Badanie regularności w słowach
|
|
|
- Monika Jadwiga Leszczyńska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik
2 Edsger Wybe Dijkstr ( ) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes, biology is bout microscopes or chemistry is bout bekers nd test tubes. Science is not bout tools, it is bout how we use them nd wht we find out when we do. N 2 / 41
3 Wstęp lfbety i słow lfbet Σ skończony zbiór symboli słowo skończony ciąg symboli ze zbioru Σ Przykłdy Σ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 15432, 48, , Σ = {, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s, t, u, w, z} kot, pies, dom, drzewo Σ = {,,,,, },,, 3 / 41
4 Wstęp Monoid słów Σ zbiór wszystkich skończonych słów nd lfbetem Σ Konktencj: m b 1 b 2... b n = m b 1 b 2... b n Łączność: (x y) z = x (y z) Element neutrlny ε (słowo puste): x ε = ε x = x 4 / 41
5 Wstęp Fktor Słowo w jest fktorem słow u jeśli u = x w y Przykłd: fktor: prefiks: sufiks: b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 5 / 41
6 Wstęp Morfizm φ : M 1 M 2 x, y M φ(x y) = φ(x) φ(y) Przykłd M 1 = (Σ, ), M 2 = (Z, +) φ : M 1 M 2 φ(x) = x 6 / 41
7 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41
8 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41
9 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41
10 Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b Oznczeni ρ(w) liczb mksymlnych powtórzeń w słowie w { } ρ(n) = mx ρ(w) : w = n 7 / 41
11 Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 8 / 41
12 Mksymlne powtórzeni Wrtości ρ(n) dl 10 n 20 n ρ(n) ρ(n)/n Słowo bbbb bbbbb bbbb bbbb , bbbbbb bbbbbb bbbbbb bbbbbbbb bbbbbbbb bbbbbbb bbbbbbbb 9 / 41
13 Mksymlne powtórzeni Wrtości ρ(n) dl 21 n 31 n ρ(n) ρ(n)/n Słowo bbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb 10 / 41
14 Mksymlne powtórzeni oszcownie. Kolpkov, G. Kucherov (1999) n>0 ρ(n) c n lgorytm znjdowni wszystkich mksymlnych powtórzeń w słowie długości n dziłjący w czsie O(n) Hipotez n>0 ρ(n) n 11 / 41
15 Mksymlne powtórzeni oszcownie n 12 / 41
16 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) n 12 / 41
17 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.44n ytter (2007) n 12 / 41
18 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) n 12 / 41
19 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) n 12 / 41
20 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n 12 / 41
21 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n n Frnek et l. (2003) 12 / 41
22 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n n Kusno et l. (2008) n Frnek et l. (2003) 12 / 41
23 Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n Kusno et l. (2008) n Frnek et l. (2003) 12 / 41
24 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n 13 / 41
25 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) 13 / 41
26 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) Sum wykłdników mksymlnych powtórzeń 2.035n se(n) 4.1n (Crochemore et l., 2011) 13 / 41
27 Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) Sum wykłdników mksymlnych powtórzeń 2.035n se(n) 4.1n (Crochemore et l., 2011) Cłkowit długość mksymlnych powtórzeń n 2 8 TL(n) 47n2 72 (Glenn et l., 2013) 13 / 41
28 Definicj Słow Fiboncciego F 1 = b F 0 = F n = F n 1 F n 2 Przykłd F 1 = b f 1 = 2 F 2 = b f 2 = 3 F 3 = bb f 3 = 5 F 4 = bbb f 4 = 8 F 5 = bbbbb f 5 = 13 F 6 = bbbbbbbb f 6 = 21 F 7 = bbbbbbbbbbbbb f 7 = / 41
29 Słow Fiboncciego. Kolpkov, G. Kucherov (1999) n4 ρ(f n ) = 2 F n 2 3 symptotyk lim n ρ(f n ) F n = / 41
30 Słow stndrdowe Słow Fiboncciego F 1 = b F 0 = F k = F k 1 F k 2 Słow stndrdowe Sw(γ 0, γ 1,..., γ n ) x 1 = b x 0 = x k = x k 1 x k 1... x k 1 } {{ } γ k 1 x k 2 16 / 41
31 Słow stndrdowe γ = (1, 2, 1, 3, 1) x 1 = b x 0 = x 1 = (x 0 ) 1 x 1 = b x 2 = (x 1 ) 2 x 0 = b b x 3 = (x 2 ) 1 x 1 = bb b x 4 = (x 3 ) 3 x 2 = bbb bbb bbb bb x 5 = (x 4 ) 1 x 3 = bbbbbbbbbbb bbb Sw(1, 2, 1, 3, 1) = bbbbbbbbbbbbbb 17 / 41
