Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
|
|
- Mikołaj Białek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych
2 Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą tej klsy metod filtrcji jest niezleżne przetwrznie poszczególnych skłdowych orzu kolorowego, np. niezleżne przetwrznie skłdowych R, G orz B orzu RGB. Kżd skłdow orzu rwnego jest trktown jko orz monochromtyczny, dzięki czemu możliwe jest wykorzystnie metod przetwrzni orzów jednorwnych. Tkie podejście pomij jednk rzeczywisty chrkter dnych: piksele orzu kolorowego są elementmi wielowymirowej przestrzeni wektorowej, ich skłdowe njczęściej są ze soą skorelowne. Metody wektorowe. Metody tej grupy trktują poszczególne piksele orzu jk elementy wielowymirowej przestrzeni wektorowej. Wżną klsą filtrów dl orzów monochromtycznych są filtry wykorzystujące sttystykę porządkową (filtry minimlny, mksymlny, medinowy). W przypdku orzów kolorowych sytucj jest dużo rdziej złożon ze względu n wektorowy chrkter pikseli. W wielowymirowych przestrzenich kolorów (przestrzenich wektorowych) nie istnieje owiem jednoznczn i uniwersln metod definiowni porządku. Zproponownych zostło kilk nierównowżnych sposoów porządkowni (sortowni) dnych wektorowych. Z czego wynik szczególne zinteresownie przetwrzni orzów kolorowych przez filtry porządkowe? Przykłd filtru medinowego wskzuje, że izolownie elementów odstjących w ziorze dnych wejściowych dje rdzo dore rezultty w redukcji zkłóceń oecnych w orzie. Przez utożsmienie zkłóceń z elementmi odstjącymi zostją one usunięte z orzu.
3 Metody porządkowni zioru wektorów (1) Rys. 1. Ilustrcj porządkowni różnicowego (Mporządek). () ziór wektorów RGB przed uporządkowniem; () ziór wektorów po uporządkowniu. Rys. 1. Inny przykłd porządkowni różnicowego. () i () przedstwiją odpowiednio wejściowy i wyjściowy ziór wektorów. W tym przypdku wektory wejściowe mją postć: (256,0,0), (128,0,0), (0,256,0), (0,128,0), (0,0,256), (0,0,128). Porządek rzegowy, M-porządek (mrginl ordering) jest sposoem porządkowni dnych wektorowych w którym przeprowdz się niezleżne porządkownie ze względu n wrtości poszczególnych skłdowych wektorów wejściowych. W pierwszym etpie tworzonych jest N ciągów (N jest wymirem przestrzeni wektorowej; njczęściej N=3) zwierjących uporządkowne wrtości kolejnych skłdowych wektorów, np. ciąg uporządkownych wrtości skłdowej R, ciąg uporządkownych wrtości skłdowej G orz ciąg uporządkownych wrtości skłdowej B. W drugim etpie generowne są wektory wyjściowe jko komincj odpowidjących soie (n tej smej pozycji) wrtości w uporządkownych ciągch. Przykłd. Dne są trzy wektory RGB postci (1,2,3), (3,1,2) orz (2,3,1). Uporządkowne ciągi wrtości skłdowych R, G i B poszczególnych wektorów są identyczne i mją postć: (1,2,3), (1,2,3) orz (1,2,3). Osttecznie, porządkownie różnicowe dje ciąg wektorów postci: (1,1,1), (2,2,2) orz (3,3,3). Prolem: porządkownie prowdzi do generowni wektorów nieistniejących w ziorze wektorów wejściowych. W powyższym przykłdzie żden z wektorów podnych n wyjściu nie występuje w wejściowym ziorze wektorów. c d Rys. 3. Ilustrcj porządkowni wrunkowego. () ziór wektorów RGB przed uporządkowniem; (), (c) i (d) reprezentują ziory wektorów po uporządkowniu (rosnąco) ze względu n skłdowe odpowiednio: R, G orz B. Porządek wrunkowy (conditionl ordering, C-ordering) w tym przypdku porządkownie zioru próek wektorowych (piksele orzu kolorowego) wykonywne jest ze względu n wyrną skłdową, np. skłdową R. W przypdku, gdy wektory posidją identyczną wrtość tej skłdowej porządkuje się je ze względu n wrtości kolejnej skłdowej, itd.. Dw wektory związne są relcją równości, gdy posidją identyczne wrtości skłdowych względem których wykonywne jest porządkownie (nie muszą to yć wszystkie skłdowe wektorów). W tym przypdku porządkownie nie wyprowdz poz ziór wektorów wejściowych (wektor wyjściowy pokryw się ednym z wektorów wejściowych). Metod tk w większości przypdków nie ndje się jednk do zstosowni dl orzów kolorowych.
4 Mrginl vector medin filter Filtr MVMF jest uogólnieniem filtru medinowego wykorzystywnego do orzów monochromtycznych. W przypdku MVMF filtrcj medinow wykonywn jest niezleżnie dl kżdej skłdowej orzu. Niezleżne przetwrznie poszczególnych skłdowych jest koncepcyjnie prostym podejściem jednk prowdzi do powstni rwnych rtefktów c d e f Rys. 1. Przykłd filtrcji medinowej orz uśrednijącej orzu kolorowego w przypdku, gdy kżd skłdow orzu filtrown jest niezleżnie. () orz oryginlny zwierjący dwie krwędzie różnej gruości. Pierwsz krwędź (cienk) iegnie od górnego lewego nrożnik do nrożnik dolnego prwego, drug z krwędzi (gru) przeieg od nrożnik górnego prwego do nrożnik dolnego lewego; () orz oryginlny po zkłóceniu szumem impulsowym; orz (c) stnowi wynik filtrcji prostym filtrem uśrednijącym (skłdowe filtrowne niezleżnie). Orzy (d), (e) i (f) przedstwiją wynik filtrcji medinowej (skłdowe filtrowne niezleżnie) z oknem równym odpowiednio: 3x3, 5x5 orz 7x7. Po filtrcji z oknem 3x3 niszczon jest cienk krwędź oecn w orzie. Gru krwędź niszczon jest przez filtrcję z oknem 7x7. Jest to ogóln włsność filtrów medinowych. W prktyce nie stosuje się filtrów dużych rozmirów.
5 Mrginl vector medin filter - ilustrcj c d Rys. 1. Porównnie filtrcji medinowej (rzegowej) orz prostej uśrednijącej. () orz oryginlny, () orz zkłócony szumem impulsowym; (c) wynik filtrcji prostym filtrem wygłdzjącym z mską 3x3; (d) wynik filtrcji medinowej z oknem 3x3. c.d. n nstępnej stronie
6 Mrginl vector medin filter - ilustrcj e f g h Rys. 1. c. d. z poprzedniej strony (e), (f), (g) i (h) przedstwiją wynik filtrcji medinowej (rzegowej) z oknmi odpowiednio: 5x5, 7x7, 13x13 orz 23x23. Widoczne jest stopniowe rozmywnie krwędzi orzu.
7 C-porządek - ilustrcj c d Rys. 1. Przykłd przedstwi wykorzystnie C-porządkowni do podkreślni pewnych oszrów orzu. Rysunek () przedstwi orz oryginlny. N rysunkch (), (c) i (d) przedstwiono efekt przetwrzni polegjącego n pozostwieniu w orzie tych pikseli dl których określon skłdow, odpowiednio R, G orz B, przekrcz zdną wrtość progową. W pozostłych przypdkch skłdowym piksel przypisn zostł średni wszystkich skłdowych. Okno wyznczjące sąsiedztwo ieżącego piksel m w tym przypdku rozmir 3x3 piksele.
8 Metody porządkowni zioru wektorów (2). R-porządek Porządek zredukownego sumowni (reduced lu ggregted ordering, R-ordering) jest njrdziej populrną metodą porządkowni zioru dnych wektorowych. R-porządkownie poleg n zredukowniu kżdego wektor ze zioru wejściowego do pewnej liczy (wrtości pewnej wielkości sklrnej), nstępnie ustlenie porządku wektorów n podstwie porządku wrtości sklrnych przypisnych poszczególnym wektorom: pierwszym wektorem n uporządkownej liście jest wektor, któremu odpowid minimln wrtość wielkości sklrnej, itd. Osttnim wektorem jest ten, któremu odpowid mksymln wrtość wielkości sklrnej. Porządkownie tego typu jest podstwą wielu metod redukcji zkłóceń w orzch kolorowych. Njczęściej porządkownie przeprowdz się w oprciu o kryterium odległości: kżdemu wektorowi w ziorze wejściowym przypisuje się sumryczną (zgregowną) odległość do wszystkich pozostłych wektorów. Niech ziorem wektorów wejściowych jest ziór pikseli orzu kolorowego zwrtych w oknie rozmiru NxN wyśrodkownym n ieżącym pikselu. Okno tkie zwier n=n 2 pikseli: Dl kżdego wektor wyznczn jest sumryczn odległość w przestrzeni rw do wszystkich pozostłych wektorów. Sumryczn odległość wektor x i zdefiniown jest przez równnie: gdzie D p (x i,x j ) jest wyrną mirą odległości dwóch wektorów, ntomist d(x i ) jest sumą jej wrtości dl wektor x i. Wrtości odległości d są nstępnie sortowne w porządku rosnącym i n tej podstwie ustlny jest porządek wektorów: gdzie d (1) orz d (n) są odpowiednio njmniejszą orz njwiększą sumryczną odległością w ziorze wejściowym, którym odpowidją odpowiednio wektory x (1) orz x (n). W ten sposó uporządkownie zioru wrtości sklrnych wprowdz porządek w ziorze wektorów orz nie wyprowdz poz ziór wejściowy.
9 R-porządek. Przykłd Wektor Sumryczn odległość (odległość Euklides) Nr wektor n uporządkownej liście (240,16,0) (60,50,0) 743 (156,160,0) 530 (210,255,0) 761 (60,210,0) c ziór wejściowy ziór uporządkowny Rys. 1. () Ziór wejściowy pięciu wektorów trójwymirowych podlegjących porządkowniu. Dl ułtwieni wizulizcji trzeci skłdow wektorów jest równ 0. Liczy n zielonym tle oznczją numer wektor n uporządkownej liście. Wektory porządkowne są ze względu n odległość euklidesową. Tel przedstwion n rysunku () zwier zgregowne odległości poszczególnych wektorów do wszystkich pozostłych wektorów w ziorze (środkow kolumn). Rysunek (c) przedstwi wektory trktowne jko piksele RGB przed i po uporządkowniu. R- porządek
10 R-porządek. Miry odległości (1) 20 M Cn Njrdziej populrną mirą odległości pry wektorów jest uogólnion metryk Minkowskiego: E, Cz gdzie c jest współczynnikiem sklującym, ξ k ustl wgę poszczególnych skłdowych wektor, ntomist prmetr p pozwl ustlić chrkter metryki. Dl p=1, p=2 orz p otrzymujemy odpowiednio odległość Mnhttn, Euklides orz Czeyszew. 5 Odległość Mnhttn M, E, Cz, Cn Rys. 1. Przykłd niejednoznczności odległości w ziorze wektorów: różne miry odległości implikują różny porządek wektorów w ziorze. Kolor czerwony i zielony oznczją wektory, które zjmują odpowiednio pierwszą orz osttnią pozycję n uporządkownej liście wektorów utworzonej w oprciu o przyjętą mirę odległości: Mnhttn (M), Euklides (E), Czeyszew (Cz) i Cnerr (Cn). Wektory zznczone n czerwono odpowidją medinie w ziorze (ptrz nstępne strony). Jk widć wrtości mediny w przypdku wektorowym nie możn wyznczyć w sposó jednoznczny: zleży on od przyjętej definicji odległości. Wektory oznczone kolorem żółtym osiągją jednkową wrtość sumrycznej odległości w sensie odległości Czeyszew. Odległość Euklides: Odległość Czeyszew (chessord distnce) Innym przykłdem odległości jest odległość Cnerr:
11 R-porządek. Miry odległości (2) M, Cz E, Cn Inne podejście poleg n porządkowniu zioru wektorów według kryterium odległości kątowej. Odległość kątow dnego wektor x i w ziorze wektorów jest zdefiniown jko sum kątów pomiędzy tym wektorem i wszystkimi pozostłymi wektormi w ziorze: W tkim przypdku pierwszym wektorem n uporządkownej liście jest wektor minimlizujący nstępującą sumę: Rys. 1. Porządkownie zioru wektorów n podstwie odległości kątowej. Odległość kątową minimlizuje wektor oznczony symolem.
