Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych"

Transkrypt

1 Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych

2 Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą tej klsy metod filtrcji jest niezleżne przetwrznie poszczególnych skłdowych orzu kolorowego, np. niezleżne przetwrznie skłdowych R, G orz B orzu RGB. Kżd skłdow orzu rwnego jest trktown jko orz monochromtyczny, dzięki czemu możliwe jest wykorzystnie metod przetwrzni orzów jednorwnych. Tkie podejście pomij jednk rzeczywisty chrkter dnych: piksele orzu kolorowego są elementmi wielowymirowej przestrzeni wektorowej, ich skłdowe njczęściej są ze soą skorelowne. Metody wektorowe. Metody tej grupy trktują poszczególne piksele orzu jk elementy wielowymirowej przestrzeni wektorowej. Wżną klsą filtrów dl orzów monochromtycznych są filtry wykorzystujące sttystykę porządkową (filtry minimlny, mksymlny, medinowy). W przypdku orzów kolorowych sytucj jest dużo rdziej złożon ze względu n wektorowy chrkter pikseli. W wielowymirowych przestrzenich kolorów (przestrzenich wektorowych) nie istnieje owiem jednoznczn i uniwersln metod definiowni porządku. Zproponownych zostło kilk nierównowżnych sposoów porządkowni (sortowni) dnych wektorowych. Z czego wynik szczególne zinteresownie przetwrzni orzów kolorowych przez filtry porządkowe? Przykłd filtru medinowego wskzuje, że izolownie elementów odstjących w ziorze dnych wejściowych dje rdzo dore rezultty w redukcji zkłóceń oecnych w orzie. Przez utożsmienie zkłóceń z elementmi odstjącymi zostją one usunięte z orzu.

3 Metody porządkowni zioru wektorów (1) Rys. 1. Ilustrcj porządkowni różnicowego (Mporządek). () ziór wektorów RGB przed uporządkowniem; () ziór wektorów po uporządkowniu. Rys. 1. Inny przykłd porządkowni różnicowego. () i () przedstwiją odpowiednio wejściowy i wyjściowy ziór wektorów. W tym przypdku wektory wejściowe mją postć: (256,0,0), (128,0,0), (0,256,0), (0,128,0), (0,0,256), (0,0,128). Porządek rzegowy, M-porządek (mrginl ordering) jest sposoem porządkowni dnych wektorowych w którym przeprowdz się niezleżne porządkownie ze względu n wrtości poszczególnych skłdowych wektorów wejściowych. W pierwszym etpie tworzonych jest N ciągów (N jest wymirem przestrzeni wektorowej; njczęściej N=3) zwierjących uporządkowne wrtości kolejnych skłdowych wektorów, np. ciąg uporządkownych wrtości skłdowej R, ciąg uporządkownych wrtości skłdowej G orz ciąg uporządkownych wrtości skłdowej B. W drugim etpie generowne są wektory wyjściowe jko komincj odpowidjących soie (n tej smej pozycji) wrtości w uporządkownych ciągch. Przykłd. Dne są trzy wektory RGB postci (1,2,3), (3,1,2) orz (2,3,1). Uporządkowne ciągi wrtości skłdowych R, G i B poszczególnych wektorów są identyczne i mją postć: (1,2,3), (1,2,3) orz (1,2,3). Osttecznie, porządkownie różnicowe dje ciąg wektorów postci: (1,1,1), (2,2,2) orz (3,3,3). Prolem: porządkownie prowdzi do generowni wektorów nieistniejących w ziorze wektorów wejściowych. W powyższym przykłdzie żden z wektorów podnych n wyjściu nie występuje w wejściowym ziorze wektorów. c d Rys. 3. Ilustrcj porządkowni wrunkowego. () ziór wektorów RGB przed uporządkowniem; (), (c) i (d) reprezentują ziory wektorów po uporządkowniu (rosnąco) ze względu n skłdowe odpowiednio: R, G orz B. Porządek wrunkowy (conditionl ordering, C-ordering) w tym przypdku porządkownie zioru próek wektorowych (piksele orzu kolorowego) wykonywne jest ze względu n wyrną skłdową, np. skłdową R. W przypdku, gdy wektory posidją identyczną wrtość tej skłdowej porządkuje się je ze względu n wrtości kolejnej skłdowej, itd.. Dw wektory związne są relcją równości, gdy posidją identyczne wrtości skłdowych względem których wykonywne jest porządkownie (nie muszą to yć wszystkie skłdowe wektorów). W tym przypdku porządkownie nie wyprowdz poz ziór wektorów wejściowych (wektor wyjściowy pokryw się ednym z wektorów wejściowych). Metod tk w większości przypdków nie ndje się jednk do zstosowni dl orzów kolorowych.