32 Definicj Słow stndrdowe Dl ciągu kierunkowego γ = (γ 0, γ 1,..., γ n ) określmy h γi : { γ i b b dl 0 i n. 18 / 41
33 Definicj Słow stndrdowe Dl ciągu kierunkowego γ = (γ 0, γ 1,..., γ n ) określmy h γi : { γ i b b dl 0 i n. Sw(1) = h 1 () = b ( ) Sw(3, 1) = h 3 Sw(1) = b ( ) Sw(1, 3, 1) = h 1 Sw(3, 1) = bbbb ( ) Sw(2, 1, 3, 1) = h 2 Sw(1, 3, 1) = bbbbb ( ) Sw(1, 2, 1, 3, 1) = h 1 Sw(2, 1, 3, 1) = bbbbbbbbbbbbbb 18 / 41
34 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Słowo Christoffel (dolne): bbbbbbbbbbbbbb Słowo Christoffel (górne): bbbbbbbbbbbbbb Słow stndrdowe: bbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb 19 / 41
35 w = 33 w = 19 w b = 14 b b 20 / 41
36 w = 33 w = 19 w b = 14 b b 20 / 41
37 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b 20 / 41
38 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b 20 / 41
39 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b 20 / 41
40 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b 20 / 41
41 w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b 20 / 41
42 w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 b b b 10 b b b b b b 3 b b b b b b b b b b b b b b b b b b 20 / 41
43 Ułmki łńcuchowe Definicj Ułmkiem łńcuchowym nzywmy wyrżenie postci: 1 0 +, n zpisywne w uproszczeniu jko [ 0 ; 1, 2, 3,..., n ]. 21 / 41
44 Ułmki łńcuchowe Przykłd / 41
45 Ułmki łńcuchowe Przykłd = / 41
46 Ułmki łńcuchowe Przykłd = = / 41
47 Ułmki łńcuchowe Przykłd = = = [1; 2, 1, 4] 22 / 41
48 Ułmki łńcuchowe Przykłd = = = = [1; 2, 1, 4] [1; 2, 1, 3, 1] 22 / 41
49 Słow stndrdowe Fkt Dl p q = [γ 0; γ 1,..., γ n ], gdzie p, q są względnie pierwsze, istnieje jednozncznie wyznczone słowo w {, b} tkie, że: 1 w = p 1 2 w b = q 1 3 Słowo b w jest dolnym słowem Christoffel. 4 Słowo w b jest górnym słowem Christoffel. 5 Jedno ze słów w b lub w b jest słowem stndrdowym zdnym przez ciąg kierunkowy γ = (γ 0,..., γ n ) 23 / 41
50 Słow Sturm Definicj Słow Sturm to nieskończone słow binrne, które zwierją dokłdnie n + 1 różnych podsłów długości n 0. b b b b b b b b b b b b b b... 1 b b b b b b b b b b b b b b... 2 b b b b b b b b b b b b b b... 3 b b b b b b b b b b b b b b... 4 b b b b b b b b b b b b b b / 41
51 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 Okres kżdego mksymlnego powtórzeni w słowie stndrdowym Sw(γ 0, γ 1,..., γ n ) jest postci u = (x i ) j x i 1, gdzie 0 i n orz 0 j < γ i. Oznczeni: Mksymlne powtórzeni z okresem nie dłuższym niż x 1 nzywmy krótkimi Mksymlne powtórzeni z okresem dłuższym niż x 2 nzywmy długimi Pozostłe mksymlne powtórzeni nzywmy średnimi 25 / 41
52 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 26 / 41
53 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Zlicznie mksymlnych powtórzeń Wzór n liczbę krótkich mksymlnych powtórzeń wyznczony w sposób bezpośredni. Wzór n liczbę średnich mksymlnych powtórzeń wyznczony w sposób bezpośredni. ekurencyjn zleżność dl długich mksymlnych powtórzeń. 27 / 41
54 i-prtition Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Kżde słowo stndrdowe Sw(γ 0,..., γ n ) może być reprezentowne w jednej z dwóch postci: x α1 i x i 1 x α2 i x i 1... x αs i x i 1 x i lub x β1 i x i 1 x β2 i x i 1... x βs i x i 1, gdzie α k, β k {γ i, γ i + 1}. x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 0 x 1 b b b b b b b b b b b b b b x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x 2 x 3 b b b b b b b b b b b b b b x 4 x 3 28 / 41
55 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Fkt Struktur wystąpień bloków x i (równowżnie x i 1 ) w reprezentcji i-prtition słow stndrdowego Sw(γ 0,..., γ n ) odpowid strukturze wystąpień liter (równowżnie liter b) w słowie Sw(γ m,..., γ n ). i i-prtition Sw(γ m,..., γ n ) 1 b b b b b b b b b b b b b b bbbbb 2 bb b bb b bb b bb bb b bbbb 3 bbb bbb bbb bb bbb b 4 bbbbbbbbbbb bbb b 29 / 41
