Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Transkrypt

1 Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów mgr inż. Piotr Zegrmistrz Promotor: dr hb. inż. Zbigniew lis, prof. AH Krków,

2 Skłdm serdeczne podziękowni prof. dr hb. inż. Zbigniewowi lisowi, mojemu promotorowi, z nieocenioną pomoc i wrtościowe wskzówki udzielone podczs powstwni tej prcy. Dziękuję również z motywcję i wirę w moje możliwości! Szczególne podziękowni kieruję do mojej Ani, z cierpliwość, wyrozumiłość i wsprcie! Prcę dedykuję moim Rodzicom.

3 Spis treści Skorowidz njwżniejszych oznczeń.... Wstęp..... Cel prcy..... Zwrtość prcy Rekonstrukcj konduktncji n podstwie pomirów brzegowych..... Sitk rezystorów..... Sformułownie problemu.... Algorytmy rekonstrukcji konduktncji Metheurystyczne i optymlizcyjne lgorytmy rekonstrukcji kondunktncji5... Definicj funkcji celu Włściwości funkcji celu Algorytmy metheurystyczne... Metod Monte Crlo... Symulowne wyżrznie... 5 Algorytm genetyczny Algorytmy optymlizcyjne... 8 Algorytm sympleksowy Nelder-Med... Metod qusi-newton... Sekwencyjne progrmownie kwdrtowe... Nieliniow metod njmniejszych kwdrtów..... Anlityczny lgorytm rekonstrukcji kondunktncji Rekonstrukcj konduktncji w jednej wrstwie Przypdek k Przypdek k większego od i nie większego od liczby wierszy... Wyznczenie współczynników α, α,..., α k... Wyznczenie potencjłów... Rekonstrukcj kondunktncji Przypdek k większego od liczby wierszy..... Modyfikcje lgorytmu nlitycznego Uruchomienie lgorytmu z wszystkich nrożników sitki Optymlizcj wrtości współczynników α, α,..., α k Wyniki dziłni lgorytmów rekonstrukcji Szczegóły implementcji... 5

4 .. Algorytmy metheurystyczne Algorytmy optymlizcyjne Algorytm nlityczny Algorytm nlityczny z usprwnienimi..... Porównnie metod rekonstrukcji Podsumownie... 8 Dodtek A. Obliczeni nlityczne dl przykłdowej sitki rezystncyjnej... 8 Litertur... Spis rysunków i tbel...

5 Skorowidz njwżniejszych oznczeń N liczb kolumn węzłów sitki rezystncyjnej rozmir poziomy sitki N liczb wierszy węzłów sitki rezystncyjnej rozmir pionowy sitki N b liczb węzłów brzegowych sitki rezystncyjnej N e liczb elementów krwędzi sitki rezystncyjnej Γ sitk rezystncyjn Ω zbiór węzłów sitki rezystncyjnej Ω zbiór krwędzi sitki rezystncyjnej P ij węzeł sitki prostokątnej o współrzędnych i,j int Ω zbiór węzłów wewnętrznych sitki rezystncyjnej Ω zbiór węzłów brzegowych sitki rezystncyjnej γ konduktywność odwzorownie I b wektor prądów w węzłch brzegowych zestw dnych Neumnn V b wektor potencjłów węzłów brzegowych zestw dnych Dirichlet Λ mcierz odwzorowni Dirichlet-Neumnn Λ mcierz odwzorowni Neumnn-Dirichlet V wektor potencjłów węzłów sitki wektor konduktncji elementów sitki, [,,..., Ne ] f funkcj celu wykorzystywn w lgorytmch rekonstrukcji bzujących n procedurch metheurystycznych i optymlizcyjnych p A prwdopodobieństwo kceptcji kolejnej próbki lgorytm symulownego wyżrzni ΔE różnic energii nlizownej i poprzedniej próbki lgorytm symulownego wyżrzni T tempertur lgorytm symulownego wyżrzni T początkow wrtość tempertury lgorytm symulownego wyżrzni t f mksymln liczb itercji lgorytm symulownego wyżrzni f p funkcj przystosowni osobnik lgorytm genetyczny f mx wrtość funkcji celu f dl njgorszego osobnik w pokoleniu lgorytm genetyczny p c prwdopodobieństwo krzyżowni lgorytm genetyczny p m prwdopodobieństwo mutcji lgorytm genetyczny h mksymlny względny błąd rekonstrukcji

6 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów. Wstęp Problemtyk tomogrfii impedncyjnej jest przedmiotem intensywnych bdń od wielu lt [,, 5, 5]. Dynmiczny rozwój technik tomogrfii impedncyjnej, zrówno dwu- jk i trójwymirowej jest związny z możliwością licznych plikcji prktycznych, przede wszystkim w medycynie [], le również w wielu innych dziedzinch, tkich jk np. budownictwo czy konserwcj zbytków [, 5]. Istotą tomogrfii, w kżdej z jej odmin, jest określenie prmetrów fizycznych dnego ośrodk wyłącznie n podstwie pomirów n jego brzegu. Większość stosownych obecnie technik tomogrficznych dotyczy bdni ośrodków ciągłych. N podstwie pomirów brzegowych konstruowny jest obrz włściwości elektrycznych wnętrz bdnego ośrodk. Dlej, n podstwie powstłego obrzu wnioskuje się n temt włściwości fizycznych ośrodk. Poszczególne techniki tomogrfii impedncyjnej różnią się od siebie m.in. wyborem sygnłów elektrycznych wymuszjących orz sygnłów będących odpowiedzią bdnego ośrodk n wymuszenie, metodmi opisu mtemtycznego zjwisk fizycznych występujących w procesie tomogrfii orz metodmi numerycznymi rozwiązywni sformułownych problemów. W poniższej prcy nlizowny jest problem tomogrfii rezystncji sitek rezystorów [,,, 8, ]. est to problem dyskretny, w którym n podstwie pomirów elektrycznych n brzegu ukłdu skłdjącego się ze skończonej liczby elementów określne są wrtości konduktncji bądź rezystncji tych elementów. Problem ten m potencjlne zstosowni w dziedzinie tomogrfii ośrodków ciągłych. W zstosownich tych wyznczne są włściwości fizyczne ośrodk ciągłego przez zmodelownie go odpowiednio gęstym ukłdem dyskretnym. Relizcj tk jest możliw pod wrunkiem oprcowni efektywnych technik tomogrfii rezystncyjnej ukłdów dyskretnych skłdjących się z wystrczjąco dużej liczby elementów. Rozwżny problem może mieć również prktyczne zstosowni w sytucjch, gdy sitk elementów rezystncyjnych jest wykorzystywn do wyznczeni rozkłdu ciężru, tempertury lub innych prmetrów fizycznych dnej powierzchni. W tych zstosownich tworzy się sitkę rezystorów o znnym rozmirze i strukturze połączeń. Elementy łączące węzły sitki wykonne są z tzw. inteligentnych mteriłów, czyli

7 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów tkich, których włściwości elektryczne zleżą od innych prmetrów fizycznych. Prmetrmi tymi mogą być m.in. tempertur elementu lub ncisk n jego powierzchnię. W sytucji, gdy znn jest zleżność konduktncji od zminy interesującej ns wielkości fizycznej np. tempertury możn zbudowć ukłd pozwljący n monitoring zmin rozkłdu tego prmetru fizycznego n powierzchni ukłdu. Możliwe jest wówczs wykorzystnie metod tomogrfii sitek rezystorów do stworzeni obrzu rozkłdu dnego prmetru fizycznego i obserwownie jego zmin w czsie rzeczywistym... Cel prcy W swojej prcy dydktycznej utor niniejszej dysertcji prowdził między innymi zjęci z przedmiotów Teori Obwodów Elektrycznych orz Computerided Anlysis of Electronic Systems. Podczs zjęć tych, wprowdzjąc metodę potencjłów węzłowych, utor postwił studentom zdnie wyznczeni wypdkowej rezystncji pomiędzy dwom węzłmi sitki rezystorów [5, ]. W związku z tym doświdczeniem utor zinteresowł się problemem rekonstrukcji konduktncji elementów sitek rezystncyjnych i podjął próbę zweryfikowni skuteczności dziłni istniejących orz oprcowni nowych lgorytmów rekonstrukcji. Autor postnowił zbdć, czy możliwe jest wykorzystnie tych lgorytmów do rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów w sytucjch prktycznych orz w tomogrfii ośrodków ciągłych z stysfkcjonującą dokłdnością. N podstwie bdń wykonnych podczs przygotowni niniejszej dysertcji utor sformułowł poniższą tezę: Możliwe jest tkie sformułownie postwionego w prcy problemu, które pozwl n relizcję lgorytmów rekonstrukcji bzujących n metodch optymlizcyjnych poszukiwni ekstremum funkcji wielu zmiennych. Istniejące lgorytmy rekonstrukcji konduktncji elementów skończonych sitek rezystorów n podstwie pomirów brzegowych cechuje ogrniczenie dotyczące rozmirów sitek możliwych do rekonstrukcji. Możliwe jest ulepszenie istniejących lgorytmów rekonstrukcji w tki sposób, by pozwlły n rekonstrukcję ukłdów skłdjących się z większej liczby elementów orz były brdziej odporne n występownie niedokłdności pomirów.

