RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Transkrypt

1 RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 489, są funkcjmi pierwotnymi dl funkcji f n przedzile (, ). Funkcj pierwotn funkcji elementrnej nie musi być funkcją elementrną. Możn bowiem pokzć, że funkcje pierwotne dl funkcji: e x2, sin x, + x x 3 nie są funkcjmi elementrnymi. Nie kżd funkcj posid funkcję pierwotną. Funkcj f (x) = sgnx n przedzile (, ) nie m funkcji pierwotnej. Twierdzenie. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I. Wtedy (i) funkcj G określon wzorem G (x) = F (x) + C dl x I, gdzie C jest pewną liczbą rzeczywistą, też jest funkcją pierwotną funkcji f; (ii) kżdą funkcję pierwotną funkcji f n przedzile I możn przedstwić w postci F (x) + C dl pewnego C R. Twierdzenie 2. Jeżeli funkcj jest ciągł n przedzile, to m funkcję pierwotną n tym przedzile. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I. Cłką nieoznczoną funkcji f n przedzile I nzywmy zbiór {F (x) + C : C R} wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f n przedzile I i oznczmy ją symbolem f (x) dx lub krótko f. W dlszej części wykłdu we wzorch dl cłek nieoznczonych opuszczć będziemy nwisy klmrowe pisząc krócej f (x) dx = F (x) + C.

2 Uwg. Jeżeli funkcj f m funkcję pierwotną n przedzile I, to ( f (x) dx) = f (x) dl kżdego x I. Odwrotnie, jeżeli funkcj f m pochodną f n przedzile I, to istnieje tkie C R, że f (x) dx = f (x) + C dl kżdego x I. Ze wzorów n pochodne funkcji wynikją poniższe wzory dl cłek. 0 dx = C x α dx = xα+ α+ + C, dl α x dx = dx = ln x + C x e x dx = e x + C x dx = x ln + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C cos 2 x sin 2 x dx = tg x + C dx = ctg x + C +x 2 dx = rctgx + C x 2 dx = rcsin x + C Twierdzenie 3. (O liniowości cłki nieoznczonej) Jeżeli cłki nieoznczone f (x) dx orz g (x) dx istnieją, to zchodzą równości. (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx, 2. (f (x) g (x)) dx = f (x) dx g (x) dx, 3. C f (x) dx = C f (x) dx, gdzie C jest stłą rzeczywistą. Przykłdy. 3 x + x ) 2 dx = x ( ) x 2 + x 2 3 dx = x 2 dx + x 3 dx = 2x x C 2

3 b) (3x 2 6x + 5 2x ) dx = 3x 2 dx 2 = 3 x 2 dx 6 xdx + 5 dx 2 = x 3 3x 2 + 5x + 2 x + C c) ( 3e x cos x + 2 ) dx = 3 x e x dx 6xdx + 5dx 2 x 2 dx = x 2 dx = 3 3 x3 6 2 x2 + 5 x 2 ( ) x + C = cos xdx + 2 x dx = 3ex sin x + 2 ln x + C Twierdzenie 4. (O cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje f i g mją ciągłe pochodne w przedzile I, to dl kżdego x I f (x) g (x) dx = f (x) g (x) f (x) g (x) dx. Przykłdy. { } f (x) = x, g ) xe x dx = (x) = e x, f (x) =, g (x) = e x = xe x, e x dx = xe x e x + C { } f (x) = x, g b) x sin xdx = (x) = sin x, f = x cos x (x) =, g (x) = cos x, = x cos x + cos xdx = x cos x + sin x + C ( cos x) dx = c) { f (x) = ln x, g ln xdx = (x) =, f (x) =, g (x) = x, x } = x ln x x dx = x ln x x dx = x ln x x + C Twierdzenie 5. (O cłkowniu przez podstwienie) Złóżmy, że funkcj f : I R jest ciągł n przedzile I, zś funkcj g : J I m ciągłą pochodną n przedzile J. Wtedy f (g (x)) g (x) dx = f (u) du. Przykłdy. dx ) = {u = x + 3, du = dx} = x + 3 du = u u 2 du = 2u 2 + C = 2 x C b) xdx 3 {u x2 5 = = x 2 5, du = 2xdx, = 3 ( ) 3 2 x2 5 + C 4 } du = xdx = 2 du 2 3 = u 2 u 3 du = u C = 3

4 f (x) du c) f (x) dx = {u = f (x), du = f (x) dx} = u = ln u + C = ln f (x) + C d) { x + b dx = u = x + b, du = dx, } du = dx = du u = ln u + C = = ln x + b + C, dl 0 CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA Niech f będzie funkcją określoną i ogrniczoną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. () Podzielmy przedził [, b] n n dowolnych części punktmi x 0, x,..., x n tk, by = x 0 < x <... < x n = b i oznczmy przez x i długość przedziłu [x i, x i ], tzn. x i = x i x i, dl i =, 2,..., n. Tk określony podził przedziłu [, b] będziemy oznczć przez P n, tj. P n = {[x 0, x ], [x, x 2 ],..., [x n, x n ]}. (2) Dokonnemu podziłowi P n przedziłu [, b] odpowid liczb którą nzywć będziemy średnicą podziłu P n. δ n (P n ) = mx { x, x 2,..., x n }, (3) W kżdym przedzile [x i, x i ] obierzmy dowolny punkt c i zwny punktem pośrednim, gdzie i =, 2,..., n, i obliczmy wrtości funkcji f w tych punktch. (4) Utwórzmy sumę S n = f (c ) x + f (c 2 ) x f (c) x n = n f (c i ) x i. i= Sumę tę będziemy nzywć sumą cłkową Riemnn. Jeżeli pondto złożymy, że f jest funkcją nieujemną i ciągłą n przedzile [, b], to sum cłkow S n jest przybliżeniem pol tzw. trpezu krzywoliniowego ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 orz wykresem funkcji f (czyli krzywą y = f (x)). 4

5 Ciąg (P n ) n N podziłów przedziłu [, b] nzywmy normlnym ciągiem podziłów, jeżeli lim δ n (P n ) = 0. n Przykłdowo podziły przedziłu [, b] n n równych części (n =, 2, 3,...) tworzą normlny ciąg podziłów tego przedziłu. Jeżeli dl kżdego normlnego ciągu podziłów przedziłu [, b], ciąg sum cłkowych (S n ) n N jest zbieżny - i to zwsze do tej smej grnicy - bez względu n wybór ciągu podziłów i wybór punktów pośrednich, to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną (cłką Riemnn) funkcji f n przedzile [, b] i oznczmy symbolem b O funkcji f mówimy wtedy, że jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile [, b]. Liczby i b nzywmy odpowiednio dolną i górną grnicą cłkowni. W przedstwionej definicji cłki oznczonej złożyliśmy, że funkcj f jest ogrniczon. Funkcje cłkowlne są więc ogrniczone. Określjąc cłkę oznczoną przyjęliśmy również, że < b. Rozszerzymy definicję n przypdki = b i > b, przyjmując f (x) dx = 0 orz b f (x) dx = b Twierdzenie. Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], to funkcj t jest cłkown w sensie Riemnn n tym przedzile. Wniosek. Jeśli f jest funkcją nieujemną i ciągłą n przedzile [, b], to pole S trpezu krzywoliniowego, tj. zbioru ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 orz wykresem funkcji f wyrż się wzorem S = b Twierdzenie 2. (i) Jeżeli funkcj f jest ogrniczon w przedzile [, b] i m w tym przedzile skończoną liczbę punktów nieciągłości, to funkcj f jest cłkowln n tym przedzile. (ii) Jeżeli funkcj f jest cłkowln w przedzile [, b], zś funkcj g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziłu, to funkcj g również jest cłkowln n przedzile [, b] orz b g (x) dx = b 5

6 Twierdzenie 3. Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n przedzile [, b], to funkcje f + g, f g, c f (c = const) również są cłkowlne n przedzile [, b] i zchodzą równości b (f (x) + g (x)) dx = b f (x) dx + b g (x) dx, b (f (x) g (x)) dx = b f (x) dx b g (x) dx, b c f (x) dx = c b Twierdzenie 4. Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b] orz c [, b], to funkcj f jest tkże cłkowln n przedziłch [, c] i [c, b] orz zchodzi równość b f (x) dx = c f (x) dx + b c Twierdzenie 5. Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n przedzile [, b], gdzie < b, orz f (x) g (x) dl x [, b], to b f (x) dx b g (x) dx. Twierdzenie 6. Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b], gdzie < b, to b b f (x) dx f (x) dx. Twierdzenie 7. Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b], gdzie < b, zś liczby m, M są tkie, że m f (x) M dl x [, b], to m (b ) b f (x) dx M (b ). Twierdzenie 8. (O wrtości średniej) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [, b], to istnieje tki punkt c (, b), że Wielkość b f (c) = b b b f (x) dx nzywmy wrtością średnią funkcji f n przedzile [, b]. 6

7 Złóżmy terz, że funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b]. Rozwżmy funkcję F : [, b] R określoną wzorem F (x) = x f (t) dt dl x [, b]. () Twierdzenie 9. Funkcj F określon wzorem () jest ciągł n przedzile [, b]. Pondto, jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 [, b], to funkcj F jest różniczkowln w tym punkcie orz F (x 0 ) = f (x 0 ). Wniosek. Kżd funkcj f, ciągł n przedzile [, b], m w tym przedzile funkcję pierwotną. Jest nią n przykłd funkcj F : [, b] R określoną wzorem F (x) = x f (t) dt dl x [, b]. Twierdzenie 0. (Newton-Leibniz; Podstwowe twierdzenie rchunku cłkowego) Jeżeli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej n przedzile [, b], to b f (x) dx = F (b) F (). Oznczjąc różnicę F (b) F () symbolem [F (x)] b osttni wzór możn zpisć w postci b f (x) dx = [F (x)] b. Twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g mją ciągłe pochodne w przedzile [, b], to b b f (x) g (x) dx = [f (x) g (x)] b f (x) g (x) dx. Twierdzenie 2. Złóżmy, że f jest funkcją ciągłą w przedzile [, b], funkcj g : [c, d] [, b] spełni wrunki (i) g (c) = i g (d) = b, (ii) g m ciągłą pochodną w przedzile [c, d]. Wtedy zchodzi równość d c f (g (t)) g (t) dt = b 7

8 ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH. Przykłdy zstosowń cłek oznczonych w geometrii. Pole obszru płskiego Złóżmy, że f, g : [, b] R, gdzie, b R, < b, są tkimi funkcjmi ciągłymi n przedzile [, b], że f (x) g (x) dl kżdego x [, b]. Wtedy pole obszru D R 2 ogrniczonego prostymi x =, x = b i wykresmi funkcji y = f (x) i y = g (x), czyli obszru D = { (x, y) R 2 : x b, f(x) y g(x) } wyrż się wzorem D = b (g (x) f (x)) dx..2 Długość łuku krzywej płskiej () Złóżmy, że funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Wtedy długość L łuku krzywej y = f (x) leżącej nd przedziłem [, b], czyli L = { (x, y) R 2 : x b, y = f(x) } wyrż się wzorem L = b + [f (x)] 2 dx. (b) Złóżmy, że funkcje x = x(t) i y = y(t) mją ciągłe pochodne w przedzile [α, β], gdzie α, β R, α < β. Długość łuku krzywej zdnej równnimi prmetrycznymi x = x(t), y = y(t), x [α, β] wyrż się wzorem L = β α [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt. 8

9 .3 Objętość bryły obrotowej () Niech f : [, b] R, gdzie, b R, < b, będzie nieujemną funkcją ciągłą, zś G obszrem ogrniczonym wykresem funkcji f orz prostymi x =, x = b, y = 0, tj. G = {(x, y) : x b, 0 y f (x)}. Wtedy objętość V bryły B X powstłej z obrotu obszru G wokół osi OX wyrż się wzorem V = π b [f (x)] 2 dx. (b) Niech f : [, b] R, gdzie, b R, 0 < < b, będzie nieujemną funkcją ciągłą, zś G obszrem ogrniczonym wykresem funkcji f orz prostymi x =, x = b, y = 0. Objętość bryły B Y powstłej z obrotu obszru G wokół osi OY wyrż się wzorem V = 2π b x.4 Pole powierzchni bryły obrotowej () Niech f : [, b] R, gdzie, b R, < b, będzie nieujemną funkcją posidjącą ciągłą pochodną w przedzile [, b]. Niech pondto krzyw K będzie wykresem funkcji f, tj. K = {(x, y) : x b, y = f (x)}. Wtedy pole S bryły P X powstłej z obrotu krzywej K wokół osi OX wyrż się wzorem S = 2π b f (x) + [f (x)] 2 dx. () Niech f : [, b] R, gdzie, b R, 0 < < b, będzie nieujemną funkcją posidjącą ciągłą pochodną w przedzile [, b]. Niech pondto krzyw K będzie wykresem funkcji f, tj. K = {(x, y) : x b, y = f (x)}. Wtedy pole S bryły P Y powstłej z obrotu krzywej K wokół osi OY wyrż się wzorem S = 2π b x + [f (x)] 2 dx. 9

10 że 2. Przykłdy zstosowń cłek oznczonych w mechnice 2. Moment sttyczny, moment bezwłdności i środek ciężkości figury płskiej Złóżmy, że f jest funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Przyjmijmy, A = (, f()), A = (, 0), B = (b, f(b)), B = (b, 0). Rozwżmy figurę płską AA BB ogrniczoną krzywą AB będącą wykresem funkcji f n przedzile [, b], odcinkiem A B osi Ox orz prostymi x = i x = b, tj. AA BB = { (x, y) R 2 : x b, 0 y f(x) }. Złóżmy, że ms jest rozłożon n tej figurze równomiernie, tk że gęstość powierzchniow ρ (tj. ms przypdjąc n jednostkę pol) jest stł. () Moment sttyczny M x figury AA BB względem osi 0x wyrż się wzorem M x = b 2 ρ [f (x)] 2 dx. (b) Moment sttyczny M y figury AA BB względem osi 0y wyrż się wzorem M y = ρ b x (c) Moment bezwłdności I x figury AA BB względem osi 0x wyrż się wzorem I x = b 3 ρ [f (x)] 3 dx. (d) Współrzędne (ξ, η) środk ciężkości figury AA BB wyrżją się, odpowiednio, wzormi ξ = b b xf (x) dx, η = f (x) dx 2 b [f (x)]2 dx. f (x) dx b że 2.2 Moment bezwłdności i środek ciężkości bryły obrotowej Złóżmy, że f jest funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Przyjmijmy, A = (, f()), A = (, 0), B = (b, f(b)), B = (b, 0). Rozwżmy figurę płską AA BB ogrniczoną krzywą AB będącą wykresem funkcji f n przedzile [, b], odcinkiem A B osi Ox orz prostymi x = i x = b, tj. AA BB = { (x, y) R 2 : x b, 0 y f(x) }. Niech V będzie bryłą obrotową powstłą przez obrót figury płskiej AA BB wokół osi Ox. Złóżmy, że gęstość przestrzenn σ (tj. ms przypdjąc n jednostkę objetości) jest stł. 0

11 () Moment bezwłdności I x bryły V wyrż się wzorem I x = b 2 πσ [f (x)] 4 dx. (b) Środek ciężkości bryły V leży n osi Ox, jego współrzędne (ξ, η) są określone nstępująco ξ = b x [f (x)]2 dx b [f (x)]2 dx, η = Moment sttyczny, moment bezwłdności i środek ciężkości łuku krzywej płskiej Złóżmy, że funkcj f m ciągłą pochodną i jest nieujemną n przedzile [, b], gdzie, b R, < b. Niech K będzie łukiem krzywej y = f(x) n przedzile [, b]. Pondto złóżmy, że gęstość liniow λ (tj. ms przypdjąc n jednostkę długości) jest stł. () Moment sttyczny M x łuku krzywej K względem osi 0x wyrż się wzorem M x = λ b f(x) + [f (x)] 2 dx. (b) Moment bezwłdności I x łuku krzywej K względem osi 0x wyrż się wzorem I x = λ b [f(x)] 2 + [f (x)] 2 dx. (c) Współrzędne (ξ, η) środk ciężkości łuku krzywej K wyrżją się, odpowiednio, wzormi ξ = b x + [f (x)] 2 dx, η = + [f (x)] 2 dx b b f (x) + [f (x)] 2 dx. + [f (x)] 2 dx b

12 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE Niech funkcj f będzie określon w przedzile [, + ) i cłkowln w kżdym przedzile [, t] [, + ). Ztem t f (x) dx istnieje dl kżdego t >. Grnicę lim f (x) dx (skończoną lub nie) nzywmy cłką niewłściwą funkcji f n przedzile t t [, + ) i oznczmy symbolem Wobec tego f (x) dx = lim t t W przypdku, gdy t grnic jest skończon, mówimy, że cłk funkcji f n przedzile [, + ) jest zbieżn. Jeżeli ntomist grnic jest niewłściw lub nie istnieje, to cłk jest rozbieżn. Cłkę niewłściwą funkcji f w przedzile (, b] definiujemy podobnie. Niech funkcj f będzie cłkowln w kżdym przedzile [u, b] (, b]. Mmy wtedy b f (x) dx = lim u b u W przypdku, gdy funkcj f jest określon w przedzile (, + ) i cłkowln n kżdym przedzile domkniętym i ogrniczonym, to wtedy cłkę niewłściwą funkcji f w przedzile (, + ) określmy nstępująco f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx = lim u c u f (x) dx + lim t t c f (x) dx, o ile obie cłki (grnice) występujące po prwej stronie równości istnieją, dodwnie jest wykonlne. Możn wykzć, że istnienie i wrtość cłki występującej po lewej stronie równości nie zleży od wyboru c R. c c b Złóżmy terz, że funkcj f jest nieogrniczon n przedzile [, b), le jest ogrniczon i cłkowln n kżdym przedzile [, c] [, b). Grnicę lim f (x) dx (skończoną lub nie) nzywmy cłką niewłściwą funkcji f n przedzile [, b) i oznczmy symbolem b Wobec tego b f (x) dx = lim c b c W przypdku, gdy t grnic jest skończon, mówimy, że cłk funkcji f n przedzile [, b) jest zbieżn. Jeżeli ntomist grnic jest niewłściw lub nie istnieje, to cłk jest rozbieżn. I nlogicznie, niech funkcj f będzie ogrniczon i cłkowln n kżdym przedzile [c, b], gdzie < c < b, le nieogrniczon n przedzile (, b]. Wtedy cłkę niewłściwą funkcji f w przedzile (, b] definiujemy nstępująco b f (x) dx = lim c + b c 2