56 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 Okresy długich mksymlnych powtórzeń w słowch stndrdowych synchronizują się z morfizmmi h i b b b b b b h 0 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 30 / 41
57 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter (γ) 1 γ 0 = γ 1 = 1 (γ 1 + 2) + + (γ) odd(n) γ 0 = 1; γ 1 > 1 ρ(w) = (γ) even(n) γ 0 > 1; γ 1 = 1 (2γ 1 + 1) (γ) γ 0 > 1; γ 1 > 1 = Sw(γ 2, γ 3,..., γ n ) = Sw(γ 3, γ 4,..., γ n ) (γ) = n 1 (γ γ n ) unry(γ n ) 31 / 41
58 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Wyznczenie wrtości Sw(γ 0,..., γ n ) x 1 0 x 0 1 x 1 γ 0 x 0 + x 1 x 2 γ 1 x 1 + x 0. x n+1 γ n x n + x n 1 32 / 41
59 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Wyznczenie wrtości Sw(γ 0,..., γ n ) x 1 0 x 0 1 x 1 γ 0 x 0 + x 1 x 2 γ 1 x 1 + x 0. x n+1 γ n x n + x n 1 (n + 1) rzy 32 / 41
60 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Słow z dużą liczbą mksymlnych powtórzeń v k = Sw(1, 2, k, k) v k = ( (bb) k b) kbb v k = 5k 2 + 2k + 5 ρ(v k ) = 4k 2 k + 3 ρ(v k ) v k / 41
61 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 n>0 ρ(n) 0.8 n ρ(n) lim n n = / 41
62 Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 n>0 ρ(n) 0.8 n ρ(n) lim n n = 0.8 M. Piątkowski, W. ytter 2011 Zwrty wzór n liczbę mksymlnych powtórzeń kubicznych w słowch stndrdowych ρ (3) (n) lim n n = / 41
63 urrows-wheeler Trnsform WT Podstwy teoretyczne Dvid Wheeler, 1983 Zstosownie prktyczne Michel urrows, 1994 Podstw lgorytmu kompresji bzip2 35 / 41
64 urrows-wheeler Trnsform lgorytm K D Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe 36 / 41
65 urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe K D K D K D K D K D D K D K K D K D K D K D 36 / 41
66 urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe K D K D K D D K K D K D K D D K K D K D K D 36 / 41
67 urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wynik Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe ( D K, 3) K D K D K D D K K D K D K D D K K D K D K D 36 / 41
68 urrows-wheeler Trnsform Włsności WT Możn pozbyć się numeru wiersz w wyniku dodjąc n końcu kodownego słow znk specjlny. Użycie smej trnformty nie powoduje kompresji. Zmieni strukturę przetwrznych dnych powodując grupownie identycznych znków w bloki. Pozwl zwiększyć stopień kompresji przy użyciu innych lgorytmów. 37 / 41
69 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe 38 / 41
70 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K 38 / 41
71 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
72 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
73 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
74 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
75 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
76 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
77 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
78 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
79 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
80 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D D K 38 / 41
81 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D D K 38 / 41
82 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D D K D K 38 / 41
83 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D D K D K 38 / 41
84 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K D K 38 / 41
85 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K D K 38 / 41
86 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - K D K D K 38 / 41
87 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - K D K D K 38 / 41
88 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - K D K D K 38 / 41
89 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - K D K D K 38 / 41
90 urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K D K 38 / 41
91 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b 39 / 41
92 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41
93 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41
94 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41
95 urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe Fkt Dl dowolnego słow stndrdowego w: WT (w) = b n k 40 / 41
96 Dziękuję z uwgę
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
![MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic](/thumbs/26/7422983.jpg "MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic")
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych
Uszczelnienie przepływowe w mszyn przepływowych orz sposób dignozowni uszczelnieni przepływowego zwłszcz w mszyn przepływowych Przedmiotem wynlzku jest uszczelnienie przepływowe mszyn przepływowych orz
Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.
Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Załącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Wymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019
Wymgni edukcyjne z mtemtyki dl klsy II liceum (poziom podstwowy) n rok szkolny 08/09 Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II
1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie
1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Matematyczne Podstawy Informatyki
Mtemtyczne Podstwy Informtyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informtyki Teoretycznej i Stosownej Politechnik Częstochowsk Rok kdemicki 2013/2014 Podstwowe pojęci teorii utomtów I Alfetem jest nzywny
Programy współbieżne
Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty
Wprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Podstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich
Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą
3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
1 Ułamki zwykłe i dziesiętne
Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne
Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE
ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE DAS Deterministyczny Automt Skończony Zdnie Niech M ędzie DAS tkim że funkcj przejści: Q F ) podj digrm stnów dl M ) które ze słów nleżą do język kceptownego
2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym
Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.
Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).
Planimetria czworokąty
Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,
Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej
Trnslcj jko opercj symetrii Wykłd trzeci W obrębie figur nieskończonych przesunięcie (trnslcję) możn trktowć jko opercję symetrii Jest tk np. w szlkch ornmentcyjnych (bordiurch) i siecich krysztłów polimerów
Sumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej
Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec
Wyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.
Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Hipoteza Černego, czyli jak zaciekawić ucznia teorią grafów
Młodzieżowe Uniwersytety Mtemtyczne Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu Społecznego Hipotez Černego, czyli jk zciekwić uczni teorią grfów Adm Romn, Instytut Informtyki
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny
Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy
Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy
SZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka
Zchodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Piotr Stefnik Mteriły uzupełnijące do wykłdu Mtemtyk dl studentów Wydziłu Nuk o Żywności i Rybctwie Szczecin, 3 grudni 208 Spis treści Mcierze i
4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.
1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od
Podstawy programowania obiektowego
1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Arkusz I Instrukcj dl zdjącego 1. Sprwdź, czy rkusz egzmincyjny zwier 8 stron (zdni 1 3). Ewentulny brk zgłoś przewodniczącemu zespołu ndzorującego
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx