Programy współbieżne
|
|
- Anna Wróblewska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne
2 PJP Prosty Język Procesów Definicje rekursywne x = P(x) rekursywn definicj Skłdni PJP P ::= 0 pusty proces.p kcj P + P niedeterministyczny wyór P P złożenie równoległe x odwołnie do rekursywnej definicji Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -2-
3 Przykłdy sum dwóch pustych procesów...0 wykonj, potem, potem c i skończ x =.x wykonuj nieskończenie wiele rzy x =.x.x generuj współieżne kopie x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -3-
4 Semntyk opercyjn PJP Proces P może przesksztłcić się w proces Q poprzez wykonnie kcji, notcj P Q jeśli tkie stwierdzenie d się wywieść z podnych dlej reguł Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -4-
5 Semntyk opercyjn PJP.P P P R P+Q R wykonnie kcji niedeterministyczny wyór lewego procesu Q R P+Q R niedeterministyczny wyór prwego procesu Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -5-
6 Semntyk opercyjn PJP (cd) P R P Q R Q wyór lewego procesu Q R P Q P R wyór prwego procesu x=p P Q x Q odwołnie do definicji Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -6-
7 Konsekwencje semntyki opercyjnej Proces 0 nie może wykonć żdnej kcji: 0 P nie d się wywieść! Podonie zlokowne są procesy: 0+0, 0 0, Proces.P może wykonć tylko jedną kcję:.p P Ogólnie, kżdy proces P może wykonć skończoną liczę kcji, to znczy istnieje skończenie wiele Q orz tkich, że P Q. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -7-
8 Grf przejść:.x dl x =.x.x x.x.x x x =.x.x x x x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -8-
9 Od procesów do grfów przejść Stny = procesy Relcj przejści etykietown kcjmi P Q jeśli d się tkie stwierdzenie wywieść z reguł semntyki opercyjnej Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -9-
10 Grf przejść:.x dl x =.x +.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -10-
11 Grf przejść:.x dl x =.x +.x.x.x+.x x.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -11-
12 Grf przejść:.x dl x =.y+.x orz y =.x Proces.x gdzie x =.y+.x y =.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -12-
13 Grf przejść:.x dl x =.y+.x orz y =.x Proces.x gdzie x =.y+.x y =.x.y y.y+.x x.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -13-
14 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Proces.x gdzie x =.0+..x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -14-
15 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Proces.x gdzie x =.0+..x.x..x.0+..x x.x.0 0 Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -15-
16 Grf przejść: x =.x.x Frgment, owiem grf jest nieskończony...x.x x.x x x.x.x (.x x ) x x.x ((x.x) x ) (x.x ) (.x x ) Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -16-
17 Interesujące włsności procesów Wyklucznie współieżne procesy mją wyłączność n dziłnie w sekcji krytycznej Dedlock = lokd = zkleszczenie stn, w którym proces nie może wykonywć żdnych kcji Zgłdznie jeden z procesów jest pozwiony przez inne dostępu do zsoów Jk wyrzić tkie włsności??? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -17-
18 HML (Wielo-)modln logik Hennessy-Milner Φ ::= tt prwd Φ Ψ koniunkcj Φ negcj Φ możn wykonć y osiągnąć Φ []Φ kżde wykonnie prowdzi do Φ fłsz: ff tt dyzjunkcj: Φ Ψ ( Φ Ψ) Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -18-
19 Semntyk HML Proces P spełni formułę Φ: P = Φ P = tt P = Φ Ψ P = Φ P = Φ P = []Φ zwsze jeśli P = Φ orz P = Ψ jeśli P = Φ jeśli P Q i Q = Φ dl pewnego Q jeśli P Q implikuje Q = Φ dl kżdego Q Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -19-
20 Przykłdy P = tt proces P może wykonć kcję P = ff równowżne ff P = tt proces P może wykonć kcje, poczym P = tt tt proces P może wykonć kcję lu kcję P = tt tt proces P może wykonć kcję orz kcję Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -20-
21 Przykłdy (cd) P = [] ff proces P nie może wykonć kcji P = [] tt równowżne tt P = [] tt zchodzi zwsze, jeśli P = [] ff po kżdej kcji proces P gotów wykonć P = [] ff tt P nie może wykonć lu może kcję P = [] ff tt P może wykonć kcję orz nie może Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -21-
22 Przykłdy (cd) Notcj: [-]Φ A []Φ - Φ A P = [-] ff proces P nie może wykonć żdnej kcji proces P jest zlokowny!!! P = - tt proces P może wykonć jkąś kcję proces P jest żywy Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -22-
23 Grf przejść:.x dl x =.x +.x.x = tt?.x = []ff?.x = tt?.x.x = []ff?.x = [] tt?.x = []ff tt?.x = []ff tt?.x+.x x x = [] [-] ff?.x x = [] - tt? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -23-
24 Grf przejść:.x dl x =.x +.x.x = tt.x = []ff.x = tt.x.x = []ff.x = [] tt.x = []ff tt.x = []ff tt.x+.x x x = [] [-] ff x = [] - tt.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -24-
25 Grf przejść:.x dl x =.y+.x i y =.x.x = tt?.x = []ff?.y y.x = tt?.x = []ff?.x = [] tt?.y+.x x.x.x = []ff tt?.x = []ff tt? x = [] [-] ff? x = [] - tt? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -25-
26 Grf przejść:.x dl x =.y+.x i y =.x.x = tt.x = []ff.y y.x = tt.x = []ff.x = [] tt.x = []ff tt.x = []ff tt x = [] [-] ff x = [] - tt.y+.x x.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -26-
27 Grf przejść:.x dl x =.0+..x.x = tt?.x = []ff?.x.x = tt?.x = []ff?.x = [] tt? x = [][]ff [] tt?..x x x.x x = []ff [] tt? x = [-] ff? 0 x = [] - tt? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -27-
28 Grf przejść:.x dl x =.0+..x.x = tt.x = []ff.x.x = tt.x = []ff.x = [] tt x = [][]ff [] tt x = []ff [] tt x = [-] ff..x x x 0.x x = [] - tt Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -28-
29 Przykłdy (cd) P = [-] ff dedlock (lokd) proces P nie może wykonć żdnej kcji P = - tt P jest żywy proces P może wykonć jkąś kcję P = - tt []ff??? P = - tt [-]Φ??? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -29-
30 Przykłdy (cd) P = [-] ff dedlock (lokd) proces P nie może wykonć żdnej kcji P = - tt P jest żywy proces P może wykonć jkąś kcję P = - tt []ff proces P może wykonć tylko kcję P = - tt [-]Φ??? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -30-
31 Przykłdy (cd) P = [-] ff dedlock (lokd) proces P nie może wykonć żdnej kcji P = - tt P jest żywy proces P może wykonć jkąś kcję P = - tt []ff proces P może wykonć tylko kcję P = - tt [-]Φ P jest żywy, cokolwiek zroi, zjdzie Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -31-
32 Negcj w logice HM jest zędn ff tt tt ff (Φ Ψ) ( Φ) ( Ψ) (Φ Ψ) ( Φ) ( Ψ) Φ [] ( Φ) []Φ ( Φ) - Φ [-] ( Φ) [-]Φ - ( Φ) Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -32-
33 Prwdziwość, spełnilność,... Φ jest spełniln jeśli P = Φ dl pewnego procesu P Φ jest niespełniln jeśli P = Φ dl żdnego procesu P Φ jest tutologią jeśli P = Φ dl kżdego procesu P Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -33-
34 Prwdziwość, spełnilność,... Φ jest spełniln to Φ jest niespełniln??? Φ jest niespełniln to Φ jest tutologią??? Φ jest tutologią to Φ jest spełniln??? Φ jest tutologią to Φ jest niespełniln??? Czy []Φ [] Φ jest tutologią? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -34-
35 Prwdziwość, spełnilność,... Φ jest spełniln to Φ jest niespełniln??? Φ jest niespełniln to Φ jest tutologią??? Φ jest tutologią to Φ jest spełniln??? Φ jest tutologią to Φ jest niespełniln??? Czy []Φ [] Φ jest tutologią? Nie! [] tt [][]ff nie jest tutologią! Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -35-
36 Spełnilność Dne: formuł Φ Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest NP-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -36-
37 Model checking Dne: proces P formuł Φ Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest P-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -37-
38 HML z mło ekspresywn! Żden z prolemów: Czy ewolucj procesu P może kiedyś doporowdzić do dedlocku? Czy w kżdej ewolucji procesu P mmy zpewnione wyklucznie? nie dje się wyrzić w HML, o kżd formuł d tylko skończony początek ewolucji. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -38-
39 Ścieżki Ścieżk z P to ciąg procesów, (skończony lu nie), π = P 0,P 1,...,P n tki, że P=P 0 orz dl wszystkich i zchodzi P i Pi+1 dl pewnego Notcj: π i = P i,p i+1,...,p n przeieg to ścieżk nieskończon, lu skończon kończąc się w zlokownym procesie. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -39-
40 LTL logik czsu liniowego Logik Czsu Liniowego Φ ::= p zmienn zdniow tt prwd Φ Ψ koniunkcj Φ negcj (-)Φ w jednym kroku możn osiągną Φ FΦ proces może osiągnąć Φ GΦ proces zwsze ędzie spełnić Φ Φ U Ψ proces spełni Ψ do tego czsu ędzie spełnił Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -40-
41 Semntyk LTL Wrtościownie ρ przypisuje kżdej zmiennej zdniowej p ziór procesów ρ(p) które ją spełniją. π, ρ = Φ ścieżk π przy wrtościowniu ρ spełni Φ P,ρ = Φ proces P przy wrtościowniu ρ spełni Φ jeśli π, ρ = Φ dl kżdego przeiegu π z P, tzn. dl kżdej mksymlnej (nieskończonej lu zlokownej) ścieżki z P Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -41-
42 Semntyk LTL (cd) π = P 0,P 1,...,P n ścieżk z P ρ wrtościownie π, ρ = p jeśli P 0 ρ(p) π, ρ = tt zwsze π, ρ = Φ Ψ jeśli π = Φ orz π, ρ = Ψ π, ρ = Φ jeśli π = Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -42-
43 Semntyk LTL (cd) π, ρ = (-)Φ jeśli π 1, ρ = Φ π, ρ = FΦ jeśli π i, ρ = Φ dl pewnego i π, ρ = GΦ jeśli π i, ρ = Φ dl kżdego i π, ρ = Φ U Ψ jeśli π i, ρ = Ψ dl pewnego i orz π j, ρ = Φ dl j = 0,..., i 1 Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -43-
44 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeieg π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku.x, ρ = q p?..x q.x p x, ρ = q p? π, ρ = F(p q)? π, ρ = F(p q)?.0+..x x q x, ρ = F(p q)? x, ρ = F(p q)? x, ρ = F(q p)? 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -44-
45 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeiegi: π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku.x, ρ = q p..x q.x p x, ρ = q p π, ρ = F(p q) π, ρ = F(p q).0+..x x q x, ρ = F(p q) x, ρ = F(p q) x, ρ = F(q p) 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -45-
46 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeieg π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku x, ρ = G(p q)?..x q.x p π, ρ = F(Fq Gp)? π, ρ = F(Fq Gp)? x, ρ = q U p?.0+..x x q x, ρ = p U q? π, ρ = p U G(p q)? π, ρ = q U G(p q)? 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -46-
47 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeieg π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku x, ρ = G(p q)..x q.x p π, ρ = F(Fq Gp) π, ρ = F(Fq Gp) x, ρ = q U p x, ρ = p U q π, ρ = p U G(p q) π, ρ = q U G(p q).0+..x x q 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -47-
48 Spełnilność Dne: formuł Φ LTL Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest PSPACE-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -48-
49 Model checking Dne: proces P formuł Φ LTL Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest PSPACE-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -49-
50 CTL logik czsu rozgłęzionego Wrcmy do HML i czsu rozgłęzionego Dl kżdego opertor temporlnego z LTL, np. dl F, rozwżmy dw wrinty AFΦ dl kżdej ścieżki kiedyś zjdzie Φ EFΦ dl pewnej ścieżki kiedyś zjdzie Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -50-
51 CTL logik czsu rozgłęzionego Φ ::= tt prwd Φ Ψ koniunkcj Φ negcj Φ w jkimś -kroku możn osiągną Φ []Φ kżdy -krok prowdzi do Φ A Φ U Ψ n kżdej ścieżce kiedyś spełni się Ψ do tego czsu zchodzić ędzie Φ E Φ U Ψ n pewnej ścieżce kiedyś spełni się Ψ do tego czsu zchodzić ędzie Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -51-
52 CTL logik czsu rozgłęzionego EFΦ AFΦ EGΦ AGΦ n pewnej ścieżce kiedyś spełni się Ψ n kżdej ścieżce kiedyś spełni się Ψ n pewnej ścieżce zwsze zchodzi Ψ n kżdej ścieżce zwsze zchodzi Ψ Powyższe są definiowlne przez Until: EFΦ E(ttUΦ) EGΦ EF Φ AFΦ A(ttUΦ) AGΦ AF Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -52-
53 Semntyk CTL Nowe kluzule P = A Φ U Ψ P = E Φ U Ψ dl kżdej ścieżki P = P 0,P 1,...,P n P i = Ψ dl pewnego i orz P j = Φ dl j = 0,..., i 1 istnieje ścieżk P = P 0,P 1,...,P n tk, że P i = Ψ dl pewnego i orz P j = Φ dl j = 0,..., i 1 Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -53-
54 Wyrżlne włsności Bezpieczeństwo : AGΦ zł włsność Φ n żdnej śceiżce nigdy nie zjdzie Przykłdy: Wyklucznie: AG([cs1]ff [cs2]ff) System nigdy nie ędzie gotów do jednoczesnego wykonni kcji cs1 orz cs2 gwrncj wyłącznego korzystni z zsou przez procesy. Brk dedlocku: AG - tt System nigdy nie dojdzie do stnu pełnego zlokowni Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -54-
55 Wyrżlne włsności Żywotność : AFΦ dor włsność Φ n kżdej ścieżce kiedyś zjdzie Przykłdy: Gwrntown rekcj systemu: [req]af( serv tt) N kżde zgłoszenie żądni req proces kiedyś zreguje kcją osługi serv tegoż żądni Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -55-
56 Wyrżlne włsności Słe ezpieczeństwo EGΦ zł włsność Φ n pewnych ścieżkch nie zchodzi Sł żywotność EFΦ dor włsność Φ n pewnych ścieżkch kiedyś zjdzie Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -56-
57 Grf przejść:.x dl x =.0+..x x = AF(p q)? x = EF(p q)? x = AG(p q)?..x q.x p x = EG(p q)? x = EF[] tt? x = AF[] tt? x = EG[] tt?.0+..x x q x = EG( tt tt)? x = AG( tt tt)? 0 p x = AG( tt tt)? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -57-
58 Grf przejść:.x dl x =.0+..x x = AF(p q) x = EF(p q) x = AG(p q) x = EG(p q) x = EF[] tt..x q.x p x = AF[] tt x = EG[] tt x = EG( tt tt) x = AG( tt tt) x = AG( tt tt).0+..x x q 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -58-
59 Spełnilność CTL Dne: formuł Φ CTL Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest EXPTIME-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -59-
60 Model checking CTL Dne: skończony proces P formuł Φ CTL Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest P-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -60-
61 CTL z LTL są nieporównywlne EFAGp tzn., n pewnej scieżce kiedyś dojdziemy do sytucji, gdy kżd przyszł ewolucj zwsze gwrntowć ędzie p Nie d się wyrzić równowżną formułą LTL FGp od pewnego momentu n kżdej ścieżce gwrntowne jest p Nie d się wyrzić równowżną formułą CTL Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -61-
62 CTL* Zwier CTL orz LTL Formuły ścieżkowe orz stnowe Kwntyfiktory A i E zstosowne do formuły ścieżkowej dją formułę stnową. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -62-
63 Spełnilność CTL* Dne: formuł Φ CTL* Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest 2EXPTIME-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -63-
64 Model checking CTL* Dne: skończony proces P formuł Φ CTL* Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest PSPACE-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -64-
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowo4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Bardziej szczegółowoLogika Temporalna i Automaty Czasowe
Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (3) Logika CTL Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.2 Treść wykładu Charakterystyka logiki CTL Czas w Computation
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoLogika Temporalna i Automaty Czasowe
Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (4) Modelowa weryfikacja systemu Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.1 Treść wykładu Własności współbieżnych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Logiki temporalne Przykłady użycia Bibliografia. Logiki temporalne. Andrzej Oszer. Seminarium Protokoły Komunikacyjne
Seminarium Protokoły Komunikacyjne Spis treści 1 2 PLTL - Propositional Linear Temporal Logic CTL - Computation Tree Logic CTL* - uogólnienie 3 4 rozszerzaja logikę pierwszego rzędu o symbole określajace
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoWeryfikacja modelowa jest analizą statyczną logiki modalnej
Weryfikcj modelow jest nlizą sttyczną logiki modlnej Mrcin Sulikowski MIMUW 15 grudni 010 1 Wstęp Weryfikcj systemów etykietownych 3 Flow Logic 4 Weryfikcj modelow nliz sttyczn Co jest czym czego? Weryfikcj
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoLogika Temporalna i Automaty Czasowe
Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (2) Logika LTL Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.1 Treść wykładu Charakterystyka logiki LTL Czas w Linear
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Mtemtyczne Podstwy Informtyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informtyki Teoretycznej i Stosownej Politechnik Częstochowsk Rok kdemicki 2013/2014 Podstwowe pojęci teorii utomtów I Alfetem jest nzywny
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I
Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk
Bardziej szczegółowoHipoteza Černego, czyli jak zaciekawić ucznia teorią grafów
Młodzieżowe Uniwersytety Mtemtyczne Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu Społecznego Hipotez Černego, czyli jk zciekwić uczni teorią grfów Adm Romn, Instytut Informtyki
Bardziej szczegółowo4.3. Przekształcenia automatów skończonych
4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE
ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE DAS Deterministyczny Automt Skończony Zdnie Niech M ędzie DAS tkim że funkcj przejści: Q F ) podj digrm stnów dl M ) które ze słów nleżą do język kceptownego
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoZAGADKI WYKŁAD 7: ALGORYTMY I OBLICZENIA. 1 Notacja strzałkowa Knutha KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V)
ZAGADKI WYKŁAD 7: ALGORYTMY I OBLICZENIA KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V) JERZY POGONOWSKI Zkłd Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyk.mu.edu.pl www.logic.mu.edu.pl/index.php/dydktyk pogon@mu.edu.pl
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa
Wprowdzenie do Siei Neuronowyh Łńuhy Mrkow Mj Czoków, Jrosłw Piers 213-1-14 1 Przypomnienie Łńuh Mrkow jest proesem stohstyznym (iągiem zmiennyh losowyh), w którym rozkłd zmiennej w hwili t zleży wyłąznie
Bardziej szczegółowoPrzechadzka Bajtusia - omówienie zadania
Wprowdzenie Rozwiąznie Rozwiąznie wzorcowe Przechdzk Bjtusi - omówienie zdni Komisj Regulminow XVI Olimpidy Informtycznej 1 UMK Toruń 11 luty 2009 1 Niniejsz prezentcj zwier mteriły dostrczone przez Komitet
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia automatów skończonych
Przeksztłceni utomtów skończonych Teori utomtów i języków formlnych Dr inŝ. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Konstrukcj utomtu skończonego n podstwie wyrŝeni regulrnego (lgorytm Thompson) Wejście: wyrŝenie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa
Projekt pn. Wzmonienie potenjłu dydktyznego UMK w Toruniu w dziedzinh mtemtyzno-przyrodnizyh relizowny w rmh Poddziłni 4.1.1 Progrmu Operyjnego Kpitł Ludzki Wprowdzenie do Siei Neuronowyh Łńuhy Mrkow Mj
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoTwoje zdrowie -isamopoczucie
Twoje zdrowie -ismopoczucie Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Poniższ nkiet zwier pytni dotyczące Pn/Pni opinii o włsnym zdrowiu. Informcje te pozwolą nm zorientowć się, jkie jest Pn/Pni smopoczucie
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoGramatyki regularne. Teoria automatów i języków formalnych. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Grmtyki regulrne Teori utomtów i języków formlnych Dr inż. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Grmtyki regulrne G = < V,Σ,P, > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i ) U xw (
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowo4.2. Automat skończony
4.2. Automt skończony Przykłd: Rozwżmy język nd lfetem inrnym T = {0, } skłdjący się z łńcuchów zero-jedynkowych o tej włsności, że licz zer w kżdym łńcuchu jest przyst i licz jedynek w kżdym łńcuchu też
Bardziej szczegółowoUszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych
Uszczelnienie przepływowe w mszyn przepływowych orz sposób dignozowni uszczelnieni przepływowego zwłszcz w mszyn przepływowych Przedmiotem wynlzku jest uszczelnienie przepływowe mszyn przepływowych orz
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, utomty i oliczeni Wykłd 5: Wricje n temt utomtów skończonych Słwomir Lsot Uniwersytet Wrszwski 25 mrc 2015 Pln Automty dwukierunkowe (Niedeterministyczny) utomt dwukierunkowy A = (A,,, Q, I, F,
Bardziej szczegółowo1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i
.. Iloczyn ektoroy. Definicj. Niech i, j orz k. Iloczynem ektoroym ektoró = i j k orz = i j k nzymy ektor i j k.= ( )i ( )j ( )k Skrótoo możn iloczyn ektoroy zpisć postci yzncznik: i j k. Poniżej podno
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoSemantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7
Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium 7 Weryfikj twierdzeń logiznyh Cel. Celem ćwizeni jest zpoznnie się z metodą utomtyznego dowodzeni twierdzeń, tzn. weryfikji, zy dne twierdzenie jest tutologią (twierdzenie
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoPodstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Bardziej szczegółowoBadanie regularności w słowach
Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoGramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.
Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoJĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE
ZBIÓR ZADAŃ do WYKŁADU prof. Tdeusz Krsińskiego JĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE rozdził 2. Automty skończone i języki regulrne Wyrżeni i języki regulrne Zdnie 2.1. Wypisz wszystkie słow nleżące do
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH
Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk OZWIĄZYWANIE MAŁYCH TÓJKĄTÓW SFEYCZNYCH rezentowne metody rozwiązywni młyh trójkątów sferyznyh
Bardziej szczegółowoWszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w kl. VI.
Alin Grodzk Scenriusz lekcji mtemtyki w kl. VI. Temt lekcji: Pol figur płskich - powtórzenie. Celem lekcji jest rozwijnie umiejętności rozpoznwni i klsyfikowni wielokątów, obliczni pól figur orz utrwlnie
Bardziej szczegółowobezkontekstowa generujac X 010 0X0.
1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoJest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.
Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja modelowa. Protokoły komunikacyjne 2006/2007. Paweł Kaczan
Weryfikacja modelowa Protokoły komunikacyjne 2006/2007 Paweł Kaczan pk209469@students.mimuw.edu.pl Plan Wstęp Trzy kroki do weryfikacji modelowej Problemy Podsumowanie Dziedziny zastosowań Weryfikacja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowo2. Funktory TTL cz.2
2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)
Bardziej szczegółowo1 Ułamki zwykłe i dziesiętne
Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowoKOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH
KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoFizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.
Bardziej szczegółowoLista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoLegenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny
Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoOd lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.
1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od
Bardziej szczegółowoBardzo krótki wstęp do elektroniki cyfrowej
Brdzo krótki wstęp do elektroniki cyfrowej Słwomir Mmic http://min5.mu.edu.pl/~zfp/sm/home.html Pln ) Ukłdy logiczne b) Algebr Boole i jej relizcj sprzętow c) Brmki są dwie? d) Prosty przykłd sumtor e)
Bardziej szczegółowoMetoda kropli wosku Renferta
Metod kropli wosku Renfert Metod Renfert zwn jest tkże techniką K+B. Jej podstwowym złożeniem jest dążenie do prwidłowego odtworzeni powierzchni żujących zęów ocznych podczs rtykulcji. Celem jest uzysknie
Bardziej szczegółowoAutor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak
DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych
Bardziej szczegółowoKONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?
KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości
Bardziej szczegółowoELEKTRONIKA CYFROWA. Materiały y pomocnicze do wykład sem.. 1
ELEKTRONIKA CYFROWA Mteriły y pomocnicze do wykłd dów Dl AiZ zoczne inŝynierskie, sem Wykorzystne mteriły Łub T Ukłdy logiczne, PW 26 Wenck A NOTATKI Z TECHNIKI CYFROWEJ PW 26 wwwelektronikorgpl Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania obiektowego
1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty
Bardziej szczegółowoZbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym
Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Bardziej szczegółowoR + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10
Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:
Bardziej szczegółowoRBD Relacyjne Bazy Danych
Wykłd 6 RBD Relcyjne Bzy Dnych Bzy Dnych - A. Dwid 2011 1 Bzy Dnych - A. Dwid 2011 2 Sum ziorów A i B Teori ziorów B A R = ) ( Iloczyn ziorów A i B ( ) B A R = Teori ziorów Różnic ziorów ( A) i B Iloczyn
Bardziej szczegółowoMetoda prądów obwodowych
Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń
Bardziej szczegółowoSystemy Wyszukiwania Informacji
Uniersytet Śląski Systemy Wyszkini Informcji Agnieszk Nok Brzezińsk gnieszk.nok@s.ed.pl Instytt Informtyki Zkłd Systemó Informtycznych Uniersytet Śląski Wrnki zliczeni przedmiot Ooiązko oecność n ykłdch
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowo