INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

Transkrypt

1 INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj wynik z dużej ilości czynności/dziłń do wykonni. PAMIETAJ, że z większość obliczeń dostjesz poszczególne punkty, dltego też nleży zpisywć krok po kroku swój tok myśleni, podczs rozwiązywni zdni. Do zdń wysoko punktownych nleży podejść stopniowo, powoli rozwiązując kżdy etp. Często, by uzyskć ostteczny wynik, o który proszą w poleceniu zdni, nleży wykonć kilk etpów wcześniej, by te zbliżyły ns to uzyskni osttecznego wyniku. Rozwiązywnie zdń wysoko punktownych njlepiej pokzć n przykłdzie. *** Zdnie *** W ostrosłupie prwidłowym czworokątnym kąt między jego wysokością ściną boczną m mirę 45ᵒ. Oblicz sumę długości wszystkich jego krwędzi wiedząc że objętość tej bryły wynosi 4,5 j 3. *** ETAP I: Po przeczytniu poleceni, określmy jkiego dziłu dotyczy dne zdnie, tk by móc skoncentrowć się n poszczególnych rzeczch. Mjąc zdnie dotyczące brył wiemy, że zdnie to pochodzi z dziłu stereometri. Odp. STEREOMETRIA. ETAP II: W ostrosłupie prwidłowym czworokątnym Anlizujemy z jką bryłą mmy do czynieni. W tym wypdku jest to ostrosłup prwidłowy czworokątny. Wrto zstnowić się, jk dokłdnie będzie t brył wyglądł orz jką figurę będzie mił w podstwie. Wrto podkreślić, że nzewnictwo brył pochodzi od ich podstwy. W tym wypdku mmy zwrot ostrosłup prwidłowy czworokątny. Słowo prwidłowy ozncz, że w podstwie mmy figurę foremną, skoro jest to czworokąt, to

2 jedynym czworokątem foremnym jest KWADRAT. Wiemy już dokłdnie, jk wygląd t brył, możemy zcząć ją rysowć: Rysując bryłę/figurę przestrzenną, nleży nrysowć ją w perspektywie. N tym rysunku nie m w podstwie dokłdnego kwdrtu, czkolwiek odpowiednimi oznczenimi boków literą np., zznczmy, że wszystkie krwędzie w podstwie są równej długości. ETAP III: kąt między jego wysokością ściną boczną m mirę 45ᵒ. ( ) Kolejnym etpem w zdniu jest oznczenie dnych, podnych w poleceniu. W tej sytucji mmy podne, że kąt między ściną boczną (czyli płszczyzną ściny bocznej) wysokością tego ostrosłup m mirę 45ᵒ. Zznczmy tą informcję n rysunku, co pozwoli nm n dlsze rozwiązywnie tego zdni. 45ᵒ Zznczmy n rysunku wysokość ostrosłup (H), orz płszczyznę ściny bocznej (wysokość ściny bocznej h ). Wrto pmiętć, by zznczyć to w tki sposób by rysunek widzieć z profilu H h ETAP IV: W sytucji, gdy zznczyliśmy n nszym rysunku, podne w zdniu informcje możemy zcząć dopisywć pewne informcje od siebie. Informcje te będą nm rozjśniły kolejne etpy prcy. W powyższej sytucji widzimy, że od siebie możemy: Nrysowć n podstwie ostrosłup prostą, któr zmknie nm trójkąt skłdjący się z wysokości ostrosłup H i wysokości ściny bocznej h. W ten sposób powstnie nm trójkąt prostokątny. Mjąc powstły w ten sposób trójkąt prostokątny możemy uzupełnić w nim brkujące miry kątów. Sum mir kątów w trójkącie wynosi 80ᵒ, skoro jeden z kątów m 45ᵒ,

3 drugi jest kątem prostym 90ᵒ, to obliczenie miry kąt trzeciego jest prostą czynnością i wygląd nstępująco: 80ᵒ - (45ᵒ + 90ᵒ) = 45ᵒ W ten sposób otrzymliśmy brdzo chrkterystyczny trójkąt 45ᵒ, 45ᵒ, 90ᵒ, czyli trójkąt prostokątny równormienny (wnioskujemy to po mirch któw). ETAP V: ( ) Oblicz sumę długości wszystkich jego krwędzi, wiedząc że objętość tej bryły wynosi 4,5 j 3. N tym etpie zdni, zstnwimy się, co tk nprwdę musimy zrobić. Stworzyliśmy sobie dobrą bzę do prcy nd rozwiązniem zdnego problemu. Według poleceni nleży: obliczyć sumę długości wszystkich krwędzi tego ostrosłup. Tk więc nleży obliczyć: - długość krwędzi bocznej b (4 tkie sme krwędzie) - długość krwędzi postwy (4 tkie sme krwędzie) Obliczyć ich sumę Aby obliczyć przynjmniej jedną z powyższych rzeczy, powinniśmy wykorzystć informcje podne w zdniu: objętość = 4,5 3, orz to, że mmy do czynieni z trójkątem prostokątnym równormiennym. Informcję o objętości zpisujemy jko pierwszą dną: WAŻNE!!! Obj. = 4,5 j 3 Zwsze, gdy w poleceniu podny jest gotowy wynik, zstnówmy się i odpowiedzi sobie n pytnie: JAK ONI TO OBLICZYLI?

4 Objętość policzyli z nstępującego wzoru: Obj. = Pp x H Pp x H = 4,5 3 Pp = ntomist H =? Ztem, jk obliczyć H? zwróćmy uwgę n to, że mmy również trójkąt prostokątny równormienny, którego nie wykorzystliśmy. To jest dobry moment, by z niego skorzystć: 3 H 45ᵒ h 45ᵒ Jest to połow krwędzi podstwy, poniewż wysokość ostrosłup prwidłowego czworokątnego spd dokłdnie w połowie podstwy. Widząc powyższy rysunek, jesteśmy w stnie zuwżyć, że wysokość ostrosłup H jest równ tyle smo co, poniewż jest to trójkąt równormienny (wnioskujemy to po mirch kątów). Ztem otrzymujemy równość H =, więc pod H do wzoru n objętość podstwimy. Pp x H = 4,5 3 3 x H = 4,5 3 x = 4,5 ETAP VI: Z trzeciego wzoru, w którym występuje już tylko literk jko niewidom, możemy ją wyliczyć (liczymy jk zwykłe równnie z jedną niewidomą). W ten sposób uzyskmy część odpowiedzi, czyli długość krwędzi podstwy: 3 x = 4,5 /mnożymy lewą stronę ułmków 6 3 = 4,5 / 6 3 = 7 3 / = 3

5 Mjąc już wyliczoną długość krwędzi podstwy, możemy przystąpić do liczeni długości krwędzi bocznej. Poptrzmy ponownie n nsz rysunek: Z tego rysunku wynik, że by obliczyć długość krwędzi bocznej nleży znleźć kolejny trójkąt prostokątny i zstosowć twierdzenie Pitgors. Trójkąt ten zostł oznczony grubą czrną kreską i stnowi połowę ściny bocznej. Otrzymujemy ztem nstępujący trójkąt prostokątny: h Krwędź boczn b =,5, bo = 3 Aby obliczyć krwędź boczną b, potrzebujemy długości boku h, poniewż jej nie mmy, będzie potrzebn do zstosowni twierdzeni Pitgors. Krwędź h możemy obliczyć z poprzedniego trójkąt prostokątnego równormiennego. Obliczmy długość krwędzi h z zstosowniem twierdzeni Pitgors h =,5 +,5 H = =,5 h =,5 +,5 h = 4,5 / =,5 h =,5 Mjąc obliczoną długość krwędzi h możemy ją podstwić do trójkąt prostokątnego stnowiącego połowę ściny bocznej (trójkąt zznczony grubymi krwędzimi). W ten sposób obliczymy długość krwędzi bocznej b. Obliczmy długość krwędzi b z zstosowniem twierdzeni Pitgors h =,5 Krwędź boczn b b = (,5 ) +,5 b = 4,5 +,5 =,5, bo = 3 b = 6,75 / b =,5 3

6 ETAP VII: N tym etpie możemy wykonć ostteczne polecenie, czyli obliczyć sumę długości wszystkich krwędzi tego ostrosłup. Wiemy, że długość krwędzi podstwy wynosi 3 j, ntomist z obliczeń wyszło, że długość krwędzi bocznej b wynosi,5 3 j. w tkim rzie możemy zcząć liczyć sumę ich długości w nstępujący sposób: b = 4 3 [j.] + 4,5 3 [j.] = [j.] Odp. Sum długości wszystkich krwędzi ostrosłup prwidłowego czworokątnego, którego objętość wynosi 4,5 j 3 wynosi [j.]. Oprcowł: Mgr Ktrzyn Jrosz