8 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów W celu wykzni prwdziwości postwionych tez utor wyznczył sobie nstępujące cele cząstkowe: Dokonć przeglądu literturowego istniejących metod rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów, zimplementowć i przetestowć wybrne metody. Zdefiniowć funkcję celu postwionego problemu w tki sposób, by określł on stopień dopsowni bdnej próbki/sitki testowej do rekonstruownego oryginłu. Funkcj t powinn być tk skonstruown, by jej rgumentem był wektor konduktncji wszystkich elementów sitki i funkcj przyjmowł ekstremum globlne dl przypdku, gdy wektor konduktncji bdnej próbki jest tożsmy z wektorem konduktncji oryginlnej sitki. N podstwie zdefiniownej funkcji celu zimplementowć lgorytmy rekonstrukcji bzujące n metheurystycznych orz optymlizcyjnych metodch poszukiwni minimum funkcji. Zdefiniowć prmetry porównwcze pozwljące ocenić skuteczność i precyzję dziłni poszczególnych lgorytmów rekonstrukcji konduktncji. Zimplementowć i przetestowć zproponowne lgorytmy, porównć ich włściwości z istniejącymi metodmi rekonstrukcji. Wskzć możliwe modyfikcje zimplementownych lgorytmów pozwljące n poprwienie ich skuteczności. Oczekiwne rezultty zweryfikowć bdnimi symulcyjnymi. Zweryfikowć możliwość wykorzystni lgorytmów rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów w zstosownich prktycznych orz do tomogrfii ośrodków ciągłych... Zwrtość prcy Prc skłd się z pięciu rozdziłów, dodtku A, skorowidz njwżniejszych oznczeń orz spisu litertury. Pierwszy rozdził stnowi wstęp, opisno w nim pojęcie tomogrfii i przedstwiono możliwe zstosowni prktyczne. Pondto przedstwiono genezę i cel prcy, sformułowno tezę prcy, zdefiniowno postwione cele cząstkowe. Streszczono tkże zwrtość prcy. W rozdzile drugim sformułowno i szczegółowo opisno postwiony w prcy problem. Zdefiniowno podstwowe prmetry skończonych, prostokątnych sitek rezystncyjnych. Pokrótce przedstwiono temtykę problemów odwrotnych. Pondto 8

9 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów wskzno odwzorowni w jednoznczny sposób opisujące sitkę rezystncyjną orz włściwości tkich odwzorowń. Rozdził trzeci stnowi opis lgorytmów rekonstrukcji konduktncji dl sitek prostokątnych. Zdefiniowno funkcję celu umożliwijącą przedstwienie problemu rekonstrukcji jko problemu poszukiwni minimum funkcji wielu zmiennych. Wskzno włściwości omwinej funkcji celu. Dlej zprezentowno wybrne metody metheurystyczne i optymlizcyjne wykorzystywne w zproponownych lgorytmch. Nstępnie przedstwiono podstwowe złożeni oryginlnego lgorytmu nlitycznego Curtis i Morrow orz jego rozszerzeni pozwljące n rekonstrukcję sitek prostokątnych. W końcowej części rozdziłu trzeciego przedstwiono modyfikcje lgorytmu nlitycznego pozwljące n zwiększenie zkresu rozmirów sitek możliwych do rekonstrukcji orz zmniejszenie wpływu błędów pomirowych n wynik dziłni lgorytmu. W rozdzile czwrtym zebrno wyniki przeprowdzonych bdń symulcyjnych. Zprezentowno nlizę skuteczności dziłni poszczególnych metod. Prmetrmi podlegjącymi ocenie są uśredniony mksymlny błąd rekonstrukcji orz cłkowity czs wykonywni lgorytmu. W przypdku lgorytmów nlitycznych bzujących n idei oryginlnego lgorytmu Curtis i Morrow przedstwiono wyniki bdni odporności lgorytmów n występownie błędów pomirowych orz wpływ niedokłdności pomiru n mksymlny rozmir sitek możliwych do rekonstrukcji. Podsumownie niniejszej dysertcji zwrto w rozdzile piątym. Zostły tm zprezentowne wnioski wyciągnięte n podstwie przeprowdzonych bdń. Wskzne zostły możliwe plikcje prktyczne oprcownych i przebdnych lgorytmów. Wymienione zostły zdni wykonne w trkcie powstwni niniejszej prcy. W osttniej części utor podsumowł relizcję celów cząstkowych i ustosunkowł się do postwionej we wstępie tezy prcy. W Dodtku A zprezentowno obliczeni nlityczne dl przykłdowej sitki o rozmirze węzły, skłdjącej się z elementów. Obliczono, jk współczynniki mcierzy odwzorowni Neumnn Dirichlet zleżą od konduktncji elementów sitki. Pondto zobrzowno, jk wrtość funkcji celu zdefiniownej w rozdzile trzecim orz jej pochodnych cząstkowych zleży od konduktncji elementów sitki.

10 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów. Rekonstrukcj konduktncji n podstwie pomirów brzegowych W prcy nlizowne są lgorytmy rekonstrukcji konduktncji elementów łączących węzły skończonych, prostokątnych sitek rezystncyjnych. W niniejszym rozdzile szczegółowo zdefiniowno sitki rezystncyjne orz sformułowno postwiony w prcy problem... Sitk rezystorów Sitkę rezystorów możn zdefiniowć jko obwód elektryczny, w którym elementy rezystncyjne łączą sąsiednie węzły krtownicy. W prcy rozwżny jest przypdek, gdy węzły sitki wypełniją krtownicę o ksztłcie prostokąt. Złożono, że kżdy węzeł wewnętrzny jest połączony z czterem węzłmi sąsiednimi z pomocą elementu o zdnej konduktncji, któr jest skończon i dodtni, podczs gdy kżdy węzeł brzegowy jest połączony z tylko jednym węzłem wewnętrznym. Obrzuje to przykłd przedstwiony n rys... Rys... Sitk rezystorów o wymirch N N 8 5 węzłów.

11 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów Przyjmując, że węzły sitki są rozmieszczone w N kolumnch i N wierszch, możn zuwżyć, że sitk tk posid N N węzłów wewnętrznych orz N N węzłów brzegowych, co dje cłkowitą liczbę N N węzłów. Dl przedstwionego przykłdu sitki o rozmirze 8 5 węzłów ozncz to 8 węzłów wewnętrznych orz 8 węzłów brzegowych. W prcch [, ] przedstwiono mtemtyczną definicję kwdrtowych sitek rezystncyjnych. N tej podstwie poniżej przedstwiono pełną definicję prostokątnej sitki rezystncyjnej. Prostokątną sitkę rezystncyjną Γ możn zdefiniowć jko zbiór węzłów Ω, krwędzi łączących węzły Ω wrz z odwzorowniemγ, tzn.: w. Γ Ω, Ω,. przy czym: γ w. Ω γ : R. jest odwzorowniem przyporządkowującym kżdej krwędzi liczbę rzeczywistą dodtnią. Węzłmi sitki nzywmy zbiór punktów P ij prostokątnej krtownicy o współrzędnych cłkowitych, tkich że P ij i,j, i N orz j N, z wyłączeniem punktów nrożnych,, N,,,N orz N,N. Zbiór węzłów wewnętrznych sitki, oznczony int Ω, zwier te węzły, dl których i N orz j N. Zbiór węzłów brzegowych sitki, oznczony Ω, to zbiór zdefiniowny jko Ω int Ω. Kżdy węzeł wewnętrzny m dokłdnie cztery węzły sąsiednie, przy czym odległość dnego węzł od dowolnego z węzłów sąsiednich wynosi dokłdnie jeden. Kżdy węzeł brzegowy m tylko jeden węzeł sąsiedni i jest to węzeł oddlony od niego dokłdnie o jeden nleżący do wnętrz sitki. Krwędzią P ij P kl nzywne jest połączenie pry węzłów P ij orz P kl, gdzie k i l j. Zbiór krwędzi sitki rezystncyjnej oznczony jest symbolem Ω. Z włsności węzł brzegowego wynik, że nie istnieją krwędzie łączące węzły brzegowe. Dl kżdej krwędzi σ Ω wrtość funkcji γ σ jest nzywn konduktncją elementu, jej odwrotność rezystncją. Odwzorownie γ przyporządkowujące konduktncję kżdej krwędzi krtownicy nzywne jest konduktywnością. Nleży zwrócić uwgę, że ksztłt sitki rezystorów przedstwiony n rys.. nie jest ogrniczeniem. W rozwżnym przypdku węzły brzegowe nie są połączone ze sobą. eżeli przyjąć złożenie odwrotne, tzn. sitk zwier połączeni o niezerowej konduktncji pomiędzy węzłmi brzegowymi, możn wtedy dołączyć do wszystkich węzłów brzegowych dodtkowe konduktncje o ustlonej wrtości. Wtedy sitk uzysk omwiny ksztłt, liczby wierszy i kolumn zwiększą się o.

12 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów.. Sformułownie problemu W nlizie teoretycznej obwodów elektrycznych mmy z reguły do czynieni z problemmi postwionymi wprost, tzn. przedmiotem nlizy jest wyznczenie odpowiedzi ukłdu o znnej topologii i znnych wrtościch elementów n zdne wymuszenie. Zgdnienie opisne w niniejszej prcy zlicz się do grupy tzw. problemów odwrotnych ng. inverse problem. Istotą tego typu zgdnień jest wyznczenie prmetrów elementów ukłdu w przypdku ukłdów dyskretnych lub włsności fizycznych obiektu w przypdku ukłdów ciągłych n podstwie odpowiedzi ukłdu n pewne wymuszenie lub zestw wymuszeń. Postwiony w niniejszej prcy problem odwrotny poleg n wyznczeniu wrtości konduktncji wszystkich elementów prostokątnej sitki rezystncyjnej n podstwie pomirów brzegowych. Zkłd się, że istnieje fizyczny dostęp jedynie do węzłów nleżących do brzegu sitki Ω. Możn sobie wyobrzić dwie metody uzyskni informcji n temt konduktncji elementów sitki rezystncyjnej. W pierwszej wersji, wymuszeniem jest wektor potencjłów węzłów brzegowych. Odpowiedzią ukłdu n to wymuszenie jest wektor prądów w elementch brzegowych. Elementem brzegowym nzywmy element łączący węzeł brzegowy z sąsidującym z nim węzłem wewnętrznym. W drugiej wersji mmy do czynieni z sytucją odwrotną. Wektor potencjłów w węzłch brzegowych jest odpowiedzią ukłdu n wymuszenie w postci wektor prądów w elementch brzegowych. W literturze wektor prądów brzegowych sitki rezystncyjnej zwny jest zestwem dnych Neumnn, podczs gdy wektor potencjłów węzłów brzegowych zwny jest zestwem dnych Dirichlet. Dl kżdej prostokątnej sitki rezystncyjnej możn wyznczyć współczynniki mcierzy Λ będącej odwzorowniem Dirichlet-Neumnn, czyli wyznczjącej odpowiedź prądową ukłdu I b n wymuszenie w postci wektor potencjłów brzegowych V b, tj.: w. I b Λ V b. Anlogicznie, dl kżdej sitki możn zpisć mcierz Λ będącą odwzorowniem Neumnn-Dirichlet, dzięki której możn wyznczyć odpowiedź V b ukłdu n wymuszenie wektorem prądów brzegowych I b. w.. V b Λ I b. Sitk rezystncyjn o N kolumnch, N wierszch węzłów i ksztłcie przestwionym n rys.. m N b N N węzłów brzegowych. Mcierze Λ orz Λ są rozmiru N b N b, czyli skłdją się z N b elementów. Wymir mcierzy Λ orz Λ jest o jeden mniejszy od liczby węzłów brzegowych. Wynik to

