Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej"

Transkrypt

1 Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów mgr inż. Piotr Zegrmistrz Promotor: dr hb. inż. Zbigniew lis, prof. AH Krków,

2 Skłdm serdeczne podziękowni prof. dr hb. inż. Zbigniewowi lisowi, mojemu promotorowi, z nieocenioną pomoc i wrtościowe wskzówki udzielone podczs powstwni tej prcy. Dziękuję również z motywcję i wirę w moje możliwości! Szczególne podziękowni kieruję do mojej Ani, z cierpliwość, wyrozumiłość i wsprcie! Prcę dedykuję moim Rodzicom.

3 Spis treści Skorowidz njwżniejszych oznczeń.... Wstęp..... Cel prcy..... Zwrtość prcy Rekonstrukcj konduktncji n podstwie pomirów brzegowych..... Sitk rezystorów..... Sformułownie problemu.... Algorytmy rekonstrukcji konduktncji Metheurystyczne i optymlizcyjne lgorytmy rekonstrukcji kondunktncji5... Definicj funkcji celu Włściwości funkcji celu Algorytmy metheurystyczne... Metod Monte Crlo... Symulowne wyżrznie... 5 Algorytm genetyczny Algorytmy optymlizcyjne... 8 Algorytm sympleksowy Nelder-Med... Metod qusi-newton... Sekwencyjne progrmownie kwdrtowe... Nieliniow metod njmniejszych kwdrtów..... Anlityczny lgorytm rekonstrukcji kondunktncji Rekonstrukcj konduktncji w jednej wrstwie Przypdek k Przypdek k większego od i nie większego od liczby wierszy... Wyznczenie współczynników α, α,..., α k... Wyznczenie potencjłów... Rekonstrukcj kondunktncji Przypdek k większego od liczby wierszy..... Modyfikcje lgorytmu nlitycznego Uruchomienie lgorytmu z wszystkich nrożników sitki Optymlizcj wrtości współczynników α, α,..., α k Wyniki dziłni lgorytmów rekonstrukcji Szczegóły implementcji... 5

4 .. Algorytmy metheurystyczne Algorytmy optymlizcyjne Algorytm nlityczny Algorytm nlityczny z usprwnienimi..... Porównnie metod rekonstrukcji Podsumownie... 8 Dodtek A. Obliczeni nlityczne dl przykłdowej sitki rezystncyjnej... 8 Litertur... Spis rysunków i tbel...

5 Skorowidz njwżniejszych oznczeń N liczb kolumn węzłów sitki rezystncyjnej rozmir poziomy sitki N liczb wierszy węzłów sitki rezystncyjnej rozmir pionowy sitki N b liczb węzłów brzegowych sitki rezystncyjnej N e liczb elementów krwędzi sitki rezystncyjnej Γ sitk rezystncyjn Ω zbiór węzłów sitki rezystncyjnej Ω zbiór krwędzi sitki rezystncyjnej P ij węzeł sitki prostokątnej o współrzędnych i,j int Ω zbiór węzłów wewnętrznych sitki rezystncyjnej Ω zbiór węzłów brzegowych sitki rezystncyjnej γ konduktywność odwzorownie I b wektor prądów w węzłch brzegowych zestw dnych Neumnn V b wektor potencjłów węzłów brzegowych zestw dnych Dirichlet Λ mcierz odwzorowni Dirichlet-Neumnn Λ mcierz odwzorowni Neumnn-Dirichlet V wektor potencjłów węzłów sitki wektor konduktncji elementów sitki, [,,..., Ne ] f funkcj celu wykorzystywn w lgorytmch rekonstrukcji bzujących n procedurch metheurystycznych i optymlizcyjnych p A prwdopodobieństwo kceptcji kolejnej próbki lgorytm symulownego wyżrzni ΔE różnic energii nlizownej i poprzedniej próbki lgorytm symulownego wyżrzni T tempertur lgorytm symulownego wyżrzni T początkow wrtość tempertury lgorytm symulownego wyżrzni t f mksymln liczb itercji lgorytm symulownego wyżrzni f p funkcj przystosowni osobnik lgorytm genetyczny f mx wrtość funkcji celu f dl njgorszego osobnik w pokoleniu lgorytm genetyczny p c prwdopodobieństwo krzyżowni lgorytm genetyczny p m prwdopodobieństwo mutcji lgorytm genetyczny h mksymlny względny błąd rekonstrukcji

6 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów. Wstęp Problemtyk tomogrfii impedncyjnej jest przedmiotem intensywnych bdń od wielu lt [,, 5, 5]. Dynmiczny rozwój technik tomogrfii impedncyjnej, zrówno dwu- jk i trójwymirowej jest związny z możliwością licznych plikcji prktycznych, przede wszystkim w medycynie [], le również w wielu innych dziedzinch, tkich jk np. budownictwo czy konserwcj zbytków [, 5]. Istotą tomogrfii, w kżdej z jej odmin, jest określenie prmetrów fizycznych dnego ośrodk wyłącznie n podstwie pomirów n jego brzegu. Większość stosownych obecnie technik tomogrficznych dotyczy bdni ośrodków ciągłych. N podstwie pomirów brzegowych konstruowny jest obrz włściwości elektrycznych wnętrz bdnego ośrodk. Dlej, n podstwie powstłego obrzu wnioskuje się n temt włściwości fizycznych ośrodk. Poszczególne techniki tomogrfii impedncyjnej różnią się od siebie m.in. wyborem sygnłów elektrycznych wymuszjących orz sygnłów będących odpowiedzią bdnego ośrodk n wymuszenie, metodmi opisu mtemtycznego zjwisk fizycznych występujących w procesie tomogrfii orz metodmi numerycznymi rozwiązywni sformułownych problemów. W poniższej prcy nlizowny jest problem tomogrfii rezystncji sitek rezystorów [,,, 8, ]. est to problem dyskretny, w którym n podstwie pomirów elektrycznych n brzegu ukłdu skłdjącego się ze skończonej liczby elementów określne są wrtości konduktncji bądź rezystncji tych elementów. Problem ten m potencjlne zstosowni w dziedzinie tomogrfii ośrodków ciągłych. W zstosownich tych wyznczne są włściwości fizyczne ośrodk ciągłego przez zmodelownie go odpowiednio gęstym ukłdem dyskretnym. Relizcj tk jest możliw pod wrunkiem oprcowni efektywnych technik tomogrfii rezystncyjnej ukłdów dyskretnych skłdjących się z wystrczjąco dużej liczby elementów. Rozwżny problem może mieć również prktyczne zstosowni w sytucjch, gdy sitk elementów rezystncyjnych jest wykorzystywn do wyznczeni rozkłdu ciężru, tempertury lub innych prmetrów fizycznych dnej powierzchni. W tych zstosownich tworzy się sitkę rezystorów o znnym rozmirze i strukturze połączeń. Elementy łączące węzły sitki wykonne są z tzw. inteligentnych mteriłów, czyli

7 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów tkich, których włściwości elektryczne zleżą od innych prmetrów fizycznych. Prmetrmi tymi mogą być m.in. tempertur elementu lub ncisk n jego powierzchnię. W sytucji, gdy znn jest zleżność konduktncji od zminy interesującej ns wielkości fizycznej np. tempertury możn zbudowć ukłd pozwljący n monitoring zmin rozkłdu tego prmetru fizycznego n powierzchni ukłdu. Możliwe jest wówczs wykorzystnie metod tomogrfii sitek rezystorów do stworzeni obrzu rozkłdu dnego prmetru fizycznego i obserwownie jego zmin w czsie rzeczywistym... Cel prcy W swojej prcy dydktycznej utor niniejszej dysertcji prowdził między innymi zjęci z przedmiotów Teori Obwodów Elektrycznych orz Computerided Anlysis of Electronic Systems. Podczs zjęć tych, wprowdzjąc metodę potencjłów węzłowych, utor postwił studentom zdnie wyznczeni wypdkowej rezystncji pomiędzy dwom węzłmi sitki rezystorów [5, ]. W związku z tym doświdczeniem utor zinteresowł się problemem rekonstrukcji konduktncji elementów sitek rezystncyjnych i podjął próbę zweryfikowni skuteczności dziłni istniejących orz oprcowni nowych lgorytmów rekonstrukcji. Autor postnowił zbdć, czy możliwe jest wykorzystnie tych lgorytmów do rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów w sytucjch prktycznych orz w tomogrfii ośrodków ciągłych z stysfkcjonującą dokłdnością. N podstwie bdń wykonnych podczs przygotowni niniejszej dysertcji utor sformułowł poniższą tezę: Możliwe jest tkie sformułownie postwionego w prcy problemu, które pozwl n relizcję lgorytmów rekonstrukcji bzujących n metodch optymlizcyjnych poszukiwni ekstremum funkcji wielu zmiennych. Istniejące lgorytmy rekonstrukcji konduktncji elementów skończonych sitek rezystorów n podstwie pomirów brzegowych cechuje ogrniczenie dotyczące rozmirów sitek możliwych do rekonstrukcji. Możliwe jest ulepszenie istniejących lgorytmów rekonstrukcji w tki sposób, by pozwlły n rekonstrukcję ukłdów skłdjących się z większej liczby elementów orz były brdziej odporne n występownie niedokłdności pomirów.

8 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów W celu wykzni prwdziwości postwionych tez utor wyznczył sobie nstępujące cele cząstkowe: Dokonć przeglądu literturowego istniejących metod rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów, zimplementowć i przetestowć wybrne metody. Zdefiniowć funkcję celu postwionego problemu w tki sposób, by określł on stopień dopsowni bdnej próbki/sitki testowej do rekonstruownego oryginłu. Funkcj t powinn być tk skonstruown, by jej rgumentem był wektor konduktncji wszystkich elementów sitki i funkcj przyjmowł ekstremum globlne dl przypdku, gdy wektor konduktncji bdnej próbki jest tożsmy z wektorem konduktncji oryginlnej sitki. N podstwie zdefiniownej funkcji celu zimplementowć lgorytmy rekonstrukcji bzujące n metheurystycznych orz optymlizcyjnych metodch poszukiwni minimum funkcji. Zdefiniowć prmetry porównwcze pozwljące ocenić skuteczność i precyzję dziłni poszczególnych lgorytmów rekonstrukcji konduktncji. Zimplementowć i przetestowć zproponowne lgorytmy, porównć ich włściwości z istniejącymi metodmi rekonstrukcji. Wskzć możliwe modyfikcje zimplementownych lgorytmów pozwljące n poprwienie ich skuteczności. Oczekiwne rezultty zweryfikowć bdnimi symulcyjnymi. Zweryfikowć możliwość wykorzystni lgorytmów rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów w zstosownich prktycznych orz do tomogrfii ośrodków ciągłych... Zwrtość prcy Prc skłd się z pięciu rozdziłów, dodtku A, skorowidz njwżniejszych oznczeń orz spisu litertury. Pierwszy rozdził stnowi wstęp, opisno w nim pojęcie tomogrfii i przedstwiono możliwe zstosowni prktyczne. Pondto przedstwiono genezę i cel prcy, sformułowno tezę prcy, zdefiniowno postwione cele cząstkowe. Streszczono tkże zwrtość prcy. W rozdzile drugim sformułowno i szczegółowo opisno postwiony w prcy problem. Zdefiniowno podstwowe prmetry skończonych, prostokątnych sitek rezystncyjnych. Pokrótce przedstwiono temtykę problemów odwrotnych. Pondto 8

9 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów wskzno odwzorowni w jednoznczny sposób opisujące sitkę rezystncyjną orz włściwości tkich odwzorowń. Rozdził trzeci stnowi opis lgorytmów rekonstrukcji konduktncji dl sitek prostokątnych. Zdefiniowno funkcję celu umożliwijącą przedstwienie problemu rekonstrukcji jko problemu poszukiwni minimum funkcji wielu zmiennych. Wskzno włściwości omwinej funkcji celu. Dlej zprezentowno wybrne metody metheurystyczne i optymlizcyjne wykorzystywne w zproponownych lgorytmch. Nstępnie przedstwiono podstwowe złożeni oryginlnego lgorytmu nlitycznego Curtis i Morrow orz jego rozszerzeni pozwljące n rekonstrukcję sitek prostokątnych. W końcowej części rozdziłu trzeciego przedstwiono modyfikcje lgorytmu nlitycznego pozwljące n zwiększenie zkresu rozmirów sitek możliwych do rekonstrukcji orz zmniejszenie wpływu błędów pomirowych n wynik dziłni lgorytmu. W rozdzile czwrtym zebrno wyniki przeprowdzonych bdń symulcyjnych. Zprezentowno nlizę skuteczności dziłni poszczególnych metod. Prmetrmi podlegjącymi ocenie są uśredniony mksymlny błąd rekonstrukcji orz cłkowity czs wykonywni lgorytmu. W przypdku lgorytmów nlitycznych bzujących n idei oryginlnego lgorytmu Curtis i Morrow przedstwiono wyniki bdni odporności lgorytmów n występownie błędów pomirowych orz wpływ niedokłdności pomiru n mksymlny rozmir sitek możliwych do rekonstrukcji. Podsumownie niniejszej dysertcji zwrto w rozdzile piątym. Zostły tm zprezentowne wnioski wyciągnięte n podstwie przeprowdzonych bdń. Wskzne zostły możliwe plikcje prktyczne oprcownych i przebdnych lgorytmów. Wymienione zostły zdni wykonne w trkcie powstwni niniejszej prcy. W osttniej części utor podsumowł relizcję celów cząstkowych i ustosunkowł się do postwionej we wstępie tezy prcy. W Dodtku A zprezentowno obliczeni nlityczne dl przykłdowej sitki o rozmirze węzły, skłdjącej się z elementów. Obliczono, jk współczynniki mcierzy odwzorowni Neumnn Dirichlet zleżą od konduktncji elementów sitki. Pondto zobrzowno, jk wrtość funkcji celu zdefiniownej w rozdzile trzecim orz jej pochodnych cząstkowych zleży od konduktncji elementów sitki.

10 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów. Rekonstrukcj konduktncji n podstwie pomirów brzegowych W prcy nlizowne są lgorytmy rekonstrukcji konduktncji elementów łączących węzły skończonych, prostokątnych sitek rezystncyjnych. W niniejszym rozdzile szczegółowo zdefiniowno sitki rezystncyjne orz sformułowno postwiony w prcy problem... Sitk rezystorów Sitkę rezystorów możn zdefiniowć jko obwód elektryczny, w którym elementy rezystncyjne łączą sąsiednie węzły krtownicy. W prcy rozwżny jest przypdek, gdy węzły sitki wypełniją krtownicę o ksztłcie prostokąt. Złożono, że kżdy węzeł wewnętrzny jest połączony z czterem węzłmi sąsiednimi z pomocą elementu o zdnej konduktncji, któr jest skończon i dodtni, podczs gdy kżdy węzeł brzegowy jest połączony z tylko jednym węzłem wewnętrznym. Obrzuje to przykłd przedstwiony n rys... Rys... Sitk rezystorów o wymirch N N 8 5 węzłów.

11 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów Przyjmując, że węzły sitki są rozmieszczone w N kolumnch i N wierszch, możn zuwżyć, że sitk tk posid N N węzłów wewnętrznych orz N N węzłów brzegowych, co dje cłkowitą liczbę N N węzłów. Dl przedstwionego przykłdu sitki o rozmirze 8 5 węzłów ozncz to 8 węzłów wewnętrznych orz 8 węzłów brzegowych. W prcch [, ] przedstwiono mtemtyczną definicję kwdrtowych sitek rezystncyjnych. N tej podstwie poniżej przedstwiono pełną definicję prostokątnej sitki rezystncyjnej. Prostokątną sitkę rezystncyjną Γ możn zdefiniowć jko zbiór węzłów Ω, krwędzi łączących węzły Ω wrz z odwzorowniemγ, tzn.: w. Γ Ω, Ω,. przy czym: γ w. Ω γ : R. jest odwzorowniem przyporządkowującym kżdej krwędzi liczbę rzeczywistą dodtnią. Węzłmi sitki nzywmy zbiór punktów P ij prostokątnej krtownicy o współrzędnych cłkowitych, tkich że P ij i,j, i N orz j N, z wyłączeniem punktów nrożnych,, N,,,N orz N,N. Zbiór węzłów wewnętrznych sitki, oznczony int Ω, zwier te węzły, dl których i N orz j N. Zbiór węzłów brzegowych sitki, oznczony Ω, to zbiór zdefiniowny jko Ω int Ω. Kżdy węzeł wewnętrzny m dokłdnie cztery węzły sąsiednie, przy czym odległość dnego węzł od dowolnego z węzłów sąsiednich wynosi dokłdnie jeden. Kżdy węzeł brzegowy m tylko jeden węzeł sąsiedni i jest to węzeł oddlony od niego dokłdnie o jeden nleżący do wnętrz sitki. Krwędzią P ij P kl nzywne jest połączenie pry węzłów P ij orz P kl, gdzie k i l j. Zbiór krwędzi sitki rezystncyjnej oznczony jest symbolem Ω. Z włsności węzł brzegowego wynik, że nie istnieją krwędzie łączące węzły brzegowe. Dl kżdej krwędzi σ Ω wrtość funkcji γ σ jest nzywn konduktncją elementu, jej odwrotność rezystncją. Odwzorownie γ przyporządkowujące konduktncję kżdej krwędzi krtownicy nzywne jest konduktywnością. Nleży zwrócić uwgę, że ksztłt sitki rezystorów przedstwiony n rys.. nie jest ogrniczeniem. W rozwżnym przypdku węzły brzegowe nie są połączone ze sobą. eżeli przyjąć złożenie odwrotne, tzn. sitk zwier połączeni o niezerowej konduktncji pomiędzy węzłmi brzegowymi, możn wtedy dołączyć do wszystkich węzłów brzegowych dodtkowe konduktncje o ustlonej wrtości. Wtedy sitk uzysk omwiny ksztłt, liczby wierszy i kolumn zwiększą się o.

12 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów.. Sformułownie problemu W nlizie teoretycznej obwodów elektrycznych mmy z reguły do czynieni z problemmi postwionymi wprost, tzn. przedmiotem nlizy jest wyznczenie odpowiedzi ukłdu o znnej topologii i znnych wrtościch elementów n zdne wymuszenie. Zgdnienie opisne w niniejszej prcy zlicz się do grupy tzw. problemów odwrotnych ng. inverse problem. Istotą tego typu zgdnień jest wyznczenie prmetrów elementów ukłdu w przypdku ukłdów dyskretnych lub włsności fizycznych obiektu w przypdku ukłdów ciągłych n podstwie odpowiedzi ukłdu n pewne wymuszenie lub zestw wymuszeń. Postwiony w niniejszej prcy problem odwrotny poleg n wyznczeniu wrtości konduktncji wszystkich elementów prostokątnej sitki rezystncyjnej n podstwie pomirów brzegowych. Zkłd się, że istnieje fizyczny dostęp jedynie do węzłów nleżących do brzegu sitki Ω. Możn sobie wyobrzić dwie metody uzyskni informcji n temt konduktncji elementów sitki rezystncyjnej. W pierwszej wersji, wymuszeniem jest wektor potencjłów węzłów brzegowych. Odpowiedzią ukłdu n to wymuszenie jest wektor prądów w elementch brzegowych. Elementem brzegowym nzywmy element łączący węzeł brzegowy z sąsidującym z nim węzłem wewnętrznym. W drugiej wersji mmy do czynieni z sytucją odwrotną. Wektor potencjłów w węzłch brzegowych jest odpowiedzią ukłdu n wymuszenie w postci wektor prądów w elementch brzegowych. W literturze wektor prądów brzegowych sitki rezystncyjnej zwny jest zestwem dnych Neumnn, podczs gdy wektor potencjłów węzłów brzegowych zwny jest zestwem dnych Dirichlet. Dl kżdej prostokątnej sitki rezystncyjnej możn wyznczyć współczynniki mcierzy Λ będącej odwzorowniem Dirichlet-Neumnn, czyli wyznczjącej odpowiedź prądową ukłdu I b n wymuszenie w postci wektor potencjłów brzegowych V b, tj.: w. I b Λ V b. Anlogicznie, dl kżdej sitki możn zpisć mcierz Λ będącą odwzorowniem Neumnn-Dirichlet, dzięki której możn wyznczyć odpowiedź V b ukłdu n wymuszenie wektorem prądów brzegowych I b. w.. V b Λ I b. Sitk rezystncyjn o N kolumnch, N wierszch węzłów i ksztłcie przestwionym n rys.. m N b N N węzłów brzegowych. Mcierze Λ orz Λ są rozmiru N b N b, czyli skłdją się z N b elementów. Wymir mcierzy Λ orz Λ jest o jeden mniejszy od liczby węzłów brzegowych. Wynik to

13 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów bezpośrednio z wymiru wektorów V b orz I b. Wymir wektor V b wynosi N b, gdyż zwsze przyjmuje się jeden z węzłów brzegowych, jko węzeł odniesieni o zerowym potencjle. Potencjły pozostłych węzłów określne są względem węzł odniesieni. Wymir wektor I b również wynosi N b. eżeli wymusimy prądy we węzłch brzegowych poz jednym, to wrtość prądu w tym osttnim węźle wynik z prądowego prw Kirchhoff. Dl przykłdu z rys.. mcierze Λ orz Λ skłdją się z 8 elementów. W prcch [, ] udowodniono, że problem rekonstrukcji m jednoznczne rozwiąznie, tzn. że odwzorowni Dirichlet-Neumnn orz Neumnn-Dirichlet w sposób jednoznczny określją wrtości wszystkich elementów sitki rezystncyjnej. Pondto wykzno, że problem ten m chrkter ciągły, tzn. że jeżeli wrtości pomirów n brzegch sitki są do siebie zbliżone, to sitki, dl których uzyskno te wyniki są zbudowne z elementów o zbliżonych wrtościch konduktncji. Elementy mcierzy Λ lub Λ możn wyznczyć n podstwie skończonej liczby pomirów. Przykłdowo, możliwe jest wyznczenie wszystkich współczynników mcierzy Λ n podstwie N b zestwów pomirowych. W kżdym kroku rozpływ prądów w sitce jest wymuszony wektorem potencjłów brzegowych V b, w którym tylko jeden element jest różny od zer, tzn. przykłdmy npięcie E V do jednego z węzłów brzegowych, pozostłe N b węzłów uziemimy i dokonujemy pomiru prądów brzegowych, zpisując je w wektorze I b. W ten sposób w i-tym kroku tk opisnego lgorytmu wyznczne są wrtości współczynników i-tej kolumny mcierzy Λ. Po N b krokch znne więc są wrtości wszystkich elementów mcierzy odwzorowni Dirichlet-Neumnn Λ. Współczynniki mcierzy odwzorowni Neumnn-Dirichlet Λ możn wyznczyć w podobny sposób. W kolejnych krokch nleży wymuszć rozpływ prądów w obwodzie wektormi I b, w których występuje tylko jeden niezerowy element. W wybrnym węźle brzegowym jest wymuszny prąd o wrtości A, podczs gdy w pozostłych węzłch brzegowych, poz węzłem odniesieni, prąd wynosi zero. Procedur wymg wykonni N b pomirów, przy czym przy kżdym pomirze niezerowy prąd jest wymuszny w innym węźle brzegowym. Wyznczenie węzł odniesieni gwrntuje spełnienie prądowego prw Kirchhoff przy wymuszniu rozpływu prądów w sitce opisnymi powyżej wektormi I b. Pondto wrto zuwżyć, że zgodnie z wzormi. i. mcierz odwzorowni Neumnn-Dirichlet Λ jest mcierzą odwrotną mcierzy odwzorowni Dirichlet-Neumnn Λ. Postwiony w prcy problem możn przedstwić jko zgdnienie wyznczeni wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki rezystncyjnej n podstwie

14 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów współczynników mcierzy Λ lub wynosi: Λ. Liczb elementów sitki w funkcji jej rozmiru w.5. N e N N N N N N N N.5 ntomist liczb elementów mcierzy Λ lub Λ wynosi: w.. N b N N. Ztem, dl kżdej sitki liczb elementów mcierzy Λ lub Λ jest większ od liczby elementów sitki. Dowód tego, że informcj zwrt we współczynnikch mcierzy Λ lub Λ jest wystrczjąc do wyznczeni wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki rezystncyjnej znjduje się w prcy []. W Dodtku A do niniejszej rozprwy przedstwiono obliczeni nlityczne dl przykłdowej sitki o rozmirze węzły. Wyprowdzono tm m.in. zleżność wszystkich współczynników mcierzy Λ od konduktncji elementów łączących węzły sitki. Zleżność t jest brdzo skomplikown już dl niewielkich rozmirów sitek.

15 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów. Algorytmy rekonstrukcji konduktncji W niniejszym rozdzile zostły szczegółowo omówione wszystkie zimplementowne lgorytmy rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów. W pierwszej części rozdziłu zprezentowno grupę lgorytmów metheurystycznych i optymlizcyjnych, których istot poleg n poszukiwniu njlepszego rozwiązni postwionego w prcy problemu n podstwie odpowiednio zdefiniownej funkcji celu. Nstępnie przedstwiono lgorytm nlityczny, pozwljący n dokłdne wyliczenie wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki. Algorytm ten skłd się ze skończonej liczby kroków, w których konduktncje są rozpoznwne odpowiednimi wrstwmi. W osttniej części rozdziłu opisno zproponowne przez utor modyfikcje lgorytmu nlitycznego... Metheurystyczne i optymlizcyjne lgorytmy rekonstrukcji kondunktncji W tej części prcy opisny zostł sposób wykorzystni metod metheurystycznych i optymlizcyjnych w lgorytmch rekonstrukcji konduktncji sitek rezystorów. Wspomnine metody zostły opisne rzem, gdyż mją one brdzo istotną wspólną włsność. W celu zrelizowni w oprciu o nie lgorytmów rekonstrukcji konduktncji nleży zdefiniowć funkcję celu, któr pozwoli n ocenę dopsowni wybrnej próbki sitki testowej do oryginłu. Funkcj t musi być tk zdefiniown, by jej wrtość zleżł od wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki poddwnej ocenie i był mirą jej dopsowni do oryginłu. Istotą lgorytmów metheurystycznych jest przeszukiwnie zbioru możliwych rozwiązń i oblicznie wrtości funkcji celu dl kżdej bdnej próbki. W przypdku lgorytmów dziłjących w oprciu o nlizę pojedynczej próbki, w kżdym kroku, n podstwie wrtości funkcji celu, podejmown jest decyzj, czy nlizown próbk jest lepiej dopsown do oryginlnej sitki od dotychczsowego njlepszego rozwiązni. eżeli tk jest, bdn sitk testow jest zpisywn jko nowe njlepsze 5

16 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów rozwiąznie. W przypdku lgorytmów nlizujących wiele próbek w kżdym kroku, n podstwie wrtości funkcji celu wszystkich próbek, wybiern jest reprezentcj, któr stnowić będzie bzę grupy nlizownej w kolejnym kroku. Poszczególne lgorytmy metheurystyczne różnią się metodą zmierzni do globlnego minimum. Często lgorytmy metheurystyczne inspirowne są zjwiskmi fizycznymi lub przyrodniczymi. W przypdku lgorytmów bzujących n metodch optymlizcyjnych nleży sformułowć problem rekonstrukcji konduktncji jko problem poszukiwni minimum globlnego funkcji wielu zmiennych. W tym celu nleży zdefiniowć funkcję celu, której zmiennymi są wrtości konduktncji wszystkich elementów sitki, jej minimum globlne odpowid rozwiązniu problemu rekonstrukcji. Nstępnie, stosując wybrną metodę optymlizcyjną, znleźć wektor konduktncji elementów sitki dl którego funkcj celu przyjmuje wrtość minimlną. Z powyższego wynik, że funkcję celu możn zdefiniowć w tki sposób, by spełnił złożeni relizcji lgorytmów rekonstrukcji konduktncji elementów sitek rezystncyjnych, dziłjących zrówno w oprciu o metody metheurystyczne jk i optymlizcyjne.... Definicj funkcji celu Funkcję celu zdefiniowno w oprciu o odwzorownie Neumnn-Dirichlet, czyli odpowiedź ukłdu w postci wektor potencjłów węzłów brzegowych n wymuszenie w postci wektor prądów w elementch brzegowych. W kżdej serii pomirów zkłdmy, że wymuszmy odpowiednie prądy w elementch brzegowych dne wejściowe zestw Neumnn i dokonujemy pomiru npięć pomiędzy węzłmi brzegowymi dne wyjściowe zestw Dirichlet. Liczb dnych w wektorze potencjłów brzegowych równ N b, gdzie N b jest liczbą węzłów brzegowych jest zwsze mniejsz niż liczb elementów sitki rezystncyjnej. Oczywistym ztem jest, że nleży wykonć więcej niż jeden zestw pomirów, by zpewnić jednoznczność rozwiązni. Pondto nleży wybrć tkie wektory prądów brzegowych, by zgwrntowć, że prąd w kżdym elemencie brzegowym jest różny od zer dl co njmniej jednego wektor. eżeli w żdnym z wybrnych wektorów prądów brzegowych nie będzie wymuszony niezerowy prąd w wybrnym elemencie brzegowym m innymi słowy ni rz nie popłynie przez ten element prąd to prwidłow rekonstrukcj wrtości konduktncji tego elementu nie będzie możliw.

17 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów wy Funkcję celu zdefiniowno w nstępujący sposób: l N b org test V s, t V s, t s t f l Nb. org V s, t s gdzie [,,..., Ne ] jest wektorem konduktncji elementów sitki, N e jest liczbą elementów sitki, l jest liczbą zestwów pomirowych, N b jest rozmirem wektor potencjłów brzegowych, V org s,t ozncz zmierzoną wrtość potencjłu węzł t w s-tym zestwie pomirów oryginlnej, nieznnej sitki, V test s,t jest obliczoną wrtością potencjłu węzł t w s-tym zestwie pomirów testowej sitki rezystncyjnej opisnej wektorem konduktncji. t Rys... Zestw Neumnn dl pierwszego kroku obliczeni wrtości funkcji celu. W osttecznej wersji lgorytmu, do obliczeni wrtości funkcji celu dl wybrnej sitki testowej użyto ln N zestwów pomirowych, gdzie N i N są odpowiednio liczbmi kolumn i wierszy sitki. W kżdym zestwie pomirowym tylko dw elementy wektor wymuszeń prądowych mją niezerowe wrtości. Zdny prąd przykłdowo jest wstrzykiwny do wybrnego węzł brzegowego

18 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów i pobierny z węzł leżącego symetrycznie po przeciwnej stronie sitki. Zestw prądów brzegowych dl pierwszego zestwu pomirowego zprezentowno n rys... W nstępnym kroku źródło prądowe z górnego wiersz przesuwne jest o jedną pozycję w prwo, źródło w dolnym wierszu o jedną pozycję w lewo symetrycznie względem środk sitki. Po osiągnięciu osttniego węzł w górnym i dolnym wierszu krok N, w kolejnym kroku nleży przesunąć źródł do górnego węzł skrjnej prwej kolumny i dolnego węzł skrjnej lewej kolumny. Ustwienie źródeł w N -szym kroku procedury obliczni wrtości funkcji celu przedstwiono n rys... Osttecznie, po osiągnięciu dolnego węzł prwej kolumny i górnego wiersz lewej kolumny osttni krok obliczenie wrtości funkcji celu jest zkończone. Rys... Zestw Neumnn dl N -szego kroku obliczeni wrtości funkcji celu. Testowno kilk wersji lgorytmów wyboru wektorów wymuszeń prądowych w węzłch brzegowych przy zchowniu wzoru. do obliczeni wrtości funkcji celu dl wybrnej sitki testowej. Do osttecznej nlizy wybrno jednk wersję opisną powyżej. Przykłdowe wyniki dl innych przebdnych wersji wrz z opisem lgorytmu wyboru wektorów wymuszeń prądowych opisno w rozdzile. dy sitk testow jest tk sm jk sitk oryginln, funkcj celu. przyjmuje zerową wrtość. dy sitk testow różni się od sitki oryginlnej, różnią się również wektory potencjłów brzegowych porównywnych sitek, będące odpowiedzimi n ten sm wektor prądów brzegowych. Funkcj celu przyjmuje więc wrtość dodtnią. 8

19 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów Tk definicj funkcji celu pozwl n mirodjną ocenę kżdej nlizownej sitki testowej. Pondto, problem rekonstrukcji konduktncji sitki możn sformułowć jko problem znlezieni minimum funkcji wielu zmiennych f.... Włściwości funkcji celu k wspomnino powyżej, funkcj celu jest funkcją wielu zmiennych. Liczb zmiennych jest równ liczbie elementów sitki. Ozncz to, że już dl niewielkich rozmirów sitek mmy do czynieni z problemem wysokowymirowym. W związku z tym niemożliw jest bezpośredni wizulizcj zleżności wrtości funkcji celu od wszystkich prmetrów wejściowych. Aby określić pewne chrkterystyczne włściwości funkcji celu wygenerowno wykresy przedstwijące zleżność wrtości funkcji celu od dwóch wybrnych konduktncji sitki. Wrtość funkcji celu jest obliczn dl sitek, w których wszystkie konduktncje poz dwiem wybrnymi do nlizy mją wrtości równe wrtościom konduktncji oryginlnej sitki, wybrne dw prmetry są zmienine w cłym zkresie wybrnego przedziłu z zdną rozdzielczością. Punkt środkowy płszczyzny X-Y odpowid sytucji, gdy wrtości wybrnych konduktncji są równe wrtościom dl oryginlnej sitki. W punkcie tym funkcj celu przyjmuje wrtość zero. W pozostłych punktch funkcj celu przyjmuje wrtości dodtnie. Przykłdowe wykresy przedstwiono n rys.... Njwżniejszą obserwcją jest, że funkcj celu może być brdzo płsk w otoczeniu minimum. Wynik z tego, że znlezienie w przestrzeni poszukiwń punktu o brdzo młej wrtości funkcji celu nie ozncz, że znlezione rozwiąznie jest blisko oryginłu. Inną istotną obserwcją jest, że ksztłt uzysknych wykresów brdzo mocno zleży od wyboru zmiennych, od których uzleżnimy wrtość funkcji celu. Niektóre konduktncje sitki mją duży wpływ n wrtość funkcji celu, podczs gdy w przypdku innych wpływ ten jest prktycznie niezuwżlny. Możn zuwżyć, że wrtości konduktncji leżących w pobliżu brzegu sitki mją duży wpływ n wrtość funkcji celu, podczs gdy wrtości konduktncji leżących w pobliżu środk nie wpływją n nią zncząco. Ozncz to, iż poprwność rekonstrukcji konduktncji zleży od położeni elementów w sitce. Im bliżej środk sitki położony jest dny element, tym trudniej jest wyznczyć jego konduktncję z stysfkcjonującą dokłdnością.

20 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów..5. f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów..8. f Rys..5. Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, 8 dl sitki o rozmirze węzłów elementów

21 Numeryczne lgorytmy tomogrfii rezystncji sitek rezystorów...5 f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych 8, dl sitki o rozmirze węzłów elementów... f Rys... Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów.. f Rys..8. Wrtość funkcji celu w funkcji zmiennych, dl sitki o rozmirze węzłów elementów

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule) MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/52 2010 Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH Krzysztof Górecki Akdemi orsk w Gdyni Klin Detk Pomorsk Wyższ Szkoł Nuk Stosownych w Gdyni ODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROAGNETYCZNYCH Artykuł dotyczy modelowni chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego - projektownie Ćwiczenie 3 Dobór ikrosilnik prądu stłego do ukłdu pozycjonującego Instrukcj Człowiek - njlepsz inwestycj Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rch Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne Lbortorium nr 11 Temt: Elementy elektropneumtycznych ukłdów sterowni 1. Cel ćwiczeni: Opnownie umiejętności identyfikcji elementów elektropneumtycznych n podstwie osprzętu FESTO Didctic. W dużej ilości

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012 Preskrypt n

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Mszyn i Automtyzcji 008 PIOTR FRĄCKOWIAK KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC W rtykule

Bardziej szczegółowo

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A INVERTER SERIA MXZ Typoszereg MXZ gwrntuje cicy, wysokowydjny i elstyczny system, spełnijący wszystkie wymgni w zkresie klimtyzcji powietrz. 6 MXZ-2C30VA MXZ-2C40VA MXZ-2C52VA MXZ-3C54VA MXZ-3C68VA MXZ-4C71VA

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym Kurs e-lerningowy Giełd Ppierów Wrtościowych i rynek kpitłowy V edycj Struktur kpitłu, wrtość rynkow przedsiębiorstw n rynku kpitłowym 2010 SPIS TREŚCI I. Wstęp 3 II. Podstwowy miernik rentowności kpitłu

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS NAFTA-GAZ lipiec 2012 ROK LXVIII Xymen Mzur-Bdur, Michł Krsodomski Instytut Nfty i Gzu, Krków Chrkterystyk skłdu strukturlno-grupowego olejów npędowych i średnich frkcji nftowych z zstosowniem GC/MS Wstęp

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-14

Ć W I C Z E N I E N R E-14 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-14 WYZNACZANIE SZYBKOŚCI WYJŚCIOWEJ ELEKTRONÓW

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 424 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 424 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005 ZEZYTY NAUKOWE UNIWERYTETU ZCZECIŃKIEGO NR 424 PRACE INTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005 MARIA MAKRI PRAWNOŚĆ FIZYCZNA I AKTYWNOŚĆ RUCHOWA KOBIET W WIEKU 20 60 LAT 1. Wstęp Dobr sprwność fizyczn jest

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji

Bardziej szczegółowo

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp Rdek N.,* Szlpko J.** *Ktedr Inżynierii Eksplotcji Politechnik Świętokrzysk, Kielce, Polsk **Khmelnitckij Uniwersytet Nrodowy, Khmelnitckij, Ukrin Wstęp 88 POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

WSTĘP CHARAKTERYSTYKA WZORNICTWA

WSTĘP CHARAKTERYSTYKA WZORNICTWA Annls of Wrsw University of Life Sciences SGGW Forestry nd Wood Technology No 74, 2011: 199-205 (Ann. WULS-SGGW, Forestry nd Wood Technology 74, 2011 Chrkterystyk ozdobnych drewninych posdzek w Muzeum

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim Szkolnictwo zwodowe dl sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim dignoz potrzeb edukcyjnych Szkolnictwo zwodowe rynek prcy sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim Prognozy oprcowne w rmch

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw AMME 1 1th JUBILEE INTERNATIONAL SC IENTIFIC CONFERENCE Zstosownie nlizy widmowej sygnłu ultrdwikowego do okreleni gruboci cienkich wrstw A. Kruk Wydził Metlurgii i Inynierii Mteriłowej, Akdemi Górniczo-Hutnicz

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:... NUMER KONKURSU:... NUMER WNIOSKU

Bardziej szczegółowo

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych

Bardziej szczegółowo

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Aprtur sterując i sygnlizcyjn Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Czujnik indukcyjny zbliżeniowy prcuje n zsdzie tłumionego oscyltor LC: jeżeli w obszr dziłni dostnie się metl, to z ukłdu zostje pobrn

Bardziej szczegółowo

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na.

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na. STOWARZYSZENIE RYNKÓW FINANSOWYCH ACI POLSKA Afiliowne przy ACI - The Finncil Mrkets Assocition Dodtkowe informcje i objśnieni Wrszw, 21 mrzec 2014 1.1 szczegółowy zkres zmin wrtości grup rodzjowych środków

Bardziej szczegółowo