Programy współbieżne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programy współbieżne"

Transkrypt

1 Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne

2 PJP Prosty Język Procesów Definicje rekursywne x = P(x) rekursywn definicj Skłdni PJP P ::= 0 pusty proces.p kcj P + P niedeterministyczny wyór P P złożenie równoległe x odwołnie do rekursywnej definicji Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -2-

3 Przykłdy sum dwóch pustych procesów...0 wykonj, potem, potem c i skończ x =.x wykonuj nieskończenie wiele rzy x =.x.x generuj współieżne kopie x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -3-

4 Semntyk opercyjn PJP Proces P może przesksztłcić się w proces Q poprzez wykonnie kcji, notcj P Q jeśli tkie stwierdzenie d się wywieść z podnych dlej reguł Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -4-

5 Semntyk opercyjn PJP.P P P R P+Q R wykonnie kcji niedeterministyczny wyór lewego procesu Q R P+Q R niedeterministyczny wyór prwego procesu Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -5-

6 Semntyk opercyjn PJP (cd) P R P Q R Q wyór lewego procesu Q R P Q P R wyór prwego procesu x=p P Q x Q odwołnie do definicji Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -6-

7 Konsekwencje semntyki opercyjnej Proces 0 nie może wykonć żdnej kcji: 0 P nie d się wywieść! Podonie zlokowne są procesy: 0+0, 0 0, Proces.P może wykonć tylko jedną kcję:.p P Ogólnie, kżdy proces P może wykonć skończoną liczę kcji, to znczy istnieje skończenie wiele Q orz tkich, że P Q. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -7-

8 Grf przejść:.x dl x =.x.x x.x.x x x =.x.x x x x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -8-

9 Od procesów do grfów przejść Stny = procesy Relcj przejści etykietown kcjmi P Q jeśli d się tkie stwierdzenie wywieść z reguł semntyki opercyjnej Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -9-

10 Grf przejść:.x dl x =.x +.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -10-

11 Grf przejść:.x dl x =.x +.x.x.x+.x x.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -11-

12 Grf przejść:.x dl x =.y+.x orz y =.x Proces.x gdzie x =.y+.x y =.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -12-

13 Grf przejść:.x dl x =.y+.x orz y =.x Proces.x gdzie x =.y+.x y =.x.y y.y+.x x.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -13-

14 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Proces.x gdzie x =.0+..x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -14-

15 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Proces.x gdzie x =.0+..x.x..x.0+..x x.x.0 0 Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -15-

16 Grf przejść: x =.x.x Frgment, owiem grf jest nieskończony...x.x x.x x x.x.x (.x x ) x x.x ((x.x) x ) (x.x ) (.x x ) Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -16-

17 Interesujące włsności procesów Wyklucznie współieżne procesy mją wyłączność n dziłnie w sekcji krytycznej Dedlock = lokd = zkleszczenie stn, w którym proces nie może wykonywć żdnych kcji Zgłdznie jeden z procesów jest pozwiony przez inne dostępu do zsoów Jk wyrzić tkie włsności??? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -17-

18 HML (Wielo-)modln logik Hennessy-Milner Φ ::= tt prwd Φ Ψ koniunkcj Φ negcj Φ możn wykonć y osiągnąć Φ []Φ kżde wykonnie prowdzi do Φ fłsz: ff tt dyzjunkcj: Φ Ψ ( Φ Ψ) Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -18-

19 Semntyk HML Proces P spełni formułę Φ: P = Φ P = tt P = Φ Ψ P = Φ P = Φ P = []Φ zwsze jeśli P = Φ orz P = Ψ jeśli P = Φ jeśli P Q i Q = Φ dl pewnego Q jeśli P Q implikuje Q = Φ dl kżdego Q Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -19-

20 Przykłdy P = tt proces P może wykonć kcję P = ff równowżne ff P = tt proces P może wykonć kcje, poczym P = tt tt proces P może wykonć kcję lu kcję P = tt tt proces P może wykonć kcję orz kcję Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -20-

21 Przykłdy (cd) P = [] ff proces P nie może wykonć kcji P = [] tt równowżne tt P = [] tt zchodzi zwsze, jeśli P = [] ff po kżdej kcji proces P gotów wykonć P = [] ff tt P nie może wykonć lu może kcję P = [] ff tt P może wykonć kcję orz nie może Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -21-

22 Przykłdy (cd) Notcj: [-]Φ A []Φ - Φ A P = [-] ff proces P nie może wykonć żdnej kcji proces P jest zlokowny!!! P = - tt proces P może wykonć jkąś kcję proces P jest żywy Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -22-

23 Grf przejść:.x dl x =.x +.x.x = tt?.x = []ff?.x = tt?.x.x = []ff?.x = [] tt?.x = []ff tt?.x = []ff tt?.x+.x x x = [] [-] ff?.x x = [] - tt? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -23-

24 Grf przejść:.x dl x =.x +.x.x = tt.x = []ff.x = tt.x.x = []ff.x = [] tt.x = []ff tt.x = []ff tt.x+.x x x = [] [-] ff x = [] - tt.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -24-

25 Grf przejść:.x dl x =.y+.x i y =.x.x = tt?.x = []ff?.y y.x = tt?.x = []ff?.x = [] tt?.y+.x x.x.x = []ff tt?.x = []ff tt? x = [] [-] ff? x = [] - tt? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -25-

26 Grf przejść:.x dl x =.y+.x i y =.x.x = tt.x = []ff.y y.x = tt.x = []ff.x = [] tt.x = []ff tt.x = []ff tt x = [] [-] ff x = [] - tt.y+.x x.x Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -26-

27 Grf przejść:.x dl x =.0+..x.x = tt?.x = []ff?.x.x = tt?.x = []ff?.x = [] tt? x = [][]ff [] tt?..x x x.x x = []ff [] tt? x = [-] ff? 0 x = [] - tt? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -27-

28 Grf przejść:.x dl x =.0+..x.x = tt.x = []ff.x.x = tt.x = []ff.x = [] tt x = [][]ff [] tt x = []ff [] tt x = [-] ff..x x x 0.x x = [] - tt Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -28-

29 Przykłdy (cd) P = [-] ff dedlock (lokd) proces P nie może wykonć żdnej kcji P = - tt P jest żywy proces P może wykonć jkąś kcję P = - tt []ff??? P = - tt [-]Φ??? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -29-

30 Przykłdy (cd) P = [-] ff dedlock (lokd) proces P nie może wykonć żdnej kcji P = - tt P jest żywy proces P może wykonć jkąś kcję P = - tt []ff proces P może wykonć tylko kcję P = - tt [-]Φ??? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -30-

31 Przykłdy (cd) P = [-] ff dedlock (lokd) proces P nie może wykonć żdnej kcji P = - tt P jest żywy proces P może wykonć jkąś kcję P = - tt []ff proces P może wykonć tylko kcję P = - tt [-]Φ P jest żywy, cokolwiek zroi, zjdzie Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -31-

32 Negcj w logice HM jest zędn ff tt tt ff (Φ Ψ) ( Φ) ( Ψ) (Φ Ψ) ( Φ) ( Ψ) Φ [] ( Φ) []Φ ( Φ) - Φ [-] ( Φ) [-]Φ - ( Φ) Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -32-

33 Prwdziwość, spełnilność,... Φ jest spełniln jeśli P = Φ dl pewnego procesu P Φ jest niespełniln jeśli P = Φ dl żdnego procesu P Φ jest tutologią jeśli P = Φ dl kżdego procesu P Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -33-

34 Prwdziwość, spełnilność,... Φ jest spełniln to Φ jest niespełniln??? Φ jest niespełniln to Φ jest tutologią??? Φ jest tutologią to Φ jest spełniln??? Φ jest tutologią to Φ jest niespełniln??? Czy []Φ [] Φ jest tutologią? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -34-

35 Prwdziwość, spełnilność,... Φ jest spełniln to Φ jest niespełniln??? Φ jest niespełniln to Φ jest tutologią??? Φ jest tutologią to Φ jest spełniln??? Φ jest tutologią to Φ jest niespełniln??? Czy []Φ [] Φ jest tutologią? Nie! [] tt [][]ff nie jest tutologią! Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -35-

36 Spełnilność Dne: formuł Φ Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest NP-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -36-

37 Model checking Dne: proces P formuł Φ Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest P-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -37-

38 HML z mło ekspresywn! Żden z prolemów: Czy ewolucj procesu P może kiedyś doporowdzić do dedlocku? Czy w kżdej ewolucji procesu P mmy zpewnione wyklucznie? nie dje się wyrzić w HML, o kżd formuł d tylko skończony początek ewolucji. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -38-

39 Ścieżki Ścieżk z P to ciąg procesów, (skończony lu nie), π = P 0,P 1,...,P n tki, że P=P 0 orz dl wszystkich i zchodzi P i Pi+1 dl pewnego Notcj: π i = P i,p i+1,...,p n przeieg to ścieżk nieskończon, lu skończon kończąc się w zlokownym procesie. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -39-

40 LTL logik czsu liniowego Logik Czsu Liniowego Φ ::= p zmienn zdniow tt prwd Φ Ψ koniunkcj Φ negcj (-)Φ w jednym kroku możn osiągną Φ FΦ proces może osiągnąć Φ GΦ proces zwsze ędzie spełnić Φ Φ U Ψ proces spełni Ψ do tego czsu ędzie spełnił Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -40-

41 Semntyk LTL Wrtościownie ρ przypisuje kżdej zmiennej zdniowej p ziór procesów ρ(p) które ją spełniją. π, ρ = Φ ścieżk π przy wrtościowniu ρ spełni Φ P,ρ = Φ proces P przy wrtościowniu ρ spełni Φ jeśli π, ρ = Φ dl kżdego przeiegu π z P, tzn. dl kżdej mksymlnej (nieskończonej lu zlokownej) ścieżki z P Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -41-

42 Semntyk LTL (cd) π = P 0,P 1,...,P n ścieżk z P ρ wrtościownie π, ρ = p jeśli P 0 ρ(p) π, ρ = tt zwsze π, ρ = Φ Ψ jeśli π = Φ orz π, ρ = Ψ π, ρ = Φ jeśli π = Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -42-

43 Semntyk LTL (cd) π, ρ = (-)Φ jeśli π 1, ρ = Φ π, ρ = FΦ jeśli π i, ρ = Φ dl pewnego i π, ρ = GΦ jeśli π i, ρ = Φ dl kżdego i π, ρ = Φ U Ψ jeśli π i, ρ = Ψ dl pewnego i orz π j, ρ = Φ dl j = 0,..., i 1 Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -43-

44 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeieg π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku.x, ρ = q p?..x q.x p x, ρ = q p? π, ρ = F(p q)? π, ρ = F(p q)?.0+..x x q x, ρ = F(p q)? x, ρ = F(p q)? x, ρ = F(q p)? 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -44-

45 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeiegi: π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku.x, ρ = q p..x q.x p x, ρ = q p π, ρ = F(p q) π, ρ = F(p q).0+..x x q x, ρ = F(p q) x, ρ = F(p q) x, ρ = F(q p) 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -45-

46 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeieg π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku x, ρ = G(p q)?..x q.x p π, ρ = F(Fq Gp)? π, ρ = F(Fq Gp)? x, ρ = q U p?.0+..x x q x, ρ = p U q? π, ρ = p U G(p q)? π, ρ = q U G(p q)? 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -46-

47 Grf przejść:.x dl x =.0+..x Przeieg π = x,.x, x, x,..., π = x,.x, x, 0 π = x, 0 ρ jk n rysunku x, ρ = G(p q)..x q.x p π, ρ = F(Fq Gp) π, ρ = F(Fq Gp) x, ρ = q U p x, ρ = p U q π, ρ = p U G(p q) π, ρ = q U G(p q).0+..x x q 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -47-

48 Spełnilność Dne: formuł Φ LTL Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest PSPACE-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -48-

49 Model checking Dne: proces P formuł Φ LTL Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest PSPACE-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -49-

50 CTL logik czsu rozgłęzionego Wrcmy do HML i czsu rozgłęzionego Dl kżdego opertor temporlnego z LTL, np. dl F, rozwżmy dw wrinty AFΦ dl kżdej ścieżki kiedyś zjdzie Φ EFΦ dl pewnej ścieżki kiedyś zjdzie Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -50-

51 CTL logik czsu rozgłęzionego Φ ::= tt prwd Φ Ψ koniunkcj Φ negcj Φ w jkimś -kroku możn osiągną Φ []Φ kżdy -krok prowdzi do Φ A Φ U Ψ n kżdej ścieżce kiedyś spełni się Ψ do tego czsu zchodzić ędzie Φ E Φ U Ψ n pewnej ścieżce kiedyś spełni się Ψ do tego czsu zchodzić ędzie Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -51-

52 CTL logik czsu rozgłęzionego EFΦ AFΦ EGΦ AGΦ n pewnej ścieżce kiedyś spełni się Ψ n kżdej ścieżce kiedyś spełni się Ψ n pewnej ścieżce zwsze zchodzi Ψ n kżdej ścieżce zwsze zchodzi Ψ Powyższe są definiowlne przez Until: EFΦ E(ttUΦ) EGΦ EF Φ AFΦ A(ttUΦ) AGΦ AF Φ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -52-

53 Semntyk CTL Nowe kluzule P = A Φ U Ψ P = E Φ U Ψ dl kżdej ścieżki P = P 0,P 1,...,P n P i = Ψ dl pewnego i orz P j = Φ dl j = 0,..., i 1 istnieje ścieżk P = P 0,P 1,...,P n tk, że P i = Ψ dl pewnego i orz P j = Φ dl j = 0,..., i 1 Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -53-

54 Wyrżlne włsności Bezpieczeństwo : AGΦ zł włsność Φ n żdnej śceiżce nigdy nie zjdzie Przykłdy: Wyklucznie: AG([cs1]ff [cs2]ff) System nigdy nie ędzie gotów do jednoczesnego wykonni kcji cs1 orz cs2 gwrncj wyłącznego korzystni z zsou przez procesy. Brk dedlocku: AG - tt System nigdy nie dojdzie do stnu pełnego zlokowni Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -54-

55 Wyrżlne włsności Żywotność : AFΦ dor włsność Φ n kżdej ścieżce kiedyś zjdzie Przykłdy: Gwrntown rekcj systemu: [req]af( serv tt) N kżde zgłoszenie żądni req proces kiedyś zreguje kcją osługi serv tegoż żądni Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -55-

56 Wyrżlne włsności Słe ezpieczeństwo EGΦ zł włsność Φ n pewnych ścieżkch nie zchodzi Sł żywotność EFΦ dor włsność Φ n pewnych ścieżkch kiedyś zjdzie Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -56-

57 Grf przejść:.x dl x =.0+..x x = AF(p q)? x = EF(p q)? x = AG(p q)?..x q.x p x = EG(p q)? x = EF[] tt? x = AF[] tt? x = EG[] tt?.0+..x x q x = EG( tt tt)? x = AG( tt tt)? 0 p x = AG( tt tt)? Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -57-

58 Grf przejść:.x dl x =.0+..x x = AF(p q) x = EF(p q) x = AG(p q) x = EG(p q) x = EF[] tt..x q.x p x = AF[] tt x = EG[] tt x = EG( tt tt) x = AG( tt tt) x = AG( tt tt).0+..x x q 0 p Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -58-

59 Spełnilność CTL Dne: formuł Φ CTL Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest EXPTIME-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -59-

60 Model checking CTL Dne: skończony proces P formuł Φ CTL Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest P-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -60-

61 CTL z LTL są nieporównywlne EFAGp tzn., n pewnej scieżce kiedyś dojdziemy do sytucji, gdy kżd przyszł ewolucj zwsze gwrntowć ędzie p Nie d się wyrzić równowżną formułą LTL FGp od pewnego momentu n kżdej ścieżce gwrntowne jest p Nie d się wyrzić równowżną formułą CTL Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -61-

62 CTL* Zwier CTL orz LTL Formuły ścieżkowe orz stnowe Kwntyfiktory A i E zstosowne do formuły ścieżkowej dją formułę stnową. Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -62-

63 Spełnilność CTL* Dne: formuł Φ CTL* Prolem: Czy istnieje P, t.ż. P = Φ? Twierdzenie Prolem spełnilności jest 2EXPTIME-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -63-

64 Model checking CTL* Dne: skończony proces P formuł Φ CTL* Prolem: Czy P = Φ? Twierdzenie Prolem model checkingu jest PSPACE-zupełny Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne -64-

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Logika Temporalna i Automaty Czasowe

Logika Temporalna i Automaty Czasowe Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (2) Logika LTL Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.1 Treść wykładu Charakterystyka logiki LTL Czas w Linear

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Mtemtyczne Podstwy Informtyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informtyki Teoretycznej i Stosownej Politechnik Częstochowsk Rok kdemicki 2013/2014 Podstwowe pojęci teorii utomtów I Alfetem jest nzywny

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

4.3. Przekształcenia automatów skończonych 4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

ZAGADKI WYKŁAD 7: ALGORYTMY I OBLICZENIA. 1 Notacja strzałkowa Knutha KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V)

ZAGADKI WYKŁAD 7: ALGORYTMY I OBLICZENIA. 1 Notacja strzałkowa Knutha KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V) ZAGADKI WYKŁAD 7: ALGORYTMY I OBLICZENIA KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V) JERZY POGONOWSKI Zkłd Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyk.mu.edu.pl www.logic.mu.edu.pl/index.php/dydktyk pogon@mu.edu.pl

Bardziej szczegółowo

ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE

ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE DAS Deterministyczny Automt Skończony Zdnie Niech M ędzie DAS tkim że funkcj przejści: Q F ) podj digrm stnów dl M ) które ze słów nleżą do język kceptownego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

Twoje zdrowie -isamopoczucie

Twoje zdrowie -isamopoczucie Twoje zdrowie -ismopoczucie Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Poniższ nkiet zwier pytni dotyczące Pn/Pni opinii o włsnym zdrowiu. Informcje te pozwolą nm zorientowć się, jkie jest Pn/Pni smopoczucie

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych Uszczelnienie przepływowe w mszyn przepływowych orz sposób dignozowni uszczelnieni przepływowego zwłszcz w mszyn przepływowych Przedmiotem wynlzku jest uszczelnienie przepływowe mszyn przepływowych orz

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Języki, automaty i obliczenia

Języki, automaty i obliczenia Języki, utomty i oliczeni Wykłd 5: Wricje n temt utomtów skończonych Słwomir Lsot Uniwersytet Wrszwski 25 mrc 2015 Pln Automty dwukierunkowe (Niedeterministyczny) utomt dwukierunkowy A = (A,,, Q, I, F,

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx& LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7 Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium 7 Weryfikj twierdzeń logiznyh Cel. Celem ćwizeni jest zpoznnie się z metodą utomtyznego dowodzeni twierdzeń, tzn. weryfikji, zy dne twierdzenie jest tutologią (twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk OZWIĄZYWANIE MAŁYCH TÓJKĄTÓW SFEYCZNYCH rezentowne metody rozwiązywni młyh trójkątów sferyznyh

Bardziej szczegółowo

Podstawy układów logicznych

Podstawy układów logicznych Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI. Alin Grodzk Scenriusz lekcji mtemtyki w kl. VI. Temt lekcji: Pol figur płskich - powtórzenie. Celem lekcji jest rozwijnie umiejętności rozpoznwni i klsyfikowni wielokątów, obliczni pól figur orz utrwlnie

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

bezkontekstowa generujac X 010 0X0.

bezkontekstowa generujac X 010 0X0. 1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Bardzo krótki wstęp do elektroniki cyfrowej

Bardzo krótki wstęp do elektroniki cyfrowej Brdzo krótki wstęp do elektroniki cyfrowej Słwomir Mmic http://min5.mu.edu.pl/~zfp/sm/home.html Pln ) Ukłdy logiczne b) Algebr Boole i jej relizcj sprzętow c) Brmki są dwie? d) Prosty przykłd sumtor e)

Bardziej szczegółowo

Metoda kropli wosku Renferta

Metoda kropli wosku Renferta Metod kropli wosku Renfert Metod Renfert zwn jest tkże techniką K+B. Jej podstwowym złożeniem jest dążenie do prwidłowego odtworzeni powierzchni żujących zęów ocznych podczs rtykulcji. Celem jest uzysknie

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Wykłd Litertur: M. Lssk, Mtemtyk dl studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn W. Krysicki, L.Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich cz. i cz.. Pomocnicze

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

ELEKTRONIKA CYFROWA. Materiały y pomocnicze do wykład sem.. 1

ELEKTRONIKA CYFROWA. Materiały y pomocnicze do wykład sem.. 1 ELEKTRONIKA CYFROWA Mteriły y pomocnicze do wykłd dów Dl AiZ zoczne inŝynierskie, sem Wykorzystne mteriły Łub T Ukłdy logiczne, PW 26 Wenck A NOTATKI Z TECHNIKI CYFROWEJ PW 26 wwwelektronikorgpl Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Metoda prądów obwodowych

Metoda prądów obwodowych Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Pierwiastek z liczby zespolonej

Pierwiastek z liczby zespolonej Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Droga Pani/Drogi Panie! Wakacje minęły szybko i znowu możemy się spotkać. oraz za zabawami z koleżankami i kolegami.

Droga Pani/Drogi Panie! Wakacje minęły szybko i znowu możemy się spotkać. oraz za zabawami z koleżankami i kolegami. KARTY PRACY 1 CZĘŚĆ KARTA PRACY NR 1 IMIĘ:... DATA: STRONA 1 1. Jkie są twoje oczekiwni i postnowieni związne z kolejnym rokiem szkolnym? Npisz list do nuczyciel, uzupełnijąc luki w tekście. miejscowość

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A INVERTER SERIA MXZ Typoszereg MXZ gwrntuje cicy, wysokowydjny i elstyczny system, spełnijący wszystkie wymgni w zkresie klimtyzcji powietrz. 6 MXZ-2C30VA MXZ-2C40VA MXZ-2C52VA MXZ-3C54VA MXZ-3C68VA MXZ-4C71VA

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Instrukcja montażu i obsługi

Instrukcja montażu i obsługi Instrukcj montżu i osługi Uproszczony interfejs użytkownik Dikin Altherm EKRUCBS Instrukcj montżu i osługi Uproszczony interfejs użytkownik Dikin Altherm polski Spis treści Spis treści Dl użytkownik 2

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rm Europejskiego Funduszu Społeznego Spotknie 14 Temt: Do zego służą wyrżeni lgerizne? Pln zjęć 1. Jkie wyrżenie nzywmy lgeriznym? Czym wyrżenie lgerizne

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag. Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem

Bardziej szczegółowo

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

A4 Klub Polska Audi A4 B6 - sprężyny przód (FWD/Quattro) Numer Kolory Weight Range 1BA / 1BR 1BE / 1BV

A4 Klub Polska Audi A4 B6 - sprężyny przód (FWD/Quattro) Numer Kolory Weight Range 1BA / 1BR 1BE / 1BV Audi A4 B6 - sprężyny przód E0 411 105 BA żółty niebieski różowy 3 E0 411 105 BB żółty niebieski różowy różowy 4 E0 411 105 BC żółty zielony różowy 5 E0 411 105 BD żółty zielony różowy różowy 6 E0 411

Bardziej szczegółowo

Systemy Wyszukiwania Informacji

Systemy Wyszukiwania Informacji Uniersytet Śląski Systemy Wyszkini Informcji Agnieszk Nok Brzezińsk gnieszk.nok@s.ed.pl Instytt Informtyki Zkłd Systemó Informtycznych Uniersytet Śląski Wrnki zliczeni przedmiot Ooiązko oecność n ykłdch

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

do Regulaminu przyznawania środków finansowych na rozwój przedsiębiorczości w projekcie Dojrzała przedsiębiorczość

do Regulaminu przyznawania środków finansowych na rozwój przedsiębiorczości w projekcie Dojrzała przedsiębiorczość Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Złącznik nr do Regulminu przyznwni środków finnsowych n rozwój przedsięiorczości w projekcie Dojrzł przedsięiorczość

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Analizy Matematycznej funkcje jednej zmiennej. Stanisław Spodzieja

Wstęp do Analizy Matematycznej funkcje jednej zmiennej. Stanisław Spodzieja Wstęp do Anlizy Mtemtycznej funkcje jednej zmiennej Stnisłw Spodziej Łódź 2014 2 Wstęp Książk t jest niezncznie zmodyfikowną wersją wykłdu z nlizy mtemtycznej dl pierwszego roku mtemtyki, jki prowdziłem

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja Mteriły pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Orzewnictwo, wentylcj i klimtyzcj II. Klimtyzcj Rozdził 1 Podstwowe włsności powietrz jko nośnik ciepł mr inż. Anieszk Sdłowsk-Słę Mteriły pomocnicze do klimtyzcji.

Bardziej szczegółowo

Topologia i podzbiory,

Topologia i podzbiory, Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni

Bardziej szczegółowo