k Z oraz i, j N 0. Podstawiajac X = {a, a,..., a s } uzyskamy, że podpierścień a, a,..., a s sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i a i... a is s, gdzie k Z oraz i, i,..., i s N 0. Stwierdzenie 9.8. Niech X i Y bed a podzbiorami pierścienia P. Wówczas: (i) X Y X Y, (ii) X = Y (X Y oraz Y X). Dowód. (i). Za lóżmy, że X Y. Ponieważ na mocy (), X X, wiec stad X Y. Na odwrót, za lóżmy, że X Y. Wtedy Y jest jakimś podpierścieniem, który zawiera podzbiór X, wiec na mocy (), X Y. (ii). Ponieważ X = Y (X Y oraz Y X), wiec teza wynika od razu z punktu (i). Przyk lady pierścieni i podpierścieni Przyk lad 9.9. Każde cia lo jest pierścieniem. Podpierścienie cia l sa pierścieniami. Przyk lad 9.0. Podpierścienie cia la C nazywamy pierścieniami liczbowymi. Oczywiście sa one pierścieniami. Niech P bedzie pierścieniem liczbowym i niech k Z, m N bed a liczbami wzglednie pierwszymi. Pokażemy, że wówczas: k m P m P. Rzeczywiście, za lóżmy, że P. Wtedy k = k P, wiec k m m m P. Na odwrót, m za lóżmy, że k P. Ponieważ liczby k i m s a m wzglednie pierwsze, wiec istnieja x, y Z takie, że kx + my =. Stad = x k + y P, bo P jest podpierścieniem cia la C m m oraz k P i P. m Przyk lady pierścieni liczbowych: a) Pierścień liczb ca lkowitych Z. b) Z Uwagi 9.7 wynika, że dla ustalonej liczby naturalnej a > { n } = a a : n, k Z, k 0 k 3

4 jest najmniejszym podpierścieniem w Q zawierajacym. Ponadto a = a pα p α... p αs s dla pewnych różnych liczb pierwszych p, p,..., p s i pewnych α, α,..., α s N. Zatem n = p α... ps αs N. Ponadto p... p s = n p α... pαs s a. Zatem ze Stwierdzenia 9.8, p... p s a. Niech α b edzie najwieksz a z liczb α,..., α s N. Wtedy α α i N 0 dla każdego i =,..., s, skad m = p α α... p α αs s N oraz = m a p α =... pαs s (p... p s). α Zatem na mocy Stwierdzenia 9.8, a p... p s i ostatecznie a = p... p s. Zauważmy jeszcze, że dodatkowo zachodzi wzór: =,,...,. (4) p... p s p p p s Rzeczywiście, p... p s = p p... p s p, p,..., p s, wiec ze Stwierdzenia 9.8, p... p s p, p,..., p s. Ponadto m i = p p...p s N dla każdego i =,,..., s oraz p i = m i p... p s p... p s, wiec na mocy Stwierdzenia 9.8, p, p,..., p s co kończy dowód wzoru (4). Z Uwagi 9.7 mamy ponadto wzór:,,..., p p p s { = n p i p k p k... p ks s p... p s, : n Z, k, k..., k s N 0 }. (5) c) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej. Wówczas z teorii liczb wiadomo, że d nie jest kwadratem liczby wymiernej. Określamy d jako zwyk ly pierwiastek arytmetyczny z liczby d dla d > 0, zaś dla d < 0 określamy d = d i. Zatem w obu przypadkach ( d) = d. Wówczas na mocy Uwagi 9.7 d = {a + b d : a, b Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawierajacym d. Ten podpierścień b edziemy dalej oznaczali przez Z d. Zatem Z d = {a + b d : a, b Z}. Z niewymierności liczby d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b d = a + b d (a = a oraz b = b ). d) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej taka, że ( + d (mod 4). Ponieważ ) d = + d + d, wiec 4 na mocy Uwagi 9.7, + d = {x + y + d : x, y Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawieraj Ten podpierścień bedziemy dalej oznaczali przez Z. Zatem: Z + { d = x + y + d 4 + d : x, y Z }. acym + d.

5 Z niewymierności liczby + d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b + d = a + b + d (a = a oraz b = b ). Przyk lad 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna i niech Z m = {0,,..., m }. Dla a, b Z m określamy: a m b = reszta z dzielenia a + b przez m; a m b = reszta z dzielenia a b przez m. Wówczas na mocy Wyk ladu (Z m, m, m, 0, ) jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem reszt modulo m i oznaczamy przez Z m. Przyk lad 9.. Zbiór wszystkich wielomianów o wspó lczynnikach zespolonych (rzeczywistych, wymiernych, ca lkowitych) z dodawaniem i mnożeniem funkcji tworzy pierścień. Oznaczamy go odpowienio przez Cx, Rx, Qx i Zx. Przyk lad 9.3. Niech P,..., P n bed a pierścieniami. określamy dodawanie i mnożenie nastepuj aco: W zbiorze P... P n (a,..., a n ) + (b,..., b n ) = (a + b,..., a n + b n ), (a,..., a n ) (b,..., b n ) = (a b,..., a n b n ), Ponadto określamy 0 = (0,..., 0) oraz = (,..., ). Można sprawdzić, że wtedy (P... P n, +,, 0, ) tworzy pierścień. Nazywamy go iloczynem kartezjańskim pierścieni P,..., P n. Przyk lad 9.4. Dowolny zbiór jednoelementowy P = {a} z dzia laniami + i takimi, że a + a = a i a a = a oraz z wyróżnionymi elementami 0 = = a tworzy pierścień. Nazywamy go pierścieniem zerowym. Zauważmy, że jeśli pierścień P jest niezerowy, to P >, wiec istnieje niezerowe a P. Wtedy a = a oraz a 0 = 0 a, skad wynika, że 0 w P. Na odwrót, jeśli 0 w pierścieniu P, to P >, wiec pierścień P nie jest zerowy. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a podpierścieniami pierścienia P. Oznaczmy przez AB zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci a b, gdzie a A, b B. Wtedy = AB. Ponadto z określenia AB oraz z tego, że (a b) = ( a) b wynika od razu, że jeśli x, y AB, to x y AB. Ponadto z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania i z tego, że dla a, a A, b, b B jest (a b ) (a b ) = (a a ) (b b ) AB wynika, że dla dowolnych x, y AB, x y AB. Zatem na mocy Stwierdzenia 9. mamy, że AB jest podpierścieniem pierścienia P. Zauważmy jeszcze, że dla a A i b B, a = a AB i b = b AB, a wiec A B AB. Jeśli S jest podpierścieniem pierścienia P takim, że A B S, to dla dowolnych a A i b B mamy a, b S, skad a b S, a zatem AB S. W takim razie AB = A B, czyli AB jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór A B. 5

6 3 Elementy odwracalne Definicja 9.6. Powiemy, że a P jest elementem odwracalnym pierścienia P, jeżeli istnieje x P takie, że a x =. Zbiór wszystkich elementów odwracalnych pierścienia P oznaczamy przez P. Przyk lad 9.7. Niech d bedzie liczba naturalna, która nie jest kwadratem liczby naturalnej. Z elementarnej teorii liczb wiemy, że istnieje wówczas nieskończenie wiele par (x, y) N N takich, że x dy =. Stad w pierścieniu Z d: (x+y d)(x y d) =. Wobec tego x + y d (Z d) i pierścień Z d ma nieskończenie wiele elementów odwracalnych. Przyk lad 9.8. Niech p, p,..., p s bed a różnymi liczbami pierwszymi. Pokażemy, że,,..., = {±p k p k... p ks s : k, k,..., k s Z}. p p p s Ze wzoru (5) wynika, że ±p l p l... p ls s p, p,..., p s dla dowolnych l, l,..., l s Z. Weźmy dowolne k, k,..., k s Z. Wtedy (±p k p k... p ks s ) (±p k p k... p ks s ) =, skad ±p k p k... p ks. s p, p,..., p s Niech teraz a. p, p,..., p s Wówczas a b = dla pewnego b p, p,..., n p s. Ponadto ze wzoru (5), a = n i b = p k pk...pks s p l p l...p ls s dla pewnych n, n Z oraz dla pewnych k i, l i N 0 dla i =,,..., s. Zatem n n = p k +l p k +l... p ks+ls s. Wobec tego n = ±p t p t... p ts s dla pewnych t, t,..., t s N 0, skad a = ±p t k p t k... ps ts ks, co kończy nasz dowód. Twierdzenie 9.9. Dla dowolnego pierścienia P system algebraiczny (P,, ) jest grupa abelowa. Dowód. Ponieważ =, wiec P. Niech a P. Wtedy istnieje x P takie, że a x =, skad x a =, czyli x P. Dalej, dla a, b P istnieja x, y P takie, że a x = i b y =, wiec (a b) (x y) = (a x) (b y) = =, czyli a b P. Ponieważ mnożenie jest l aczne w P, wiec mnożenie jest l aczne w P. Zatem z tych rozważań mamy, że (P,, ) jest grupa. Natomiast z P5 wynika od razu, że grupa ta jest abelowa. Uwaga 9.0. Element odwrotny do elementu a P oznaczamy przez a. Z dowodu Twierdzenia wynika, że dla dowolnych a, b P mamy wzór: (a b) = a b. Stwierdzenie 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna. Wówczas zachodzi wzór: W szczególności Z m = ϕ(m). Z m = {a {,,..., m} : (a, m) = }. 6

