Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

Transkrypt

1 Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi. Inne, rdziej skomplikowne, oprócz wrtości, chrkterzują się jeszcze kierunkiem i zwrotem. To są wielkości wektorowe lu krócej wektor. Do nich nleżą międz innmi: prędkość, przspieszenie, sił, ntężenie pol elektrcznego itp. W mtemtce jest kilk definicji wektor (w zleżności od kontekstu, w którm się pojwiją ), le wszstkie są trudne. Nm wstrcz informcj, że wektor jest uporządkownm odcinkiem (strzłką), chrkterzującm się długością (wrtością), kierunkiem i zwrotem wznczonm przez owo uporządkownie, pozwljące wróżnić początek i koniec wektor oznczon grotem. Wektor ędę oznczł tu pogruionmi litermi np., długość wektor lu po prostu. to jest wektor to jego koniec to jest początek wektor... To, co ns ędzie interesowć, to dziłni n wektorch orz ich rozkłd n skłdowe. Njpierw musim się nuczć, jk się opisuje wektor. A opisć wektor nie wstrcz podć jego długość. M on jeszcze kierunek i zwrot. Jk w skrótowm, mtemtcznm zpisie zwrzeć informcje o długości, kierunku i zwrocie? Okzuje się, że njlepszm sposoem jest wprowdzenie pojęci współrzędnch wektor. Co to tkiego, wjśnim prz pomoc rsunku. Współrzędn wektor to po prostu różnic współrzędnej końc wektor i współrzędnej jego początku. =, [ ] = = Oczwiście wektor w przestrzeni trójwmirowej wektor ędzie mił trz współrzędne. B B A A B ( B, B ) α A ( A, A ) O

2 W jki sposó zwrte są we współrzędnch informcje o kierunku, zwrocie i długości wektor? Znów odwołjm się do rsunku. Kierunek możn określić prz pomoc kąt. Tngens tego kąt możn z łtwością wrzić przez współrzędne, minowicie tg α =. Zwrot ukrt jest w znku współrzędnch. Zmin zwrotu wektor powoduje zminę znku ou jego współrzędnch. Wreszcie długość dje się policzć z dorze znnego twierdzeni Pitgors: =. Podonie jest w przestrzeni trójwmirowej (choć kierunek określon jest w sposó rdziej skomplikown). Jkie dziłni n wektorch ędą nm potrzene w kinemtce? Omówię trz z nich. Są jeszcze inne, le te nie ędą potrzene w kinemtce. 1. Mnożenie przez liczę 2. Dodwnie 3. Odejmownie 1. Mnożenie wektor przez liczę. N to rdzo proste dziłnie możn się ntknąć n przkłd w definicji prędkości, gdzie przemieszczenie (wektor) jest mnożone przez odwrotność czsu (licz). Mnożenie ędziem oznczć tk: = λ lu tk = λ, gdzie λ - licz, i - wektor. 2 2 Rsunek przedstwi wniki mnożeni pewnego wektor przez różne licz. Gd licz jest dodtni, mnożenie zwiększ długość wektor tle rz ile wnosi t licz, ez zmin kierunku i zwrotu. Ntomist gd licz jest ujemn długość zmieni się tle rz ile wnosi moduł z tej licz, kierunek nie uleg zminie, zwrot zmieni się n przeciwn. Wektor pomnożon przez -1 zwn jest wektorem przeciwnm do dnego. A jk to jest, gd wektor jest dn w postci nlitcznej (czli dne są jego współrzędne)? Brdzo prosto! =, = λ = λ, = λ, λ. Czli mnożenie przez liczę poleg Niech [ ]. Wted [ ] [ ] n pomnożeniu przez tę liczę wszstkich współrzędnch wektor. 2. Dodwnie wektorów. Dodwni wektorów wmg klsczne prwo dodwni prędkości. Są dwie geometrczne metod dodwni wektorów (oczwiście soie równowżne): metod równoległooku i metod trójkąt. Rsunki przedstwiją oie metod wkonni dziłni c = +.

3 + Metod równoległooku 1. Sprowdzm wektor do wspólnego początku przesuwjąc je równolegle. 2. Budujem n wektorch równoległook jk n rsunku. 3. Wnik dodwni to przekątn równoległooku rozpocznjąc się we wspólnm początku dodwnch wektorów. + Metod trójkąt 1. Sprowdzm początek wektor do końc wektor (przesuwjąc go równolegle) 2. Rsujem wektor o początku w początku i końcu w końcu. Otrzmujem trójkąt 3. Wspomnin w punkcie 2 wektor to włśnie +. Czsmi chcem znleźć długość wektor ędącego sumą dwu innch wektorów. N ogół zgdnienie to rozwiązuje się prz pomoc twierdzeni cosinusów. Są jednk trz przpdki, kied jest to zncznie łtwiejsze. 1. Wektor są skierowne zgodnie. + Wted długość wektor c jest równ sumie długości i. 2. Wektor są skierowne przeciwnie. + Długość wektor c jest równ różnic długości wektor dłuższego i krótszego. 3. Wektor są prostopdłe.

4 + Tm rzem n pomoc przchodzi twierdzenie Pitgors: 2 c = + 2 A terz dodwnie wektorów sposoem nlitcznm. Domślcie się ch, że że dodć wektor trze dodć ich odpowiednie współrzędne. + =, +, = +, + [ ] [ ] [ ] 3. Odejmownie wektorów. Z odejmowniem wektorów spotkm się chociż w definicji przspieszeni średniego; w liczniku mm różnicę międz prędkością końcową i prędkością początkową Odejmownie wektorów jest szczególnm przpdkiem ich dodwni. Podonie jk odejmownie licz. Przkłd: 5-3 = 5 + (-3). Jeśli chcem od wektor odjąć wstrcz do wektor dodć wektor przeciwn do. Poptrzm n rsunek. Z rsunku wnik że różnicą wektorów jest przekątn równoległooku zcznjąc się w końcu wektor i kończąc się w końcu wektor. Sum wektorów to drug z przekątnch. Anlitcznie: c = =,, =, [ ] [ ] [ ] O α Zjmijm się jeszcze rozkłdem wektor n skłdowe w dnm ukłdzie współrzędnch. Rozkłd n skłdowe przdje się, gd wkorzstujem prwo dodwni prędkości.

5 , to skłdowe wektor. Ich współrzędne to zrzem odpowiednie współrzędne wektor. Znjąc długość wektor i kąt nchleni do osi możn znleźć współrzędne skłdowch: = cosα = sinα