Badanie regularności w słowach

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Badanie regularności w słowach"

Transkrypt

1 Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik

2 Edsger Wybe Dijkstr ( ) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes, biology is bout microscopes or chemistry is bout bekers nd test tubes. Science is not bout tools, it is bout how we use them nd wht we find out when we do. N 2 / 41

3 Wstęp lfbety i słow lfbet Σ skończony zbiór symboli słowo skończony ciąg symboli ze zbioru Σ Przykłdy Σ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 15432, 48, , Σ = {, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s, t, u, w, z} kot, pies, dom, drzewo Σ = {,,,,, },,, 3 / 41

4 Wstęp Monoid słów Σ zbiór wszystkich skończonych słów nd lfbetem Σ Konktencj: m b 1 b 2... b n = m b 1 b 2... b n Łączność: (x y) z = x (y z) Element neutrlny ε (słowo puste): x ε = ε x = x 4 / 41

5 Wstęp Fktor Słowo w jest fktorem słow u jeśli u = x w y Przykłd: fktor: prefiks: sufiks: b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 5 / 41

6 Wstęp Morfizm φ : M 1 M 2 x, y M φ(x y) = φ(x) φ(y) Przykłd M 1 = (Σ, ), M 2 = (Z, +) φ : M 1 M 2 φ(x) = x 6 / 41

7 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41

8 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41

9 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41

10 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b Oznczeni ρ(w) liczb mksymlnych powtórzeń w słowie w { } ρ(n) = mx ρ(w) : w = n 7 / 41

11 Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 8 / 41

12 Mksymlne powtórzeni Wrtości ρ(n) dl 10 n 20 n ρ(n) ρ(n)/n Słowo bbbb bbbbb bbbb bbbb , bbbbbb bbbbbb bbbbbb bbbbbbbb bbbbbbbb bbbbbbb bbbbbbbb 9 / 41

13 Mksymlne powtórzeni Wrtości ρ(n) dl 21 n 31 n ρ(n) ρ(n)/n Słowo bbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb 10 / 41

14 Mksymlne powtórzeni oszcownie. Kolpkov, G. Kucherov (1999) n>0 ρ(n) c n lgorytm znjdowni wszystkich mksymlnych powtórzeń w słowie długości n dziłjący w czsie O(n) Hipotez n>0 ρ(n) n 11 / 41

15 Mksymlne powtórzeni oszcownie n 12 / 41

16 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) n 12 / 41

17 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.44n ytter (2007) n 12 / 41

18 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) n 12 / 41

19 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) n 12 / 41

20 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n 12 / 41

21 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n n Frnek et l. (2003) 12 / 41

22 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n n Kusno et l. (2008) n Frnek et l. (2003) 12 / 41

23 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n Kusno et l. (2008) n Frnek et l. (2003) 12 / 41

24 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n 13 / 41

25 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) 13 / 41

26 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) Sum wykłdników mksymlnych powtórzeń 2.035n se(n) 4.1n (Crochemore et l., 2011) 13 / 41

27 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) Sum wykłdników mksymlnych powtórzeń 2.035n se(n) 4.1n (Crochemore et l., 2011) Cłkowit długość mksymlnych powtórzeń n 2 8 TL(n) 47n2 72 (Glenn et l., 2013) 13 / 41

28 Definicj Słow Fiboncciego F 1 = b F 0 = F n = F n 1 F n 2 Przykłd F 1 = b f 1 = 2 F 2 = b f 2 = 3 F 3 = bb f 3 = 5 F 4 = bbb f 4 = 8 F 5 = bbbbb f 5 = 13 F 6 = bbbbbbbb f 6 = 21 F 7 = bbbbbbbbbbbbb f 7 = / 41

29 Słow Fiboncciego. Kolpkov, G. Kucherov (1999) n4 ρ(f n ) = 2 F n 2 3 symptotyk lim n ρ(f n ) F n = / 41

30 Słow stndrdowe Słow Fiboncciego F 1 = b F 0 = F k = F k 1 F k 2 Słow stndrdowe Sw(γ 0, γ 1,..., γ n ) x 1 = b x 0 = x k = x k 1 x k 1... x k 1 } {{ } γ k 1 x k 2 16 / 41

31 Słow stndrdowe γ = (1, 2, 1, 3, 1) x 1 = b x 0 = x 1 = (x 0 ) 1 x 1 = b x 2 = (x 1 ) 2 x 0 = b b x 3 = (x 2 ) 1 x 1 = bb b x 4 = (x 3 ) 3 x 2 = bbb bbb bbb bb x 5 = (x 4 ) 1 x 3 = bbbbbbbbbbb bbb Sw(1, 2, 1, 3, 1) = bbbbbbbbbbbbbb 17 / 41

32 Definicj Słow stndrdowe Dl ciągu kierunkowego γ = (γ 0, γ 1,..., γ n ) określmy h γi : { γ i b b dl 0 i n. 18 / 41

33 Definicj Słow stndrdowe Dl ciągu kierunkowego γ = (γ 0, γ 1,..., γ n ) określmy h γi : { γ i b b dl 0 i n. Sw(1) = h 1 () = b ( ) Sw(3, 1) = h 3 Sw(1) = b ( ) Sw(1, 3, 1) = h 1 Sw(3, 1) = bbbb ( ) Sw(2, 1, 3, 1) = h 2 Sw(1, 3, 1) = bbbbb ( ) Sw(1, 2, 1, 3, 1) = h 1 Sw(2, 1, 3, 1) = bbbbbbbbbbbbbb 18 / 41

34 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Słowo Christoffel (dolne): bbbbbbbbbbbbbb Słowo Christoffel (górne): bbbbbbbbbbbbbb Słow stndrdowe: bbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb 19 / 41

35 w = 33 w = 19 w b = 14 b b 20 / 41

36 w = 33 w = 19 w b = 14 b b 20 / 41

37 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b 20 / 41

38 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b 20 / 41

39 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b 20 / 41

40 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b 20 / 41

41 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b 20 / 41

42 w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 b b b 10 b b b b b b 3 b b b b b b b b b b b b b b b b b b 20 / 41

43 Ułmki łńcuchowe Definicj Ułmkiem łńcuchowym nzywmy wyrżenie postci: 1 0 +, n zpisywne w uproszczeniu jko [ 0 ; 1, 2, 3,..., n ]. 21 / 41

44 Ułmki łńcuchowe Przykłd / 41

45 Ułmki łńcuchowe Przykłd = / 41

46 Ułmki łńcuchowe Przykłd = = / 41

47 Ułmki łńcuchowe Przykłd = = = [1; 2, 1, 4] 22 / 41

48 Ułmki łńcuchowe Przykłd = = = = [1; 2, 1, 4] [1; 2, 1, 3, 1] 22 / 41

49 Słow stndrdowe Fkt Dl p q = [γ 0; γ 1,..., γ n ], gdzie p, q są względnie pierwsze, istnieje jednozncznie wyznczone słowo w {, b} tkie, że: 1 w = p 1 2 w b = q 1 3 Słowo b w jest dolnym słowem Christoffel. 4 Słowo w b jest górnym słowem Christoffel. 5 Jedno ze słów w b lub w b jest słowem stndrdowym zdnym przez ciąg kierunkowy γ = (γ 0,..., γ n ) 23 / 41

50 Słow Sturm Definicj Słow Sturm to nieskończone słow binrne, które zwierją dokłdnie n + 1 różnych podsłów długości n 0. b b b b b b b b b b b b b b... 1 b b b b b b b b b b b b b b... 2 b b b b b b b b b b b b b b... 3 b b b b b b b b b b b b b b... 4 b b b b b b b b b b b b b b / 41

51 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 Okres kżdego mksymlnego powtórzeni w słowie stndrdowym Sw(γ 0, γ 1,..., γ n ) jest postci u = (x i ) j x i 1, gdzie 0 i n orz 0 j < γ i. Oznczeni: Mksymlne powtórzeni z okresem nie dłuższym niż x 1 nzywmy krótkimi Mksymlne powtórzeni z okresem dłuższym niż x 2 nzywmy długimi Pozostłe mksymlne powtórzeni nzywmy średnimi 25 / 41

52 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 26 / 41

53 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Zlicznie mksymlnych powtórzeń Wzór n liczbę krótkich mksymlnych powtórzeń wyznczony w sposób bezpośredni. Wzór n liczbę średnich mksymlnych powtórzeń wyznczony w sposób bezpośredni. ekurencyjn zleżność dl długich mksymlnych powtórzeń. 27 / 41

54 i-prtition Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Kżde słowo stndrdowe Sw(γ 0,..., γ n ) może być reprezentowne w jednej z dwóch postci: x α1 i x i 1 x α2 i x i 1... x αs i x i 1 x i lub x β1 i x i 1 x β2 i x i 1... x βs i x i 1, gdzie α k, β k {γ i, γ i + 1}. x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 0 x 1 b b b b b b b b b b b b b b x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x 2 x 3 b b b b b b b b b b b b b b x 4 x 3 28 / 41

55 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Fkt Struktur wystąpień bloków x i (równowżnie x i 1 ) w reprezentcji i-prtition słow stndrdowego Sw(γ 0,..., γ n ) odpowid strukturze wystąpień liter (równowżnie liter b) w słowie Sw(γ m,..., γ n ). i i-prtition Sw(γ m,..., γ n ) 1 b b b b b b b b b b b b b b bbbbb 2 bb b bb b bb b bb bb b bbbb 3 bbb bbb bbb bb bbb b 4 bbbbbbbbbbb bbb b 29 / 41

56 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 Okresy długich mksymlnych powtórzeń w słowch stndrdowych synchronizują się z morfizmmi h i b b b b b b h 0 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 30 / 41

57 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter (γ) 1 γ 0 = γ 1 = 1 (γ 1 + 2) + + (γ) odd(n) γ 0 = 1; γ 1 > 1 ρ(w) = (γ) even(n) γ 0 > 1; γ 1 = 1 (2γ 1 + 1) (γ) γ 0 > 1; γ 1 > 1 = Sw(γ 2, γ 3,..., γ n ) = Sw(γ 3, γ 4,..., γ n ) (γ) = n 1 (γ γ n ) unry(γ n ) 31 / 41

58 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Wyznczenie wrtości Sw(γ 0,..., γ n ) x 1 0 x 0 1 x 1 γ 0 x 0 + x 1 x 2 γ 1 x 1 + x 0. x n+1 γ n x n + x n 1 32 / 41

59 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Wyznczenie wrtości Sw(γ 0,..., γ n ) x 1 0 x 0 1 x 1 γ 0 x 0 + x 1 x 2 γ 1 x 1 + x 0. x n+1 γ n x n + x n 1 (n + 1) rzy 32 / 41

60 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Słow z dużą liczbą mksymlnych powtórzeń v k = Sw(1, 2, k, k) v k = ( (bb) k b) kbb v k = 5k 2 + 2k + 5 ρ(v k ) = 4k 2 k + 3 ρ(v k ) v k / 41

61 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 n>0 ρ(n) 0.8 n ρ(n) lim n n = / 41

62 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 n>0 ρ(n) 0.8 n ρ(n) lim n n = 0.8 M. Piątkowski, W. ytter 2011 Zwrty wzór n liczbę mksymlnych powtórzeń kubicznych w słowch stndrdowych ρ (3) (n) lim n n = / 41

63 urrows-wheeler Trnsform WT Podstwy teoretyczne Dvid Wheeler, 1983 Zstosownie prktyczne Michel urrows, 1994 Podstw lgorytmu kompresji bzip2 35 / 41

64 urrows-wheeler Trnsform lgorytm K D Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe 36 / 41

65 urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe K D K D K D K D K D D K D K K D K D K D K D 36 / 41

66 urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe K D K D K D D K K D K D K D D K K D K D K D 36 / 41

67 urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wynik Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe ( D K, 3) K D K D K D D K K D K D K D D K K D K D K D 36 / 41

68 urrows-wheeler Trnsform Włsności WT Możn pozbyć się numeru wiersz w wyniku dodjąc n końcu kodownego słow znk specjlny. Użycie smej trnformty nie powoduje kompresji. Zmieni strukturę przetwrznych dnych powodując grupownie identycznych znków w bloki. Pozwl zwiększyć stopień kompresji przy użyciu innych lgorytmów. 37 / 41

69 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe 38 / 41

70 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K 38 / 41

71 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

72 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

73 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

74 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

75 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

76 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

77 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

78 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

79 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41

80 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D D K 38 / 41

81 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D D K 38 / 41

82 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D D K D K 38 / 41

83 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D D K D K 38 / 41

84 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K D K 38 / 41

85 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K D K 38 / 41

86 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - K D K D K 38 / 41

87 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - K D K D K 38 / 41

88 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - K D K D K 38 / 41

89 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - K D K D K 38 / 41

90 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K D K 38 / 41

91 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b 39 / 41

92 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41

93 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41

94 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41

95 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe Fkt Dl dowolnego słow stndrdowego w: WT (w) = b n k 40 / 41

96 Dziękuję z uwgę

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl Rok złożeni 1994 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, RADPOR 81-854-2860 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, 81-854-2860 www.rdpor.pl Ceny spirl introligtorskic DOUBLE-LOOP

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości

Bardziej szczegółowo

szkicuje wykresy funkcji: f ( x)

szkicuje wykresy funkcji: f ( x) Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls tps Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące oziom Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

Metoda prądów obwodowych

Metoda prądów obwodowych Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

Katalog produktów. Kuźnia Batory

Katalog produktów. Kuźnia Batory Ktlog prouktów Ktlog prouktów Kuźni Btory Kuźni Btory wytwrz różnego rozju wyroby kute z pon 100 gtunków stli. łównymi obiorcmi są brnże: mszynow, energetyczn, motoryzcyjn i okrętow. N liście Klientów

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

współrzędne wierzchołka A oraz oblicz pole trójkąta ABC. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zadanie 3. Ciąg ( a

współrzędne wierzchołka A oraz oblicz pole trójkąta ABC. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zadanie 3. Ciąg ( a STARA MATURA 00 Województwo Śląskie Mtemtyk - rozwiązni zdń. mj 00 Pisemny egzmin dojrzłości obowiązujący w licech ogólnoksztłcących (z wyjątkiem profilu mtemtyczno fizycznego), technikch pięcioletnich

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS NAFTA-GAZ lipiec 2012 ROK LXVIII Xymen Mzur-Bdur, Michł Krsodomski Instytut Nfty i Gzu, Krków Chrkterystyk skłdu strukturlno-grupowego olejów npędowych i średnich frkcji nftowych z zstosowniem GC/MS Wstęp

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny 1 Grfy hmiltonowski, problm komiwojżr lgorytm optymlny Wykł oprcowny n postwi książki: M.M. Sysło, N.Do, J.S. Kowlik, Algorytmy optymlizcji yskrtnj z progrmmi w języku Pscl, Wywnictwo Nukow PWN, 1999 2

Bardziej szczegółowo

Integralność konstrukcji

Integralność konstrukcji 1 Integrlność konstrukcji Wykłd Nr 5 PROJEKTOWANIE W CELU UNIKNIĘCIA ZMĘCZENIOWEGO Wydził Inżynierii Mechnicznej i Robotyki Ktedr Wytrzymłości, Zmęczeni Mteriłów i Konstrukcji http://zwmik.imir.gh.edu.pl/dydktyk/imir/index.htm

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Księga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A.

Księga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. Księg Identyfikcji Wizulnej Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. 1. Elementy bzowe 1.1. KONSTRUKCJA OPIS ZNAKU PSE 3 1.2. WERSJA PODSTAWOWA ZNAKU 4 1.3. WERSJE UZUPEŁNIAJĄCE 5 1.4. OPIS KOLORYSTYKI ZNAKU

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012 Preskrypt n

Bardziej szczegółowo

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa Metodologi szcowni wrtości docelowych dl wskźników wybrnych do relizcji w zkresie EFS w Regionlnym Progrmie percyjnym Województw Kujwsko-Pomorskiego 2014-2020 Toruń, listopd 2014 1 Spis treści I. CZĘŚĆ

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sił skrawania występujących przy obróbce gniazd zaworowych

Modelowanie sił skrawania występujących przy obróbce gniazd zaworowych Scentfc Journls Mrtme Unversty of Szczecn Zeszyty ukowe Akdem Morsk w Szczecne 29, 7(89) pp. 63 67 29, 7(89) s. 63 67 Modelowne sł skrwn występujących przy obróbce gnzd zworowych Cuttng forces modelng

Bardziej szczegółowo

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu. Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas III Barbara Mrowiec

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas III Barbara Mrowiec Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik. Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im. Stnisłw Stszic w Rybniku, współfinnsowny przez Unię

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE STAŁEJ RÓWNOWAGI KWASOWO ZASADOWEJ W ROZTWORACH WODNYCH

WYZNACZANIE STAŁEJ RÓWNOWAGI KWASOWO ZASADOWEJ W ROZTWORACH WODNYCH Politehni Śląs WYDZIŁ CHEMICZNY KTEDR FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW WYZNCZNIE STŁEJ RÓWNOWGI KWSOWO ZSDOWEJ W ROZTWORCH WODNYCH Opieun: Miejse ćwizeni: Ktrzyn Kruiewiz Ktedr Fizyohemii i Tehnoii

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

4. Składkę ubezpieczeniową zaokrągla się do pełnych złotych.

4. Składkę ubezpieczeniową zaokrągla się do pełnych złotych. . Stwki tryfowe n dwunstomiesięczny okres ubezpieczeni, dl kżdego z rodzjów ubezpieczeń, określone są w kolejnych częścich tryfy. 2. Stwki podne w poszczególnych tbelch są stwkmi minimlnymi, z zstrzeżeniem

Bardziej szczegółowo