Matematyczne Podstawy Informatyki

Transkrypt

1 Mtemtyczne Podstwy Informtyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informtyki Teoretycznej i Stosownej Politechnik Częstochowsk Rok kdemicki 2013/2014

2 Podstwowe pojęci teorii utomtów I Alfetem jest nzywny skończony, niepusty ziór symoli. Njczęściej lfet jest oznczny symolem Σ. Łńcuch (słowo) to skończony ciąg symoli z określonego lfetu (zzwyczj zpisuje się je ez odstępów i przecinków). Łńcuch pusty to łńcuch z zerową liczą wystąpień symoli. Njczęściej łńcuch pusty oznczny jest symolem ɛ. Długość łńcuch to licz znków w określonym słowie. Długość łńcuch s jest oznczn symolem s. Długość słow pustego jest równ 0.

3 Podstwowe pojęci teorii utomtów II Słowo x jest podsłowem słow y, jeżeli istnieje spójny frgment x w słowie y (y zwier, w którymś miejscu x). Konktencją uv dwóch słów u = 1... m orz v = 1... n jest nzywne słowo zdefiniowne jko 1... m 1... n. Jeżeli słowo x jest konktencją uv, to u jest nzywne prefiksem(przedrostkiem) słow x. Jeżeli słowo x jest konktencją uv, to w jest nzywne postfiksem(przyrostkiem) słow x. Ziór wszystkich słów n lfetem Σ jest oznczny Σ. Ziór wszystkich niepustych słów n lfetem Σ jest oznczny Σ +.

4 Podstwowe pojęci teorii utomtów III 1. Σ x = {, }: Σ + x = , Σ x = ɛ = ɛ + Σ w = c v = cde: wv = ccde, vw = cdec. 3. Słowo cde: Prefiksy: {,, c, cd, cde}. Sufiksy: {e, de, cde, cde, cde}

5 Automt skończony Automt skończony - jest to system modelowny formlnie. Automt skończony zpmiętuje skończoną ilość informcji (zwierją skończoną liczę stnów). Informcje są reprezentowne przez stny - kżdy stn posid swoją nzwę, reprezentuje co zostło wykonne (historię opercji). Stny zmieniją się w zleżności od wejści (czytnych znków, pojwijących się zdrzeń). Reguły opisujące jk stny zmieniją się w zleżności od wejści są nzywne trnzycjmi.

6 Zstosowni utomtów skończonych Projektownie i weryfikcj ukłdów elektronicznych i protokołów komunikcyjnych (np. protokołów kryptogrficznych). Przetwrznie tekstu (np. wyszukiwnie i zstępownie określonych frz). Anliz leksykln w kompiltorch - rozpoznwnie słów kluczowych, identyfiktorów, komentrzy, łńcuchów znków itp. Wyszukiwnie wzorców zdrzeń.

7 Deterministyczny utomt skończony I Deterministyczny utomt skończony to uporządkown piątk DAS = (Q, Σ, δ, q 0, F ), gdzie: 1. Q to skończony ziór stnów, 2. Σ to skończony ziór symoli wejściowych, 3. δ to funkcj przejści, któr przyjmuje jko rgumenty stn i symol wejściowy i zwrc stn, 4. q 0 to stn początkowy (jeden ze stnów ze zioru Q), 5. F to ziór stnów końcowych (kceptujących).

8 Deterministyczny utomt skończony II Automt DAS kceptuje słowo w jeżeli po przeczytniu wszystkich symoli skłdjących się n w znjdzie się w stnie kceptującym (jednym ze stnów ze zioru F). Automt DAS odrzuc słowo w jeżeli po przeczytniu wszystkich symoli skłdjących się n w nie znjdzie się w stnie kceptującym. Język J jest językiem regulrnym jeżeli jest rozpoznwny przez pewien deterministyczny utomt skończony.

9 Deterministyczny utomt skończony III Sterownie utomtu n Automt czyt symol i i sprwdz czy w dnym stnie w którym się znjduje (q i ) istnieje przejście do stnu q i+1 pod wpływem symolu ( i ), jeżeli tk to zmieni stn n q i+1, tśm się przesuw i czytny jest nstępny symol i proces się powtrz ż osiągnie się koniec tśmy.

10 Deterministyczny utomt skończony IV Automt DAS kceptuje słowo w ( 1, 2,..., n ), jeżeli istnieje ciąg stnów s 0, s 1,.., s n gdzie: s 0 = q 0, δ(si, i+1 ) = s i+1 dl i < n, sn F. Automt DAS rozpoznje język J, jeżeli: J = {w Σ DAS kceptuje w}

11 Deterministyczny utomt skończony q1 q2 Q = {q1, q2}, Σ = {, } δ jest opisn telą: q1 q1 q2 q2 q1 q2 q 0 = q1 F = {q2}.

12 Przykłdy DAS I Automt rozpoznjący słow kończące się jedynką: 0 1 A 1 0 B

13 Przykłdy DAS II Automt rozpoznjący słow zwierjące przynjmniej jedną jedynkę n końcu lu przystą liczę zer: 0 1 A 1 B 0 0,1 C

14 Niedeterministyczny utomt skończony Niedeterministyczny utomt skończony to uporządkown piątk NAS = (Q, Σ, δ, q 0, F ), gdzie: 1. Q to skończony ziór stnów, 2. Σ to skończony ziór symoli wejściowych, 3. δ to funkcj przejści, któr przyjmuje jko rgumenty stn i symol wejściowy i zwrc podziór stnów Q, 4. q 0 to stn początkowy (jeden ze stnów ze zioru Q), 5. F to ziór stnów końcowych (kceptujących).

15 Niedeterminizm I Z dowolnego stnu może yć więcej niż jedno przejście pod wpływem przeczytnego symolu (możn przejść do więcej niż jednego stnu). Niedeterminizm może yć trktowny jko oliczeni równoległe - wiele niezleżnych od sieie procesów dził jednocześnie. Słowo jest kceptowne, gdy przynjmniej jeden z procesów rozpoznł słowo. Niedeterminizm może yć opisywny przez drzewo oliczeń. Słowo jest kceptowne, gdy przynjmniej jedn z głęzi kończy się w stnie kceptującym.

16 Niedeterminizm II Automt NAS kceptuje słowo w ( 1, 2,..., n ), jeżeli istnieje ciąg stnów s 0, s 1,.., s n gdzie: s 0 = q 0, si+1 δ(s i, i+1 ) dl i < n, sn F. Automt NAS rozpoznje język J, jeżeli: J = {w Σ NAS kceptuje w}

17 Niedeterministyczny utomt skończony q1, q2 Q = {q1, q2}, Σ = {, } δ jest opisn telą: q1 {q1,q2} {q2} q2 {q1} {q2} q 0 = q2 F = {q2}.

18 Niedeterministyczny utomt skończony q2 q1 q1 q2 q1 q2 q1 q2 q2 q1

19 Równowżność utomtów skończonych I 1. Dw utomty są soie równowżne wtedy i tylko wtedy, gdy rozpoznją ten sm język. 2. Dl kżdego niedeterministycznego utomtu skończonego możn podć równowżny mu deterministyczny utomt skończony rozpoznjący ten sm język. 3. Dl kżdego deterministycznego utomtu skończonego możn podć równowżny mu niedeterministyczny utomt skończony rozpoznjący ten sm język. 4. Język jest regulrny wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozpoznwny przez pewien niedeterministyczny utomt skończony.

20 Równowżność utomtów skończonych II Algorytm konstrukcji deterministycznego utomtu skończonego z niedeterministycznego. NFA = (Q, Σ, δ, q 0, F ), DFA = (Q, Σ, δ, q 0, F ) 1. Q = P(Q), gdzie P(Q) jest ziorem potęgowym zioru Q, zwier wszystkie podziory zioru Q, 2. Stn q 0 = {q 0}, 3. δ (R, ) = δ(r, ), gdzie R Q Σ, r R 4. Ziór F = {R Q R zwier stn kceptujący NFA}.

21 Przykłd przeksztłceni NAS do DAS I p {p, q} {p} q {r} r, p q r

22 Przykłd przeksztłceni NAS do DAS II {p} {p, q} {p} {q} {r} {r} {p, q} {p, q} {p, r} {p, r} {p, q} {p} {q, r} {r} {p, q, r} {p, q} {p, r}

23 Przykłd przeksztłceni NAS do DAS III, O {q,r} {p,q,r}, {p} {p,q} {r} {q} {p,r}

24 Przykłd przeksztłceni NAS do DAS IV {p} {p,q} {p,r}

25 Przykłd przeksztłceni NAS do DAS V A B C

26 Automt z epsilon przejścimi Niedeterministyczny utomt skończony to uporządkown piątk NAS = (Q, Σ, δ, q 0, F ), gdzie: 1. Q to skończony ziór stnów, 2. Σ to skończony ziór symoli wejściowych, 3. δ to funkcj przejści, któr przyjmuje jko rgumenty stn i symol wejściowy lu symol ɛ i zwrc podziór stnów Q, 4. q 0 to stn początkowy (jeden ze stnów ze zioru Q), 5. F to ziór stnów końcowych (kceptujących).

27 Przykłd utomtu eps,+, A B C D F B.

28 Litertur Do npisni mteriłów wykorzystno: 1. M. Sipser Wprowdzenie do teorii oliczeń, WNT J.E. Hopcroft, R. Motwni, J.D. Ullmn Wprowdzenie do teorii, utomtów, języków i oliczeń, PWN J.D. Ullmn Automt - wykłd Courser.org