Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym"

Transkrypt

1 Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm

2 PODSTWOWE POJĘCI

3 Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni wzrost duże misto Wcześniej znne metod mtemtczne np. lsczn teori ziorów logi dwuwrtościow nie ł w stnie rozwiązć tego tpu prolemów.

4 Podstwowe definicje Definicj [ziór rozmt]: Ziorem rozmtm w pewnej niepustej przestrzeni X co zpisujem jo X nzwm ziór pr gdzie { ; X} : X [0] jest funcją prznleżności zioru rozmtego. Funcj t żdemu elementowi X przpisuje jego stopień prznleżności do zioru rozmtego prz czm możn wróżnić 3 przpdi: μ = ozncz pełną prznleżność do zioru rozmtego tzn. μ = 0 ozncz r prznleżności elementu do zioru rozmtego tzn. 0 < μ < ozncz częściową prznleżność elementu do zioru rozmtego.

5 Notcj Zdeh X jest przestrzenią o sończonej liczie elementów X = {... n }: n i i i n n X jest przestrzenią o niesończonej liczie elementów: X

6 Przłd : X = N jest ziorem licz nturlnch. Oreślm pojęcie zioru licz nturlnch lisich liczie 7 definiując ziór rozmt X: Przłd 2: X = jest ziorem licz rzeczwistch. Oreślm pojęcie zioru licz rzeczwistch lisich liczie 7 definiując funcję prznleżności 2 7 μ 7

7 . Funcj prznleżności ls s: gdzie 2 c Stndrdowe funcje prznleżności c c c c c s dl dl 2 dl 2 dl 0 ; 2 2

8 2. Funcj prznleżności ls π: 3. Funcj prznleżności ls γ: c c c c s c c c c s c dl 2 / ; dl 2 / ; ; dl dl dl 0 ;

9 4. Funcj prznleżności ls t: 5. Funcj prznleżności ls L: c c c c c t dl 0 dl dl dl 0 ; L dl 0 dl dl ;

10 Definicj: Ziór elementów przestrzeni X dl tórch μ > 0 nzwm nośniiem zioru rozmtego i oznczm supp ng. support. Zpisujem supp { X; 0} Definicj: Wsoość zioru rozmtego oznczm h i oreślm jo h sup Definicj: Ziór rozmt nzwm normlnm wted i tlo wted gd h =. Jeżeli ziór rozmt nie jest normln to możn go znormlizowć z pomocą przesztłceni N h X

11 Definicj: Ziór rozmt jest pust co zpisujem = Ø wted i tlo wted gd μ = 0 dl żdego X. Definicj: Ziór rozmt zwier się w ziorze rozmtm co zpisujem wted i tlo wted gd μ μ dl żdego X. Definicj: Ziór rozmt jest równ ziorowi rozmtemu co zpisujem = wted i tlo wted gd μ = μ dl żdego X.

12 Definicj: α-przerojem zioru rozmtego X ozncznm α nzwm nstępując ziór nierozmt } ; { X [0] czli ziór oreślon przez funcję chrterstczną Dl α-przeroju zchodzi nstępując implicj 2 2 dl 0 dl

13 Definicj: Ziór rozmt jest wpuł wted i tlo wted gd dl dowolnch 2 i λ [0] zchodzi [ 2] 2 min{ 2} Definicj 2.0: Ziór rozmt jest wlęsł wted i tlo wted gd dl dowolnch 2 i λ [0] spełnion jest nierówność [ 2] 2 m{ 2} Ziór rozmt jest wpuł wlęsł wted i tlo wted gd są wpułe wlęsłe wszstie jego α-przeroje.

14 Przłd 3: Ziór rozmt wpuł: μ Przłd 4: Ziór rozmt wlęsł: μ

15 DZIŁNI N ZIOCH OZMYTYCH

16 Opercje n ziorch rozmtch Definicj: Przecięciem ziorów rozmtch X jest ziór rozmt o funcji prznleżności min X Przecięcie ziorów rozmtch... n oreślone jest przez funcję prznleżności n n min[ i i n ] X Definicj: Ilocznem lgericznm ziorów rozmtch X jest ziór rozmt C = zdefiniown nstępująco C { ; X}

17 Definicj: Sumą ziorów rozmtch X jest ziór rozmt oreślon funcją prznleżności m X Funcj prznleżności sum ziorów rozmtch... n wrż się zleżnością n n m[ i i n ] X Uwg:. Jeżeli i są ziormi rozmtmi wpułmi to jest ziorem rozmtm wpułm. 2. Jeżeli i są ziormi rozmtmi wlęsłmi to jest ziorem rozmtm wlęsłm.

18 Przłd: Dziłnie opercji przecięci ziorów rozmtch: μ μ Przłd: Dziłnie opercji sum ziorów rozmtch: μ μ

19 Twierdzenie o deompozcji pozwl przedstwić dowoln ziór rozmt w postci sum ziorów rozmtch generownch przez α- przeroje zioru. Twierdzenie o deompozcji Kżd ziór rozmt X możn przedstwić w postci [0] gdzie α α ozncz ziór rozmt tórego elementom przpisno nstępujące stopnie prznleżności α dl α 0 dl α

20 Przłd: Deompozcj zioru rozmtego Otrzmujem:

21 Definicj Dopełnieniem zioru rozmtego X jest ziór rozmt  o funcji prznleżności μ  = μ dl żdego X. Uwg:. Opercje przecięci sum i dopełnieni mją włsności przemienności łączności i rozdzielności pondto zchodzą również prw de Morgn orz sorpcji. Jednże w przpdu ziorów rozmtch nie są spełnione prw dopełnieni tzn.   X 2. Dl funcji prznleżności przecięci ziorów rozmtch i  mm ˆ min ˆ 2 3. Podonie jest w przpdu sum ˆ m ˆ 2

22 Przłd 3.4: Ziór rozmt Â: μ μ Â μ Â Przłd 3.5: Ziór rozmt Â: μ Â

23 Definicj: Iloczn rtezjńsi ziorów rozmtch X i Y oznczm i definiujem jo min Iloczn rtezjńsi ziorów rozmtch X... n X n oznczm przez... n i definiujem jo min n i n i n n i n lu dl żdego X i Y. dl żdego X... n X n. lu n n n n

24 Definicj: Koncentrcj zioru rozmtego X oznczm CON i definiujem jo 2 CON X Definicj: ozcieńczenie zioru rozmtego X oznczm DIL i definiujem jo DIL 05 X

25 Przłd: Dziłnie opercji oncentrcji i rozcieńczeni zioru rozmtego: μ CON μ DIL

26 Definicj: Jeżeli mm pewne nierozmte odwzorownie f : X Y i pewien ziór rozmt X to zsd rozszerzni mówi że ziór rozmt induown przez to odwzorownie jest postci gdzie Zsd rozszerzni f { ; sup f f X} T definicj oejmuje przpde zrówno przestrzeni X o sończonej liczie elementów ziór jest oreślon wówczs powższm wzorem j i niesończonej liczie elementów. W tm drugim przpdu ziór rozmt induown przez odwzorownie f możn zpisć jo f f jeżeli 0 jeżeli f f

27 W nietórch zstosownich np. licz rozmte przdtn jest inn postć zsd rozszerzni. Definicj 4.2: Niech X ędzie ilocznem rtezjńsim ziorów nierozmtch X... X n. Jeżeli mm pewne nierozmte odwzorownie f : X X n Y orz pewne zior rozmte X... n X n to zsd rozszerzni mówi że ziór rozmt induown przez odwzorownie f jest postci f n { ; f n n X} prz czm sup min{ n f n n } jeżeli 0 jeżeli f f

28 LICZY OZMYTE

29 Definicj: Ziór rozmt oreślon w ziorze licz rzeczwistch tórego funcj prznleżności : [0] spełni wruni: ziór rozmt jest normln ziór jest wpuł μ jest funcją przedziłmi ciągłą nzwm liczą rozmtą. Definicj: Licz rozmt jest dodtni jeżeli μ = 0 dl wszstich < 0. Licz rozmt jest ujemn jeżeli μ = 0 dl wszstich > 0.

30 Przłd: Przłd licz rozmtch: μ

31 rtmet rozmt Zsd rozszerzni pozwl sformułowć definicję dodwni odejmowni mnożeni i dzieleni dwu licz rozmtch 2. Definicj Podstwowe opercje rtmetczne n liczch rozmtch 2 : dodwnie 2 = sup min{ 2} odejmownie 2 = sup min{ 2} mnożenie 2 = sup min{ 2} dzielenie 2 = sup min{ 2} 2 : 2 2

32 Nie zwsze wniiem opercji rtmetcznch n liczch rozmtch jest licz rozmt. Prolem ten zostje weliminown gd przeprowdzm opercje n liczch rozmtch mjącch ciągłe funcje prznleżności. Twierdzenie: Duois i Prde Jeżeli licz rozmte 2 mją ciągłe funcje prznleżności to wniiem opercji rtmetcznch dodwni odejmowni mnożeni i dzieleni są licz rozmte.

33 Opercje jednorgumentowe przeprowdz się również z pomocą zsd rozszerzni. Przłd opercji jednorgumentowch:. Opercj zmin znu. Otrzmujem liczę rozmtą przeciwną do licz rozmtej. Liczę tę oznczm jej funcj prznleżności jest równ Licz rozmte i są smetrczne względem osi. 2. Opercj odwrotności. Otrzmujem liczę rozmtą odwrotną do licz rozmtej. Liczę tę oznczm - jej funcj prznleżności jest równ Złdm że jest liczą rozmtą dodtnią lu ujemną.

34 3. Opercj slowni. Otrzmujem liczę rozmtą przeslowną w stosunu do licz rozmtej. Liczę tę oznczm λ jej funcj prznleżności jest równ 4. Opercj esponent. Otrzmujem potęgę licz rozmtej. Liczę tę oznczm e jej funcj prznleżności jest równ e Ztem e jest liczą rozmtą dodtnią. 5. Opercj wrtości ezwzględnej. Wrtość ezwzględną licz rozmtej oznczm i oreślm jo μ log dl > 0 0 dl < 0 Oczwiście jest liczą rozmtą dodtnią. mμ μ dl 0 0 dl < 0

35 Licz rozmte chrterzują się riem licz rozmtej przeciwnej i odwrotnej względem dodwni i mnożeni co np. uniemożliwi zstosownie metod elimincji do rozwiązwni równń w tórch wstępują licz rozmte. Opercje rtmetczne n liczch rozmtch wmgją dość sompliownch oliczeń dltego zproponowno Duois i Prde pewną szczególną reprezentcję licz rozmtch. eprezentcj t przedstwi licz rozmte z pomocą 3 prmetrów co zncznie uprszcz wonwnie opercji rtmetcznch.

36 Definicj: Licz rozmt jest liczą rozmtą tpu L-P wted i tlo wted gd jej funcj prznleżności m postć L P m m jeżeli jeżeli m m gdzie: m licz rzeczwist zwn wrtością licz rozmtej μ m = α licz rzeczwist dodtni zwn rozrzutem lewostronnm β licz rzeczwist dodtni zwn rozrzutem prwostronnm ntomist L i P są funcjmi odwzorowującmi [0] orz spełnijącmi wruni: L = L P = P L0 = P0 = L i P są funcjmi nierosnącmi w przedzile [0 +

37 W przpdu gd rozrzut α i β zwięszją się to licz stje się rdziej rozmt. Liczę rozmtą tpu L-P możn róto zpisć w postci m LP Opercje rtmetczne n liczch rozmtch tpu L-P sprowdzją się do opercji n trzech prmetrch. Licz rozmt przeciwn do powższej licz rozmtej jest równ m LP Sum licz rozmtch = m α β LP i = m α β LP m postć m m LP Inne opercje rtmetczne np. mnożenie i dzielenie n liczch rozmtch tpu L-P są rdziej sompliowne ich wni m chrter przliżon.

38 Definicj: Płsą liczą rozmtą tpu L-P nzwm liczę rozmtą o funcji prznleżności m L jeżeli m jeżeli m m 2 m P jeżeli m 2 Płsą liczą rozmtą możem utożsmić z przedziłem rozmtm postci m2 m LP

39 NOMY TÓJKĄTNE

40 Norm trójątne Podne wcześniej definicje opercji przecięci i sum ziorów rozmtch nie są jednmi definicjmi tch opercji. Przecięcie ziorów rozmtch możem zdefiniowć ogólniej jo T gdzie funcj T jest tzw. T-normą. Ztem minμ μ = Tμ μ jest przłdem dziłni T- norm. Podonie sumę ziorów rozmtch definiujem nstępująco T-norm orz S-norm nleżą do tzw. norm trójątnch. S gdzie funcj S jest tzw. S-normą. W tm przpdu mμ μ = Sμ μ jest przłdem dziłni S-norm.

41 T-norm Definicj: Funcję dwóch zmiennch T T :[0] [0] [0] nzwm T-normą jeżeli: funcj T jest nierosnąc względem ou rgumentów T c T d dl c d funcj T spełni wrune przemienności T = T funcj T spełni wrune łączności TT c = T T c funcj T spełni wruni rzegowe T 0 = 0 T = gdzie c d [0].

42 Dowoln T-norm jest ogrniczon w sposó nstępując W dlszej części dziłnie T-norm n rgumentch ędziem oznczć gd 0 gd gd T w min T T w gdzie T w jest T-normą postci T T *

43 S-norm Definicj: Funcję dwóch zmiennch S S :[0] [0] [0] nzwm S-normą jeżeli: funcj S jest nierosnąc względem ou rgumentów S c S d dl c d funcj S spełni wrune przemienności S = S funcj S spełni wrune łączności SS c = S S c funcj S spełni wruni rzegowe S 0 = S = gdzie c d [0]. Funcj S nosi tże nzwę o-norm lu norm dulnej względem T-norm.

44 m S S w S S * Dowoln S-norm jest ogrniczon w sposó nstępując W dlszej części dziłnie S-norm n rgumentch ędziem oznczć 0 gd 0 gd 0 gd S w gdzie S w jest S-normą postci

45 Nleż podreślić że żdej T-normie odpowid S-norm zleżność międz nimi wrż równnie T S * * Kil częściej spotnch T- orz S-norm: Nr T S min m m + 0 min gd gd gd gd gd gd 0 0 0

46 ELCJE OZMYTE

47 elcje rozmte i ich włściwości elcje rozmte pozwlją sformlizowć niepreczjne sformułowni tpu jest prwie równe lu jest zncznie więsze od. Definicj: elcją rozmtą międz dwom niepustmi ziormi nierozmtmi X i Y nzwm ziór rozmt oreślon n ilocznie rtezjńsim X Y tzn. XY { : X Y} Innmi słow relcj rozmt jest ziorem pr gdzie { } : X Y [0] X Y jest funcją prznleżności. Funcj t żdej prze X Y przpisuje jej stopień prznleżności μ tór m interpretcję sił powiązni międz elementmi i.

48 W teorii ziorów rozmtch wżną rolę odgrw pojęcie złożeni dwóch relcji rozmtch. Definicj 7.2: Złożeniem tpu sup-t relcji rozmtch X Y i S Y Z nzwm relcję rozmtą S X Z o funcji prznleżności T S z sup * S z Y Konretn postć funcji prznleżności μ S z złożeni S zleż od przjętej T-norm. Jeżeli jo T-normę przjmiem min to otrzmm złożenie tpu sup-min S Jeżeli ziór Y m sończoną liczę elementów to złożenie tpu sup-min sprowdz się do złożeni tpu m-min postci S z sup min z Y z m min z Y S S

49 I mcierz jednostow O mcierz zerow I I O O O T S T S n m n m mn n m T S T S T S T S T S T S Podstwowe włsności relcji rozmtch

50 Szczególnie wżne w różnch zstosownich jest złożenie zioru rozmtego z relcją rozmtą. Definicj 7.3: Złożenie zioru rozmtego X i relcji rozmtej X Y oznczm przez i definiujem jo ziór rozmt Y = o funcji prznleżności T sup * X Konretn postć funcji prznleżności μ zleż od przjętej T-norm orz od włściwości zioru X. Wróżnim 4 przpdi: T ziór X tp μ min niesończon sup-min min sończon m-min niesończon sup-iloczn sończon m-iloczn sup{min[ ]} X m{min[ ]} X sup{ } X m{ } X

51 PZYLIŻONE WNIOSKOWNIE

52 Podstwowe reguł wniosowni w logice dwuwrtościowej Definicj: egułę wniosowni modus ponens oreśl nstępując schemt Przesłn Implicj Wniose Definicj: egułę wniosowni modus tollens oreśl nstępując schemt Przesłn Implicj Wniose prz czm i smolizują zdni zś i ich zprzeczeni.

53 Podstwowe reguł wniosowni w logice rozmtej Definicj: Uogólnioną rozmtą regułę wniosowni modus ponens oreśl nstępując schemt Przesłn jest Implicj IF jest THEN jest Wniose jest gdzie X orz Y są ziormi rozmtmi ntomist i są tzw. zmiennmi lingwistcznmi. Zmienne lingwistczne to tie zmienne tóre przjmują jo swoje wrtości słow lu zdni wpowiedzine w jęzu nturlnm. Przłdem może ć stwierdzenie mł prędość. Możn je sformlizowć poprzez przporządownie im pewnch ziorów rozmtch. Mogą również przjmowć wrtości liczowe. Jeżeli = orz = to uogólnion rozmt reguł wniosowni modus ponens reduuje się do trdcjnej reguł modus ponens.

54 Przłd: Przesłn Implicj Wniose Prędość smochodu jest duż Jeżeli prędość smochodu jest rdzo duż to poziom hłsu jest wsoi Poziom hłsu w smochodzie jest średniowsoi zmienn lingwistczn prędość smochodu zmienn lingwistczn poziom hłsu T = { mł średni duż rdzo duż } ziór wrtości zmiennej T 2 = { mł średni średniowsoi wsoi } ziór wrtości zmiennej = rdzo duż prędość smochodu = duż prędość smochodu = wsoi poziom hłsu = średniowsoi poziom hłsu Wniose reguł rozmtej odnosi się do pewnego zioru rozmtego tór jest oreślon przez złożenie zioru rozmtego i rozmtej implicji tzn. = prz czm funcj prznleżności zioru rozmtego m postć T sup{ * } X

55 Definicj: Uogólnioną rozmtą regułę wniosowni modus tollens oreśl nstępując schemt Przesłn jest Implicj IF jest THEN jest Wniose jest gdzie X orz Y są ziormi rozmtmi ntomist i są tzw. zmiennmi lingwistcznmi. Jeżeli = orz = to uogólnion rozmt reguł wniosowni modus tollens reduuje się do trdcjnej reguł modus tollens.

56 Przłd: Przesłn Implicj Wniose Poziom hłsu w smochodzie jest średniowsoi Jeżeli prędość smochodu jest rdzo duż to poziom hłsu jest wsoi Prędość smochodu jest duż zmienn lingwistczn prędość smochodu zmienn lingwistczn poziom hłsu T = { mł średni duż rdzo duż } ziór wrtości zmiennej T 2 = { mł średni średniowsoi wsoi } ziór wrtości zmiennej = rdzo duż prędość smochodu = duż prędość smochodu = wsoi poziom hłsu = średniowsoi poziom hłsu Wniose reguł rozmtej odnosi się do pewnego zioru rozmtego tór jest oreślon przez złożenie relcji = prz czm funcj prznleżności zioru rozmtego m postć sup{ * } Y T

57 eguł rozmtej implicji Definicj: Niech i ędą ziormi rozmtmi X orz X. ozmtą implicją nzwm relcję oreśloną w X Y i zdefiniowną z pomocą jednej z poniższch reguł.. eguł tpu miniumum tzw. reguł Mmdniego: 2. eguł tpu iloczn tzw. reguł Lrsen: ] min[ 3. eguł Łusiewicz: ] min[ 4. eguł tpu m-min tzw. reguł Zdeh: } ] m{min[

58 5. eguł inrn: 6. eguł Goguen: ] m[ min 7. eguł Shrp: gd 0 gd 8. eguł Gődel: ] min[ gd gd 9. eguł proilistczn: ] min[ 0. eguł ogrniczonej sum:

59 STEOWNIKI OZMYTE

60 Zstosownie teorii ziorów rozmtch do sterowni procesów technologicznch nie wmg znjomości modeli tch procesów. Nleż jednie sformułowć reguł postępowni w formie rozmtch zdń wrunowch tpu IF... THEN... Zstosowni ziorów rozmtch oejmują oecnie cłą gmę zgdnień od prostch urządzeń domowego użtu prli lodówi odurzcze do rdziej złożonch sstemów np. ndzorującch wentlcję tuneli podziemnch lu wspomgjącch producję loholu jpońsiego se.

61 Przłd 9.: Schemt ułdu limtzcji tór n podstwie zmierzonch wrtości tempertur i wilgotności wzncz sgnł sterując odpowidjąc intenswności chłodzeni dnego pomieszczeni. Sterowni rozmt 2 Klimtztor Czujni tempertur Czujni wilgotności Poój Przłdow reguł: IF tempertur jest wso ND wilgotność jest duż THEN intenswność chłodzeni jest duż

62 Klsczn sterowni rozmt Klsczn sterowni rozmt słd się z z reguł lou rozmwni lou wniosowni orz lou wostrzni. z reguł lo rozmwni X lo wniosowni N lo wostrzni

63 z reguł zę reguł nzwną czsmi modelem lingwistcznm stnowi ziór rozmtch reguł =... N postci : IF THEN jest jest ND ND 2 2 jest jest 2 2 ND ND n m jest jest gdzie: N licz rozmtch reguł i zior rozmte tie że i X i i =... n j zior rozmte tie że j Y j j =... m 2... n zmienne wejściowe modelu lingwistcznego prz czm 2... n T = X X 2... X n 2... m zmienne wjściowe modelu lingwistcznego prz czm 2... m T = Y Y 2... Y m Smolmi X i i =... n orz Y j j =... m oznczm odpowiednie przestrzenie zmiennch wejściowch i wjściowch. n m

64 lo rozmwni Konretn wrtość T X 2 sgnłu wejściowego sterowni rozmtego podleg opercji rozmwni ng. fuzzifiction w wniu tórej zostje odwzorown w ziór rozmt X = X X 2... X n. W zgdnienich sterowni njczęściej stosuje się opercję rozmwni tpu singleton dl 0 dl Ziór rozmt jest wejściem lou wniosowni. Jeżeli sgnł wejściow jest mierzon wrz z złóceniem to ziór rozmt możn oreślić poprzez funcję prznleżności T ep 2 gdzie σ > 0. Wówczs opercj rozmwni jest tpu non-singleton. n

65 lo wniosowni Złdm że n wejściu lou wniosowni mm ziór rozmt X = X X 2... X n. Przpde N wjściu lou wniosowni otrzmujem N ziorów rozmtch Y zgodnie z uogólnioną rozmtą regułą wniosowni modus ponens Przesłn Implicj = 2... n T jest = 2... n : =... N = 2... n Wniose jest =... N Ziór rozmt jest oreślon przez złożenie zioru rozmtego i relcji tzn. = =... N. Korzstjąc z definicji złożeni wznczm funcję prznleżności T sup * X

66 Przesłn = 2... n T jest = 2... n Implicj = 2... n Wniose jest Przpde 2 N wjściu lou wniosowni otrzmujem jeden ziór rozmt Y zgodnie z uogólnioną rozmtą regułą wniosowni modus ponens Korzstjąc z definicji złożeni i sum wznczm funcję prznleżności *m sup N T X N : Stosując złożeniową regułę wniosowni mm N

67 lo wostrzni Wielością wjściową lou wniosowni jest ądź N ziorów rozmtch =... N ądź jeden ziór rozmt. Pojwi się prolem odwzorowni ziorów rozmtch lu zioru rozmtego w jedną wrtość Y tór ędzie wznczonm sterowniem n wejściu oietu. Odwzorownie to nzwm wostrzniem ng. defuzzifiction i jest ono relizowne w lou wostrzni. Jeżeli wielością wjściową lou wniosowni jest N ziorów rozmtch to wrtość Y oliczm z pomocą nstępującch metod:. Metod center verge defuzzifiction gdzie funcj N N nzwn środiem zioru rozmtego jest puntem w tórm przjmuje wrtość msimum tzn. m

68 2. Metod center of sums defuzzifiction Y Y N N d d Ide metod center verge deffuzifiction dl N = 2. Wrtość nie zleż od sztłtu orz nośni funcji prznleżności.

69 Ilustrcj metod środ ciężości Y Y Y Y m m d d Jeżeli wielością wjściową lou wniosowni jest jeden ziór rozmt to wrtość oliczm z pomocą nstępującch metod: Y 3. Metod środ ciężości ng. center of grvit method lu center of re method. Wrtość oliczm jo środe ciężości funcji prznleżności 2

70 4. Metod msimum funcji prznleżności. Wrtość oliczm zgodnie z zleżnością sup Y prz złożeniu że jest funcją unimodlną. Ilustrcj metod msimum funcji prznleżności. Metod t nie uwzględni sztłtu funcji prznleżności.

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Definicja. Złożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej. Rozważmy. zbiór rozmyty A X z funkcją przynależności

Definicja. Złożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej. Rozważmy. zbiór rozmyty A X z funkcją przynależności Zagadnienia I Złożenie zbioru rozmtego i relacji rozmtej Rozważm zbiór rozmt X z funcją prznależności relację rozmtą RX Y z funcją prznależności Definicja R Złożenie zbioru rozmtego i relacji rozmtej R

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Podstawy układów logicznych

Podstawy układów logicznych Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE STAŁEJ RÓWNOWAGI KWASOWO ZASADOWEJ W ROZTWORACH WODNYCH

WYZNACZANIE STAŁEJ RÓWNOWAGI KWASOWO ZASADOWEJ W ROZTWORACH WODNYCH Politehni Śląs WYDZIŁ CHEMICZNY KTEDR FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW WYZNCZNIE STŁEJ RÓWNOWGI KWSOWO ZSDOWEJ W ROZTWORCH WODNYCH Opieun: Miejse ćwizeni: Ktrzyn Kruiewiz Ktedr Fizyohemii i Tehnoii

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

szkicuje wykresy funkcji: f ( x)

szkicuje wykresy funkcji: f ( x) Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls tps Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące oziom Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm

Bardziej szczegółowo

Topologia i podzbiory,

Topologia i podzbiory, Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

4.3. Przekształcenia automatów skończonych 4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły

Bardziej szczegółowo

Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego

Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego Uniwersytet Wrszwski Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mechniki Jonn Dys Nr lbumu: 233996 Miry ryzyk duln teori użyteczności Yriego Prc mgistersk n kierunku MATEMATYKA Prc wykonn pod kierunkiem dr hb. Wojciech

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych. Przkłd 6 Przkrój złożon z trzh ksztłtowników wlownh Polni: Wznzć główn ntrln momnt bzwłdnośi orz kirunki główn dl poniższgo przkroju złożongo z trzh ksztłtowników wlownh 0800 0 80800 Dn dotzą ksztłtowników

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo