KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

Transkrypt

1 KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie:

2 Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie do tej smej podstwy potęgi w celu wykorzystni wzorów;. Wyłącznie czynnik spod znku pierwistk;. Usuwnie niewymierności.. Wyrżeni lgebriczne... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Zmin sumy n iloczyn z pomocą wzorów skróconego mnożeni;. Zmin sumy n iloczyn z pomocą wyłączni czynnik przed nwis.. Procenty... 7 W tym:. Wykorzystnie wzoru (procent skłdny);. Typy zdń z procentmi (proporcj), oblicznie procentu z liczby;. Punkty procentowe;. Procenty z procentów.. Zbiory i przedziły... 9 W tym:. Pojęcie zbioru/przedziłu i sposoby ich przedstwini;. Precyzownie zbiorów/przedziłów zpisnych z pomocą formuły logicznej;. Dziłni n zbiorch/przedziłch.. Wrtość bezwzględn... W tym:. Istot wrtości bezwzględnej;. Zpis wyrżeń z pomocą wrtości bezwzględnej;. Opuszcznie wrtości bezwzględnej wyrżeń (z pierwistkmi, ze zmienną x );. Równni z wrtością bezwzględną;. Nierówności z wrtością bezwzględną;.6 Specyficzne przypdki równń i nierówności (z zerem lub liczbą ujemną). 6. Przybliżeni... 6 W tym: 6. Przybliżenie z ndmirem i niedomirem; 6. Błąd bezwzględny i względny przybliżeni. 7. Funkcje... 6 W tym: 7.Wektor w ukłdzie współrzędnych; 7. Przyjęte oznczeni orz sposoby prezentcji funkcji; 7. Określnie dziedziny n podstwie wzoru; 7. Oblicznie miejsc zerowego ze wzoru funkcji; 7. Odczytywnie włsności funkcji z wykresu; 7.6 Symetri punktu w ukłdzie współrzędnych; 7.7 Trnsformcje wykresu funkcji; 7.8 Rysownie funkcji w postci f(x ) + b. 8. Geometri nlityczn (funkcj liniow, równnie okręgu)... W tym: 8. Postci funkcji liniowej; 8. Wykres i włsności funkcji liniowej; 8. Równni prostej; 8. Wzjemne położenie prostych (wrunek równoległości i prostopdłości); 8. Punkt wspólny dwóch prostych; 8.6 Określnie wzoru prostej; 8.7 Zdni z prmetrem; 8.8 Wzory: długość odcink, środek odcink, odległość punktu od prostej; 8.9 Równnie okręgu. 9. Funkcj kwdrtow... 9 W tym: 9. Postć ogóln (wyróżnik, miejsc zerowe, wierzchołek prboli); 9. Postci funkcji kwdrtowej; 9. Wykres funkcji kwdrtowej (prbol); 9. Włsności funkcji kwdrtowej (D, ZW, min/ mx, monotoniczność); 9. Równni kwdrtowe.; 9.6 Nierówności kwdrtowe. 0. Wielominy... W tym: 0. Dziłni n wielominch (stopień wielominu); 0. Zdni z prmetrem; 0. Rozkłd wielominu n czynniki; 0. Równni wielominowe; 0. Pierwistek wielominu.. Funkcj wykłdnicz... 8 W tym:. Wyrżeni wykłdnicze;. Równni wykłdnicze;. Wykres funkcji wykłdniczej;. Włsności funkcji wykłdniczej.. Logrytmy... 0 W tym:. Istot logrytmu;. Równni logrytmiczne;. Sposób n trudniejsze logrytmy;. Wzory i ich wykorzystnie.. Wyrżeni wymierne... W tym:. Dziedzin wyrżeni;. Uprszcznie wyrżeni;. Dziłni n wyrżenich wymiernych;. Równni wymierne.. Funkcj wymiern... 6 W tym:. Wykres;. Włsności.. Ciągi... 8 W tym:. Podstwowe informcje (pojęcie ciągu, wzór, wykres);. Monotoniczność ciągu;. Podstwowe pytni (który wyrz ciągu m dną wrtość?...);. Ciąg rytmetyczny (wzór ogólny, monotoniczność, sprwdznie czy dny cig jest rytmetyczny lub dl jkiej wrtości prmetru jest rytmetyczny, określnie wzoru ciągu, średni rytmetyczn, sum wyrzów ciągu);. Ciąg geometryczny (wzór ogólny, sprwdznie czy dny cig jest geometryczny lub dl jkiej wrtości prmetru jest geometryczny, określnie wzoru ciągu, średni geometryczn, sum wyrzów ciągu).

3 Kompendium do pobrni n stronie: 6. Funkcje trygonometryczne... W tym: 6. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym; 6. Wrtości funkcji trygonometrycznych; 6. Wzory (związki między funkcjmi tego smego kąt); 6. Tożsmości trygonometryczne. 7. Plnimetri (figury płskie)... 7 W tym: 7. Wzory dl figur płskich (obwody, pol i inne); 7. Njwżniejsze twierdzeni (Pitgors, Tles); 7. Podobieństwo figur płskich; 7. Cechy przystwni i podobieństw trójkątów; 7. Wzjemne położenie: dwóch okręgów, prostej i okręgu; 7.6 Kąty; 7.7 Wielokąty; 7.8 Okrąg wpisny i opisny n figurch. 8. Stereometri (bryły)... 6 W tym: 8. Podził i nzewnictwo brył; 8. Kąty i odcinki w bryłch; 8. Pole powierzchni cłkowitej i objętość brył; 8. Podobieństwo brył. 9. Rchunek prwdopodobieństw... 6 W tym: 9. Podstwowe pojęci i oznczeni; 9. Prwdopodobieństwo klsyczne; 9. Proste przypdki (rzut monetą/kostką); 9. Elementy kombintoryki (zsd mnożeni, permutcje, wricje bez powtórzeń, wricje z powtórzenimi); 9. Drzew zdrzeń; 9.6 Włsności prwdopodobieństw. 0. Sttystyk W tym: 0. Dne sttystyczne i sposoby ich prezentcji; 0. Prmetry dnych sttystycznych (średni rytmetyczn, średni wżon, medin, wrincj i odchylenie stndrdowe, mod, rozstęp).

4 . POTĘGI I PIERWIASTKI WZORY z tblic mtemtycznych (dostępnych podczs mtury): - dl 0 : n n 0 ( ) s r s r - dl 0 : n m n m s r s r + s r s r - dl 0 > : n m n m ( ) r r r b b r r r b b..wykorzystnie wzorów. N przykłdch: ( ) 0 8 ( ) Wszystkie wzory dziłją w obie strony. Przykłdowo: dl wzoru :: Pondto powinniśmy pmiętć wzór: ( ) n n Przykłd:( ). Przeksztłcnie do tej smej podstwy potęgi w celu wykorzystni wzorów. Mmy trzy podstwowe metody postępowni: Zmniejsznie podstwy przy wykorzystniu wzoru: ( ) s r s r. 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Szukmy njmniejszego wspólnego dzielnik podstw potęg. Tutj dl kilku z nich będzie to liczb. bo Zpisujemy podstwy potęg z pomocą wspólnego dzielnik Wykorzystujemy wzór: ( ) Kompendium do pobrni n stronie:

5 n m Zmin pierwistk n potęgę zgodnie ze wzorem:. Przykłd: n Obrcnie podstwy potęgi zgodnie ze wzorem, czyli zmienijąc znk potęgi. n Przykłd: Przykłd przedstwijący wykorzystnie wszystkich trzech metod: ( 0,) ( ) m n ( ). Wyłącznie czynnik spod znku pierwistk. Aby to zrobić, nleży njpierw zmienić liczbę znjdującą się pod pierwistkiem n iloczyn dwóch liczb, tk by jedną z liczb możn było spierwistkowć. Nstępnie wykonujemy pierwistkownie tej liczby. Njwiększą trudność w wyciągniu liczby spod znku pierwistk sprwi ustlenie liczb, których iloczyn nleży zpisć, tk by jedn z nich dł się spierwistkowć. Aby sobie to ułtwić, możn zstosowć metodę, którą przedstwimy n przykłdzie. Przykłd: 0 Dzielimy liczbę znjdującą się pod pierwistkiem przez kolejne liczby nturlne, zczynjąc od liczby (,,,...) tk długo, ż uzyskmy liczbę, którą możn spierwistkowć. Dl przykłdu: 0:60 nie d się spierwistkowć 0:06,6 - nie d się spierwistkowć 0:80 nie d się spierwistkowć 0:6 d się spierwistkowć ( 6 8), dltego zpisujemy liczbę 0 jko iloczyn liczb 6 i : Usuwnie niewymierności. Możemy wyróżnić dw stopnie trudności: Gdy w minowniku mmy tylko pierwistek lub pierwistek przemnożony przez jkąś liczbę. W tkim przypdku usuwmy niewymierność, mnożąc licznik i minownik przez pierwistek z minownik. UWAGA! Gdy mnożymy przez siebie dw pierwistki kwdrtowe, otrzymujemy wrtość pod pierwistkiem; np.: Przykłdy: Kompendium do pobrni n stronie: Obrcmy ułmek i zmienimy znk potęgi ( n -). ( + )

6 Gdy w minowniku mmy sumę lub różnicę. W tki przypdku usuwmy niewymierność mnożąc licznik i minownik przez cłe wyrżenie z minownik, le ze zmienionym znkiem. Nstępnie w minowniku wykonujemy mnożenie zgodnie z trzecim wzorem skróconego mnożeni. Przykłd: Mnożymy licznik i minownik przez wyrżenie z minownik ze zmienionym znkiem: ( ) Kompendium do pobrni n stronie: ( ) 6 6 ( + )( ) + Wykorzystujemy wzór skróconego mnożeni: ( + b)( - b) - b nstępny podrozdził. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WZORY z tblic mtemtycznych (w dzile: WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA): ( + b) + b + b ( + b) ( b) b + b ( b) + b + b b + b + b b 6 7 b b + b ( b)( + b) ( b)( + b + b ) ( + b + b ). Wykorzystnie wzorów Pierwsze cztery wzory dziłją w ten sm sposób. Przedstwimy to n przykłdzie wymgjącym skorzystni z drugiego wzoru:(z b ). We zworze mmy:. Nszym w przykłdzie jest wyrżenie : z, tk więc: (z ) z b We zworze mmy: b. Nszym b w przykłdzie jest wyrżenie : b, tk więc: (b ) 9b 6 6 ( z b ) ( z ) z b + ( b ) z 6bz + 9b We zworze mmy: b. Nszym w przykłdzie jest wyrżenie : z. Nszym b w przykłdzie jest wyrżenie : b, tk więc: z b 6b z Trzy osttnie wzory 6 7 wymgją nieco innego podejści. Ich wykorzystnie w tkim kierunku jk zostł podny (pmiętjmy, że wszystkie wzory skróconego mnożeni możemy wykorzystć w obie strony ), umożliwi zminę sumy n iloczyn (nstępny podrozdził). Sposób wykorzystni tych trzech wzorów przedstwimy n przykłdzie, wymgjącym skorzystni z siódmego wzoru: 8 b UWAGA: wybór wzoru jest zdeterminowny przez znk orz przez potęgi symboli (dl piątego wzoru muszą być podzielne przez, dl szóstego orz siódmego muszą być podzielne przez ). Pierwsze wyrżenie to podniesione do potęgi trzeciej. Jeżeli 8 b 6, to b [poniewż (b ) 8 b 6 ]. b b Drugie wyrżenie to b podniesione do potęgi trzeciej. Jeżeli b 7 9, to b [poniewż ( ) 7 9 ]. 6 ( b + )( b 6 b 9 ) (b ) b b b 6 b b ( ) 9 6

7 Kompendium do pobrni n stronie:. Zmin sumy n iloczyn z pomocą wzorów skróconego mnożeni W tym celu możliwe jest wykorzystnie wszystkich siedmiu wzorów skróconego mnożeni. Trzy osttnie wzory 6 7 wykorzystujemy, tk jk przedstwiliśmy to w poprzednim podpunkcie. Cztery pierwsze wzory wykorzystujemy w drugą stronę (głównie chodzi o wzory i, bo z dwom pozostłymi w ujęciu zminy sumy n iloczyn się rczej nie spotkmy).wykorzystnie czterech pierwszych wzorów w drugą stronę przedstwimy n przykłdzie: 9 z +z. Ustlmy, z którego wzoru możemy skorzystć. Sum skłd się z trzech wyrżeń, co ogrnicz nsz wybór do pierwszego i drugiego wzoru. Pondto znki między wyrżenimi wskzują jednozncznie n wzór drugi: ( b) b +b we wzorze mmy trzy wyrżeni i tkie sme znki jk w podnej sumie (9 z + z ). ( z ) 9 z + z Ustlmy i b : Poniewż w podnym przykłdzie 9 to, wyrżenie z to b, to -, - b z. Sprwdzmy, czy środkowe wyrżenie jest zgodne ze wzorem. Powinno wynosić b, czyli: z z, co ozncz, że otrzymliśmy poprwny zpis. Gdyby środkowe wyrżenie się nie zgdzło, oznczłoby to, że nie możemy zmienić podnej sumy n iloczyn z pomocą wzoru skróconego mnożeni.. Zmin sumy n iloczyn z pomocą wyłączni czynnik przed nwis Przedstwimy n przykłdzie: 6 b b + 6 b b c. Zczynmy od ustleni wyrżeni, jkie będzie znjdowło się przed nwisem. Osobno ustlmy jk będzie wrtość liczbow, osobno poszczególne symbole liter i ich potęgi. Wrtość liczbow: szukmy njwiększego wspólnego dzielnik tutj. Aby wystwić dny symbol przed nwis, musi się powtórzyć w kżdym wyrżeniu. Gdy ten wrunek jest spełniony, wybiermy jego njniższą potęgę tutj: - symbol powtrz się w kżdym wyrżeniu, jego njmniejsz potęg wynosi, - symbol b powtrz się w kżdym wyrżeniu, jego njmniejsz potęg wynosi b, - symbol c nie powtrz się w kżdym wyrżeniu, więc nie możemy wystwić go przed nwis. Osttecznie wyrżenie, które wystwimy przed nwis m postć: b Nstępnie ustlmy wyrżeni w nwisie. Wyrżeni w nwisie będą miły tkie sme znki jk pierwotne wyrżeni. Ich wrtości liczbowe i symbole muszą mieć tką wrtość, by cłe wyrżenie po przemnożeniu przez wyrżenie wystwione przed nwis dło nm z powrotem wrtość pierwotną. 8b bo b 8b 6 b bo b b 6 b -b +6 b - b c b (8b -+ - bc) bo b 6 b bc bo b bc b c 6

8 Kompendium do pobrni n stronie:. PROCENTY WZORY z tblic mtemtycznych (w dzile: CIĄGI): Procent skłdny: K n K + p 00. Wykorzystnie wzoru (procent skłdny) Objśnienie poszczególnych wielkości we wzorze: K n kpitł końcowy K kpitł początkowy n liczb wszystkich kpitlizcji. Liczbę wszystkich kpitlizcji otrzymmy mnożąc liczbę lt przez liczbę kpitlizcji w roku: n liczb lt liczb kpitlizcji w roku n p oprocentownie. Do wzoru podstwimy oprocentownie, jkie uzyskmy po uwzględnieniu liczby kpitlizcji w roku (kpitlizcj jest doliczniem odsetek do kpitłu). W tym celu dzielimy dne w zdniu oprocentownie przez liczbę kpitlizcji: Przykłd: zł zostło złożone n lokcie n trzy lt. Oprocentownie lokty wynosiło %, odsetki były kpitlizowne co sześć miesięcy. Oblicz wrtość kpitłu n lokcie po trzech ltch. Jk wrtość odsetek zostł zgromdzon w tym czsie? rozwiąznie: dne: K zł liczb lt: liczb kpitlizcji w roku: dne oprocentownie p liczb kpitlizcji w roku p %,% n liczb lt liczb kpitlizcji w roku n 6 K K K n n K + liczb dne kpitlizcji oprocentownie w roku p 00% 00000zł( + 0,0) 00000zł zł,6 000zł n,% 00% 00000zł(,0) n Odsetki obliczymy, odejmując od kpitłu końcowego kpitł początkowy. K n K 000zł 00000zł 000zł Odpowiedź: Kpitł po trzech ltch wynosi 000zł. Zgromdzono 000zł odsetek.. Typy zdń z procentmi (proporcj), oblicznie procentu z liczby Typy zdń (proporcj) Włściwy zpis proporcji w zdnich z procentmi opier się, ogólnie rzecz ujmując, n prwidłowym określeniu, której wielkości będzie odpowidć 00%. Zwsze będzie to wielkość stnowiąc punkt odniesieni. Dl ułtwieni, zdni z procentmi podzieliliśmy n trzy podstwowe typy: p dne oprocentownie Podstwimy dne (K, p, n) do wzoru i obliczmy kpitł końcowy (K) I cłość/część cłości II wrtość początkow / wrtość końcow cłość 00% wrtość 00% początkow część % wrtość cłości końcow % III wrtość podstwow / wrtość porównywn wrtość 00% podstwow wrtość % porównywn 7

9 Przykłd: W koszu znjduje się 00 owoców, z czego 0 owoców to gruszki. Jki procent wszystkich owoców stnowią gruszki. W tym zdniu cłość stnowią wszystkie owoce, częścią tej cłości, któr ns interesuje, są gruszki. Zpisujemy więc proporcje: wszystkim owocom (00) odpowid 00%, gruszkom (0) odpowid nieznn wrtość procentow, którą mmy obliczyć, więc oznczmy ją jko x% % 0 x% 0 00% x % 0% 00 Odpowiedź: Gruszki stnowią 0% wszystkich owoców. Kompendium do pobrni n stronie: Przykłd: Pewien produkt w sklepie zostł przeceniony o 0% i obecnie jego cen wynosi 00 zł. Ile kosztowł ten produkt przed przeceną? Wrtością początkową będzie cen produktu przed przeceną ( więc przed zminą), któr jest niewidomą i musimy oznczyć ją jko x. Wrtością końcową jest obecn cen (00zł). Tk więc cen przed przeceną (x), będzie odpowidć 00%. Znim zpiszemy drugą linijkę proporcji, nleży ustlić, jki procent przyrównmy do ceny po przecenie. Jeżeli cen spdł o 0%, to cen którą mmy obecnie, stnowi 80% ceny początkowej. Tk więc obecnej cenie (00zł) odpowid 80%. UWAGA: W zdnich tego typu, zzwyczj musimy podny procent dodwć (gdy coś rośnie) lub odejmowć (gdy coś mleje) od 00%. x 00% 00 80% 00 00% x 0zł 80% Odpowiedź: Produkt kosztowł wcześniej 0zł. Uwg: Wrtość podstwow to t, do której porównujemy. Przykłd: Koszt pewnego produktu w sklepie A wynosi 000 zł, w sklepie B 00. O ile procent droższy jest ten produkt w sklepie B, niż w sklepie A? W tym zdniu wrtością podstwową (wrtością do której porównujemy) jest cen w sklepie A, wrtością porównywną jest cen w sklepie B. Dltego wrtości ceny w sklepie A (000zł) będzie odpowidć 00%, wrtości ceny w sklepie B (00zł) będzie odpowidć nieznn wrtość procentow, którą oznczymy jko x% % 00 x% 00 00% x % % 000 UWAGA: Tu nleży zinterpretowć wynik. Skoro wrtość ceny w sklepie B stnowi % wrtości ceny w sklepie A 00%, to gdy odpowidmy n pytnie: o ile procent droższy jest produkt w sklepie B od ceny w sklepie A, nleży jeszcze odjąć wrtości procentowe (% - 00% %). Odpowiedź: Cen w sklepie B jest o % wyższ od ceny w sklepie A. Oblicznie procentu z liczby Aby obliczyć procent z liczby, nleży procent zmienić n ułmek, nstępnie pomnożyć go przez tę liczbę. Jest to podejście uproszczone, którego możemy używć zmist proporcji w prostych przypdkch. Przykłd: W wgonie znjduje się 0 pczek. 0% z nich zostło uszkodzonych podczs trnsportu. Ile jest uszkodzonych pczek? 0% Zmienimy procenty n ułmek, dzieląc przez 00%. 0 % 00% 0 Mnożymy ułmek przez liczbę. 0 0 Odpowiedź: W wgonie znjduje się uszkodzonych pczek.. Punkty procentowe Punkty procentowe to różnic dwóch wrtości procentowych. Obliczmy ją odejmując większą wrtość procentową od mniejszej Przykłd: W wyborch prezydenckich kndydt A otrzymł % głosów, kndydt B 8% głosów. O ile punktów procentowych głosów więcej otrzymł kndydt B? 8

10 8% - % % Odpowiedź: Kndydt B otrzymł punktów procentowych więcej głosów.. Procenty z procentów Oblicznie procentu z wrtości procentowych, może wydwć się skompilowne i niejsne. Możemy zncznie ułtwić sobie oblicznie tego typu zdń, jeżeli wrtości procentowe, z których liczymy procent lub wrtości procentowe, które porównujemy (o ile procent się różnią), będziemy trktowć nie jk procenty, le jk wrtości liczbowe. Wszelkie zsdy dziłń n procentch orz ukłdnie proporcji (niezleżnie od typu zdń z procentmi) pozostją niezmienne. Zdni obliczmy w ten sm sposób jk zwykłe zdni z procentmi. Nleży n smym wstępie ustlić, które wrtości procentowe, będziemy trktowć jk liczby. Przykłd: W wyborch n przewodniczącego klsy Ksi otrzymł 0% głosów, Tomek 0% głosów. O ile procent głosów więcej od Tomk otrzymł Ksi. UWAGA! Gdy mmy pytnie : o ile procent nie mylmy go z pytniem o punkty procentowe. Tu nie wystrczy odjąć jednej wrtości procentowej od drugiej. Wrtości procentowe, trktujemy jk liczby i ukłdmy proporcję. Mmy do czynieni z trzecim typem zdń z procentmi (wrtość podstwow wrtość porównywn). Wrtością podstwową w zdniu jest 0%, wrtością porównywną 0%. 0% 00% 0% x% 0% 00% x % 0% Kompendium do pobrni n stronie: Aby obliczyć różnicę punktów procentowych, odejmujemy większą wrtość procentową od mniejszej. Tu nleży jeszcze zinterpretowć wynik. Jeżeli głosy Tomk oznczono jko 00%, głosy Ksi w rezultcie wynoszą % w porównniu do głosów Tomk, to znczy, że otrzymł o % głosów więcej. % - 00% % Odpowiedź: Ksi otrzymł o % głosów więcej od Tomk.. ZBIORY I PRZEDZIAŁY. Pojęcie zbioru/przedziłu i sposoby ich przedstwini Zbiór przedstwi grupę konkretnych liczb. Zpis zbioru skłd się z jego nzwy (zbiory oznczmy dużymi litermi) orz jego elementów zpisnych w klmrze. Poszczególne elementy zbioru oddzielmy przecinkmi lub średnikmi. Do zbioru nleżą cztery zpisne w klmrze liczby:,,,. A,,, Przykłd: { } Zbiory dzielimy n: - skończone, To zbiory, które mją skończoną liczbę elementów. Przykłd tkiego zbioru zostł przedstwiony powyżej. - nieskończone. To zbiory mjące nieskończoną liczbę elementów. W przypdku tkiego zbioru, w klmrze zpisujemy kilk pierwszych elementów zbioru i trzykropek oznczjący, że zbiór ciągnie się do nieskończoności. Przykłdem tkiego zbioru jest zbiór liczb nturlnych N + (cłkowitych dodtnich): N + {,,,... } Do zbioru nleżą wszystkie liczby cłkowite dodtnie. 9

11 Przedził ilustruje pewien zkres liczb. Przedziły liczbowe możemy przedstwić przy użyciu trzech podstwowych sposobów [przedstwimy je z pomocą przykłdu przedziłu zwierjącego liczby od - (łącznie z -) do nieskończoności]: - z pomocą znków nierówności; < > Dl przykłdu: x mniejszy większy mniejszy większy lub równy lub równy - n osi liczbowej; Gdy mmy podny przedził zpisny z pomocą znku nierówności, ustlmy kierunek przedziłu, zgodnie ze zwrotem znku nierówności w przykłdzie przedził zwier się od minus - do nieskończoności. Możemy również zstosowć pewne uproszczenie. Znk nierówności jest jk grot strzłki, który wskzuje kierunek rysowni linii. Pondto, nleży ustlić czy kropk przy liczbie wyznczjącej jeden z końców przedziłu, będzie zkolorown lub nie. Gdy liczb grniczn nleży do przedziłu (znk lub ), kropk będzie zkolorown; gdy nie nleży do przedziłu (znk > lub <), kropk będzie pust. Dl przykłdu: - w nwisie (do tego zpisu dążymy). Zpis przedziłu skłd się z oznczeni niewidomej (x), znku, który odczytujemy: nleży do orz przedziłu dwóch liczb lub liczby i nieskończoności/-nieskończoności. Alterntywnie przedził może być również nzwny (oznczony) dużą literą lfbetu. Gdy do zpisu przedziłu nie używmy zmiennej x, le dużej litery lfbetu (np: A), zmist znku Є (nleży do) używmy znku równości (tk jk w zbiorch). Pondto nwis może być: okrągły ( ), gdy n osi liczbowej kropk jest pust (czyt. przedził otwrty), co ozncz, że dn liczb nie nleży do przedziłu. UWAGA: Przy nieskończoności nwis zwsze jest okrągły. trójkątny < > jeżeli n osi kropk jest zkolorown (czyt. przedził domknięty), co ozncz, że dn liczb nleży do przedziłu. Dl przykłdu: x, ) Kompendium do pobrni n stronie: Znk nierówności skierowny w prwo. Liczby zwierją się w zkresie od - do nieskończoności. - (minus nieskończoność) - ogrniczone, Są to przedziły, którego końce do dwie konkretne liczby. Przykłd: A, 8 - Przedziły dzielimy n: Liczby mją być większe lub równe od liczby - - łącznie z -, dltego wybiermy znk, nie znk >. Znk nierówności, więc kropk jest zkolorown. 0 (nieskończoność) Lewy nwis trójkątny (domknięty), bo kropk w przykłdzie jest zkolorown (liczb - nleży do przedziłu). Prwy nwis okrągły (otwrty), bo przy nieskończoności zwsze jest otwrty. - nieogrniczone. Są to przedziły, w których jeden z końców to nieskończoność lub minus nieskończoność. Przykłd: C, ). Precyzownie zbiorów/przedziłów zpisnych z pomocą formuły logicznej W zdnich zbiory i przedziły są często przedstwione w brdziej skomplikowny sposób, z pomocą formuły logicznej. Nleży wtedy uprościć zpis dnego zbioru/przedziłu, interpretując podne wrunki i określjąc jego zwrtość. Przykłd. { x C: x 0} A < W klmrze mmy zpisne dw wrunki (rozdzielone dwukropkiem): - x Є C (liczby cłkowite); - x < 0 (liczby z zkresu 0, łącznie z, le bez 0). A {,,, 6, 7, 8, 9} LICZBY SPEŁNIAJĄCE OBA WARUNKI:,,, 6, 7, 8, 9. Poniewż ob wrunki spełni kilk liczb, używmy zpisu zbioru. 0

12 Kompendium do pobrni n stronie: Przykłd. { x R:x 7} A < W klmrze mmy zpisne dw wrunki (rozdzielone dwukropkiem): - x Є R (liczby rzeczywiste); - x < 7 (liczby mniejsze od 7 bez 7) A (, 7) LICZBY SPEŁNIAJĄCE OBA WARUNKI: liczby z zkresu od minus nieskończoności do 7 (wyłączjąc liczbę 7). Poniewż ob wrunki spełni zkres liczb, używmy zpisu przedziłu.. Dziłni n zbiorch/przedziłch Opertory: - zwier się w - sum - części wspóln \ - różnic - zwier się w - ozncz że jeden zbiór/przedził zwier się w drugim. Przykłd: Dne są zbiory: A {,,, 6} B {, 6,,,,, 6, } Możemy stwierdzić, że zbiór A zwier się w zbiorze B, poniewż wszystkie elementy ze zbioru A znjdują się również w zbiorze B. Zpisujemy to przy pomocy przedstwionego symbolu: A B UWAGA: Gdy jeden zbiór/przedził nie zwier się w drugim, stosujemy symbol przekreślonego znku zwier się w": A B Kolejne trzy znki reprezentują określone dziłni n zbiorch/przedziłch. W przypdku przedziłów, dl ułtwieni rysujemy ob n osi. - zbiorów, to nowy zbiór zwierjący jednocześnie elementy obu zbiorów. Przykłd: A B A B { 0,,, } {,, 0,, } Sumą zbiorów A i B jest zbiór, zwierjący elementy obu zbiorów. { 0,,,, 0,, } - sum: - przedziłów, to przedził łączący ob przedziły. Po nrysowniu przedziłów n osi, kreskujemy ob przedziły. Przykłd: A, 8 B (, ) Zznczmy ob przedziły n wspólnej osi. Sum przedziłów A i B to ob przedziły łącznie. Kreskujemy więc ob przedziły. Odczytujemy zkreskowny przedził: A B, ) - zbiorów, to nowy zbiór zwierjący elementy, znjdujące się jednocześnie w pierwszym i drugim zbiorze. A Przykłd: B A B { 0,,, } {,, 0,, } Częścią wspólną zbiorów A i B jest zbiór zwierjący elementy, nleżące jednocześnie do zbioru A i B (-, -). {, } UWAGA: Zbiory niemjące części wspólnej, nzywmy zbiormi rozłącznymi. - części wspóln - przedziłów, to przedził będący wspólnym frgmentem obu przedziłów. Przykłd: A, 8 B (, ) Zznczmy ob przedziły n wspólnej osi. Część wspóln przedziłów A i B to ich wspólny frgment. Kreskujemy więc frgment od do 8, bo nleży jednocześnie do obu przedziłów. Odczytujemy zkreskowny przedził: A B (, 8

13 - zbiorów, to zbiór zwierjący elementy pierwszego zbioru, które nie znjdują się w drugim zbiorze. Przykłd: A \ B A B { 0,,, } {,, 0,, } { 0, } Kompendium do pobrni n stronie: Różnic zbioru A i B, to te elementy pierwszego zbioru, które nleżą tylko do zbioru A (-0, -). Liczby: - orz - nleży wykluczyć, bo nleżą jednocześnie do zbioru B. \ - różnic - przedziłów, to przedził zwierjący ten frgment pierwszego przedziłu, który nie nleży do drugiego przedziłu. Przykłd: A, 8 B (, ) Zznczmy ob przedziły n wspólnej osi. Różnic przedziłów A i B, to ten frgment przedziłu A (od - do ), który nie zwier się jednocześnie w przedzile B. Różnic zbioru B i A, to te elementy, które nleżą tylko do zbioru B (0,, ). Liczby: - orz - nleży wykluczyć, bo nleżą jednocześnie do zbioru A. B \ A { 0,, } UWAGA Mjąc do czynieni z różnicą przedziłów w punkcie, w którym zczyn się drugi przedził (który jest jednocześnie jedną z grnic rozwiązni), nwis wybiermy przeciwnie, niż wskzuje n to kropk! Odczytujemy zkreskowny przedził: A\ B, W zdnich dotyczących dziłń n zbiorch i przedziłch, możemy trfić n przypdki, w których rozwiązniem jest zbiór pusty, zbiór liczb rzeczywistych lub których rozwiązniem nie jest jeden przedził. Wszystkie przypdki, n jkie możemy trfić, są omówione n nszej stronie: Przykłd: Sum przedziłów (,, B (, ) A jest zbiorem liczb rzeczywistych (R). Zznczmy ob przedziły n wspólnej osi. Sum przedziłów A i B to ob przedziły łącznie. Kreskujemy więc ob przedziły. Zkreskowny jest cły przedził liczb, od minus do plus nieskończoności. Mmy więc do czynieni ze zbiorem liczb rzeczywistych.. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA A B R WZORY z tblic mtemtycznych (w dzile: WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA): x x -x dlx 0 dlx < 0. Istot wrtości bezwzględnej Większość wzorów dotyczących wrtości bezwzględnej, zmieszczonych w tblicch mtemtycznych, nie jest istotn dl uczniów zdjących egzmin n poziomie podstwowym. Ten, który uwzględniliśmy i zmieściliśmy w rmce powyżej, jest w rzeczywistości opisem istoty wrtości bezwzględnej i nie wykorzystujemy go w sposób, jk to robimy z innymi wzormi. Wrtość bezwzględn: - z liczb dodtnich, nie zmieni ich znku, - z liczb ujemnych, zmieni ich znk n przeciwny. Przykłdy: 0 0, - 7 7

14 . Zpis wyrżeń z pomocą wrtości bezwzględnej Wyrżenie możemy zpisć z pomocą wrtości bezwzględnej, gdy m postć:, bo wtedy możemy wykorzystć wzór: Przykłdy: (przedstwiony zostł w pierwszym rozdzile: stron )., ( x z) x z Niektóre wyrżeni nleży jednk njpierw przeksztłcić do postci: W przypdku liczb jest to stosunkowo proste. Przykłd: 9 W przypdku wyrżeń lgebricznych, musimy je njpierw przeksztłcić z pomocą wzorów skróconego mnożeni. Mow tu tylko o dwóch wzorch: + b + b + b, b b+ b, z których korzystmy oczywiście w ( ) ( ). drugą stronę (podrozdził.). Przykłd: + ( ). Opuszcznie wrtości bezwzględnej wyrżeń (z pierwistkmi, ze zmienną x ) Wykonujemy dwie czynności: Ustlmy znk wyrżeni, Opuszczmy znk wrtości bezwzględnej zgodnie z ustlonym znkiem: - gdy wyrżenie jest dodtnie, po opuszczeniu wrtości bezwzględnej, przepisujemy je bez zmin, - gdy wyrżenie jest ujemne, po opuszczeniu wrtości bezwzględnej, zmienimy wszystkie znki. Wyrżeni z pierwistkmi (niewymierne) Wyrżeni ze zmienną x Ustlmy znk wyrżeni. Szcujemy jki znk miłby wynik dziłni, gdybyśmy mogli je wykonć. Przykłd: 6 - pierwistek z dwóch dje wrtość mniejszą niż, co po przemnożeniu przez, dłoby wrtość mniejszą od 6. W związku z tym wrtość dodtni ( ) jest mniejsz od wrtość ujemnej (-6), dltego wynik byłby ujemny. WYRAŻENIE UJEMNE Kompendium do pobrni n stronie: Oprócz smego wyrżeni pojwi się przedził, do którego nleży x. Aby ustlić znk wyrżeni, njprostszym sposobem jest obliczenie wrtości wyrżeni dl wybrnej wrtości x (musi nleżeć do przedziłu). Przykłd: x + 8 dl x (, Wybiermy przykłdowy x z przedziłu my wybrliśmy liczbę. Obliczmy wrtość wyrżeni dl wybrnej liczby: Wynik okzł się dodtni, co ozncz, że wyrżenie dl podnego przedziłu jest dodtnie. WYRAŻENIE DODATNIE Opuszczmy znk wrtości bezwzględnej zgodnie z ustlonym znkiem. Poniewż wrtość wyrżeni okzł się ujemn, opuszczjąc wrtość bezwzględną, zmienimy wszystkie znki Poniewż wrtość wyrżeni okzł się dodtni, opuszczjąc wrtość bezwzględną, nie zmienimy znków. x + 8 x + 8. Równni z wrtością bezwzględną Omówione poniżej metody służą do rozwiązywni typowych równń, to znczy tkich, w których po prwej stronie znjduje się liczb dodtni. Istnieją dwie metody ich rozwiązywni. Pierwsz z nich (interpretcj grficzn) ndje się jedynie do rozwiązywni równń, w których x m współczynnik liczbowy (czyli przed x nie m żdnej liczby ni minus). Drug metod ndje się do wszystkich typowych równń. Obie metody przedstwimy n przykłdch:

15 Kompendium do pobrni n stronie: Interpretcj grficzn Przykłd: x + 6 I. Rysujemy oś liczbową i zznczmy n niej liczbę zwrtą w wyrżeniu, umieszczonym w wrtości bezwzględnej, le ze zmienionym znkiem. x + 6 W wrżeniu mmy liczbę, dltego n osi zznczmy liczbę: - (pmiętjmy o zminie znku). Metod obliczeniow Przykłd: x 0 Metod poleg n rozwiązniu dwóch równń, rozdzielonych słowem lub lbo znkiem zstępującym to słowo v. W efekcie otrzymujemy dwie liczby, które są rozwiązniem równni: Pierwsze równnie przepisujemy bez zmin, omijjąc jedynie wrtość bezwzględną. W drugim równniu zmienimy znk liczby po prwej stronie (zmist zpisujemy -). II. Szukmy dwóch liczb, których odległość od zznczonej n osi liczby, równ się wrtości po prwej stronie równni. N osi szukmy dwóch liczb, których odległość od - wynosi 6. x 0 v x + 0 x / x 7 v x 0 x + 0 x / x III. Zpisujemy rozwiązni łącząc je słowem lub lbo znkiem v. x 8 v x Uprszcznie złożonych równń. Czsmi równni z wrtością bezwzględną są podne w mniej przyjemnej formie. Aby było możliwe ich rozwiąznie (jedną z dwóch powyżej opisnych metod), konieczne jest ich przeksztłcenie, do postci, w jkiej podne były dotychczs przedstwione równni. Przykłd: 0 x + + x x + Podstwow zsd podczs przeksztłcni, to trktownie wrtości bezwzględnej jko cłości i oblicznie jej zgodnie z regułmi przeksztłcni równń. Wrtość bezwzględną trktujemy jko cłość. Równnie przeksztłcmy w tki sposób, jkby cł wrtość bezwzględn wynosił x: 0x + x x 0x + + x x + 0x + + 8x x + 8x + 8 x + 6 x + 8 / Dodjemy wyrżeni z wrtością bezwzględną ( x+ orz x+ ), tk jkbyśmy mieli do czynieni z wyrżenimi x i x: x+ + x+ 8 x+ Przenosimy wyrżeni z wrtością bezwzględną n lewo, liczby n prwo (ze zmienionym znkiem). UWAGA - nie zmienimy znków wewnątrz wrtości bezwzględnej. Dodjemy wyrżeni z wrtością bezwzględną (0 x+ orz 8 x+ ), tk jkbyśmy mieli do czynieni z wyrżenimi 0x i -8x: 0 x+ - 8 x+ x+ Dzielimy cłe równnie przez. Otrzymujemy równnie w odpowiedniej formie. To równnie możn rozwiązć tylko metodą obliczeniową, przedstwioną w poprzednim punkcie.. Nierówności z wrtością bezwzględną Podobnie jk w przypdku równń mmy dwie metody dl typowych przypdków, (gdy po prwej stronie znjduje się wrtość dodtni). Pierwsz metod tylko dl równń o współczynniku x równym, drug dl wszystkich równń.

16 Kompendium do pobrni n stronie: Interpretcj grficzn Przykłd: x I. Rysujemy oś liczbową i zznczmy n niej liczbę zwrtą w wyrżeniu, umieszczonym w wrtości bezwzględnej, le ze zmienionym znkiem. x II. Szukmy dwóch liczb, których odległość od zznczonej n osi liczby, równ się wrtości po prwej stronie równni. III. Zznczmy przedził lub przedziły. Mmy dwie możliwości: - gdy znk nierówność jest skierowny w prwo (>), to zznczmy dw przedziły: od minus nieskończoność do pierwszej liczby orz od drugiej liczby do nieskończoności; - gdy znk nierówności jest skierowny w lewo (<), to zznczmy jeden przedził, łączący dwie wyznczone liczby. IV. Odczytujemy przedził lub przedziły. (, 7 ) x, W wyrżeniu mmy liczbę -, dltego n osi zznczmy liczbę: (pmiętjmy o zminie znku). N osi szukmy dwóch liczb, których odległość od wynosi. Tu mmy do czynieni z pierwszą możliwością, bo znk nierówności jest skierowny w prwo ( ). Rysujemy więc dw przedziły: - od minus nieskończoności do liczby -, - od liczby 7 do nieskończoności. Poniewż rozwiązniem są dw przedziły, zpisujemy je ob, łącząc znkiem sumy. Metod obliczeniow Przykłd: x + < Metod poleg n rozwiązniu dwóch nierówności. W efekcie otrzymujemy dwie liczby, które zznczmy n osi liczbowej. Pierwszą nierówność przepisujemy bez zmin, omijjąc jedynie wrtość bezwzględną. x + < x < x < x < / x + > x > x > 6 x > / Zznczmy przedził lub przedziły. Odbyw się to n tej smej zsdzie, jk w przypdku metody dl prostszych przykłdów. Zznczmy uzyskne liczby n osi, nstępnie zznczmy przedził lub przedziły, zgodnie z przedstwioną wcześniej regułą (dw przedziły, gdy znk nierówności jest skierowny w prwo; jeden przedził, gdy znk nierówności jest skierowny w lewo). Odczytujemy przedził lub przedziły. x, ( ) W drugiej nierówności zmienimy znk liczby po prwej stronie (zmist zpisujemy -) i obrcmy znk nierówności. Tu mmy do czynieni z drugą możliwością, bo znk nierówności jest skierowny w lewo (<). Rysujemy więc jeden przedził: od - do..6 Specyficzne przypdki równń i nierówności (z zerem lub liczbą ujemną). Gdy po prwej stronie równni lub nierówności z wrtością bezwzględną znjduje się liczb ujemn lub zero, nie rozwiążemy ich przedstwionymi w poprzednich podrozdziłch metodmi. Musimy do nich podejść n logikę. Przykłd: x + 0 Obliczjąc wrtość bezwzględną, zwsze otrzymmy liczbę większą od zer lub równą zero. Tk więc kżd liczb po podstwieniu z x będzie spełnić tę nierówność. Rozwiązniem jest zbiór liczb rzeczywistych x R Wszystkie przypdki równń i nierówności z wrtością bezwzględną, n jkie możemy trfić, są omówione n nszej stronie: : MATERIAŁ MATURALNY wrtość bezwzględn równni nierówności

17 6. PRZYBLIŻENIA 6. Przybliżenie z ndmirem i niedomirem Przybliżenie z ndmirem powstje, gdy podczs zokrąglni liczby, zwiększmy osttnią pozostwioną cyfrę o jeden. Przykłd: Zokrąglmy liczbę,9967 do pierwszego miejsc po przecinku.,9967, 6. Błąd bezwzględny i względny przybliżeni Błąd bezwzględny, to wrtość bezwzględn z różnicy przybliżeni i dnej liczby. Wzór n błąd bezwzględny m więc postć: b dn liczb b przybliżenie liczby Przybliżenie z niedomirem powstje, gdy podczs zokrąglni, osttni pozostwion cyfr nie zmieni się. Przykłd: Zokrąglmy liczbę 6,9690 do drugiego miejsc po przecinku. 6,9690 6,96 Błąd względny, pokzuje jką częścią dnej liczby jest wrtość, o jką zmniejszyliśmy lub powiększyliśmy liczbę: b Przykłd: Zokrągliliśmy liczbę 0,0 do części dziesiętnych: 0,0 0, 0,0, b 0, - błąd bezwzględny: b 0, 0,0 b 0,00 7. FUNKCJE 0,00 - błąd względny: b 0,00 0,0 0,00 0,0 0,00 WZORY z tblic mtemtycznych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Wektor: AB [ x x, y y ] B A B A 7. Wektor w ukłdzie współrzędnych Wzór (zpisny powyżej) służy do obliczni współrzędnych przesunięci wektor. Określją one, o ile jednostek i w którą stronę nleży wykonć przesunięcie w poziomie i w pionie, by z punktu zczepieni (A) dojść do punktu końcowego (B). A x, Punkt zczepieni (punkt początkowy wektor): ( ) A y A Punkt końcowy: B ( x, ) B y B Grficznie wektor w ukłdzie współrzędnych m postć strzłki. Przykłd: A (, ); B (7, ) [ 7, ] [, ] AB Kompendium do pobrni n stronie: Pierwszą cyfrę po przecinku () musieliśmy zwiększyć o jeden, poniewż nstępn cyfr był większ od (9). W efekcie liczb uległ zwiększeniu. Drugą cyfrę po przecinku (6) pozostwiliśmy bez zmin, poniewż znjdując się z nią cyfr jest mniejsz od (). W efekcie liczb uległ zmniejszeniu o obciętą wrtość. Błąd względny może być wyrżny w procentch: b 00% 6

18 7. Przyjęte oznczeni orz sposoby prezentcji funkcji Oznczeni przyjęte w opisie funkcji - Dziedzin (zbiór rgumentów): oznczmy z pomocą liter: x, X, D lub Df, - Zbiór wrtości: oznczmy z pomocą liter: y, Y, ZW, Zf lub zpisu f(x) (gdy zpisujemy wzór funkcji). Dziedzin i zbiór wrtości mogą, w zleżności od zkresu nleżących do niego liczb, zostć przedstwiony z pomocą zbioru lub przedziłu, co przedstwimy n przykłdch. Przykłd. Złóżmy, że do dziedziny nleżą liczby: -,,,, 0, do zbioru wrtości nleżą liczby,,, 6,. Mmy tu do czynieni ze zbiormi liczb. Dziedzinę możemy zpisć n kilk sposobów: {,,, 0} {,,, 0} {,,, 0} X, D, Df, Zbiór wrtości możemy zpisć: Y ZW Zf {,,, 6, } {,,, 6, } {,,, 6, } Njwżniejsze sposoby prezentcji funkcji Grf Sposób znny już z podstwówki, stosowny tylko dl funkcji, których dziedziną i zbiorem wrtości są skończone zbiory liczb. Przykłd: Kompendium do pobrni n stronie: Przykłd. Złóżmy, że do dziedziny nleżą liczby z zkresu od liczby - do nieskończoności (łącznie z -), do zbioru wrtości liczby z zkresu od do (włącznie z liczbą, le bez liczby ). Mmy tu do czynieni z przedziłmi liczb. Dziedzinę możemy zpisć: x, ) X, ) D, ) Df, ) Zbiór wrtości możemy zpisć: y (, Y (, ZW (, Zf (, Wykres Przykłd: Tbel Tk jk w przypdku grfu, tym sposobem możemy przedstwić tylko te funkcje, których dziedziną i zbiorem wrtości są skończone zbiory liczb. Tbeli używmy często dl funkcji, które nie spełniją tego wrunku, le jest to funkcj zledwie pomocnicz (w tbeli zpisujemy współrzędne punktów, które obliczmy, by nrysowć wykres funkcji). Przykłd: Wzór Zdecydown większość funkcji z jkimi mmy do czynieni, jest przedstwion w postci wzoru. Wzór funkcji może być przedstwiony n dw sposoby, w zleżności od tego, jki symbol wykorzystmy do oznczeni wrtości funkcji: y czy f(x). Przykłd: Funkcję o wzorze: x+, możemy zpisć: y x + ; f(x) x + 7

19 7. Określnie dziedziny n podstwie wzoru Jeżeli dziedzin nie jest z góry ogrniczon do zbioru lub przedziłu, musimy smi stwierdzić czy nleży do zbioru liczb rzeczywistych (R), czy istnieją we wzorze dziłni, które ją ogrniczją. Dziedzin funkcji będzie ogrniczon w dwóch przypdkch: - gdy we wzorze pojwiją się pierwistki przystego stopni (drugiego, czwrtego ); Poniewż pod pierwistkiem przystego stopni, nie mogą pojwić się liczby ujemne, nleży zpisć, że wyrżenie pod pierwistkiem musi być większe lub równe zero, nstępnie rozwiązć otrzymną nierówność. Przykłd: f(x) x + 8 Wyrżenie pod pierwistkiem (x + 8) powinno być dodtnie, czyli większe lub równe zero. Zpisujemy nierówność: x x 8 x / Wynik nierówności to przedził, który jest dziedziną nszej funkcji. Df, ) - gdy zmienn x pojwi się w minowniku jkiegoś ułmk. Wyrżenie w minowniku musi być różne od zer (poniewż nie możn dzielić przez zero). Zpisujemy więc nietypowe równnie z przekreślonym znkiem równości. Przykłd: x 6 0 x 6 x x f(x) x x 6 / Interpretujemy otrzymny wynik. Ozncz on, że z dziedziny nleży wykluczyć otrzymną liczbę. Df R \ We wzorze funkcji może pojwić się więcej ogrniczeń niż jedno. Kżde ogrniczenie nleży rozptrzyć osobno. Dziedzin będzie częścią wspólną otrzymnych przedziłów i zbiorów. x + 0 x 9 x x 0 x Przykłd: f(x) x x 6 x 0 6 / x 9 x x 6, ) x, ) x R \{ 9} Df 6, )\{ 9} 7. Oblicznie miejsc zerowego ze wzoru funkcji Aby obliczyć miejsce zerowe funkcji nleży podstwić z y wrtość zero i rozwiązć otrzymne równnie. Otrzymn liczb to miejsce zerowe. W zleżności od rodzju funkcji, możemy otrzymć różne rodzje równń, co jest przedstwione w rozdziłch dotyczących poszczególnych typów funkcji. Przedstwimy tu jeden przykłd, dl funkcji liniowej (nstępny rozdził). y x 0 x x / ( ) x Miejsce zerowe funkcji: x Kompendium do pobrni n stronie: Rozwiązniem nierówności są liczby większe lub równe -, dltego dziedzin funkcji, to przedził od - (domknięty) do nieskończoności. Wyrżenie w minowniku (x -6) powinno być różne od zer. Zpisujemy więc równnie z przekreślonym znkiem równości: 0 9 { } Otrzymliśmy liczbę. Dziedziną jest więc zbiór liczb rzeczywistych (R) minus zbiór jednoelementowy, zwierjący liczbę. Część wspóln z dwóch powyższych przedziłów, to przedził od 6 do nieskończoności. Trzecie ogrniczenie, to wykluczenie liczby 9, co zpisujemy obok utworzonego przedziłu (\9). Podstwimy z y, wrtość 0 i rozwiązujemy równnie. 8

20 Kompendium do pobrni n stronie: 7. Odczytywnie włsności funkcji z wykresu Powinniśmy potrfić określić njwżniejsze włsności: dziedzinę funkcji, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności, miejsc zerowe, punkty przecięci z osimi, 6 rgumenty, dl których funkcj jest dodtni/ujemn, 7 rgumenty, dl których funkcj przyjmuje dną wrtość, 8 rgumenty, dl których funkcj spełni dną nierówność, 9 sprwdzić czy dny punkt nleży do wykresu funkcji, 0 minimum i mksimum. Określnie wymienionych włsności przedstwimy n przykłdzie zmieszczonym po prwej. Dziedziną funkcji jest przedził lub przedziły w jkich rozciąg się wykres wzdłuż osi 0X: Dziedzin dl rozptrywnego przykłdu, to dw przedziły: od -8 do - orz od - do 0. O ksztłcie nwisu decydują kropki n końcch frgmentów wykresu. D 8, ), 0) Zbiór wrtości stnowi przedził lub przedziły, w jkich rozciąg się wykres wzdłuż osi OY: Zbiór wrtości to jeden przedził. N wykresie widć, że zbiór wrtości to zkres od -6 do. ZW ( 6, Przedziły monotoniczności - zpisujemy przedziły, w których funkcj jest mlejąc (jej wykres ptrząc od lewej do prwej idzie w dół), rosnąc (wykres idzie w górę) i stł (wykres jest poziomy). Nwisy dl rgumentów grnicznych, w których funkcj zmieni swoją monotoniczność są trójkątne: Zpisujemy przedziły, w których funkcj jest mlejąc. Tm gdzie n wykresie kropk jest zkolorown (przy -8), nwis jest trójkątny, tm gdzie jest pust (- orz 0), nwis jest okrągły, tm gdzie funkcj zmieni swoją monotoniczność (), nwis jest trójkątny. f (x) w przedziłch 8, ) i, 0) Zpisujemy przedził, w którym funkcj jest rosnąc. Przy liczbie - nwis jest trójkątny, bo kropk jest zkolorown. Przy liczbie, nwis też jest trójkątny, bo jest to punkt, w którym funkcj zmieni swoją monotoniczność. f(x) w przedzile, Zpisujemy przedził, w którym funkcj jest stł. Przy obu liczbch ( orz ) nwis jest trójkątny, bo są to punkty, w których funkcj zmieni swoją monotoniczność. f (x) w przedzile, Miejsce zerowe to rgument (x), dl którego wrtość (y) wynosi zero. Określenie miejsc zerowego, sprowdz się do odczytni rgumentów (x) w punktch, w których wykres przecin oś odciętych (oś 0X). Tu mmy dw miejsc zerowe: x x 7 Punkty przecięci z osimi - osobno zpisujemy punkty przecięci z osią 0X i punkt przecięci z osią 0Y (zwsze jest tylko jeden).punkty przecięci z osią 0X znjdują się w miejscch zerowych, opisnych w poprzednim podpunkcie. Punkt przecięci z osią 0Y znjduje się w miejscu, w którym wykres przecin oś 0Y. Punkty przecięci z osią 0X: (, 0); (7, 0) Punkt przecięci z osią 0Y: ( 0, ) 6 Argumenty dl których funkcj jest dodtni/ujemn Argumenty dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie: f(x) > 0 Są to przedziły rgumentów (x), tych części wykresu, które znjdują się nd osią 0X. Nwisy przy punktch leżących n osi 0X, będą okrągłe, poniewż w tych punktch wrtość funkcji wynosi zero, chodzi nm o wrtości dodtnie (wyłącznie większe od zer). Przy liczbie -8 nwis jest trójkątny, poniewż kropk jest zkolorown. Przy liczbie -, nwis jest okrągły, poniewż kropk jest pust. Przy liczbch orz 7 nwisy są okrągłe, poniewż są to rgumenty punktów, leżących n osi 0X. f(x) > 0 dl x 8, ) (, 7) Argumenty dl których funkcj przyjmuje wrtości ujemne: f(x) < 0 Są to przedziły rgumentów (x), tych części wykresu, które znjdują się pod osią 0X. f(x) < 0 dl x, ) ( 7, 0) 9

21 Kompendium do pobrni n stronie: 7 Argumenty dl których funkcj przyjmuje dną wrtość. W zleżności od podnej wrtości, rozwiąznie może być: jednym rgumentem, kilkom rgumentmi, przedziłem rgumentów, jk również może się okzć, że dl dnej wrtości nie m rozwiązń. Zilustrujemy to n czterech przykłdch: f (x), f(x), f(x), f(x) 6 Odczytujemy z wykresu rgumenty (x), dl których wrtości (y) są równe dnej liczbie. Możn sobie to ułtwić przykłdjąc poziomo linijkę n dnej wysokości (czyli dl dnej wrtości). Dl wrtości - istnieje jeden punkt n wykresie o rgumencie 8,. f (x) dl x 9, Dl wrtości - istnieją dw punkty n wykresie, o rgumentch 0 orz 8. Rozwiązniem jest więc dwuelementowy zbiór liczb. f(x) f(x) dl x dl x, { 0; 8} Dl wrtości istnieje przedził rgumentów (od do ) łącznie z tymi wrtościmi grnicznymi (dltego nwisy są trójkątne) orz dodtkowo rgument -7,. Rozwiązniem jest więc sum przedziłu i jednoelementowego zbioru. f (x) 6 Brk rgumentów { 7,} N wykresie nie m żdnego punktu o wrtości 6, dltego piszemy: brk rgumentów. 8 Argumenty dl których funkcj spełni dną nierówność. Postępujemy podobnie jk w wypdku określni rgumentów, dl których funkcj jest dodtni lub ujemn. Punktem odniesieni nie jest już jednk oś 0X, le poziom prost znjdując się n wysokości zgodnej z wrtością podną w nierówności. Nleży zwrócić pondto uwgę n znk nierówności. Co mmy n myśli, przedstwimy porównując dwie brdzo podobne nierówności: f(x) <, f(x) Pomocniczo możemy nrysowć poziomą prostą n wysokości - lub przyłożyć w tym miejscu linijkę. Nwisy dl punktów, przy których są kropki (- orz 0), są zwsze zgodne z tym, czy są one zkolorowne lub nie. W przypdku rgumentów grnicznych (0 orz 8), nwis zleżny jest od znku nierówności. Dl znku mniejsze nwisy są okrągłe, dl mniejsze lub równe nwisy są trójkątne. f(x) < f(x) dl x dl x, 0, 0 ) ( 8, 0) 8, 0) 9 Sprwdzenie czy dny punkt nleży do wykresu funkcji. Wystrczy odnleźć dny punkt w ukłdzie współrzędnych i określić czy leży n linich wykresu, czy nie. Przykłdy: Punkty: A(-, ), B(6, ) Punkt A nie nleży do wykresu funkcji. Punkt B nleży do wykresu funkcji. 0 Minimum i mksimum. Minimlną wrtość funkcji oznczmy njczęściej: f(x) min lub y min. Mksymlną wrtości oznczmy: f(x) mx lub y mx. Wrtość mksymln to wrtość (y) njwyżej leżącego punktu wykresu, minimln punktu leżącego njniżej. Dodtkowo, oprócz smej wrtości wypd podć rgument (x) lub przedził rgumentów, dl odczytnej wrtości. Jeżeli mksimum lub minimum funkcji wypd w punkcie, w którym znjduje się pust kropk, minimum lub mksimum nie istnieje. W njniżej położonym punkcie wykresu znjduje się pust kropk. Dltego brk minimum funkcji. Minimum funkcji: brk. Njwyżej położony punkt wykresu m wrtość dl rgumentu (x) równego -8. Mksimum funkcji: f(x) mx dl x Symetri punktu w ukłdzie współrzędnych - względem osi 0X - współrzędn y zmieni znk n przeciwny ( x się nie zmieni). - względem osi 0Y - współrzędn x zmieni znk n przeciwny ( y się nie zmieni). - względem początku ukłdu, czyli punktu (0,0) - obie współrzędne punktu zmieniją znk. Przykłd: A (-, ). - względem osi 0X: A (-, -) - względem osi 0Y: A (, ) - względem początku ukłdu, czyli punktu (0,0): A (, -) 0

22 Kompendium do pobrni n stronie: 7.7 Trnsformcje wykresu funkcji Rodzje trnsformcji: przesunięcie o wektor, symetri względem osi 0X, symetri względem osi 0Y, symetri względem początku ukłdu współrzędnych. Niezleżnie od rodzju trnsformcji, który mmy wykonć, skupimy się n punktch kluczowych dl dnego wykresu (punkty zgięci, końce funkcji). Posłużymy się przykłdowym wykresem. Kluczowe punkty są n nim zznczone w niebieskich kółkch. W trkcie kżdej trnsformcji przenosimy tylko punkty kluczowe, które nstępnie łączymy linimi. Przesunięcie o wektor Przesuwmy wszystkie punkty kluczowe o podne wrtości w poziomie i pionie, nstępnie je łączymy. Przykłd: Przesuniemy podny wykres funkcji o wektor :[-, ]. Kżdy punkt musimy przesunąć o jednostki w lewo (bo współrzędn x wynosi -) i o jednostek w górę (bo współrzędn y wynosi ). Symetri względem osi 0X - f(x) Mjąc do czynieni z podejściem grficznym, punkt symetryczny do dnego względem jednej z osi ukłdu, znjduje się dokłdnie po drugiej stronie osi (jk lustrzne odbicie). Przenosimy więc wszystkie kluczowe punkty n drugą stronę osi 0X. Symetri względem osi 0Y f(-x) Wygląd tk smo jk symetri względem osi 0X, z tą różnicą, że dne punkty przenosimy n drugą stronę osi 0Y. Symetri względem początku ukłdu współrzędnych - f(-x) Punkt symetryczny do dnego względem początku ukłdu znjdziemy, rysując prostą (lub przykłdjąc linijkę), przechodzącą przez dny punkt i początek ukłdu współrzędnych. Punkt symetryczny będzie znjdowł się n tej prostej, po drugiej stronie, w tkiej smej odległości od początku ukłdu jk dny punkt.

23 Kompendium do pobrni n stronie: 7.8 Rysownie funkcji w postci f(x ) + b To podejście jest wykorzystywne, gdy mmy wykres funkcji f(x), nstępnie poprzez jej przesunięcie w ukłdzie współrzędnych, chcemy otrzymć wykres f(x ) +b. W rzeczywistości przeksztłcenie, które mmy wykonć to przesunięcie funkcji f(x) o wektor: [, b]. Przykłd: Nrysujemy wykres funkcji: g(x) f(x + ). Nrysownie wykresu funkcji g(x), sprowdz się do przesunięci wykresu funkcji f(x) o wektor: [-, -], czyli o w lewo i w dół. UWAGA: pierwszą współrzędną zpisujemy z przeciwnym znkiem! We wzorze mmy zpisne: +, dltego pierwsz współrzędn będzie wynosić GEOMETRIA ANALITYCZNA (f. liniow, równnie okręgu) 8. Postci funkcji liniowej WZORY z tblic mtemtycznych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Postć ogóln: Ax + By + C 0 Postć kierunkow: y x + b We wzorch: A, B, C,, b to współczynniki liczbowe. Pondto nzywmy współczynnikiem kierunkowym. Przykłd: postć ogóln x - y + 0; postć kierunkow: y -x + 6 Zmin jednej postci n drugą: postć ogóln postć kierunkow Przenosimy n prwo wyrżenie z x orz liczbę. Gdy przed y znjduje się jkś liczb, nleży jeszcze otrzymne równnie podzielić przez tę liczbę. Przykłd: 6x + y Przenosimy wyrżenie z x orz liczbę n prwo (pmiętjmy o zminie znku). Dzielimy przez. y 6x 0 y x / postć kierunkow postć ogóln Przenosimy wszystkie wyrżeni n lewą stronę i zpisujemy w określonej kolejności wymgnej dl postci ogólnej (wyrżenie z x wyrżenie z y liczb). Przykłd: x + y 6 0 y x + 6 Przenosimy wyrżeni -x orz 6 n lewo (pmiętjmy o zminie znków). Po prwej nie zostnie nic, więc zpisujemy zero.

24 Kompendium do pobrni n stronie: 8. Wykres i włsności funkcji liniowej Wykres Wykresem funkcji liniowej jest prost. Szczególnym przypdkiem funkcji liniowej jest funkcj w postci: y x (współczynnik b wynosi 0), której wykres zwsze przechodzi przez początek ukłdu współrzędnych punkt (0,0). Aby nrysowć wykres funkcji liniowej, potrzebujemy trzech punktów, oblicznych ze wzoru. Zznczmy je w ukłdzie współrzędnych i łączymy prostą. Przykłd: y -x + Wybiermy smi rgumenty (x), njlepiej jk njmniejsze (0,,). x 0 y 0 Podstwimy kolejno wybrne przez ns rgumenty (,, ) do wzoru i obliczmy wrtości (y): y -x + y - 0+ y - + y - +0 Włsności (określne n podstwie wzoru) I. Monotoniczność określmy z pomocą współczynnik kierunkowego funkcji (). - Gdy współczynnik kierunkowy - Gdy współczynnik kierunkowy - Gdy współczynnik kierunkowy () jest dodtni ( > 0), funkcj () jest ujemny ( < 0), funkcj () wynosi 0, funkcj jest stł. jest rosnąc. jest mlejąc. Przykłd: y Przykłd: y x - Przykłd: y -x+ II. Miejsce zerowe by obliczyć miejsce zerowe, z y podstwimy zero, co przedstwiliśmy już n przykłdzie funkcji liniowej w podrozdzile 7.. III. Punkty przecięci z osimi Mjąc do dyspozycji wzór funkcji, szukmy: - punktu przecięci z osią 0X - podstwijąc z y wrtość 0 i z tk powstłego równni liczymy x (tk jk miejsce zerowe, bo grficznie miejsce zerowe jest w punkcie przecięci z osią x). Przykłd: y x + 0 x + x Punkt przecięci z osią x m więc współrzędne: (-,0). x - punktu przecięci z osią 0Y podstwimy z x wrtość 0 i liczymy z powstłego równni y. Przykłd: y x + y 0 + Punkt przecięci z osią y m więc współrzędne: (0,). IV. Sprwdzenie czy dny punkt nleży do wykresu funkcji. Aby sprwdzić czy dny punkt nleży do wykresu funkcji, nleży podstwić jego współrzędne do wzoru. Jeżeli lew stron okże się równ prwej, to dny punkt nleży do wykresu funkcji. Przykłd: Sprwdzimy czy punkty: A (,); B (-,) nleżą do wykresu funkcji: y x- ( ) 7 L P L P Punkt A nleży do wykresu funkcji, punkt B nie nleży.