4 Mrginl vector medin filter Filtr MVMF jest uogólnieniem filtru medinowego wykorzystywnego do orzów monochromtycznych. W przypdku MVMF filtrcj medinow wykonywn jest niezleżnie dl kżdej skłdowej orzu. Niezleżne przetwrznie poszczególnych skłdowych jest koncepcyjnie prostym podejściem jednk prowdzi do powstni rwnych rtefktów c d e f Rys. 1. Przykłd filtrcji medinowej orz uśrednijącej orzu kolorowego w przypdku, gdy kżd skłdow orzu filtrown jest niezleżnie. () orz oryginlny zwierjący dwie krwędzie różnej gruości. Pierwsz krwędź (cienk) iegnie od górnego lewego nrożnik do nrożnik dolnego prwego, drug z krwędzi (gru) przeieg od nrożnik górnego prwego do nrożnik dolnego lewego; () orz oryginlny po zkłóceniu szumem impulsowym; orz (c) stnowi wynik filtrcji prostym filtrem uśrednijącym (skłdowe filtrowne niezleżnie). Orzy (d), (e) i (f) przedstwiją wynik filtrcji medinowej (skłdowe filtrowne niezleżnie) z oknem równym odpowiednio: 3x3, 5x5 orz 7x7. Po filtrcji z oknem 3x3 niszczon jest cienk krwędź oecn w orzie. Gru krwędź niszczon jest przez filtrcję z oknem 7x7. Jest to ogóln włsność filtrów medinowych. W prktyce nie stosuje się filtrów dużych rozmirów.

5 Mrginl vector medin filter - ilustrcj c d Rys. 1. Porównnie filtrcji medinowej (rzegowej) orz prostej uśrednijącej. () orz oryginlny, () orz zkłócony szumem impulsowym; (c) wynik filtrcji prostym filtrem wygłdzjącym z mską 3x3; (d) wynik filtrcji medinowej z oknem 3x3. c.d. n nstępnej stronie

6 Mrginl vector medin filter - ilustrcj e f g h Rys. 1. c. d. z poprzedniej strony (e), (f), (g) i (h) przedstwiją wynik filtrcji medinowej (rzegowej) z oknmi odpowiednio: 5x5, 7x7, 13x13 orz 23x23. Widoczne jest stopniowe rozmywnie krwędzi orzu.

7 C-porządek - ilustrcj c d Rys. 1. Przykłd przedstwi wykorzystnie C-porządkowni do podkreślni pewnych oszrów orzu. Rysunek () przedstwi orz oryginlny. N rysunkch (), (c) i (d) przedstwiono efekt przetwrzni polegjącego n pozostwieniu w orzie tych pikseli dl których określon skłdow, odpowiednio R, G orz B, przekrcz zdną wrtość progową. W pozostłych przypdkch skłdowym piksel przypisn zostł średni wszystkich skłdowych. Okno wyznczjące sąsiedztwo ieżącego piksel m w tym przypdku rozmir 3x3 piksele.

8 Metody porządkowni zioru wektorów (2). R-porządek Porządek zredukownego sumowni (reduced lu ggregted ordering, R-ordering) jest njrdziej populrną metodą porządkowni zioru dnych wektorowych. R-porządkownie poleg n zredukowniu kżdego wektor ze zioru wejściowego do pewnej liczy (wrtości pewnej wielkości sklrnej), nstępnie ustlenie porządku wektorów n podstwie porządku wrtości sklrnych przypisnych poszczególnym wektorom: pierwszym wektorem n uporządkownej liście jest wektor, któremu odpowid minimln wrtość wielkości sklrnej, itd. Osttnim wektorem jest ten, któremu odpowid mksymln wrtość wielkości sklrnej. Porządkownie tego typu jest podstwą wielu metod redukcji zkłóceń w orzch kolorowych. Njczęściej porządkownie przeprowdz się w oprciu o kryterium odległości: kżdemu wektorowi w ziorze wejściowym przypisuje się sumryczną (zgregowną) odległość do wszystkich pozostłych wektorów. Niech ziorem wektorów wejściowych jest ziór pikseli orzu kolorowego zwrtych w oknie rozmiru NxN wyśrodkownym n ieżącym pikselu. Okno tkie zwier n=n 2 pikseli: Dl kżdego wektor wyznczn jest sumryczn odległość w przestrzeni rw do wszystkich pozostłych wektorów. Sumryczn odległość wektor x i zdefiniown jest przez równnie: gdzie D p (x i,x j ) jest wyrną mirą odległości dwóch wektorów, ntomist d(x i ) jest sumą jej wrtości dl wektor x i. Wrtości odległości d są nstępnie sortowne w porządku rosnącym i n tej podstwie ustlny jest porządek wektorów: gdzie d (1) orz d (n) są odpowiednio njmniejszą orz njwiększą sumryczną odległością w ziorze wejściowym, którym odpowidją odpowiednio wektory x (1) orz x (n). W ten sposó uporządkownie zioru wrtości sklrnych wprowdz porządek w ziorze wektorów orz nie wyprowdz poz ziór wejściowy.

9 R-porządek. Przykłd Wektor Sumryczn odległość (odległość Euklides) Nr wektor n uporządkownej liście (240,16,0) (60,50,0) 743 (156,160,0) 530 (210,255,0) 761 (60,210,0) c ziór wejściowy ziór uporządkowny Rys. 1. () Ziór wejściowy pięciu wektorów trójwymirowych podlegjących porządkowniu. Dl ułtwieni wizulizcji trzeci skłdow wektorów jest równ 0. Liczy n zielonym tle oznczją numer wektor n uporządkownej liście. Wektory porządkowne są ze względu n odległość euklidesową. Tel przedstwion n rysunku () zwier zgregowne odległości poszczególnych wektorów do wszystkich pozostłych wektorów w ziorze (środkow kolumn). Rysunek (c) przedstwi wektory trktowne jko piksele RGB przed i po uporządkowniu. R- porządek

10 R-porządek. Miry odległości (1) 20 M Cn Njrdziej populrną mirą odległości pry wektorów jest uogólnion metryk Minkowskiego: E, Cz gdzie c jest współczynnikiem sklującym, ξ k ustl wgę poszczególnych skłdowych wektor, ntomist prmetr p pozwl ustlić chrkter metryki. Dl p=1, p=2 orz p otrzymujemy odpowiednio odległość Mnhttn, Euklides orz Czeyszew. 5 Odległość Mnhttn M, E, Cz, Cn Rys. 1. Przykłd niejednoznczności odległości w ziorze wektorów: różne miry odległości implikują różny porządek wektorów w ziorze. Kolor czerwony i zielony oznczją wektory, które zjmują odpowiednio pierwszą orz osttnią pozycję n uporządkownej liście wektorów utworzonej w oprciu o przyjętą mirę odległości: Mnhttn (M), Euklides (E), Czeyszew (Cz) i Cnerr (Cn). Wektory zznczone n czerwono odpowidją medinie w ziorze (ptrz nstępne strony). Jk widć wrtości mediny w przypdku wektorowym nie możn wyznczyć w sposó jednoznczny: zleży on od przyjętej definicji odległości. Wektory oznczone kolorem żółtym osiągją jednkową wrtość sumrycznej odległości w sensie odległości Czeyszew. Odległość Euklides: Odległość Czeyszew (chessord distnce) Innym przykłdem odległości jest odległość Cnerr:

11 R-porządek. Miry odległości (2) M, Cz E, Cn Inne podejście poleg n porządkowniu zioru wektorów według kryterium odległości kątowej. Odległość kątow dnego wektor x i w ziorze wektorów jest zdefiniown jko sum kątów pomiędzy tym wektorem i wszystkimi pozostłymi wektormi w ziorze: W tkim przypdku pierwszym wektorem n uporządkownej liście jest wektor minimlizujący nstępującą sumę: Rys. 1. Porządkownie zioru wektorów n podstwie odległości kątowej. Odległość kątową minimlizuje wektor oznczony symolem.

12 Dygresj: Dlczego sumryczn odległość? N wcześniejszych stronch zostło omówione zgdnienie porządkowni zioru wektorów n podstwie zgregownej odległości. Koncepcyjnie prostszym rozwiązniem jest porządkownie wektorów n podstwie ich długości. W tkim jednk przypdku rozwiąznie dje gorsze wyniki niż rozwiązni wykorzystujące zgregowną odległość. c d i i 57 y i 255 y i 57 y i 57 y i 57 y i 57 y y d e j z k 82 { k 82 { k 80 { k 76 { k 74 { k 74 { i 62 y i 60 y i 62 y i 58 y i 57 y i 255 y j z k 81 { k 82 { k 82 { k 83 { k 80 { k 77 { i 63 y i 62 y i 61 y i 63 y i 62 y i 58 y j z k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { i 60 y i 255 y i 64 y i 64 y i 65 y i 62 y j z k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 80 { i 59 y i 65 y i 66 y i 67 y i 66 y i 255 y j z k 82 { k 82 { k 255 { k 82 { k 82 { k 82 { i 58 y i 60 y i 255 y i 63 y i 64 y i 67 y j j z z k k 80 { k 255 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { { Rys. 1. Ilustrcj jednej z możliwych metod medinowej filtrcji wektorowej. W tym przypdku piksel centrlny ędący środkiem mski 3x3 jest zstępowny pikselem z sąsiedztw, którego długość jest mediną długości wektorów sąsiedztw. () orz zkłócony 10% szumem typu sól; () - wynik filtrcji z mediną długości wektor w loku; (c) wynik filtrcji przy użyciu filtru medinowego trktującego poszczególne skłdowe orzu niezleżnie. N kolejnych rysunkch przedstwiono powiększenie oszru zznczonego czerwonym prostokątem w dolnym lewym kwdrncie rysunku (). I tk: (d) wrtości liczowe orzu zkłóconego (); (d) wynik filtrcji n podstwie mediny długości wektor w loku; (e) wynik filtrcji medinowej trktującej kżdą skłdową wektor niezleżnie.

13 Wektorowy filtr medinowy (VMF, 1990) Njpopulrniejszym filtrem wektorowym wykorzystującym porządek zredukownego sumowni, R-porządek, jest filtr medinowy. Jego ide jest nstępując: Orz przeglądny jest piksel po pikselu z oknem ustlonego rozmiru, NxN pikseli. Okno zwier n=n 2 pikseli. Wrtość piksel znjdującego się w centrum okn zstępown jest mediną ze zioru pikseli w jego sąsiedztwie. Zgodnie z procedurą R-porządkowni dl kżdego wektor zioru wejściowego (piksel centrlny jest elementem tego zioru) wyzncz się w sensie przyjętej miry sumryczną odległość w stosunku do pozostłych wektorów: Wyznczone odległości d i porządkuje się rosnąco. Uporządkowne wrtości d i implikują porządek wektorów: Wyjściem filtru jest medin (wrtość środkow), tzn. wektor x (1) (pierwszy n uporządkownej liście), który minimlizuje odległość do pozostłych wektorów - jest njliższy wszystkim pozostłym wektorom w sensie przyjętej miry odległości: Filtry porządkujące ziór wektorów w oprciu o sumryczną odległość nzywne są filtrmi odległościowymi (distnce filters), ntomist filtry porządkujące n podstwie sumrycznego kąt nzywne są filtrmi kierunkowymi (directionl filters). Istnieją filtry kominujące te dw podejści.

14 Cechy wektorowego filtru medinowego (VMF) Rys. 1. Przykłd zioru punktów w przestrzeni dwuwymirowej orz wrtość środkow (medin zznczon kolorem czerwonym) tego zioru. Przyjmuje się, że punkty odosonione, leżące poz oszrem gdzie skoncentrown jest większość punktów, reprezentują zkłócenie. Wektorow filtrcj medinow m zdolność do izolowni punktów odosonionych: zjmują one skrjne pozycje n uporządkownej liście elementów i nie mogą (pod pewnymi wrunkmi) stnowić wyjści filtru. Wektory n pierwszych pozycjch uporządkownej listy odpowidją punktom przestrzeni wektorowej położonym w oszrze centrlnym (ptrz rysunek). W przypdku, gdy zredukowną odległość minimlizuje więcej niż jeden piksel, n wyjście filtru podje się piksel leżący njliżej piksel centrlnego w oknie (piksel njliższy w przestrzeni orzu). Filtr medinowy nie wyprowdz poz ziór wektorów wejściowych, tzn. piksel centrlny zwsze zostje zstąpiony jednym z pikseli w loku. Wyjście filtru zleży od przyjętej miry odległości. Filtr medinowy jest koncepcyjnie prosty jednk pomimo tego chrkteryzuje się dużą złożonością oliczeniową: w kżdym loku konieczne n 2 (n 2-1)-krotne porównnie odległości pry wektorów. Filtr medinowy m dore włsności redukcji zkłóceń impulsowych (zkłóceni typu sól i pieprz), le jednocześnie osiąg gorsze rezultty elimincji szumu gussowskiego. W tkim przypdku lepsze efekty osiągją filtry uśrednijące. W przypdku występowni zrówno szumu gussowskiego i zkłóceń impulsowych wykorzystuje się komincję filtru uśrednijącego orz medinowego (nlogicznie jk w przypdku sklrnym): W tym przypdku filtr wyprowdz poz ziór wektorów wejściowych.

15 Wektorowe filtry kierunkowe (BVDF orz GVDF) i i 100 y 255 j z k 0 { i 255 y 200 j z k 0 { i 130 y j j 230 z k k 0 { c i 30 y 30 j z k 0 { i 30 y 30 j z k 0 { i 165 y j 245 z k 0 { x i 200 y y 255 j z k 0 { i 230 y 140 j z k 0 { i 250 y j 220 z z k 0 { { BVDF 3x3 Rys. 1. Przykłd filtrcji loku 3x3 przy użyciu prostego filtru kierunkowego BVDF. () orz w postci numerycznej; () reprezentcj pikseli jko wektorów w przestrzeni 2D (trzeci skłdow jest równ 0); (c) wynik filtrcji BVDF. Piksel centrlny (zznczony krzyżykiem n rysunku (c)) zostje zstąpiony pikselem minimlizującym sumryczną odległość kątową w stosunku do pozostłych pikseli. W tym przypdku jest to piksel o skłdowych (30,30,0) zznczony n rysunku () czerwonym kółkiem. Przykłd ten ilustruje ogrniczeni metody filtrcji BVDF. 50 G 0 R Opisny wcześniej medinowy filtr wektorowy porządkuje wektory n podstwie sumrycznej odległości w przestrzeni rw. W przypdku wykorzystni miry kątowej do porządkowni wektorów otrzymujemy filtr kierunkowy. Prosty wektorowy filtr kierunkowy (sic vector directionl filter, BVDF) porządkuje wektory jedynie w oprciu o sumryczną odległość kątową wewnątrz okn przetwrzni. Filtr tego typu nstwiony jest n usuwnie pikseli o nietypowym, odstjącym kierunku, nie uwzględnijąc jednk długości wektorów (ilość rwy, nsycenie koloru). Prolem tki rozwiązują uogólnione filtry kierunkowe (generlized vector directionl filters, GVDF) w przypdku których filtrcj przeieg w dwóch etpch: 1. W pierwszym etpie ze zioru W wektorów zwrtych w oknie przetwrzni wyiernych jest k wektorów o njmniejszej sumrycznej odległości kątowej w stosunku do wszystkich pozostłych wektorów. Niech ziór tkich wektorów jest oznczony przez W. 2. W drugim etpie powstły ziór W porządkuje się przy wykorzystniu kryterium odległości w przestrzeni rw (metryk Mnhttn, Euklides, etc.) Wyjściem filtr jest wektor ze zioru W minimlizujący zredukowną odległość w stosunku do pozostłych wektorów w ziorze W.

16 Wektorowe filtry kierunkowo-odległościowe (DDF) x VMF 3x3 Inną grupą filtrów prcujących według schemtu: R-porządkownie zioru wektorów, nstępnie wyór mediny ze zioru, jest grup filtrów kierunkowo-odległościowych (directionl distnce filters, DDF), w przypdku których kryterium porządkowni zioru wektorów jest wrtość funkcji: c BVDF 3x3 d DDF 3x3 gdzie A jest odległością kątową pry wektorów (zdefiniowne wcześniej), ntomist D p jest mirą odległości w przestrzeni rw (np. odległość Mnhttn, Euklides, etc.) e Hyrydowy 3x3 Rys. 1. Porównnie trzech rodzjów filtrcji wektorowej. () orz oryginlny; () wynik filtrcji filtrem medinowym z odległością euklidesową; (c) wynik kierunkowej filtrcji medinowej (BVDF); (d) wynik filtrcji przy użyciu filtru kierunkowo-odległościowego; (e) wynik filtrcji hyrydowej. Wszystkie filtry prcują w schemcie filtrcji medinowej: piksel centrlny jest zstępowny mediną ze zioru. Jk widć n przykłdzie medin jest zleżn od konkretnej postci funkcji, odległości. Przedstwione filtry nie wyprowdzją poz ziór wektorów wejściowych. Filtry tego typu próują wykorzystć jednocześnie oie cechy wektorów: długość orz kierunek. Mediną jest wektor minimlizujący iloczyn dwóch rodzjów odległości. Kolejnym przykłdem filtrów wykorzystujących zrówno kierunek jk i długość pikseli orzu są filtry hyrydowe, stnowiące komincję filtrów VMF orz BVDF. Przykłdem filtru hyrydowego może yć filtr, którego wyjście zdefiniowne jest w nstępujący sposó: W tym przypdku wyjściem filtru jest wektor o kierunku zgodnym z wektorem n wyjściu filtru kierunkowego BVDF orz długości wyznczonej przez wyjście filtru VMF. Filtr hyrydowy wyprowdz poz ziór wektorów wyjściowych (ptrz przykłd ook).

17 Filtrcj wektorow. Porównnie slt&pepper 5% VMF 3x3 MSE=633.9 BVDF 3x3 MSE= DDF 3x3 MSE=610.1 Hyrydowy 3x3 MSE=572.5 slt&pepper 20% VMF 3x3 MSE= BVDF 3x3 MSE= DDF 3x3 MSE= Hyrydowy 3x3 MSE= szum gussowski μ=0σ=50 VMF 3x3 MSE= BVDF 3x3 MSE= DDF 3x3 MSE= Hyrydowy 3x3 MSE= c Rys. 1. N rysunkch (), () i (c) przedstwiono porównnie czterech rodzjów medinowej filtrcji wektorowej w przypdku zkłóceni orzu szumem sól i pieprz z prwdopodoieństwem równym odpowiednio 0.05 (rysunek ) i 0.20 (rysunek ) orz szumem gussowskim o zerowej średniej i wrincji równej 2500.

18 Filtrcj wektorow. Podsumownie Omówione filtry prcują w schemcie filtrcji medinowej, tzn. n ich wyjściu generown jest medin ze zioru wektorów wejściowych. Różnice pomiędzy filtrmi sprowdzją się do stosowni różnych kryteriów odległości w przestrzeni wektorowej rw. W ogólności filtry kierunkowo-odległościowe lu hyrydowe wygłdzją orz w mniejszym stopniu niż filtry VMF lu BVDF. Wdą filtrów hyrydowych jest wyprowdznie poz przestrzeń wektorów wejściowych, co może ojwić się zkłócenimi rw w orzie. Wszystkie omówione filtry cechuje duż złożoność oliczeniow (w porównniu do różnicowego filtru medinowego trktującego poszczególne skłdowe koloru niezleżnie): O(n 4 ). W przypdku filtrów odległościowo-kierunkowych orz hyrydowych złożoność czsow podwj się w stosunku do złożoności filtrów VMF orz BVDF. Omówione filtry posidją wszystkie wdy prostego filtru medinowego dl orzów sklrnych (w odcienich szrości). W szczególności filtrcj wykonywn jest ezwrunkowo, tzn. niezleżnie od tego czy piksel centrlny jest zkłócony czy też nie. W ogólności lepsze włsności pod względem redukcji szumu i wprowdznych zkłóceń posidją dptcyjne filtry wektorowe.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

KSIĘGA ZNAKU. Znak posiada swój obszar ochronny i w jego obrębie nie mogą się znajdować żadne elementy, nie związane ze znakiem.

KSIĘGA ZNAKU. Znak posiada swój obszar ochronny i w jego obrębie nie mogą się znajdować żadne elementy, nie związane ze znakiem. KSIĘGA ZNAKU KSIĘGA ZNAKU Poniżej przedstwion jest chrkterystyk znku 7 lt Uniwersytetu Łódzkiego. Wszystkie proporcje i sposób rozmieszczeni poszczególnych elementów są ściśle określone. Wprowdznie jkichkolwiek

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Księga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A.

Księga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. Księg Identyfikcji Wizulnej Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. 1. Elementy bzowe 1.1. KONSTRUKCJA OPIS ZNAKU PSE 3 1.2. WERSJA PODSTAWOWA ZNAKU 4 1.3. WERSJE UZUPEŁNIAJĄCE 5 1.4. OPIS KOLORYSTYKI ZNAKU

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Księga Znaku. kampanii informacyjno - promocyjnej projektu Warszawski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedałuj i Płyń (bike&sail)

Księga Znaku. kampanii informacyjno - promocyjnej projektu Warszawski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedałuj i Płyń (bike&sail) Księg Znku kmpnii informcyjno - promocyjnej projektu Wrszwski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedłuj i Płyń (bike&sil) Księg Znku A STANDARYZACJA ZNAKU 1 ZNAK KAMPANII - WERSJA PODSTAWOWA I JEJ ODMIANY 1.1 Znk

Bardziej szczegółowo

Topologia i podzbiory,

Topologia i podzbiory, Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1 Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Z INFORMATYKI RAPORT

Z INFORMATYKI RAPORT OKRĘGOWA KOMISJA EGZAMINACYJNA W POZNANIU WYNIKI EGZAMINU MATURALNEGO Z INFORMATYKI RAPORT WOJEWÓDZTWA LUBUSKIE*WIELKOPOLSKIE*ZACHODNIOPOMORSKIE 2 Egzmin mturlny z informtyki zostł przeprowdzony w łym

Bardziej szczegółowo

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp Rdek N.,* Szlpko J.** *Ktedr Inżynierii Eksplotcji Politechnik Świętokrzysk, Kielce, Polsk **Khmelnitckij Uniwersytet Nrodowy, Khmelnitckij, Ukrin Wstęp 88 POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl Rok złożeni 1994 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, RADPOR 81-854-2860 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, 81-854-2860 www.rdpor.pl Ceny spirl introligtorskic DOUBLE-LOOP

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

Projektowanie i bezpieczeństwo

Projektowanie i bezpieczeństwo Projektownie i ezpieczeństwo Systemtyk Z Z-70.3-74 Możliwości Z Z-70.3-74 jest rdzo zróżnicowny. Zwier informcje zrówno n temt szkł jk i mocowń punktowych. Mocowni punktowe mogą yć montowne powyżej lu

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej znak graficzny karta A02 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej znak graficzny karta A02 część A znak marki krt A02 część A znk mrki znk grficzny Port Lotniczy Olsztyn-Mzury wyróżni spośród innych obiektów w Polsce wyjątkowe położenie. Większość z nich znjduje się w dużych mistch, tymczsem nowy terminl powstje

Bardziej szczegółowo

ULTRADŹWIĘKOWE BADANIE ODLEWÓW STALIWNYCH WYMAGANIA NORMY EN 12680-1

ULTRADŹWIĘKOWE BADANIE ODLEWÓW STALIWNYCH WYMAGANIA NORMY EN 12680-1 Dr inż. MAREK ŚLIWOWSKI NDTEST Sp. z o.o. Wrszw WSTĘP W rmch prc Komitetu Technicznego CEN/TC 190 Wyroy odlewne we współprcy z CEN/TC 190/WG4.10 Wdy wewnętrzne oprcowywne są nstępujące normy wyrou: EN

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule) MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/52 2010 Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on

Bardziej szczegółowo

LASER TREATMENT WITH PREHEATING OF CAST IRON ELEMENTS

LASER TREATMENT WITH PREHEATING OF CAST IRON ELEMENTS Grzegorz KINAL Politechnik Poznńsk, Instytut Mszyn Rooczych i Pojzdów Smochodowych ul. Piotrowo 3, 60-965 Poznń (Polnd) e-mil: office_wmmv@put.poznn.pl LASER TREATMENT WITH PREHEATING OF CAST IRON ELEMENTS

Bardziej szczegółowo

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB Mteriły szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB 1. Wprowdzenie Drgnimi nzywne są procesy, w których chrkterystyczne dl nich wielkości fizyczne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym Kurs e-lerningowy Giełd Ppierów Wrtościowych i rynek kpitłowy V edycj Struktur kpitłu, wrtość rynkow przedsiębiorstw n rynku kpitłowym 2010 SPIS TREŚCI I. Wstęp 3 II. Podstwowy miernik rentowności kpitłu

Bardziej szczegółowo

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny. Katedra Automatyki i Elektroniki. Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: TECHNIKA CYFROWA 2 TS1C300 020

Wydział Elektryczny. Katedra Automatyki i Elektroniki. Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: TECHNIKA CYFROWA 2 TS1C300 020 Politechnik Biłostock Wydził Elektryczny Ktedr Automtyki i Elektroniki Instrukcj do ćwiczeń lortoryjnych z przedmiotu: TECHNIKA CYFROWA 2 TSC300 020 Ćwiczenie Nr 2 UKŁADY KOMBINACYJNE. KOMPILACJA I SYMULACJA

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości

Bardziej szczegółowo

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012 Preskrypt n

Bardziej szczegółowo