12 Dygresj: Dlczego sumryczn odległość? N wcześniejszych stronch zostło omówione zgdnienie porządkowni zioru wektorów n podstwie zgregownej odległości. Koncepcyjnie prostszym rozwiązniem jest porządkownie wektorów n podstwie ich długości. W tkim jednk przypdku rozwiąznie dje gorsze wyniki niż rozwiązni wykorzystujące zgregowną odległość. c d i i 57 y i 255 y i 57 y i 57 y i 57 y i 57 y y d e j z k 82 { k 82 { k 80 { k 76 { k 74 { k 74 { i 62 y i 60 y i 62 y i 58 y i 57 y i 255 y j z k 81 { k 82 { k 82 { k 83 { k 80 { k 77 { i 63 y i 62 y i 61 y i 63 y i 62 y i 58 y j z k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { i 60 y i 255 y i 64 y i 64 y i 65 y i 62 y j z k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { k 80 { i 59 y i 65 y i 66 y i 67 y i 66 y i 255 y j z k 82 { k 82 { k 255 { k 82 { k 82 { k 82 { i 58 y i 60 y i 255 y i 63 y i 64 y i 67 y j j z z k k 80 { k 255 { k 82 { k 82 { k 82 { k 82 { { Rys. 1. Ilustrcj jednej z możliwych metod medinowej filtrcji wektorowej. W tym przypdku piksel centrlny ędący środkiem mski 3x3 jest zstępowny pikselem z sąsiedztw, którego długość jest mediną długości wektorów sąsiedztw. () orz zkłócony 10% szumem typu sól; () - wynik filtrcji z mediną długości wektor w loku; (c) wynik filtrcji przy użyciu filtru medinowego trktującego poszczególne skłdowe orzu niezleżnie. N kolejnych rysunkch przedstwiono powiększenie oszru zznczonego czerwonym prostokątem w dolnym lewym kwdrncie rysunku (). I tk: (d) wrtości liczowe orzu zkłóconego (); (d) wynik filtrcji n podstwie mediny długości wektor w loku; (e) wynik filtrcji medinowej trktującej kżdą skłdową wektor niezleżnie.
13 Wektorowy filtr medinowy (VMF, 1990) Njpopulrniejszym filtrem wektorowym wykorzystującym porządek zredukownego sumowni, R-porządek, jest filtr medinowy. Jego ide jest nstępując: Orz przeglądny jest piksel po pikselu z oknem ustlonego rozmiru, NxN pikseli. Okno zwier n=n 2 pikseli. Wrtość piksel znjdującego się w centrum okn zstępown jest mediną ze zioru pikseli w jego sąsiedztwie. Zgodnie z procedurą R-porządkowni dl kżdego wektor zioru wejściowego (piksel centrlny jest elementem tego zioru) wyzncz się w sensie przyjętej miry sumryczną odległość w stosunku do pozostłych wektorów: Wyznczone odległości d i porządkuje się rosnąco. Uporządkowne wrtości d i implikują porządek wektorów: Wyjściem filtru jest medin (wrtość środkow), tzn. wektor x (1) (pierwszy n uporządkownej liście), który minimlizuje odległość do pozostłych wektorów - jest njliższy wszystkim pozostłym wektorom w sensie przyjętej miry odległości: Filtry porządkujące ziór wektorów w oprciu o sumryczną odległość nzywne są filtrmi odległościowymi (distnce filters), ntomist filtry porządkujące n podstwie sumrycznego kąt nzywne są filtrmi kierunkowymi (directionl filters). Istnieją filtry kominujące te dw podejści.
14 Cechy wektorowego filtru medinowego (VMF) Rys. 1. Przykłd zioru punktów w przestrzeni dwuwymirowej orz wrtość środkow (medin zznczon kolorem czerwonym) tego zioru. Przyjmuje się, że punkty odosonione, leżące poz oszrem gdzie skoncentrown jest większość punktów, reprezentują zkłócenie. Wektorow filtrcj medinow m zdolność do izolowni punktów odosonionych: zjmują one skrjne pozycje n uporządkownej liście elementów i nie mogą (pod pewnymi wrunkmi) stnowić wyjści filtru. Wektory n pierwszych pozycjch uporządkownej listy odpowidją punktom przestrzeni wektorowej położonym w oszrze centrlnym (ptrz rysunek). W przypdku, gdy zredukowną odległość minimlizuje więcej niż jeden piksel, n wyjście filtru podje się piksel leżący njliżej piksel centrlnego w oknie (piksel njliższy w przestrzeni orzu). Filtr medinowy nie wyprowdz poz ziór wektorów wejściowych, tzn. piksel centrlny zwsze zostje zstąpiony jednym z pikseli w loku. Wyjście filtru zleży od przyjętej miry odległości. Filtr medinowy jest koncepcyjnie prosty jednk pomimo tego chrkteryzuje się dużą złożonością oliczeniową: w kżdym loku konieczne n 2 (n 2-1)-krotne porównnie odległości pry wektorów. Filtr medinowy m dore włsności redukcji zkłóceń impulsowych (zkłóceni typu sól i pieprz), le jednocześnie osiąg gorsze rezultty elimincji szumu gussowskiego. W tkim przypdku lepsze efekty osiągją filtry uśrednijące. W przypdku występowni zrówno szumu gussowskiego i zkłóceń impulsowych wykorzystuje się komincję filtru uśrednijącego orz medinowego (nlogicznie jk w przypdku sklrnym): W tym przypdku filtr wyprowdz poz ziór wektorów wejściowych.
15 Wektorowe filtry kierunkowe (BVDF orz GVDF) i i 100 y 255 j z k 0 { i 255 y 200 j z k 0 { i 130 y j j 230 z k k 0 { c i 30 y 30 j z k 0 { i 30 y 30 j z k 0 { i 165 y j 245 z k 0 { x i 200 y y 255 j z k 0 { i 230 y 140 j z k 0 { i 250 y j 220 z z k 0 { { BVDF 3x3 Rys. 1. Przykłd filtrcji loku 3x3 przy użyciu prostego filtru kierunkowego BVDF. () orz w postci numerycznej; () reprezentcj pikseli jko wektorów w przestrzeni 2D (trzeci skłdow jest równ 0); (c) wynik filtrcji BVDF. Piksel centrlny (zznczony krzyżykiem n rysunku (c)) zostje zstąpiony pikselem minimlizującym sumryczną odległość kątową w stosunku do pozostłych pikseli. W tym przypdku jest to piksel o skłdowych (30,30,0) zznczony n rysunku () czerwonym kółkiem. Przykłd ten ilustruje ogrniczeni metody filtrcji BVDF. 50 G 0 R Opisny wcześniej medinowy filtr wektorowy porządkuje wektory n podstwie sumrycznej odległości w przestrzeni rw. W przypdku wykorzystni miry kątowej do porządkowni wektorów otrzymujemy filtr kierunkowy. Prosty wektorowy filtr kierunkowy (sic vector directionl filter, BVDF) porządkuje wektory jedynie w oprciu o sumryczną odległość kątową wewnątrz okn przetwrzni. Filtr tego typu nstwiony jest n usuwnie pikseli o nietypowym, odstjącym kierunku, nie uwzględnijąc jednk długości wektorów (ilość rwy, nsycenie koloru). Prolem tki rozwiązują uogólnione filtry kierunkowe (generlized vector directionl filters, GVDF) w przypdku których filtrcj przeieg w dwóch etpch: 1. W pierwszym etpie ze zioru W wektorów zwrtych w oknie przetwrzni wyiernych jest k wektorów o njmniejszej sumrycznej odległości kątowej w stosunku do wszystkich pozostłych wektorów. Niech ziór tkich wektorów jest oznczony przez W. 2. W drugim etpie powstły ziór W porządkuje się przy wykorzystniu kryterium odległości w przestrzeni rw (metryk Mnhttn, Euklides, etc.) Wyjściem filtr jest wektor ze zioru W minimlizujący zredukowną odległość w stosunku do pozostłych wektorów w ziorze W.
16 Wektorowe filtry kierunkowo-odległościowe (DDF) x VMF 3x3 Inną grupą filtrów prcujących według schemtu: R-porządkownie zioru wektorów, nstępnie wyór mediny ze zioru, jest grup filtrów kierunkowo-odległościowych (directionl distnce filters, DDF), w przypdku których kryterium porządkowni zioru wektorów jest wrtość funkcji: c BVDF 3x3 d DDF 3x3 gdzie A jest odległością kątową pry wektorów (zdefiniowne wcześniej), ntomist D p jest mirą odległości w przestrzeni rw (np. odległość Mnhttn, Euklides, etc.) e Hyrydowy 3x3 Rys. 1. Porównnie trzech rodzjów filtrcji wektorowej. () orz oryginlny; () wynik filtrcji filtrem medinowym z odległością euklidesową; (c) wynik kierunkowej filtrcji medinowej (BVDF); (d) wynik filtrcji przy użyciu filtru kierunkowo-odległościowego; (e) wynik filtrcji hyrydowej. Wszystkie filtry prcują w schemcie filtrcji medinowej: piksel centrlny jest zstępowny mediną ze zioru. Jk widć n przykłdzie medin jest zleżn od konkretnej postci funkcji, odległości. Przedstwione filtry nie wyprowdzją poz ziór wektorów wejściowych. Filtry tego typu próują wykorzystć jednocześnie oie cechy wektorów: długość orz kierunek. Mediną jest wektor minimlizujący iloczyn dwóch rodzjów odległości. Kolejnym przykłdem filtrów wykorzystujących zrówno kierunek jk i długość pikseli orzu są filtry hyrydowe, stnowiące komincję filtrów VMF orz BVDF. Przykłdem filtru hyrydowego może yć filtr, którego wyjście zdefiniowne jest w nstępujący sposó: W tym przypdku wyjściem filtru jest wektor o kierunku zgodnym z wektorem n wyjściu filtru kierunkowego BVDF orz długości wyznczonej przez wyjście filtru VMF. Filtr hyrydowy wyprowdz poz ziór wektorów wyjściowych (ptrz przykłd ook).
17 Filtrcj wektorow. Porównnie slt&pepper 5% VMF 3x3 MSE=633.9 BVDF 3x3 MSE= DDF 3x3 MSE=610.1 Hyrydowy 3x3 MSE=572.5 slt&pepper 20% VMF 3x3 MSE= BVDF 3x3 MSE= DDF 3x3 MSE= Hyrydowy 3x3 MSE= szum gussowski μ=0σ=50 VMF 3x3 MSE= BVDF 3x3 MSE= DDF 3x3 MSE= Hyrydowy 3x3 MSE= c Rys. 1. N rysunkch (), () i (c) przedstwiono porównnie czterech rodzjów medinowej filtrcji wektorowej w przypdku zkłóceni orzu szumem sól i pieprz z prwdopodoieństwem równym odpowiednio 0.05 (rysunek ) i 0.20 (rysunek ) orz szumem gussowskim o zerowej średniej i wrincji równej 2500.
18 Filtrcj wektorow. Podsumownie Omówione filtry prcują w schemcie filtrcji medinowej, tzn. n ich wyjściu generown jest medin ze zioru wektorów wejściowych. Różnice pomiędzy filtrmi sprowdzją się do stosowni różnych kryteriów odległości w przestrzeni wektorowej rw. W ogólności filtry kierunkowo-odległościowe lu hyrydowe wygłdzją orz w mniejszym stopniu niż filtry VMF lu BVDF. Wdą filtrów hyrydowych jest wyprowdznie poz przestrzeń wektorów wejściowych, co może ojwić się zkłócenimi rw w orzie. Wszystkie omówione filtry cechuje duż złożoność oliczeniow (w porównniu do różnicowego filtru medinowego trktującego poszczególne skłdowe koloru niezleżnie): O(n 4 ). W przypdku filtrów odległościowo-kierunkowych orz hyrydowych złożoność czsow podwj się w stosunku do złożoności filtrów VMF orz BVDF. Omówione filtry posidją wszystkie wdy prostego filtru medinowego dl orzów sklrnych (w odcienich szrości). W szczególności filtrcj wykonywn jest ezwrunkowo, tzn. niezleżnie od tego czy piksel centrlny jest zkłócony czy też nie. W ogólności lepsze włsności pod względem redukcji szumu i wprowdznych zkłóceń posidją dptcyjne filtry wektorowe.
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowowersja podstawowa (gradient)
księg znku wersj podstwow (grdient) Logo RAKU FILM w wersji podstwowej może występowć w dwóch wrintch, n jsnym (domyślnie - biłe tło) orz n ciemnym (domyślnie - czrne tło). Nleży unikć stosowni logo n
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowo2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowosystem identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki
krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoProgramy współbieżne
Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoRBD Relacyjne Bazy Danych
Wykłd 6 RBD Relcyjne Bzy Dnych Bzy Dnych - A. Dwid 2011 1 Bzy Dnych - A. Dwid 2011 2 Sum ziorów A i B Teori ziorów B A R = ) ( Iloczyn ziorów A i B ( ) B A R = Teori ziorów Różnic ziorów ( A) i B Iloczyn
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowo4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Bardziej szczegółowoPodstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoKSIĘGA ZNAKU. Znak posiada swój obszar ochronny i w jego obrębie nie mogą się znajdować żadne elementy, nie związane ze znakiem.
KSIĘGA ZNAKU KSIĘGA ZNAKU Poniżej przedstwion jest chrkterystyk znku 7 lt Uniwersytetu Łódzkiego. Wszystkie proporcje i sposób rozmieszczeni poszczególnych elementów są ściśle określone. Wprowdznie jkichkolwiek
Bardziej szczegółowoAby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.
2. Struktury i pierwistki N zjęcich zjmiemy się pierwistkmi i strukturmi krystlicznymi. O ile w przypdku tych pierwszych, temt poruszny był w trkcie wykłdu, to drugie zgdnienie może wymgć krótkiego przybliżeni/przypomnieni.
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowosymbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia
Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoKsięga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A.
Księg Identyfikcji Wizulnej Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. 1. Elementy bzowe 1.1. KONSTRUKCJA OPIS ZNAKU PSE 3 1.2. WERSJA PODSTAWOWA ZNAKU 4 1.3. WERSJE UZUPEŁNIAJĄCE 5 1.4. OPIS KOLORYSTYKI ZNAKU
Bardziej szczegółowoPodstawy Techniki Cyfrowej Układy komutacyjne
Podstwy Techniki Cyfrowej Ukłdy komutcyjne Ukłdy kombincyjne, umożliwijące przełącznie (komutcję) sygnłów cyfrowych, nzyw się ukłdmi ukłdmi komutcyjnymi. Do podstwowych ukłdów komutcyjnych zlicz się multipleksery
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoKarta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL
Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Bardziej szczegółowo4.3. Przekształcenia automatów skończonych
4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony
Bardziej szczegółowoAnna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS
Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoLista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoKarta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1
Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoKOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH
KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Bardziej szczegółowoCharakterystyki oraz wyszukiwanie obrazów cyfrowych
Chrkterystyki orz wyszukiwnie obrzów cyfrowych 1 Pojęcie i reprezentcje obrzu Obrz cyfrowy, I, definiuje się jko odwzorownie z przestrzeni pikseli P do przestrzeni kolorów C, tzn. I: P C. Klsy obrzów obrzy
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoPlanimetria czworokąty
Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia automatów skończonych
Przeksztłceni utomtów skończonych Teori utomtów i języków formlnych Dr inŝ. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Konstrukcj utomtu skończonego n podstwie wyrŝeni regulrnego (lgorytm Thompson) Wejście: wyrŝenie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Nieliniowa filtracja obrazów monochromatycznych
Algorytmy graficzne Nieliniowa filtracja orazów monochromatycznych Metody oceny efektywności filtracji Analizując filtry redukujące zakłócenia w orazie cyfrowym konieczne jest określenie ścisłych miar
Bardziej szczegółowoModelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich
Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoMetody detekcji krawędzi w obrazach
Metody detekcji krwędzi w orzch Zgdnienie detekcji krwędzi w orzie Detekcj krwędzi w orzie njczęściej sprowdz się do poszukiwni w orzie loklnych nieciągłości funkcji jsności lu koloru. Wystąpienie tkich
Bardziej szczegółowoBadanie regularności w słowach
Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoSTYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoZbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym
Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni
Bardziej szczegółowo