Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0 f x = x + x+ : Oliczmy wyróżnik i miejsc zerowe funkcji kwdrtowej = = 4 = 9 więc x = = x + = = Prol któr jest wykresem funkcji f m rmion skierowne do dołu y 0 x Odczytujemy ziór rozwiązń nierówności: x Odpowiedź: x Zdjący otrzymuje pkt gdy: oliczy lu pod prwidłowo pierwistki trójminu kwdrtowego x= x= i n tym poprzestnie lu łędnie zpisze ziór rozwiązń nierówności rozłoży lewą stronę nierówności n czynniki liniowe np ( x ) ( x ) + i n tym poprzestnie lu łędnie rozwiąże nierówność popełni łąd rchunkowy przy oliczniu wyróżnik lu pierwistków trójminu kwdrtowego i konsekwentnie do popełnionego łędu rozwiąże nierówność Zdjący otrzymuje pkt gdy pod ziór rozwiązń nierówności : lu x lu x

2 Zdnie ( pkt) Liczę k zpisz w postci l gdzie k i l są liczmi cłkowitymi Wykorzystując włsności dziłń n potęgch i definicję potęgi o wykłdniku wymiernym dodtnim oliczmy: = = = = = = = Odpowiedź: 5 Zdjący otrzymuje pkt gdy zpiszę liczę w jednej z postci: i n tym poprzestnie lu dlej popełni łędy Zdjący otrzymuje pkt gdy zpisze liczę w żądnej postci: Zdnie (pkt) 5 4 Ze wzoru n prwdopodoieństwo zdrzeni przeciwnego oliczmy prwdopodoieństwo zdrzeni : O zdrzenich losowych i wiemy że P( ) = i P( ) = P( ' ) = Olicz P( ) P = P( ' ) = = 4 4 Ze wzoru n prwdopodoieństwo sumy dwóch zdrzeń oliczmy prwdopodoieństwo iloczynu zdrzeń i : P( ) = P + P P( ) = + = Odpowiedź: P( ) = 6 Zdjący otrzymuje pkt gdy: oliczy prwdopodoieństwo zdrzeni i n tym poprzestnie lu dlej popełni łędy: P( ) = 4 oliczy prwdopodoieństwo zdrzeni popełnijąc łąd rchunkowy i konsekwentnie do popełnionego łędu oliczy prwdopodoieństwo iloczynu zdrzeń i Zdjący otrzymuje pkt gdy oliczy prwdopodoieństwo iloczynu zdrzeń i : P( ) = 6

3 Zdnie 4 (pkt) n n Dny jest ciąg ( n) określony wzorem drugiego i piątego wyrzu tego ciągu n = dl n Olicz średnią rytmetyczną Oliczmy drugi i piąty wyrz ciągu: = = nstępnie średnią rytmetyczną tych licz: = = 6 Odpowiedź: 6 5 = = = 8 Zdjący otrzymuje pkt gdy: oliczy drugi i piąty wyrz ciągu i n tym poprzestnie lu dlej popełni łędy: = 5 = 8 oliczy drugi i piąty wyrz ciągu popełnijąc jeden łąd rchunkowy i konsekwentnie do popełnionego łędu oliczy średnią rytmetyczną oliczonych dwóch wyrzów Zdjący otrzymuje pkt + 5 gdy oliczy średnią rytmetyczną drugiego i piątego wyrzu ciągu: = 6 Zdnie 5 (pkt) Przez koniec średnicy okręgu o środku S poprowdzono styczną N tej stycznej orno tki punkt P że PS = 46 (zocz rysunek) Olicz mirę kąt 46 P S Poniewż kąt PS jest prosty więc z twierdzeni o sumie mir kątów trójkąt oliczmy mirę kąt PS: PS = 80 PS PS = = 44 Kąt to kąt wpisny w okrąg oprty n łuku okręgu N tym smym łuku oprty jest również kąt środkowy S więc = S = 44 = Odpowiedź: =

4 Zdjący otrzymuje pkt gdy oliczy mirę kąt PS: PS = 44 Zdjący otrzymuje pkt gdy oliczy mirę kąt : = Zdnie 6 (pkt) Przekątn sześcinu jest o dłuższ od jego krwędzi Olicz pole powierzchni cłkowitej tego sześcinu Oznczmy przez długość krwędzi sześcinu Przekątn sześcinu m wtedy długość Poniewż jest on o dłuższ od krwędzi to = + Stąd mmy kolejno: = ( ) = ( )( + ) = ( + ) ( ) Pole powierzchni cłkowitej sześcinu jest równe P= 6( + ) = 6( + + ) = 4+ Odpowiedź: P= 4+ = + = + Zdjący otrzymuje pkt gdy oliczy długość krwędzi sześcinu i n tym poprzestnie lu dlej popełni łędy: = + popełni łąd rchunkowy oliczjąc długość krwędzi sześcinu i konsekwentnie do otrzymnego rezulttu oliczy pole powierzchni cłkowitej sześcinu Zdjący otrzymuje pkt gdy oliczy pole powierzchni cłkowitej sześcinu: P= 4+ Zdnie 7 (pkt) Łódź motorową w cenie 40 zł kupiono n rty Ustlono że kwot t ędzie spłcon w rtch Olicz wysokość pierwszej rty jeśli kżd nstępn rt ędzie o 0 zł mniejsz od poprzedniej Kwoty kolejnych rt tworzą ciąg rytmetyczny o różnicy 0 Oznczmy n-ty wyrz tego ciągu przez n Sum początkowych wyrzów tego ciągu jest równ 40 więc ze wzoru n sumę n-pocztkowych wyrzów ciągu rytmetycznego zpisujemy równnie + ( ) ( 0) = 40 Stąd otrzymujemy kolejno: ( 70) = 40 70= 480 = 00 Odpowiedź: Wysokość pierwszej rty jest równ 00 zł

5 Zdjący otrzymuje pkt gdy zpisze równnie z jedną niewidomą np: = Zdjący otrzymuje pkt gdy oliczy pierwszy wyrz ciągu: = 00 Zdnie 8 (pkt) N przyprostokątnych i trójkąt prostokątnego zudowno n zewnątrz kwdrty DE i FG Prost E przecin ok w punkcie P prost G przecin ok w punkcie Q (ptrz rysunek) Wykż że odcinki P i Q mją równą długość E P D Q Oznczmy przez długość oku kwdrtu DE przez długość oku kwdrtu FG Trójkąty P i ED są prostokątne i mją wspólny kąt ostry przy wierzchołku więc z cechy kk podoieństw trójkątów wnioskujemy że są podone Ztem z cechy podoieństw trójkątów otrzymujemy proporcję P DE P = więc = D + F Stąd P Trójkąty Q i GF również są prostokątne i mją wspólny kąt ostry przy wierzchołku F G więc z cechy kk podoieństw trójkątów wnioskujemy że są podone Ztem z cechy podoieństw trójkątów otrzymujemy proporcję Q FG Q = więc = F + E D P G Q

6 Stąd Q = + Wykzliśmy więc że P = Q = + Zdjący otrzymuje pkt gdy: uzsdni podoieństwo odpowiednich pr trójkątów np: P ED i Q GF (lu P PE i Q QG ) Zdjący otrzymuje pkt gdy uzsdni równość odcinków P i Q Zdnie 9 (4pkt) Punkty = ( ) = ( 5 ) i ( 4) = są kolejnymi wierzchołkmi trpezu prostokątnego D o podstwch i D Olicz współrzędne wierzchołk D tego trpezu Współczynnik kierunkowy prostej jest równy y y = = = x x 5 ( ) Prost D jest równoległ do prostej więc jej współczynnik kierunkowy jest tki sm jk współczynnik kierunkowy prostej Ztem prost D m równnie postci y= x+ = 4 leży n tej prostej to Poniewż punkt = 4+ stąd = 5 Prost D m więc równnie y= x+ 5 Prost D jest prostopdł do prostej więc współczynnik kierunkowy prostej D jest równy = = Równnie prostej D m więc postć y= x+ Przechodzi on przez punkt = ( ) więc 0 x = + Stąd = 8 Ztem równnie prostej D to y= x+ 8 Proste D i D przecinją się w punkcie D więc współrzędne x i y punktu D spełniją ukłd równń: y = x + 5 y= x+ 8 Rozwiązując ten ukłd mmy kolejno: x = 6 x+ 8= x+ 5 x= x = x = więc D= ( 6 8 y= x+ 8 y= x+ 8 6 y= x+ 8 8 y= + 8 y 5 ) 5 = 5 5 y D

7 Rozwiąznie w którym postęp jest niewielki le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni pkt Oliczenie współczynnik kierunkowego prostej lu równni prostej : = Rozwiąznie w którym jest istotny postęp pkt Wyznczenie równni prostej D równni prostej D: y= x+ 8 y= x+ 5 Pokonnie zsdniczych trudności zdni pkt Zpisnie ou równń ukłdu pozwljącego oliczyć współrzędne punktu D: y= x+ 8 i y= x+ 5 Rozwiąznie ezłędne 4 pkt D= 6 8 Oliczenie współrzędnych wierzchołk D trpezu: Zdnie 0 (5pkt) Dwj motocykliści pokonli tę smą trsę długości 55 km Średni prędkość pierwszego z nich ył o 8 km/h większ od średniej prędkości drugiego Pierwszy motocyklist pokonł tę trsę w czsie o 0 minut krótszym niż drugi Olicz w ciągu jkiego czsu kżdy z motocyklistów pokonł cłą trsę Oznczmy przez v średnią prędkość pierwszego motocyklisty przez t czs w godzinch w jkim pokonł on trsę 55 km Otrzymliśmy równnie v t= 55 Średni prędkość drugiego motocyklisty ył równ v 8 czs jego przejzdu ył równy t+ godziny Stąd otrzymujemy równnie ( v ) ( t ) 8 + = 55 Rozwiązujemy ukłd równń v t= 55 ( v 8) ( t+ ) = 55 v t= 55 v = 6t + 8 ( t ) v t= 55 v t + v 8t 4 = t= 55 v = 6t + 8 t + t = v = 6t t = = 684 t v t= v 8t 4= 55 Pierwsz z otrzymnych wrtości t nie spełni wrunków zdni więc v t= 55 v= 8t = t= < 0 lu t= = = = t= 4 zs przejzdu drugiego motocyklisty ył więc równy t+ = + = Odpowiedź: Pierwszy motocyklist przeył trsę w ciągu godzin i 45 minut drugi w ciągu 4 godzin i 5 minut

8 Rozwiąznie w którym postęp jest niewielki le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni pkt Zpisnie zleżności między drogą prędkością i czsem dl drugiego z motocyklistów jeśli z niewidome zostły przyjęte prędkość i czs pierwszego z motocyklistów zpisnie zleżności między drogą prędkością i czsem dl pierwszego z motocyklistów jeśli z niewidome zostły przyjęte prędkość i czs drugiego z motocyklistów: np Jeśli v - średni prędkość pierwszego motocyklisty t - czs w godzinch w jkim pierwszy motocyklist pokonł trsę 55 km to zdjący otrzymuje punkt z równnie ( v ) ( t ) 8 + = 55 Jeśli v - średni prędkość drugiego motocyklisty t - czs w godzinch w jkim drugi motocyklist pokonł trsę 55 km to zdjący otrzymuje punkt z równnie ( v ) ( t ) + 8 = 55 Rozwiąznie w którym jest istotny postęp pkt Zpisnie ukłdu równń z niewidomymi v i t np: v t= 55 ( v 8) ( t+ ) = 55 gdzie v t oznczją odpowiednio prędkość i czs pierwszego motocyklisty v t= 55 ( v+ 8) ( t ) = 55 gdzie v t oznczją odpowiednio prędkość i czs drugiego motocyklisty Pokonnie zsdniczych trudności zdni pkt Doprowdzenie ukłdu do równni z jedną niewidomą (v t) np: 55 8 t+ = 55 gdzie t ozncz czs pierwszego motocyklisty t Rozwiąznie zdni do końc lecz z usterkmi które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np łędy rchunkowe) 4 pkt Doprowdzenie do równni kwdrtowego z jedną niewidomą (v t) np: 6t + 8t 55= 0 gdzie t ozncz czs pierwszego motocyklisty Rozwiąznie ezłędne 5 pkt Oliczenie czsu w jkim kżdy z motocyklistów przeył cłą trsę: godziny i 45 minut czs pierwszego motocyklisty 4 godziny i 5 minut czs drugiego Zdnie (5pkt) Krwędź oczn ostrosłup prwidłowego czworokątnego m długość Kosinus kąt nchyleni tej krwędzi do płszczyzny podstwy jest równy Olicz ojętość tego ostrosłup orz sinus kąt nchyleni ściny ocznej do płszczyzny podstwy

9 Przyjmijmy oznczeni tkie jk n rysunku Wtedy cosα = O S le O = (połow przekątnej kwdrtu) więc = Stąd = 8 Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt OS otrzymujemy h + = więc Stąd h= = 4 7 h + = Ojętość ostrosłup jest równ V h Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt SOE otrzymujemy = = = h = OE + OS = = = 6 8= 64 więc h = 8 Sinus kąt nchyleni ściny ocznej ostrosłup do płszczyzny podstwy jest ztem równy h sinβ = = = = h 8 4 Rozwiąznie w którym postęp jest niewielki le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni pkt Nrysownie ostrosłup i zznczenie n rysunku kąt nchyleni krwędzi ocznej do płszczyzny podstwy Rozwiąznie w którym jest istotny postęp pkt Oliczenie długości krwędzi podstwy ostrosłup: = 8 Pokonnie zsdniczych trudności zdni pkt Oliczenie wysokości ostrosłup: h= = 4 7 Rozwiąznie zdni prwie do końc lu do końc z usterkmi które nie przekreślją poprwności rozwiązni (np łędy rchunkowe) 4 pkt Oliczenie ojętości ostrosłup i rk oliczeni sinus kąt nchyleni ściny ocznej do 56 7 płszczyzny podstwy: V = Rozwiąznie ezłędne 5 pkt Oliczenie ojętości ostrosłup i oliczenie sinus kąt nchyleni ściny ocznej do płszczyzny podstwy: V = i sinβ = 4 α D h S O h β E