Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Transkrypt

1 Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm

2 PODSTWOWE POJĘCI

3 Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni wzrost duże misto Wcześniej znne metod mtemtczne np. lsczn teori ziorów logi dwuwrtościow nie ł w stnie rozwiązć tego tpu prolemów.

4 Podstwowe definicje Definicj [ziór rozmt]: Ziorem rozmtm w pewnej niepustej przestrzeni X co zpisujem jo X nzwm ziór pr gdzie { ; X} : X [0] jest funcją prznleżności zioru rozmtego. Funcj t żdemu elementowi X przpisuje jego stopień prznleżności do zioru rozmtego prz czm możn wróżnić 3 przpdi: μ = ozncz pełną prznleżność do zioru rozmtego tzn. μ = 0 ozncz r prznleżności elementu do zioru rozmtego tzn. 0 < μ < ozncz częściową prznleżność elementu do zioru rozmtego.

5 Notcj Zdeh X jest przestrzenią o sończonej liczie elementów X = {... n }: n i i i n n X jest przestrzenią o niesończonej liczie elementów: X

6 Przłd : X = N jest ziorem licz nturlnch. Oreślm pojęcie zioru licz nturlnch lisich liczie 7 definiując ziór rozmt X: Przłd 2: X = jest ziorem licz rzeczwistch. Oreślm pojęcie zioru licz rzeczwistch lisich liczie 7 definiując funcję prznleżności 2 7 μ 7

7 . Funcj prznleżności ls s: gdzie 2 c Stndrdowe funcje prznleżności c c c c c s dl dl 2 dl 2 dl 0 ; 2 2

8 2. Funcj prznleżności ls π: 3. Funcj prznleżności ls γ: c c c c s c c c c s c dl 2 / ; dl 2 / ; ; dl dl dl 0 ;

9 4. Funcj prznleżności ls t: 5. Funcj prznleżności ls L: c c c c c t dl 0 dl dl dl 0 ; L dl 0 dl dl ;

10 Definicj: Ziór elementów przestrzeni X dl tórch μ > 0 nzwm nośniiem zioru rozmtego i oznczm supp ng. support. Zpisujem supp { X; 0} Definicj: Wsoość zioru rozmtego oznczm h i oreślm jo h sup Definicj: Ziór rozmt nzwm normlnm wted i tlo wted gd h =. Jeżeli ziór rozmt nie jest normln to możn go znormlizowć z pomocą przesztłceni N h X

11 Definicj: Ziór rozmt jest pust co zpisujem = Ø wted i tlo wted gd μ = 0 dl żdego X. Definicj: Ziór rozmt zwier się w ziorze rozmtm co zpisujem wted i tlo wted gd μ μ dl żdego X. Definicj: Ziór rozmt jest równ ziorowi rozmtemu co zpisujem = wted i tlo wted gd μ = μ dl żdego X.

12 Definicj: α-przerojem zioru rozmtego X ozncznm α nzwm nstępując ziór nierozmt } ; { X [0] czli ziór oreślon przez funcję chrterstczną Dl α-przeroju zchodzi nstępując implicj 2 2 dl 0 dl

13 Definicj: Ziór rozmt jest wpuł wted i tlo wted gd dl dowolnch 2 i λ [0] zchodzi [ 2] 2 min{ 2} Definicj 2.0: Ziór rozmt jest wlęsł wted i tlo wted gd dl dowolnch 2 i λ [0] spełnion jest nierówność [ 2] 2 m{ 2} Ziór rozmt jest wpuł wlęsł wted i tlo wted gd są wpułe wlęsłe wszstie jego α-przeroje.

14 Przłd 3: Ziór rozmt wpuł: μ Przłd 4: Ziór rozmt wlęsł: μ

15 DZIŁNI N ZIOCH OZMYTYCH

16 Opercje n ziorch rozmtch Definicj: Przecięciem ziorów rozmtch X jest ziór rozmt o funcji prznleżności min X Przecięcie ziorów rozmtch... n oreślone jest przez funcję prznleżności n n min[ i i n ] X Definicj: Ilocznem lgericznm ziorów rozmtch X jest ziór rozmt C = zdefiniown nstępująco C { ; X}

17 Definicj: Sumą ziorów rozmtch X jest ziór rozmt oreślon funcją prznleżności m X Funcj prznleżności sum ziorów rozmtch... n wrż się zleżnością n n m[ i i n ] X Uwg:. Jeżeli i są ziormi rozmtmi wpułmi to jest ziorem rozmtm wpułm. 2. Jeżeli i są ziormi rozmtmi wlęsłmi to jest ziorem rozmtm wlęsłm.

18 Przłd: Dziłnie opercji przecięci ziorów rozmtch: μ μ Przłd: Dziłnie opercji sum ziorów rozmtch: μ μ

19 Twierdzenie o deompozcji pozwl przedstwić dowoln ziór rozmt w postci sum ziorów rozmtch generownch przez α- przeroje zioru. Twierdzenie o deompozcji Kżd ziór rozmt X możn przedstwić w postci [0] gdzie α α ozncz ziór rozmt tórego elementom przpisno nstępujące stopnie prznleżności α dl α 0 dl α

20 Przłd: Deompozcj zioru rozmtego Otrzmujem:

21 Definicj Dopełnieniem zioru rozmtego X jest ziór rozmt  o funcji prznleżności μ  = μ dl żdego X. Uwg:. Opercje przecięci sum i dopełnieni mją włsności przemienności łączności i rozdzielności pondto zchodzą również prw de Morgn orz sorpcji. Jednże w przpdu ziorów rozmtch nie są spełnione prw dopełnieni tzn.   X 2. Dl funcji prznleżności przecięci ziorów rozmtch i  mm ˆ min ˆ 2 3. Podonie jest w przpdu sum ˆ m ˆ 2

22 Przłd 3.4: Ziór rozmt Â: μ μ Â μ Â Przłd 3.5: Ziór rozmt Â: μ Â

23 Definicj: Iloczn rtezjńsi ziorów rozmtch X i Y oznczm i definiujem jo min Iloczn rtezjńsi ziorów rozmtch X... n X n oznczm przez... n i definiujem jo min n i n i n n i n lu dl żdego X i Y. dl żdego X... n X n. lu n n n n

24 Definicj: Koncentrcj zioru rozmtego X oznczm CON i definiujem jo 2 CON X Definicj: ozcieńczenie zioru rozmtego X oznczm DIL i definiujem jo DIL 05 X

25 Przłd: Dziłnie opercji oncentrcji i rozcieńczeni zioru rozmtego: μ CON μ DIL

26 Definicj: Jeżeli mm pewne nierozmte odwzorownie f : X Y i pewien ziór rozmt X to zsd rozszerzni mówi że ziór rozmt induown przez to odwzorownie jest postci gdzie Zsd rozszerzni f { ; sup f f X} T definicj oejmuje przpde zrówno przestrzeni X o sończonej liczie elementów ziór jest oreślon wówczs powższm wzorem j i niesończonej liczie elementów. W tm drugim przpdu ziór rozmt induown przez odwzorownie f możn zpisć jo f f jeżeli 0 jeżeli f f

27 W nietórch zstosownich np. licz rozmte przdtn jest inn postć zsd rozszerzni. Definicj 4.2: Niech X ędzie ilocznem rtezjńsim ziorów nierozmtch X... X n. Jeżeli mm pewne nierozmte odwzorownie f : X X n Y orz pewne zior rozmte X... n X n to zsd rozszerzni mówi że ziór rozmt induown przez odwzorownie f jest postci f n { ; f n n X} prz czm sup min{ n f n n } jeżeli 0 jeżeli f f

28 LICZY OZMYTE

29 Definicj: Ziór rozmt oreślon w ziorze licz rzeczwistch tórego funcj prznleżności : [0] spełni wruni: ziór rozmt jest normln ziór jest wpuł μ jest funcją przedziłmi ciągłą nzwm liczą rozmtą. Definicj: Licz rozmt jest dodtni jeżeli μ = 0 dl wszstich < 0. Licz rozmt jest ujemn jeżeli μ = 0 dl wszstich > 0.

30 Przłd: Przłd licz rozmtch: μ

31 rtmet rozmt Zsd rozszerzni pozwl sformułowć definicję dodwni odejmowni mnożeni i dzieleni dwu licz rozmtch 2. Definicj Podstwowe opercje rtmetczne n liczch rozmtch 2 : dodwnie 2 = sup min{ 2} odejmownie 2 = sup min{ 2} mnożenie 2 = sup min{ 2} dzielenie 2 = sup min{ 2} 2 : 2 2

32 Nie zwsze wniiem opercji rtmetcznch n liczch rozmtch jest licz rozmt. Prolem ten zostje weliminown gd przeprowdzm opercje n liczch rozmtch mjącch ciągłe funcje prznleżności. Twierdzenie: Duois i Prde Jeżeli licz rozmte 2 mją ciągłe funcje prznleżności to wniiem opercji rtmetcznch dodwni odejmowni mnożeni i dzieleni są licz rozmte.

33 Opercje jednorgumentowe przeprowdz się również z pomocą zsd rozszerzni. Przłd opercji jednorgumentowch:. Opercj zmin znu. Otrzmujem liczę rozmtą przeciwną do licz rozmtej. Liczę tę oznczm jej funcj prznleżności jest równ Licz rozmte i są smetrczne względem osi. 2. Opercj odwrotności. Otrzmujem liczę rozmtą odwrotną do licz rozmtej. Liczę tę oznczm - jej funcj prznleżności jest równ Złdm że jest liczą rozmtą dodtnią lu ujemną.

34 3. Opercj slowni. Otrzmujem liczę rozmtą przeslowną w stosunu do licz rozmtej. Liczę tę oznczm λ jej funcj prznleżności jest równ 4. Opercj esponent. Otrzmujem potęgę licz rozmtej. Liczę tę oznczm e jej funcj prznleżności jest równ e Ztem e jest liczą rozmtą dodtnią. 5. Opercj wrtości ezwzględnej. Wrtość ezwzględną licz rozmtej oznczm i oreślm jo μ log dl > 0 0 dl < 0 Oczwiście jest liczą rozmtą dodtnią. mμ μ dl 0 0 dl < 0

35 Licz rozmte chrterzują się riem licz rozmtej przeciwnej i odwrotnej względem dodwni i mnożeni co np. uniemożliwi zstosownie metod elimincji do rozwiązwni równń w tórch wstępują licz rozmte. Opercje rtmetczne n liczch rozmtch wmgją dość sompliownch oliczeń dltego zproponowno Duois i Prde pewną szczególną reprezentcję licz rozmtch. eprezentcj t przedstwi licz rozmte z pomocą 3 prmetrów co zncznie uprszcz wonwnie opercji rtmetcznch.

36 Definicj: Licz rozmt jest liczą rozmtą tpu L-P wted i tlo wted gd jej funcj prznleżności m postć L P m m jeżeli jeżeli m m gdzie: m licz rzeczwist zwn wrtością licz rozmtej μ m = α licz rzeczwist dodtni zwn rozrzutem lewostronnm β licz rzeczwist dodtni zwn rozrzutem prwostronnm ntomist L i P są funcjmi odwzorowującmi [0] orz spełnijącmi wruni: L = L P = P L0 = P0 = L i P są funcjmi nierosnącmi w przedzile [0 +

37 W przpdu gd rozrzut α i β zwięszją się to licz stje się rdziej rozmt. Liczę rozmtą tpu L-P możn róto zpisć w postci m LP Opercje rtmetczne n liczch rozmtch tpu L-P sprowdzją się do opercji n trzech prmetrch. Licz rozmt przeciwn do powższej licz rozmtej jest równ m LP Sum licz rozmtch = m α β LP i = m α β LP m postć m m LP Inne opercje rtmetczne np. mnożenie i dzielenie n liczch rozmtch tpu L-P są rdziej sompliowne ich wni m chrter przliżon.

38 Definicj: Płsą liczą rozmtą tpu L-P nzwm liczę rozmtą o funcji prznleżności m L jeżeli m jeżeli m m 2 m P jeżeli m 2 Płsą liczą rozmtą możem utożsmić z przedziłem rozmtm postci m2 m LP

39 NOMY TÓJKĄTNE

40 Norm trójątne Podne wcześniej definicje opercji przecięci i sum ziorów rozmtch nie są jednmi definicjmi tch opercji. Przecięcie ziorów rozmtch możem zdefiniowć ogólniej jo T gdzie funcj T jest tzw. T-normą. Ztem minμ μ = Tμ μ jest przłdem dziłni T- norm. Podonie sumę ziorów rozmtch definiujem nstępująco T-norm orz S-norm nleżą do tzw. norm trójątnch. S gdzie funcj S jest tzw. S-normą. W tm przpdu mμ μ = Sμ μ jest przłdem dziłni S-norm.

41 T-norm Definicj: Funcję dwóch zmiennch T T :[0] [0] [0] nzwm T-normą jeżeli: funcj T jest nierosnąc względem ou rgumentów T c T d dl c d funcj T spełni wrune przemienności T = T funcj T spełni wrune łączności TT c = T T c funcj T spełni wruni rzegowe T 0 = 0 T = gdzie c d [0].

42 Dowoln T-norm jest ogrniczon w sposó nstępując W dlszej części dziłnie T-norm n rgumentch ędziem oznczć gd 0 gd gd T w min T T w gdzie T w jest T-normą postci T T *

43 S-norm Definicj: Funcję dwóch zmiennch S S :[0] [0] [0] nzwm S-normą jeżeli: funcj S jest nierosnąc względem ou rgumentów S c S d dl c d funcj S spełni wrune przemienności S = S funcj S spełni wrune łączności SS c = S S c funcj S spełni wruni rzegowe S 0 = S = gdzie c d [0]. Funcj S nosi tże nzwę o-norm lu norm dulnej względem T-norm.

44 m S S w S S * Dowoln S-norm jest ogrniczon w sposó nstępując W dlszej części dziłnie S-norm n rgumentch ędziem oznczć 0 gd 0 gd 0 gd S w gdzie S w jest S-normą postci

45 Nleż podreślić że żdej T-normie odpowid S-norm zleżność międz nimi wrż równnie T S * * Kil częściej spotnch T- orz S-norm: Nr T S min m m + 0 min gd gd gd gd gd gd 0 0 0

46 ELCJE OZMYTE

47 elcje rozmte i ich włściwości elcje rozmte pozwlją sformlizowć niepreczjne sformułowni tpu jest prwie równe lu jest zncznie więsze od. Definicj: elcją rozmtą międz dwom niepustmi ziormi nierozmtmi X i Y nzwm ziór rozmt oreślon n ilocznie rtezjńsim X Y tzn. XY { : X Y} Innmi słow relcj rozmt jest ziorem pr gdzie { } : X Y [0] X Y jest funcją prznleżności. Funcj t żdej prze X Y przpisuje jej stopień prznleżności μ tór m interpretcję sił powiązni międz elementmi i.

48 W teorii ziorów rozmtch wżną rolę odgrw pojęcie złożeni dwóch relcji rozmtch. Definicj 7.2: Złożeniem tpu sup-t relcji rozmtch X Y i S Y Z nzwm relcję rozmtą S X Z o funcji prznleżności T S z sup * S z Y Konretn postć funcji prznleżności μ S z złożeni S zleż od przjętej T-norm. Jeżeli jo T-normę przjmiem min to otrzmm złożenie tpu sup-min S Jeżeli ziór Y m sończoną liczę elementów to złożenie tpu sup-min sprowdz się do złożeni tpu m-min postci S z sup min z Y z m min z Y S S

49 I mcierz jednostow O mcierz zerow I I O O O T S T S n m n m mn n m T S T S T S T S T S T S Podstwowe włsności relcji rozmtch

50 Szczególnie wżne w różnch zstosownich jest złożenie zioru rozmtego z relcją rozmtą. Definicj 7.3: Złożenie zioru rozmtego X i relcji rozmtej X Y oznczm przez i definiujem jo ziór rozmt Y = o funcji prznleżności T sup * X Konretn postć funcji prznleżności μ zleż od przjętej T-norm orz od włściwości zioru X. Wróżnim 4 przpdi: T ziór X tp μ min niesończon sup-min min sończon m-min niesończon sup-iloczn sończon m-iloczn sup{min[ ]} X m{min[ ]} X sup{ } X m{ } X

51 PZYLIŻONE WNIOSKOWNIE

52 Podstwowe reguł wniosowni w logice dwuwrtościowej Definicj: egułę wniosowni modus ponens oreśl nstępując schemt Przesłn Implicj Wniose Definicj: egułę wniosowni modus tollens oreśl nstępując schemt Przesłn Implicj Wniose prz czm i smolizują zdni zś i ich zprzeczeni.

53 Podstwowe reguł wniosowni w logice rozmtej Definicj: Uogólnioną rozmtą regułę wniosowni modus ponens oreśl nstępując schemt Przesłn jest Implicj IF jest THEN jest Wniose jest gdzie X orz Y są ziormi rozmtmi ntomist i są tzw. zmiennmi lingwistcznmi. Zmienne lingwistczne to tie zmienne tóre przjmują jo swoje wrtości słow lu zdni wpowiedzine w jęzu nturlnm. Przłdem może ć stwierdzenie mł prędość. Możn je sformlizowć poprzez przporządownie im pewnch ziorów rozmtch. Mogą również przjmowć wrtości liczowe. Jeżeli = orz = to uogólnion rozmt reguł wniosowni modus ponens reduuje się do trdcjnej reguł modus ponens.

54 Przłd: Przesłn Implicj Wniose Prędość smochodu jest duż Jeżeli prędość smochodu jest rdzo duż to poziom hłsu jest wsoi Poziom hłsu w smochodzie jest średniowsoi zmienn lingwistczn prędość smochodu zmienn lingwistczn poziom hłsu T = { mł średni duż rdzo duż } ziór wrtości zmiennej T 2 = { mł średni średniowsoi wsoi } ziór wrtości zmiennej = rdzo duż prędość smochodu = duż prędość smochodu = wsoi poziom hłsu = średniowsoi poziom hłsu Wniose reguł rozmtej odnosi się do pewnego zioru rozmtego tór jest oreślon przez złożenie zioru rozmtego i rozmtej implicji tzn. = prz czm funcj prznleżności zioru rozmtego m postć T sup{ * } X

55 Definicj: Uogólnioną rozmtą regułę wniosowni modus tollens oreśl nstępując schemt Przesłn jest Implicj IF jest THEN jest Wniose jest gdzie X orz Y są ziormi rozmtmi ntomist i są tzw. zmiennmi lingwistcznmi. Jeżeli = orz = to uogólnion rozmt reguł wniosowni modus tollens reduuje się do trdcjnej reguł modus tollens.

56 Przłd: Przesłn Implicj Wniose Poziom hłsu w smochodzie jest średniowsoi Jeżeli prędość smochodu jest rdzo duż to poziom hłsu jest wsoi Prędość smochodu jest duż zmienn lingwistczn prędość smochodu zmienn lingwistczn poziom hłsu T = { mł średni duż rdzo duż } ziór wrtości zmiennej T 2 = { mł średni średniowsoi wsoi } ziór wrtości zmiennej = rdzo duż prędość smochodu = duż prędość smochodu = wsoi poziom hłsu = średniowsoi poziom hłsu Wniose reguł rozmtej odnosi się do pewnego zioru rozmtego tór jest oreślon przez złożenie relcji = prz czm funcj prznleżności zioru rozmtego m postć sup{ * } Y T

57 eguł rozmtej implicji Definicj: Niech i ędą ziormi rozmtmi X orz X. ozmtą implicją nzwm relcję oreśloną w X Y i zdefiniowną z pomocą jednej z poniższch reguł.. eguł tpu miniumum tzw. reguł Mmdniego: 2. eguł tpu iloczn tzw. reguł Lrsen: ] min[ 3. eguł Łusiewicz: ] min[ 4. eguł tpu m-min tzw. reguł Zdeh: } ] m{min[

58 5. eguł inrn: 6. eguł Goguen: ] m[ min 7. eguł Shrp: gd 0 gd 8. eguł Gődel: ] min[ gd gd 9. eguł proilistczn: ] min[ 0. eguł ogrniczonej sum:

59 STEOWNIKI OZMYTE

60 Zstosownie teorii ziorów rozmtch do sterowni procesów technologicznch nie wmg znjomości modeli tch procesów. Nleż jednie sformułowć reguł postępowni w formie rozmtch zdń wrunowch tpu IF... THEN... Zstosowni ziorów rozmtch oejmują oecnie cłą gmę zgdnień od prostch urządzeń domowego użtu prli lodówi odurzcze do rdziej złożonch sstemów np. ndzorującch wentlcję tuneli podziemnch lu wspomgjącch producję loholu jpońsiego se.

61 Przłd 9.: Schemt ułdu limtzcji tór n podstwie zmierzonch wrtości tempertur i wilgotności wzncz sgnł sterując odpowidjąc intenswności chłodzeni dnego pomieszczeni. Sterowni rozmt 2 Klimtztor Czujni tempertur Czujni wilgotności Poój Przłdow reguł: IF tempertur jest wso ND wilgotność jest duż THEN intenswność chłodzeni jest duż

62 Klsczn sterowni rozmt Klsczn sterowni rozmt słd się z z reguł lou rozmwni lou wniosowni orz lou wostrzni. z reguł lo rozmwni X lo wniosowni N lo wostrzni

63 z reguł zę reguł nzwną czsmi modelem lingwistcznm stnowi ziór rozmtch reguł =... N postci : IF THEN jest jest ND ND 2 2 jest jest 2 2 ND ND n m jest jest gdzie: N licz rozmtch reguł i zior rozmte tie że i X i i =... n j zior rozmte tie że j Y j j =... m 2... n zmienne wejściowe modelu lingwistcznego prz czm 2... n T = X X 2... X n 2... m zmienne wjściowe modelu lingwistcznego prz czm 2... m T = Y Y 2... Y m Smolmi X i i =... n orz Y j j =... m oznczm odpowiednie przestrzenie zmiennch wejściowch i wjściowch. n m

64 lo rozmwni Konretn wrtość T X 2 sgnłu wejściowego sterowni rozmtego podleg opercji rozmwni ng. fuzzifiction w wniu tórej zostje odwzorown w ziór rozmt X = X X 2... X n. W zgdnienich sterowni njczęściej stosuje się opercję rozmwni tpu singleton dl 0 dl Ziór rozmt jest wejściem lou wniosowni. Jeżeli sgnł wejściow jest mierzon wrz z złóceniem to ziór rozmt możn oreślić poprzez funcję prznleżności T ep 2 gdzie σ > 0. Wówczs opercj rozmwni jest tpu non-singleton. n

65 lo wniosowni Złdm że n wejściu lou wniosowni mm ziór rozmt X = X X 2... X n. Przpde N wjściu lou wniosowni otrzmujem N ziorów rozmtch Y zgodnie z uogólnioną rozmtą regułą wniosowni modus ponens Przesłn Implicj = 2... n T jest = 2... n : =... N = 2... n Wniose jest =... N Ziór rozmt jest oreślon przez złożenie zioru rozmtego i relcji tzn. = =... N. Korzstjąc z definicji złożeni wznczm funcję prznleżności T sup * X

66 Przesłn = 2... n T jest = 2... n Implicj = 2... n Wniose jest Przpde 2 N wjściu lou wniosowni otrzmujem jeden ziór rozmt Y zgodnie z uogólnioną rozmtą regułą wniosowni modus ponens Korzstjąc z definicji złożeni i sum wznczm funcję prznleżności *m sup N T X N : Stosując złożeniową regułę wniosowni mm N

67 lo wostrzni Wielością wjściową lou wniosowni jest ądź N ziorów rozmtch =... N ądź jeden ziór rozmt. Pojwi się prolem odwzorowni ziorów rozmtch lu zioru rozmtego w jedną wrtość Y tór ędzie wznczonm sterowniem n wejściu oietu. Odwzorownie to nzwm wostrzniem ng. defuzzifiction i jest ono relizowne w lou wostrzni. Jeżeli wielością wjściową lou wniosowni jest N ziorów rozmtch to wrtość Y oliczm z pomocą nstępującch metod:. Metod center verge defuzzifiction gdzie funcj N N nzwn środiem zioru rozmtego jest puntem w tórm przjmuje wrtość msimum tzn. m

68 2. Metod center of sums defuzzifiction Y Y N N d d Ide metod center verge deffuzifiction dl N = 2. Wrtość nie zleż od sztłtu orz nośni funcji prznleżności.

69 Ilustrcj metod środ ciężości Y Y Y Y m m d d Jeżeli wielością wjściową lou wniosowni jest jeden ziór rozmt to wrtość oliczm z pomocą nstępującch metod: Y 3. Metod środ ciężości ng. center of grvit method lu center of re method. Wrtość oliczm jo środe ciężości funcji prznleżności 2

70 4. Metod msimum funcji prznleżności. Wrtość oliczm zgodnie z zleżnością sup Y prz złożeniu że jest funcją unimodlną. Ilustrcj metod msimum funcji prznleżności. Metod t nie uwzględni sztłtu funcji prznleżności.