Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.
|
|
- Daria Paluch
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : , pok. 328 A-2, ul. prof. Z.zfrn 2, Zielon Gór Osttni zmin: V1.0 1/ 45 pis treści Wprowdzenie Pln wykłdu ystem przepisywni Definicj Wyprowdznie ystem przepisywni język Klsyfikcj Chomsky ego Grmtyk bezkontekstow Drzew wyprowdzeń Jednoznczność grmtyki Notcj BNF Grmtyk regulrn Prktyk A z tydzień n wykłdzie V1.0 2/ 45 Wprowdzenie Pln wykłdu Pln wykłdu spotkni tydzień po tygodniu (1) Informcje o wykłdzie, poprwność lgorytmów (2) Poprwność lgorytmów logik Horego (3) Anliz złożoności kodu wysokiego i niskiego poziomu (4) Modele lgorytmiczne mszyny proste, obwody logiczne (5) Modele lgorytmiczne mszyn Turing orz rchunek-λ (6) Automty (nie)deterministyczne część I (7) Automty (nie)deterministyczne część II (8) V1.0 3/ 45 Wprowdzenie Pln wykłdu Pln wykłdu spotkni tydzień po tygodniu (9) i utomty ze stosem (10) Algorytmy równoległe (11) Klsy złożoności obliczeniowej (12) Pmięć logrytmiczn i wielominow (13) Problemy NP-zupełne (14) Wstęp do obliczeń kwntowych (15) Wybrne lgorytmy kwntowe V1.0 4/ 45
2 Wprowdzenie Pln wykłdu Pln wykłdu 1. system przepisywni 1.1 definicj 1.2 przykłd 1.3 język 2. grmtyki 2.1 ogóln definicj grmtyki, 2.2 definicj formln, 2.3 równowżność grmtyk, 2.4 klsyfikcj Chomskiego, 2.5 grmtyk bezkontekstow 3. klkultor RPN i normlny V1.0 5/ 45 Wprowdzenie Pln wykłdu Mteriły wykorzystne podczs tworzeni tego wykłdu, tkże przydtne do dlszych studiów: 1. John E.Hopcroft, Jeffrey D.Ullmn: Wprowdzenie do teorii utomtów, języków i obliczeń, Wydwnictwo Nukowe PWN 2003 Wydnie 1 orz Wydnie 2 z roku 2006, 2. przedmiot Języki utomty i obliczeni z Wżnik, 3. dokumentcj progrmów Flex orz Bison, 4. wykłd M.Kubicy, Języki formlne i utomty, V1.0 6/ 45 ystem przepisywni ystem przepisywni V1.0 7/ 45 ystem przepisywni Definicj ystem przepisywni definicj ystem przepisywni (ng. rewrite system R): ystem przepisujący definicj ystem przepisujący jest to pr R = (A, P), gdzie A jest dowolnym skończonym lfbetem, P A A - skończoną relcją inczej zbiorem prw. Ogólnie fkt, że pr (u, v) P, będzie zpisywne jko u v P i nzywć to będziemy prwem przepisywni lub produkcją w systemie R. Jeśli R = (A, P) jest dowolnym systemem przepisującym, x, y A dowolnymi słowmi, to system R przepisuje słowo x n słowo y (generuje y ze słow x) bezpośrednio, co ozncz się symbolem x y, jeśli istnieją tkie słow x 1, x 2 A orz prwo u v P tkie, że x = x 1 ux 2, y = x 1 vx 2. V1.0 8/ 45
3 ystem przepisywni Wyprowdznie ystem przepisywni wyprowdznie Przepisnie słow pośrednie (symbol reprezentuje relcję, ntomist, domknięcie przechodnio-zwrotne tej relcji): ystem R przepisuje słowo x n słowo y (generuje y ze słow x), co ozncz się symbolem x y, jeśli istnieją słow w 0, w 1,..., w k A orz k 0 tkie, że w 0 = x, w k = y, w i w i+1 dl i = 0, 1,..., k 1. Ciąg (w 0, w 1,..., w k ) nzyw się wyprowdzeniem w systemie R. Liczb k określ długość wyprowdzeni. Wyprowdzenie możn również oznczyć w nstępujący sposób: w 0 w 1... w k Dl R = ({, b, c}, {(b, b), (c, c), (cb, bc)}) możn wyprowdzić ze słow cbbc słowo bbcc: cbbc (c,c) cbbc (cb,bc) bcbc (cb,bc) bbcc (c,c) bbcc (b,b) bbcc (b,b) bbcc V1.0 9/ 45 ystem przepisywni ystem przepisywni język ystem przepisywni język Niech R = (A, P) będzie dowolnym systemem przepisującym, B dowolnym, ustlonym podzbiorem A. językiem generownym przez R nzywmy zbiór L gen (R, B) = {w A : x w, x B}, językiem rozpoznwnym przez R nzywmy zbiór: L cc (R, B) = {w A : w x, x B}. Dl poprzedniego przykłd, gdy B = {cb}, to otrzymuje się L gen (R, B) = {bc, cb, cb} L cc (R, B) = {cb, cb} V1.0 10/ 45 Grmtyk V1.0 11/ 45 Grmtyk Grmtyczny opis język L zwier cztery wżne skłdowe: 1. Istnieje skończony zbiór symboli tworzących łńcuchy definiownego język. ymbole te nzywmy terminlmi lub symbolmi końcowymi. 2. Istnieje skończony zbiór zmiennych, nzywnych nieterminlmi lub ktegorimi syntktycznymi. Kżd ze zmiennych przedstwi język, tj. zbiór łńcuchów. 3. Jednk ze zmiennych reprezentuje definiowny język i zwn jest on symbolem początkowym. Inne zmienne reprezentują pomocnicze klsy łńcuchów używne przy definiowniu język symbolu początkowego. V1.0 12/ 45
4 Grmtyk 4. Istnieje skończony zbiór produkcji lub reguł, przedstwijących rekurencyjną definicję język. Kżd produkcj skłd się z: 4.1 zmiennej (częściowo) definiownej przez tę produkcję. Zmienn t jest często nzywn głową produkcji. 4.2 symbolu produkcji np.: 4.3 Łńcuch złożonego z zer lub więcej terminli i zmiennych. Łńcuch ten, zwny jest ciłem produkcji, przedstwi jeden ze sposobów tworzeni łńcuchów w języku zmiennej będącej głową produkcji. W trkcie tego pozostwimy terminle bez zmin i podstwimy z kżdą zmienną cił produkcji dowolny łńcych, o którym widomo, że nleży do jezyk tej zmiennej. (wg. J.E. Hopcroft, R.Motwni, J.D. Ullmn, Wprowdzenie do teorii utomtów, języków i obliczeń, PWN 2005) V1.0 13/ 45 Grmtyk definicj Grmtyk jest to system G = (V, T, P, ), w którym V - skończony zbiór symboli nieterminlnych (lfbet nieterminlny), T - skończony zbiór symboli terminlnych (lfbet terminlny), P (V T ) + (V T ) - skończon relcj, zbiór produkcji (prw), V - symbol początkowy (strtowy). Alfbet terminlny orz lfbet nieterminlny są rozłącznymi zbiormi, słowo u występujące po lewej stronie produkcji zwier co njmniej jeden symbol nieterminlny. Fkt, że pr (u, v) P, zpisujemy: u v P lub u G v. Definicj język Językiem generownym przez grmtykę G = (V, V, P, ) nzywmy zbiór: L(G) = {x V T : G x}. V1.0 14/ 45 Równowżność grmtyk Niestety, pomiędzy językiem generującą go grmtyką nie możn wskzć wzjemnie jednozncznej odpowiedniości. Dny język może być generowny przez wiele różnych grmtyk (dość często o brdzo różnej strukturze i włsnościch). Dltego, nleży wprowdzić i określić pojęci równowżności językowej dl wskznych grmtyk. G 1 i G 2 są równowżne językowo wtedy i tylko wtedy, gdy L(G 1 ) = L(G 2 ). Przykłdy równowżnych grmtyk: 1. grmtyk o postci G 1 = (V, T, P, ), w której V = {}, T = {}, P = {, }, generuje język określony jko: L(G 1 ) = { n : n = 1, 2,...}, 2. Grmtyk G 2 = (V, T, P, ), w której V = {}, T = {}, P = {, }, generuje język określony jko: L(G 2 ) = { n : n = 1, 2,...}, V1.0 15/ 45 Równowżność grmtyk 3. Grmtyk G 3 = (V, T, P, v 0 ), w której V = {v 0, v 1, w, w 1, w 2, z, z 1, z 2, z 3 }, T = {, b, c}, P = {v 0 v 0 z 1, v 0 v 1 z 1, v 1 w 1, v 1 v 1 w 1, w 1 z 1 w 1 z 3, w 1 z 3 wz 3, wz 3 wz, w 1 w w 1 w 2, w 1 w 2 ww 2, z 2 z z 1 z, ww 2 ww 1, zz 1 z 2 z 1, z 2 z 1 z 2 z, w b, z c} generuje język L(G 3 ) = { n b n c n : n = 1, 2,...}. 4. Grmtyk G 4 = (V, T, P, v 0 ), w której V = {v 0, v 1, v 2 }, T = {, b, c}, P = {v 0 bc, v 0 v 1 bc, v 1 b bv 1, v 1 c v 2 bcc, bv 2 v 2 b, v 2 v 1, v 2 } generuje język L(G 4 ) = { n b n c n : n = 1, 2,...}. V1.0 16/ 45
5 Klsyfikcj Chomsky ego Możn wskzć cztery typy grmtyk określonych przez Nom Chomsky ego. Hierrchi Chomsky ego Grmtyk G = (V, T, P, ) jest typu (i) dl i = 0, 1, 2, 3 wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są nstępujące wrunki: typ(0): kżd grmtyk, spełnijąc definicję umieszczoną n sljdzie (14), typ(1): tzw. grmtyk kontekstow, czyli grmtyk, w której kżde prwo ze zbioru P m postć u 1 vu 2 u 1 xu 2, gdzie u 1, u 2 (V T ), v V, x (V T ) + lub v 0 1, przy czym, jeśli v 0 1 P, to v 0 nie występuje po prwej stronie w żdnym prwie produkcji określonym w P, typ(2): bezkontekstow, czyli grmtyk, w której kżde prwo ze zbioru P m postć v x, gdzie v V, x (V T ), typ(3): regulrn, czyli grmtyk, w której kżde prwo ze zbioru P m postć v v x lub v x, gdzie v, v V, x T. V1.0 17/ 45 Klsyfikcj Chomsky ego W oprciu o wprowdzone klsyfikcję typu grmtyk możn określić odpowidjące im rodziny (lbo klsy) języków: L 0 rodzinę wszystkich języków typu 0, L 1 rodzinę wszystkich języków typu 1, czyli języków kontekstowych, L 2 rodzinę wszystkich języków typu 2, czyli języków bezkontekstowych, L 3 rodzinę wszystkich języków typu 3, czyli języków regulrnych. Pomiędzy wprowdzonymi klsmi języków zchodzą nstępujące zleżności: L 3 L 2 L 1 L 0. Język L jest typu (i) dl i = 0, 1, 2, 3 wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozpoznwny przez utomt z odpowiedniej rodziny. V1.0 18/ 45 Klsyfikcj Chomsky ego Przykłdy równowżnych grmtyk i ich przynleżność do odpowiednich typów: 1. grmtyk o postci G 1 = (V, T, P, ), w której V = {}, T = {}, P = {, }, generuje język określony jko: L(G 1 ) = { n : n = 1, 2,...}, grmtyk typu (3), 2. grmtyk G 2 = (V, T, P, ), w której V = {}, T = {}, P = {, }, generuje język określony jko: L(G 2 ) = { n : n = 1, 2,...}, grmtyk typu (2), 3. grmtyk G 3 = (V, T, P, v 0 ), w której V = {v 0, v 1, w, w 1, w 2, z, z 1, z 2, z 3 }, T = {, b, c}, P = {v 0 v 0 z 1, v 0 v 1 z 1, v 1 w 1, v 1 v 1 w 1, w 1 z 1 w 1 z 3, w 1 z 3 wz 3, wz 3 wz, w 1 w w 1 w 2, w 1 w 2 ww 2, z 2 z z 1 z, ww 2 ww 1, zz 1 z 2 z 1, z 2 z 1 z 2 z, w b, z c} generuje język L(G 3 ) = { n b n c n : n = 1, 2,...}, grmtyk typu (1), 4. grmtyk G 4 = (V, T, P, v 0 ), w której V = {v 0, v 1, v 2 }, T = {, b, c}, P = {v 0 bc, v 0 v 1 bc, v 1 b bv 1, v 1 c v 2 bcc, bv 2 v 2 b, v 2 v 1, v 2 } generuje język L(G 4 ) = { n b n c n : n = 1, 2,...}, grmtyk typu (0). V1.0 19/ 45 Grmtyk bezkontekstow Grmtyk bezkontekstow V1.0 20/ 45
6 Grmtyk bezkontekstow Grmtyk bezkontekstow definicj Grmtyk bezkontekstow (GBK), to dowoln tk czwórk G = (V, T, P, ), gdzie: V to (skończony) lfbet symboli nieterminlnych, T to (skończony) lfbet symboli terminlnych, V T =, P to skończony zbiór produkcji, reguły posidją nstępującą postć A α dl A V, α (V T ), V to wyróżniony symbol nieterminlny, symbol strtowy. Zzwyczj podje się tylko zbiór produkcji. Gdyż, w sposób niejwny z produkcji wynik zbiór nieterminli i terminli. Jeżeli nie będzie to oczywiste, jki nieterminl jest symbolem strtowym, będzie to dodtkowo zznczone. V1.0 21/ 45 Grmtyk bezkontekstow Grmtyk bezkontekstow przykłdy Przykłd grmtyki dl plindromów, przy wykorzystniu indukcyjnej definicji: podstw: λ, 0, 1 są plindrommi, krok indukcyjny: jeśli w jest plindromem, to 0w0, 1w1 są też plindrommi. Żden inny łńcuch nie jest plindromem zbudownym z zer orz jedynek, jeśli nie wynik to z podstwy i kroku indukcyjnego. Grmtyk o postci G m postć: G = ({P}, {0, 1}, A, P) Postć produkcji: P λ P 0 P 1 P 0P0 P 1P1 V1.0 22/ 45 Grmtyk bezkontekstow Grmtyk bezkontekstow przykłdy Grmtyk generując słow dl język: { n b n : n 0}: A Ab λ łowo bbb jest generowne w nstępujący sposób: A Ab Abb Abbb bbb Grmtyk generując plindromy nd lfbetem, b, c: bb cc b c λ łowo bbcbb jest generowne w nstępujący sposób: bb bbbb bbcbb V1.0 23/ 45 Grmtyk bezkontekstow Grmtyk bezkontekstow włsności Niech G = (V, T, P, ) będzie ustloną grmtyką bezkontekstową. Przez będziemy oznczć zbiór produkcji P trktowny jko relcj,? V (V T ). Znczenie możn rozszerzyć n npisy: (V T ) (V T ) A β αaγ αβγ Domknięcie przechodnio-zwrotne będzie relcji będzie oznczne przez, i nturlnie (V T ) (V T ). Relcj opisuje pojedyncze zstosownie produkcji, czyli jko relcję między nieterminlem, zstępującym go słowem. Relcj opisuje co możn zrobić stosując dowolną liczbę (łącznie z zerem) dowolnych produkcji. Inczej mówiąc relcj to wielokrotnego iterowni relcji. Jeśli x y, to istnieje ciąg słów (z i ) tki, iż: x = z 0 z 1... z k = y. V1.0 24/ 45
7 Grmtyk bezkontekstow Grmtyk bezkontekstow włsności Grmtyk opisuje język złożony ze wszystkich słów (nd lfbetem terminlnym), które możemy uzyskć stosując produkcje począwszy od symbolu strtowego: Język generowny przez GBK Niech G = (V, T, P, ) będzie ustloną grmtyką bezkontekstową. Język L generowny przez grmtykę G, to: L(G) = {x T : x} Nieco inczej, możn powiedzieć że L(G) to zbiór tkich słów x T, dl których istnieją ciągi słów (z i ) orz z i (V T ) tki, iż: = z 0 z 1... z k = x. O ciągu (z i ) powiemy, iż jest to wyprowdzenie słow x w grmtyce G. Język L jest bezkontekstowy, jeżeli istnieje generując go grmtyk G. V1.0 25/ 45 Drzew wyprowdzeń Drzew wyprowdzeń Drzewo wyprowdzeni, to ilustrcj jk określone słowo może być wyprowdzone w dnej grmtyce, w postci drzew. Drzewo wyprowdzeni spełni nstępujące wrunki: w korzeniu drzew znjduje się symbol strtowy, w węzłch wewnętrznych drzew znjdują się nieterminle, w liścich terminle lub słow puste λ, jeśli w dnym węźle mmy nieterminl X, w jego kolejnych pod węzłch mmy x 1, x 2,..., x k, to musi zchodzić: X x 1x 2... x k, terminle umieszczone w liścich, czytne od lewej do prwej, tworzą wyprowdzone słowo. Język { n b n : n 0}, b λ, dl słow bbb, wyprowdzenie jest nstępujące: A Ab Abb Abbb bbbb A A A A b b b λ V1.0 26/ 45 Drzew wyprowdzeń Drzew wyprowdzeń Język dl npisów zbudownych z nwisów. Poprwne wyrżeni nwisowe, to tkie ciągi nwisów, w których: 1. łączn liczb nwisów otwierjących orz zmykjących jest tk sm, 2. kżdy prefiks wyrżeni nwisowego zwier przynjmniej tyle smo nwisów otwierjących, co zmykjących. Grmtyk m nstępującą postć: () λ Drzewo wyprowdzeń dl słow (()(())): ( ) ( ) λ ( ) ( ) λ V1.0 27/ 45 Jednoznczność grmtyki Jednoznczność grmtyki Grmtyk G jest jednoznczn, gdy dl kżdego słow x L(G) istnieje tylko jedno drzewo wyprowdzeni słow x w rmch grmtyki G. Jeśli grmtyk G jest grmtyką jednoznczn, to drzew wyprowdzeń określją strukturę (skłdniową) słów z język w sposób jednoznczny. Co prwd słow mogą mieć wiele wyprowdzeń, le różnią się one tylko kolejnością stosownych produkcji, nie strukturą wyprowdzonego słow. Poniższ grmtyk tworząc wyrżeni rytmetyczne niestety nie jest jednoznczn: + / L () L C CL C V1.0 28/ 45
8 Jednoznczność grmtyki Dw drzew wyprowdzeń dl wyrżeni : V1.0 29/ 45 Jednoznczność grmtyki Poniższ grmtyk tworząc wyrżeni rytmetyczne jest już jednoznczn: E E + E F /F F F L (E) L C CL C V1.0 30/ 45 Notcj BNF BNF definicj Poszczególne konstrukcje skłdniowe w notcji BNF są definiowne w nstępujący sposób: < nzw konstrukcji >::= wyrżenie opisujące konstrukcję ymbole ujęte w nwisy ostre reprezentują symbole nieterminlne, czyli zmienne leksykogrficzne. Wyrżenie po znku przypisni ::= może zwierć sekwencje innych symboli zwierjących zrówno symbole nieterminlne orz terminlne. Do kżdej zmiennej możn przypisć kilk wyrżeń rozdzielonych z pomocą pionowej kreski. A dokłdnej podstwowe elementy w definicji są nstępujące: < konstrukcj > - nzwy konstrukcji, w tym również definiownej, co ozncz że zleżności rekurencyjne są dozwolone, tekst, ujęty w cudzysłów, to tekst który pojwi się dosłownie w dnej konstrukcji, oddziel różne lterntywne postci dnej konstrukcji, [...] - frgment ujęty w kwdrtowe nwisy jest opcjonlny. V1.0 31/ 45 Notcj BNF Przykłdem zstosowni notcji BNF może być np.: poniższy opis grmtyki dresu domu/mieszkni jki jest stosowny w tnch Zjednoczonych: <postl ddr> ::= <nme prt><street ddr ><zip prt > <personl prt> ::= <first nme> <initil >. <nme prt> ::= <personl prt><lst nme > [<jr prt >] <EOL > <personl prt><nme prt > <street ddr> ::= [<pt>] <house num ><street nme >< EOL > <zip prt> ::= <town nme>, <stte code ><ZIP code ><EOL > Jeszcze jeden opis grmtyki dresu zmieszkni: <dres> ::= <drest> <dres loklu> <dres mist> <dres krju> <drest> ::= ["W.P." "z.pn."] <npis> "," <dres loklu>::=<ulic> <numer> ["/" <numer> ] ["m" <numer> "/" <numer> ]"," <dres mist>::=[ <kod> ] <npis> <dres krju>::=["," <npis> ] <kod>::=<cyfr> <cyfr> " " <cyfr> <cyfr> <cyfr> <cyfr>::="0" "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7" "8" "9" <numer>::=<cyfr> [ <numer> ] V1.0 32/ 45
9 Notcj BNF Zsdy notcji BNF możn zpisć z pomocą smej notcji BNF, co przedstwi się nstępująco: <syntx> ::= < rule > [< syntx >] <rule> ::= < whitespce > < < rule nme > > < whitespce > ::= < expr ><whitespce>< line end > <expr> ::= < whitespce >< or expr > <or expr> ::= < whitespce >< list expr > [ < or expr >] <list expr> ::= < whitespce > ( < < rule nme > > < QUOTE >< text ><QUOTE> ( < expr > ) [ < expr > ] )[<list expr>] <whitespce> ::= [ _ < whitespce >] <line end> ::= [< whitespce >] < EOL > [< line end >] Istnieją tkże inne wrinty zpisu notcji BNF, gdzie stosowne są oznczeni krotności orz +. Jednkże, zprezentown powyżej notcj jest njczęściej spotykn i bezpośrednio odnosi się do grmtyki bezkontekstowej. V1.0 33/ 45 Grmtyk regulrn Język regulrny i grmtyk bezkontekstow Wszystkie języki regulrne, są tkże językmi bezkontekstowmi, jednk stwierdzenie odwrotne nie jest prwdziwe np.: L : n b n język jest bezkontekstowy le nie jest regulrny. Grmtyk liniow Grmtyk (prwostronnie) liniow, to tk, w której wszystkie produkcje mją postć: A αb lub A λ, dl A, B V orz α T. Grmtyk silnie liniow Grmtyk silnie (prwostronnie) liniow, to tk, w której wszystkie produkcje mją postć: A αb lub A λ, dl A, B V orz α T. Twierdzenie (silnie) liniowe opisują klsę języków regulrnych. V1.0 34/ 45 Grmtyk regulrn Przeksztłcenie grmtyki liniowej n silnie liniową Reguły przeksztłcni: Nleży zstąpić produkcje postci A 1... k B (dl k > 1) orz produkcje postci A B, równowżnymi produkcjmi odpowiednimi dl grmtyki silnie liniowej. Jeśli mmy w grmtyce produkcję postci A B, to dl kżdej produkcji o postci B α dodjemy do grmtyki produkcję A α. Krok ten powtrzmy tk długo, jk długo wprowdz on nowe produkcje. Nstępnie usuwmy wszystkie produkcje postci A B. W ten sposób uzyskujemy grmtykę generującą ten sm język, le nie zwierjącą produkcji postci A B. Dl kżdej produkcji postci: A 1... k B, dl (k > 1), dodje się nowe symbole terminlne A 1,..., A k 1 w nstępujący sposób: A 1 A 1 A 1 2 A 2. A k 1 k B V1.0 35/ 45 Grmtyk regulrn Przeksztłcenie grmtyki liniowej n silnie liniową Reguły przeksztłcni, cd: Podobnie postępuje się dl kżdej produkcji postci: A 1... k, dl (k > 1): A 1 A 1 A 1 2 A 2 Ogólnie, zwsze możn:. A k 1 k A k A k λ 1. grmtykę liniową przeksztłcić do silnie liniowej, 2. grmtykę silnie liniową przeksztłcić n utomt niedeterministyczny, 3. utomt niedeterministyczny przeksztłcić n grmtykę silnie liniową. V1.0 36/ 45
10 Grmtyk regulrn Automt niedeterministyczny kceptujący język (b) () : P b Q R T Grmtyk liniow: bq T λ Q bq λ T T λ Wyprowdzenie: bq bbq bb. Grmtyk silnie liniow: P R λ P bq Q P λ R T T R λ Wyprowdzenie: P bq bp bbq bb. V1.0 37/ 45 Prktyk Czs n trochę prktyki: YACC lbo BION Bison, to nrzędzie do tworzeni prser ów, nliztorów skłdniowych oprtych o grmtykę bezkontekstową. Ogóln postć jest podobn do progrmy LEX/FLEX: %{ %} Prologue Bison declrtions %% %% Grmmr rules Epilogue V1.0 38/ 45 Prktyk Klkultor RPN Przykłdy w RPN dl pkietu Bison: * * + - n Note the unry minus, n / 4 n ^ Exponentition 81 ^D End-of-file indictor V1.0 39/ 45 Prktyk Progrm dl Bison Początek pliku dl Bison: %{ #include <stdio.h> #include <mth.h> #include <ctype.h> #define YYTYPE double int yylex (void); void yyerror (chr const *); %} %token NUM V1.0 40/ 45
11 Prktyk Grmtyk dl Bison Grmtyk dl wyrżeń w odwrotnej notcji polskiej (ng. reverse polish nottion RPN): input: /* empty */ input line ; line: \n exp \n { printf ("%.10g\n", $1); } ; exp: NUM { $$ = $1; } exp exp + { $$ = $1 + $2; } exp exp - { $$ = $1 - $2; } exp exp * { $$ = $1 * $2; } exp exp / { $$ = $1 / $2; } exp exp ^ { $$ = pow ($1, $2); } exp n { $$ = -$1; } ; V1.0 41/ 45 Prktyk Anliz leksykln Anliz leksykln z pomocą włsnej funkcji yylex: int yylex (void) { int c; while ((c = getchr ()) == c == \t ) continue; if (c ==. isdigit (c)) { ungetc (c, stdin); scnf ("%lf", &yylvl); return NUM; } if (c == EOF) return 0; } return c; V1.0 42/ 45 Prktyk Normlny klkultor Początek pliku dl Bison w klkultorze infinixowym : %{ #define YYTYPE double #include <mth.h> #include <stdio.h> int yylex (void); void yyerror (chr const *); %} %token NUM %left - + %left * / %left NEG /* negtion--unry minus */ %right ^ /* exponentition */ V1.0 43/ 45 Prktyk Grmtyk normlnego klkultor = 5 input: /* empty */ input line ; line: \n exp \n { printf ("\t%.10g\n", $1); } ; exp: NUM { $$ = $1; } exp + exp { $$ = $1 + $3; } exp - exp { $$ = $1 - $3; } exp * exp { $$ = $1 * $3; } exp / exp { $$ = $1 / $3; } - exp %prec NEG { $$ = -$2; } exp ^ exp { $$ = pow ($1, $3); } ( exp ) { $$ = $2; } ; V1.0 44/ 45
12 A z tydzień n wykłdzie W nstępnym tygodniu między innymi 1. postć normln Chomsky ego, 2. lgorytm CYK, 3. utomty stosowe, 4. interpreter język. Dziękuje z uwgę!!! V1.0 45/ 45
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowo4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Bardziej szczegółowo4.3. Przekształcenia automatów skończonych
4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony
Bardziej szczegółowoLista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Mtemtyczne Podstwy Informtyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informtyki Teoretycznej i Stosownej Politechnik Częstochowsk Rok kdemicki 2013/2014 Podstwowe pojęci teorii utomtów I Alfetem jest nzywny
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoJĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE
ZBIÓR ZADAŃ do WYKŁADU prof. Tdeusz Krsińskiego JĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE rozdził 2. Automty skończone i języki regulrne Wyrżeni i języki regulrne Zdnie 2.1. Wypisz wszystkie słow nleżące do
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoBadanie regularności w słowach
Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,
Bardziej szczegółowoProgramy współbieżne
Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty
Bardziej szczegółowoJest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.
Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia automatów skończonych
Przeksztłceni utomtów skończonych Teori utomtów i języków formlnych Dr inŝ. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Konstrukcj utomtu skończonego n podstwie wyrŝeni regulrnego (lgorytm Thompson) Wejście: wyrŝenie
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoPodstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania obiektowego
1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, utomty i oliczeni Wykłd 5: Wricje n temt utomtów skończonych Słwomir Lsot Uniwersytet Wrszwski 25 mrc 2015 Pln Automty dwukierunkowe (Niedeterministyczny) utomt dwukierunkowy A = (A,,, Q, I, F,
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoWszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Bardziej szczegółowo1 Ułamki zwykłe i dziesiętne
Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoJest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.
Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni
Bardziej szczegółowoNauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka
Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoOd lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.
1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoSTYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie
I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowosymbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia
Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoKOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy
KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoRBD Relacyjne Bazy Danych
Wykłd 6 RBD Relcyjne Bzy Dnych Bzy Dnych - A. Dwid 2011 1 Bzy Dnych - A. Dwid 2011 2 Sum ziorów A i B Teori ziorów B A R = ) ( Iloczyn ziorów A i B ( ) B A R = Teori ziorów Różnic ziorów ( A) i B Iloczyn
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE
ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE DAS Deterministyczny Automt Skończony Zdnie Niech M ędzie DAS tkim że funkcj przejści: Q F ) podj digrm stnów dl M ) które ze słów nleżą do język kceptownego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowoGramatyki regularne. Teoria automatów i języków formalnych. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Grmtyki regulrne Teori utomtów i języków formlnych Dr inż. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Grmtyki regulrne G = < V,Σ,P, > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i ) U xw (
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Bardziej szczegółowo4.2. Automat skończony
4.2. Automt skończony Przykłd: Rozwżmy język nd lfetem inrnym T = {0, } skłdjący się z łńcuchów zero-jedynkowych o tej włsności, że licz zer w kżdym łńcuchu jest przyst i licz jedynek w kżdym łńcuchu też
Bardziej szczegółowobezkontekstowa generujac X 010 0X0.
1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow
Bardziej szczegółowoWykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne
Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się
Bardziej szczegółowoZaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych
Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoLaboratorium z metod numerycznych. = ewaluacja (wyliczenie) wyrażenia - wyświetlenie wyniku
(C) - by &J. Wąs & L.Dutkiewicz & Lbortorium z metod numerycznych.. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD- Uwg: Instrukcj do ćwiczeń sporządzon jest w progrmie MthCd, nleży wygenerowć w rmch ćwiczeni podobny
Bardziej szczegółowo1 Wprowadzenie do automatów
Dr inż. D.W. Brzeziński - Automty skończone, mszyn Turing. Lingwistyk mtemtyczn - ćwiczeni. Mteriły pomocnicze. Prowdzący: dr inż. Driusz W Brzeziński 1 Wprowdzenie do utomtów Automty skończone to urządzeni
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoLaboratorium z metod numerycznych.
Lbortorium z metod numerycznych.. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD- Uwg: Instrukcj do ćwiczeń sporządzon jest w progrmie MthCd, nleży wygenerowć w rmch ćwiczeni podobny dokument zwierjący: Opisy, Obliczeni,
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Bardziej szczegółowoLegenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny
Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni
Bardziej szczegółowoWeryfikacja modelowa jest analizą statyczną logiki modalnej
Weryfikcj modelow jest nlizą sttyczną logiki modlnej Mrcin Sulikowski MIMUW 15 grudni 010 1 Wstęp Weryfikcj systemów etykietownych 3 Flow Logic 4 Weryfikcj modelow nliz sttyczn Co jest czym czego? Weryfikcj
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego
Hierarchia Chomsky ego Gramatyki nieograniczone Def. Gramatyką nieograniczoną (albo typu 0) nazywamy uporządkowaną czwórkę G= gdzie: % Σ - skończony alfabet symboli końcowych (alfabet, nad którym
Bardziej szczegółowo