7 Dowód. Weźmy dowolne a Z m. Wtedy a {0,,..., m } oraz istnieje x Z m takie, że a m x =. Stad a x m =, a wiec a x (mod m). Zatem z elementarnej teorii liczb, (a, m), skad (a, m) =. Ale m >, wiec (m, 0) = m >, czyli a {,,..., m}. Na odwrót, niech a {,,..., m} i (a, m) =. Ponieważ m >, wiec (m, m) = m >, skad a {,,..., m }, czyli a Z m. Ponadto z elementarnej teorii liczb istnieje y Z takie, że a y (mod; m), skad x = y m Z m i a x (mod; m). Zatem a m x = a x m = m =, wiec a Z m. Stwierdzenie 9.. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: (P P... P n ) = P P... P n. Dowód. Weźmy dowolne x (P P... P n ). Wtedy x P P... P n i istnieje y P P... P n takie, że x y = (,,..., ). Ale x = (x, x,..., x n ) i y = (y, y,..., y n ) dla pewnych x i, y i P i, i =,,..., n oraz x y = (x y, x y,..., x n y n ), wiec x i y i =, skad x i Pi dla i =,,..., n. Zatem x P P... Pn. Na odwrót, weźmy dowolne x P P... Pn. Wtedy istnieja x i Pi, i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Stad dla każdego i =,,..., n istnieje y i P i takie, że x i y i =. Wobec tego y = (y, y,..., y n ) P P... P n i x y = (x y, x y,..., x n y n ) = (,,..., ). Zatem x (P P... P n ). 4 Dzielniki zera Definicja 9.3. Mówimy, że element a pierścienia P jest dzielnikiem zera, jeżeli istnieje niezerowy element b P taki, że a b = 0. Elementy pierścienia P, które nie sa dzielnikami zera nazywamy elementami regularnymi. Zbiór wszystkich dzielników zera pierścienia P bedziemy oznaczali przez D(P ), zaś zbiór wszystkich elementów regularnych pierścienia P bedziemy oznaczali symbolem R(P ). Uwaga 9.4. Zauważmy, że w dowolnym pierścieniu P : D(P ) = P \R(P ). W każdym pierścieniu niezerowym P mamy, że 0 oraz 0 = 0, wi ec 0 jest dzielnikiem zera w każdym pierścieniu niezerowym P. Dzielniki zera różne od 0 nazywamy w laściwymi dzielnikami zera. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a niezerowymi pierścieniami. Wówczas pierścień A B posiada w laściwe dzielniki zera, którymi sa (, 0) i (0, ), gdyż te elementy sa różne od (0, 0) i (, 0) (0, ) = ( 0, 0 ) = (0, 0). Przyk lad 9.6. Dla liczb z lożonych m pierścień Z m posiada w laściwe dzielniki zera, gdyż istnieja liczby naturalne a, b < m takie, że a b = m i wtedy a, b sa niezerowymi elementami pierścienia Z m oraz a m b = 0. 7

8 Stwierdzenie 9.7. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: W szczególności: R(P P... P n ) = R(P ) R(P )... R(P n ). D(P P... P n ) = (P P... P n ) \ R(P ) R(P )... R(P n ). Dowód. Weźmy dowolne x R(P P... P n ). Wtedy x = (x, x,..., x n ) dla pewnych x i P i, i =,,..., n. Ustalmy i =,,..., n i weźmy dowolne a i P i takie, że x i a i = 0. Niech a j = 0 dla wszystkich j {,,..., n} \ {i} oraz a = (a, a,..., a n ). Wtedy x a = (0, 0,..., 0), wiec z regularności x, a = (0, 0,..., 0), skad a i = 0. Oznacza to, że x i R(P i ) dla każdego i =,,..., n. Zatem R(P P... P n ) R(P ) R(P )... R(P n ). Weźmy dowolne x R(P ) R(P )... R(P n ). Wtedy istnieja x i R(P i ), i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Weźmy dowolne a P P... P n takie, że x a = (0, 0,..., 0). Wtedy a = (a, a,..., a n ), wiec (0, 0,..., 0) = (x a, x a,..., x n a n ), wiec dla każdego i =,,..., n: x i a i = 0, skad na mocy regularności elementu x i, a i = 0. Wobec tego a = (0, 0,..., 0) i element x jest regularny. Zatem R(P ) R(P )... R(P n ) R(P P... P n ). Twierdzenie 9.8. W dowolnym pierścieniu P : (i) iloczyn elementów regularnych jest elementem regularnym; (ii) jeśli a P jest regularny i a x = a y, to x = y; (iii) każdy element odwracalny jest elementem regularnym. Dowód. (i). Niech a, b P bed a elementami regularnymi. Weźmy dowolny x P taki, że (ab)x = 0. Wtedy a(bx) = 0, wiec z regularności a, bx = 0, skad x = 0, z regularności b. Zatem ab jest elementem regularnym. (ii). Niech a P bedzie elementem regularnym i niech x, y P bed a takie, że ax = ay. Wtedy a(x y) = 0, skad z regularności a mamy, że x y = 0, czyli x = y. (iii). Za lóżmy, że tak nie jest. Wtedy istnieje element odwracalny a P, który jest dzielnikiem zera. Zatem istnieje niezerowe b P takie, że a b = 0 oraz istnieje x P takie, że a x =. Wobec tego b = b = b (a x) = (b a) x = (a b) x = 0 x = 0 i mamy sprzeczność. Wniosek 9.9. Dowolne cia lo nie posiada w laściwych dzielników zera. Definicja Niezerowy pierścień P, który nie posiada w laściwych dzielników zera nazywamy dziedzina ca lkowitości. Wobec tego, dziedziny ca lkowitości sa to takie niezerowe pierścienie, w których każdy element niezerowy jest regularny. W szczególności na mocy Wniosku 9.9, każde cia lo 8

9 jest dziedzina ca lkowitości, a nawet każdy podpierścień cia la jest dziedzina ca lkowitości. Z Twierdzenia 9.8 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek 9.3. Jeżeli a jest niezerowym elementem dziedziny ca lkowitości P oraz x, y P sa takie, że ax = ay, to x = y. Zagadka. Udowodnij, że dla dowolnych pierścieni A i B: D(A B) = A D(B) D(A) R(B). Zagadka. Wyznacz (Q Z), D(Q Z) i R(Q Z). Zagadka 3. Czy suma dwóch dzielników zera pierścienia P może być elementem odwracalnym w P? Zagadka 4. Czy i należy do podpierścienia 3 4 i cia la C? Zagadka 5. Niech k i Z, m i N, m i > oraz NW D(k i, m i ) = dla każdego i =,,..., s. Udowodnij, że w ciele Q zachodzi wzór: k, k,..., k s =. m m m s m m... m s Zagadka 6. Niech A bedzie podpierścieniem pierścienia P i a A. Czy jest prawda, że (a) jeśli a P, to a A? (b) jeśli a A, to a P? (c) jeśli a jest dzielnikiem zera w P, to a jest dzielnikiem zera w A? (d) jeśli a jest dzielnikiem zera w A, to a jest dzielnikiem zera w P? Zagadka 7. Niech P b edzie pierścieniem skończonym. Udowodnij, że R(P ) = P. Uzasadnij też, że skończona dziedzina ca lkowitości jest cia lem. 9

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Literatura: Oznaczenia:

Literatura: Oznaczenia: Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Pojęcie pierścienia.

Pojęcie pierścienia. Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna I Analiza matematyczna I 1 Spis treści 1 Wstep. Ograniczenia i kresy zbiorów. 4 1.1 Oznaczenia..................................... 4 1.2 Zbiory liczbowe................................... 4 1.3 Kwantyfikatory...................................

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8 EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d), Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo