Zagadnienie brachistochrony jako przyk lad zastosowania rachunku wariacyjnego

Transkrypt

1 Zgnienie brchistochrony jko przyk l zstosowni rchunku wricyjnego 1. Przestwienie problemu. Równni Euler-Lgrenge 3. Tożsmość Beltrmiego 4. Równnie cykloiy 5. Zs Fermt 1 Przestwienie problemu Brchistochron to krzyw, po której czs stczni si e msy punktowej o punktu A o punktu B po wp lywem st lej si ly np. si ly ci eżkości jest njkrótszy. Nzw pochozi o z lożeni greckich s lów brchistos - njkrótszy i chronos - czs. Rysunek 1: Brchistochron Zgnienie brchistochrony by lo jenym z pierwszych, o rozwizni którego wykorzystno rchunek wricyjny. Postwiony w 1696 przez Jkub Bernoulliego problem znlezieni krzywej njszybszego spku zost l rozwizny niezleżnie przez Leibniz, Newton, Jn Bernoulliego orz e L Hospitl. Okz lo sie, że brchistochron jest frgment cykloiy. Rozwżmy uk l wspó lrz enych w którym oś OY jest skierown o o lu. Zk lmy, że punktowy obiekt o msie m zostje puszczony z punktu A i porusz sie po pewnej trjektorii, tk jk n rysunku poniżej. Przyjmujemy, że trjektori t jest wykresem funkcji y : [, b] R. Wówczs l owolnego x 0 wektor prekości vx w punkcie x, yx jest styczny o krzywej y i ponto, z zsy zchowni energii, jego lugość vx spe lni równnie m vx = mgyx, gzie g jest przyspieszeniem. 1

2 Policzmy czs w jkim kulk strtujc z punktu A znjzie sie w punkcie B. Wektor w = 1, y x jest styczny o wykresu funkcji w punkcie x, yx. Ztem po m- lym przyroście prmetru x, który oznczmy przez x kulk przebezie roge s = 1 + y x x ztem czs przebyci ocink rogi s bezie wynosić 1 + y x x = vx 1 + y x x. Niech CA,B 1 [, b] ozncz przestrzeń funkcji y : [, b] R klsy C1 tkich, że, y = A, b, yb = B orz niech C0 1[, b] ozncz przestrzeń funkcji ci g lych y : [, b] R tkich, że y = yb = 0. Niech F : CA,B 1 [, b] R b ezie owzorowniem nym wzorem b 1 + y F y = x x Jeśli y jest wykresem krzywej przy której czs otrci z punktu A o punktu B jest njkrótszy, to y jest minimum globlnym funkcji F. Ztem l owolnej funkcji ϕ C0 1[, b] mmy y + tϕ C1 A,B [, b] orz owzorownie 1, 1 t F y + tϕ przyjmuje minimum w punkcie t = 0. Dltego t F y + tϕ t=0 = 0. Równni Euler-Lgrenge Twierzenie.1. Postwowe twierzenie rchunku wricyjnego Niech f : [, b] R bezie funkcj cig l tk, że Wtey ft = 0 l t [, b]. ftϕt t = 0 l ϕ C 0 [, b]. Niech L : R 3 R bezie osttecznie g lkim owzorowniem. Definiujemy funkcjon l I : C A,B [, b] R wzorem Iu := Lx, ux, u x x l u C A,B [, b].

3 Twierzenie.. Jeśli funkcj cig l u : [, b] R jest punktem minimlnym funkcjon lu I, to l owolnej funkcji ϕ C0 1 [, b] spe lnion jest równość 1 u x, ux, u xϕx + u x, ux, u xϕ x x = 0. C lkujc równnie 1 przez cześci wizimy, że owolny punkt minimlny funkcjon lu I spe lni nstepuj c równość u x, ux, u xϕx x x u x, ux, u xϕx x = 0 l x [, b], co n postwie postwowego twierzeni rchunku wricyjnego implikuje, że spe lnione jest nstepuj ce równnie Euler-Lgrnge 3 u x, ux, u x x 3 Tożsmość Beltrmiego u x, ux, u x l x [, b]. Twierzenie 3.1. Tożsmość Beltrmiego Niech u : [, b] R bezie osttecznie g lk funkcj spe lnijc równnie Euler-Lgrnge 3. Wówczs Lx, ux, u x u x x u x, ux, u x = x x, ux, u x l x [, b]. Dowó. Stosujc wzór n różniczkownie funkcji z lożonej otrzymujemy nstepuj c równość x Lx, ux, u x = x x, ux, u x + u x u Lx, ux, u x + u x u Lx, ux, u x. Ponto, stosujc wzór n różniczkownie iloczynu funkcji mmy u x x u x, ux, u x = u x u x, ux, u x + u x x u x, ux, u x. Oejmujc powyższe równości stronmi i uwzglenij c 3 otrzymujemy Lx, ux, u x u x x x x, ux, u x = u x, ux, u x, co jest żn równości. 4 Równnie cykloiy Niech L : R 3 R bezie owzorowniem nym wzorem 1 + z Lx, y, z = l x, y, z R 3. gy 3

4 Jeśli y : [, b] R jest funkcj, któr wyzncz roge njszybszego stczni sie msy punktowej z punktu A o B, to funkcj y jest punktem minimlnym funkcjon lu b 1 + y F y = x x. Stosujc tożsmość Beltrmiego otrzymujemy 1 + y x y x 1 + y x = C, co po uproszczeniu je Rozwizuj c to równnie otrzymujemy yx1 + y x = 1 gc =: k l x [, b]. xθ = 1 k θ sin θ orz yθ = 1 k 1 cos θ l θ R. Powyższe wzory s równnimi prmetrycznymi cykloiy krzywej, jk opisuje tor punktu leżcego n obwozie ko l, które toczy sie bez poślizgu po prostej. Ztem brchi- Rysunek : Sposób konstrukcji cykloiy, := 1 k stochron jest frgmentem opowienio przesklownej cykloiy, czyli krzywej γ : R R nej wzorem γt = θ sin θ, 1 cos θ l θ R, l której prmetr > 0 jest tk obrny, by γθ 0 = B l pewnego t 0 R. 5 Zs Fermt Zs Fermt: promień świetlny, poruszjc sie z punktu A o punktu B wybier zwsze te roge n której przebycie potrzebuje njmniej czsu. Użyjemy zse Fermt o wyprowzeni zsy z lmni. Niech n 1 orz n be wspó lczynnikmi z lmni ośroków. Wtey v 1 = c/n 1 orz v = c/n. Niech x bezie 4

5 Rysunek 3: Prwo z lmni punktem z leżcy n grnicy ośroków prze których przechozi promień poruszjc sie z punktu A = 0, h 1 o punktu B = b, h po roze o njkrótszym czsie przebyci. Wówczs czs potrzebny n przebycie tej rogi wynosi tx = x + h 1 v 1 + Skoro czs przebyci jest njkrótszy mmy b x + h v. co implikuje, że Wtey tx x = 0 x b x v 1 x + h 1 v b x + h v 1 v = x x +h 1 b x b x +h = sin α sin β = 0. co jest oczekiwn zs z lmni. 5