13 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów bezpośrednio z wymiru wektorów V b orz I b. Wymir wektor V b wynosi N b, gdyż zwsze przyjmuje się jeden z węzłów brzegowych, jko węzeł odniesieni o zerowym potencjle. Potencjły pozostłych węzłów określne są względem węzł odniesieni. Wymir wektor I b również wynosi N b. eżeli wymusimy prądy we węzłch brzegowych poz jednym, to wrtość prądu w tym osttnim węźle wynik z prądowego prw Kirchhoff. Dl przykłdu z rys.. mcierze Λ orz Λ skłdją się z 8 elementów. W prcch [, ] udowodniono, że problem rekonstrukcji m jednoznczne rozwiąznie, tzn. że odwzorowni Dirichlet-Neumnn orz Neumnn-Dirichlet w sposób jednoznczny określją wrtości wszystkich elementów sitki rezystncyjnej. Pondto wykzno, że problem ten m chrkter ciągły, tzn. że jeżeli wrtości pomirów n brzegch sitki są do siebie zbliżone, to sitki, dl których uzyskno te wyniki są zbudowne z elementów o zbliżonych wrtościch konduktncji. Elementy mcierzy Λ lub Λ możn wyznczyć n podstwie skończonej liczby pomirów. Przykłdowo, możliwe jest wyznczenie wszystkich współczynników mcierzy Λ n podstwie N b zestwów pomirowych. W kżdym kroku rozpływ prądów w sitce jest wymuszony wektorem potencjłów brzegowych V b, w którym tylko jeden element jest różny od zer, tzn. przykłdmy npięcie E V do jednego z węzłów brzegowych, pozostłe N b węzłów uziemimy i dokonujemy pomiru prądów brzegowych, zpisując je w wektorze I b. W ten sposób w i-tym kroku tk opisnego lgorytmu wyznczne są wrtości współczynników i-tej kolumny mcierzy Λ. Po N b krokch znne więc są wrtości wszystkich elementów mcierzy odwzorowni Dirichlet-Neumnn Λ. Współczynniki mcierzy odwzorowni Neumnn-Dirichlet Λ możn wyznczyć w podobny sposób. W kolejnych krokch nleży wymuszć rozpływ prądów w obwodzie wektormi I b, w których występuje tylko jeden niezerowy element. W wybrnym węźle brzegowym jest wymuszny prąd o wrtości A, podczs gdy w pozostłych węzłch brzegowych, poz węzłem odniesieni, prąd wynosi zero. Procedur wymg wykonni N b pomirów, przy czym przy kżdym pomirze niezerowy prąd jest wymuszny w innym węźle brzegowym. Wyznczenie węzł odniesieni gwrntuje spełnienie prądowego prw Kirchhoff przy wymuszniu rozpływu prądów w sitce opisnymi powyżej wektormi I b. Pondto wrto zuwżyć, że zgodnie z wzormi. i. mcierz odwzorowni Neumnn-Dirichlet Λ jest mcierzą odwrotną mcierzy odwzorowni Dirichlet-Neumnn Λ. Postwiony w prcy problem możn przedstwić jko zgdnienie wyznczeni wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki rezystncyjnej n podstwie

14 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów współczynników mcierzy Λ lub wynosi: Λ. Liczb elementów sitki w funkcji jej rozmiru w.5. N e N N N N N N N N.5 ntomist liczb elementów mcierzy Λ lub Λ wynosi: w.. N b N N. Ztem, dl kżdej sitki liczb elementów mcierzy Λ lub Λ jest większ od liczby elementów sitki. Dowód tego, że informcj zwrt we współczynnikch mcierzy Λ lub Λ jest wystrczjąc do wyznczeni wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki rezystncyjnej znjduje się w prcy []. W Dodtku A do niniejszej rozprwy przedstwiono obliczeni nlityczne dl przykłdowej sitki o rozmirze węzły. Wyprowdzono tm m.in. zleżność wszystkich współczynników mcierzy Λ od konduktncji elementów łączących węzły sitki. Zleżność t jest brdzo skomplikown już dl niewielkich rozmirów sitek.

15 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów. Algorytmy rekonstrukcji konduktncji W niniejszym rozdzile zostły szczegółowo omówione wszystkie zimplementowne lgorytmy rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów. W pierwszej części rozdziłu zprezentowno grupę lgorytmów metheurystycznych i optymlizcyjnych, których istot poleg n poszukiwniu njlepszego rozwiązni postwionego w prcy problemu n podstwie odpowiednio zdefiniownej funkcji celu. Nstępnie przedstwiono lgorytm nlityczny, pozwljący n dokłdne wyliczenie wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki. Algorytm ten skłd się ze skończonej liczby kroków, w których konduktncje są rozpoznwne odpowiednimi wrstwmi. W osttniej części rozdziłu opisno zproponowne przez utor modyfikcje lgorytmu nlitycznego... Metheurystyczne i optymlizcyjne lgorytmy rekonstrukcji kondunktncji W tej części prcy opisny zostł sposób wykorzystni metod metheurystycznych i optymlizcyjnych w lgorytmch rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów. Wspomnine metody zostły opisne rzem, gdyż mją one brdzo istotną wspólną włsność. W celu zrelizowni w oprciu o nie lgorytmów rekonstrukcji konduktncji nleży zdefiniowć funkcję celu, któr pozwoli n ocenę dopsowni wybrnej próbki sitki testowej do oryginłu. Funkcj t musi być tk zdefiniown, by jej wrtość zleżł od wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki poddwnej ocenie i był mirą jej dopsowni do oryginłu. Istotą lgorytmów metheurystycznych jest przeszukiwnie zbioru możliwych rozwiązń i oblicznie wrtości funkcji celu dl kżdej bdnej próbki. W przypdku lgorytmów dziłjących w oprciu o nlizę pojedynczej próbki, w kżdym kroku, n podstwie wrtości funkcji celu, podejmown jest decyzj, czy nlizown próbk jest lepiej dopsown do oryginlnej sitki od dotychczsowego njlepszego rozwiązni. eżeli tk jest, bdn sitk testow jest zpisywn jko nowe njlepsze 5

16 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów rozwiąznie. W przypdku lgorytmów nlizujących wiele próbek w kżdym kroku, n podstwie wrtości funkcji celu wszystkich próbek, wybiern jest reprezentcj, któr stnowić będzie bzę grupy nlizownej w kolejnym kroku. Poszczególne lgorytmy metheurystyczne różnią się metodą zmierzni do globlnego minimum. Często lgorytmy metheurystyczne inspirowne są zjwiskmi fizycznymi lub przyrodniczymi. W przypdku lgorytmów bzujących n metodch optymlizcyjnych nleży sformułowć problem rekonstrukcji konduktncji jko problem poszukiwni minimum globlnego funkcji wielu zmiennych. W tym celu nleży zdefiniowć funkcję celu, której zmiennymi są wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki, jej minimum globlne odpowid rozwiązniu problemu rekonstrukcji. Nstępnie, stosując wybrną metodę optymlizcyjną, znleźć wektor konduktncji elementów sitki dl którego funkcj celu przyjmuje wrtość minimlną. Z powyższego wynik, że funkcję celu możn zdefiniowć w tki sposób, by spełnił złożeni relizcji lgorytmów rekonstrukcji konduktncji elementów sitek rezystncyjnych, dziłjących zrówno w oprciu o metody metheurystyczne jk i optymlizcyjne.... Definicj funkcji celu Funkcję celu zdefiniowno w oprciu o odwzorownie Neumnn-Dirichlet, czyli odpowiedź ukłdu w postci wektor potencjłów węzłów brzegowych n wymuszenie w postci wektor prądów w elementch brzegowych. W kżdej serii pomirów zkłdmy, że wymuszmy odpowiednie prądy w elementch brzegowych dne wejściowe zestw Neumnn i dokonujemy pomiru npięć pomiędzy węzłmi brzegowymi dne wyjściowe zestw Dirichlet. Liczb dnych w wektorze potencjłów brzegowych równ N b, gdzie N b jest liczbą węzłów brzegowych jest zwsze mniejsz niż liczb elementów sitki rezystncyjnej. Oczywistym ztem jest, że nleży wykonć więcej niż jeden zestw pomirów, by zpewnić jednoznczność rozwiązni. Pondto nleży wybrć tkie wektory prądów brzegowych, by zgwrntowć, że prąd w kżdym elemencie brzegowym jest różny od zer dl co njmniej jednego wektor. eżeli w żdnym z wybrnych wektorów prądów brzegowych nie będzie wymuszony niezerowy prąd w wybrnym elemencie brzegowym m innymi słowy ni rz nie popłynie przez ten element prąd to prwidłow rekonstrukcj wrtości konduktncji tego elementu nie będzie możliw.

17 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów wy Funkcję celu zdefiniowno w nstępujący sposób: l N b org test V s, t V s, t s t f l Nb. org V s, t s gdzie [,,..., Ne ] jest wektorem konduktncji elementów sitki, N e jest liczbą elementów sitki, l jest liczbą zestwów pomirowych, N b jest rozmirem wektor potencjłów brzegowych, V org s,t ozncz zmierzoną wrtość potencjłu węzł t w s-tym zestwie pomirów oryginlnej, nieznnej sitki, V test s,t jest obliczoną wrtością potencjłu węzł t w s-tym zestwie pomirów testowej sitki rezystncyjnej opisnej wektorem konduktncji. t Rys... Zestw Neumnn dl pierwszego kroku obliczeni wrtości funkcji celu. W osttecznej wersji lgorytmu, do obliczeni wrtości funkcji celu dl wybrnej sitki testowej użyto ln N zestwów pomirowych, gdzie N i N są odpowiednio liczbmi kolumn i wierszy sitki. W kżdym zestwie pomirowym tylko dw elementy wektor wymuszeń prądowych mją niezerowe wrtości. Zdny prąd przykłdowo jest wstrzykiwny do wybrnego węzł brzegowego

18 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów i pobierny z węzł leżącego symetrycznie po przeciwnej stronie sitki. Zestw prądów brzegowych dl pierwszego zestwu pomirowego zprezentowno n rys... W nstępnym kroku źródło prądowe z górnego wiersz przesuwne jest o jedną pozycję w prwo, źródło w dolnym wierszu o jedną pozycję w lewo symetrycznie względem środk sitki. Po osiągnięciu osttniego węzł w górnym i dolnym wierszu krok N, w kolejnym kroku nleży przesunąć źródł do górnego węzł skrjnej prwej kolumny i dolnego węzł skrjnej lewej kolumny. Ustwienie źródeł w N -szym kroku procedury obliczni wrtości funkcji celu przedstwiono n rys... Osttecznie, po osiągnięciu dolnego węzł prwej kolumny i górnego wiersz lewej kolumny osttni krok obliczenie wrtości funkcji celu jest zkończone. Rys... Zestw Neumnn dl N -szego kroku obliczeni wrtości funkcji celu. Testowno kilk wersji lgorytmów wyboru wektorów wymuszeń prądowych w węzłch brzegowych przy zchowniu wzoru. do obliczeni wrtości funkcji celu dl wybrnej sitki testowej. Do osttecznej nlizy wybrno jednk wersję opisną powyżej. Przykłdowe wyniki dl innych przebdnych wersji wrz z opisem lgorytmu wyboru wektorów wymuszeń prądowych opisno w rozdzile. dy sitk testow jest tk sm jk sitk oryginln, funkcj celu. przyjmuje zerową wrtość. dy sitk testow różni się od sitki oryginlnej, różnią się również wektory potencjłów brzegowych porównywnych sitek, będące odpowiedzimi n ten sm wektor prądów brzegowych. Funkcj celu przyjmuje więc wrtość dodtnią. 8

19 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów Tk definicj funkcji celu pozwl n mirodjną ocenę kżdej nlizownej sitki testowej. Pondto, problem rekonstrukcji konduktncji sitki możn sformułowć jko problem znlezieni minimum funkcji wielu zmiennych f.... Włściwości funkcji celu k wspomnino powyżej, funkcj celu jest funkcją wielu zmiennych. Liczb zmiennych jest równ liczbie elementów sitki. Ozncz to, że już dl niewielkich rozmirów sitek mmy do czynieni z problemem wysokowymirowym. W związku z tym niemożliw jest bezpośredni wizulizcj zleżności wrtości funkcji celu od wszystkich prmetrów wejściowych. Aby określić pewne chrkterystyczne włściwości funkcji celu wygenerowno wykresy przedstwijące zleżność wrtości funkcji celu od dwóch wybrnych konduktncji sitki. Wrtość funkcji celu jest obliczn dl sitek, w których wszystkie konduktncje poz dwiem wybrnymi do nlizy mją wrtości równe wrtościom konduktncji oryginlnej sitki, wybrne dw prmetry są zmienine w cłym zkresie wybrnego przedziłu z zdną rozdzielczością. Punkt środkowy płszczyzny X-Y odpowid sytucji, gdy wrtości wybrnych konduktncji są równe wrtościom dl oryginlnej sitki. W punkcie tym funkcj celu przyjmuje wrtość zero. W pozostłych punktch funkcj celu przyjmuje wrtości dodtnie. Przykłdowe wykresy przedstwiono n rys.... Njwżniejszą obserwcją jest, że funkcj celu może być brdzo płsk w otoczeniu minimum. Wynik z tego, że znlezienie w przestrzeni poszukiwń punktu o brdzo młej wrtości funkcji celu nie ozncz, że znlezione rozwiąznie jest blisko oryginłu. Inną istotną obserwcją jest, że ksztłt uzysknych wykresów brdzo mocno zleży od wyboru zmiennych, od których uzleżnimy wrtość funkcji celu. Niektóre konduktncje sitki mją duży wpływ n wrtość funkcji celu, podczs gdy w przypdku innych wpływ ten jest prktycznie niezuwżlny. Możn zuwżyć, że wrtości konduktncji leżących w pobliżu brzegu sitki mją duży wpływ n wrtość funkcji celu, podczs gdy wrtości konduktncji leżących w pobliżu środk nie wpływją n nią zncząco. Ozncz to, iż poprwność rekonstrukcji konduktncji zleży od położeni elementów w sitce. Im bliżej środk sitki położony jest dny element, tym trudniej jest wyznczyć jego konduktncję z stysfkcjonującą dokłdnością.

20 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów..5. f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów..8. f Rys..5. Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, 8 dl sitki o rozmirze węzłów elementów

21 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów...5 f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych 8, dl sitki o rozmirze węzłów elementów... f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów.. f Rys..8. Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów