Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka"

Transkrypt

1 Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich lekcyjnych wpisnych w zkres podstwowy, jk też w rmch dodtkowych zjęć poszerzjących wiedzę uczniów, np. koł zinteresowń. Scenriusze wymgją zstosowni komputerów z dostępem do internetu. Tkie wyposżenie pozwoli n wykorzystnie środków dydktycznych przewidzinych w projekcie Nuki ścisłe priorytetem społeczeństw oprtego n wiedzy tkich jk moduły e-lerningowe: Elementy sttystyki i rchunek prwdopodobieństw, Funkcj kwdrtow, Równni i nierówności liniowe i kwdrtowe, Wielominy, gry strtegiczne Wyprw Nsreddin, Herbtk u królowej Anglii, Wyprw n grzyby, Mtemfi orz Międzykontynentln szkoł, pordniki Ciągi, Plnimetri, Trygonometri, Geometri nlityczn. Scenriusze mogą być relizowne n zjęcich lekcyjnych jko cłość lub nuczyciel dokonuje wyboru określonych mteriłów zgodnie z zplnownymi przez siebie temtmi zwiększ to elstyczność stosowni pkietu np. w sytucji brku zpewnieni w plcówce odpowiednich wrunków technicznych do relizcji mteriłu w oprciu o cły pkiet.

2 Stron Spis scenriuszy Wstęp... Scenriusz nr : Liczby rzeczywiste... Scenriusz nr : Pierwistki. Prw dziłń n pierwistkch Scenriusz nr : Potęgi o wykłdnikch wymiernych. Prw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych Scenriusz nr 4: Logrytm liczby rzeczywistej. Logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym Scenriusz nr 5: Przybliżenie i zokrąglenie liczby rzeczywistej. Błąd przybliżeni.... Scenriusz nr 6: Zbiory liczbowe. Przedziły liczbowe i dziłni n nich Scenriusz nr 7: Wyrżeni rytmetyczne i ich wrtości liczbowe... 9 Scenriusz nr 8: Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Scenriusz nr 9: Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu Scenriusz nr 0: Procenty i punkty procentowe... 5 Scenriusz nr : Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn... 56

3 Stron Scenriusz nr : Liczby rzeczywiste Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Liczby rzeczywiste 90 min Treść zjęć Cel ogólny Ksztłcenie smodzielności prcy Rozwijnie umiejętności czytni ze zrozumieniem Ćwiczenie umiejętności wykonywni dziłń n liczbch rzeczywistych Cele szczegółowe Uczeń: oblicz potęgi o wykłdnikch nturlnych, cłkowitych i wymiernych; potrfi wykonywć dziłni n potęgch; potrfi obliczć pierwistki; zn dziłni n pierwistkch i potrfi je zstosowć; posługuje się pojęciem wrtości bezwzględnej i potrfi określić wrtość bezwzględną liczby; posługuje się pojęciem procentu, potrfi wyznczyć procent z liczby, oblicz liczbę gdy dny jest jej procent orz wyzncz procent; Formy i metody Prc w grupie 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków Lekcj jest prowdzon z wykorzystniem zdń z I i II poziomu gry Wyprw Nsreddin, które zostją przedstwione n tblicy interktywnej.

4 Stron 4 oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Wyjśnienie uczniom, że wszystkie zdni są zmknięte i w kżdym dokłdnie jedn odpowiedź jest poprwn. Wszystkim uczniom udostępnione będą tblice wzorów mtemtycznych, z których uczniowie mogą korzystć w czsie egzminu mturlnego z mtemtyki. DZIAŁANIA NA POTĘGACH Zdnie. Przedstw liczbę ( : ) 4 w postci potęgi liczby : A. 5 B. 9 C. D. Zdnie. Przedstw liczbę 8 : 4,5 w postci potęgi liczby : A. B. 4 C. D. 4 Zdnie. Liczb jest równ: A. 4 Zdnie 4. Liczb 4 9 jest równ: 4 A. B. 4 C. B. C D. 64 D. 7 Zdnie 5. Czwrt część liczby 4 98, to: A. 98 B C D. 99

5 Stron 5 PIERWIASTKI I DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH Zdnie 6. Liczbą wymierną jest: A. B. 7 C. 9 4 D Zdnie 7. Liczb jest równ: A. 9 B. 5 7 C. 7 5 D. 5 4 Zdnie 8. Jeżeli = 5 5 i b = 4 7, to: 8 7 A. = b B. < b C. i b są liczbmi niewymiernymi D. > b Zdnie 9. Ile liczb niewymiernych znjduje się w zbiorze liczb:, A. Jedn B. dwie C. trzy D. cztery Zdnie 0. Liczb 8 4 jest równ: A. 7 B. 7 C. 7 D. 7 LOGARYTMY Zdnie. Liczb log (log0 + log50) jest równ: A. 50 B. log 000 C. D. 0 Zdnie. Wrtość wyrżeni: log 5 + log 5 jest równ:, 75, 7 49, 5 5 :

6 Stron 6 A. log 5 4 B. log 5 4 C. log 5 6 D. log 5 Zdnie. Jeżeli x = log 8 4, to x wynosi: A. 64 B. C. 8 D. 5 Zdnie 4. Jeżeli x = log 7, y = log 7 7 7log 7 A. x < y < z B. z < x < y C. y < x < z D. z < y < x Zdnie 5. Przyjmij, że log 0,5 i log Wtedy liczb log 4 jest równ: 7 A. 0,7 B. 9,7 C. log 0,9 D. log8 log7 LICZBY NIEWYMIERNE Zdnie 6. Liczb 5 5 A. + 5 Zdnie 7. jest równ: B. C. + 5 D. Liczb jest: A. mniejsz od B. większ od C. wymiern D. niewymiern Zdnie 8. Liczb 5 A. odwrotnością liczby + 5 B. równ 5 + C. mniejsz od 5 D. równ 5

7 Stron 7 Zdnie 9. Liczb 6 to: A. 8 B. 6 C. 8 D. 6 6 Zdnie 0. Liczb jest równ: A. 0 B. 80 C. 00 D. 0 WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Zdnie. Liczb, (4) jest równ: A., (4) B., (4) + C., (4) + D., (4) Zdnie. Liczb 5 5 jest równ: A. + 5 B. - C. D. + 5 Zdnie. Liczb + + jest równ: A. B. C. D. Zdnie 4. Wrtość bezwzględn liczby 5+ 7 A. 7 5 Zdnie 5. B. 5 7 C D Liczb , to: A B. 8 7 C D

8 Stron 8 PROCENTY Zdnie 6. Liczb y to 50% liczby x. Wynik stąd, że: A. y = x + 0,5 B. y = x + 0,5x C. : x = y 0,5 D. : x = y 0,5y Zdnie 7. Liczb stnowi 40% liczby b. Wówczs: A. = b 0,6 B. b =,5 C. = b 0,4b D. b =,8 Zdnie 8. % liczby x = , to liczb: A.,6 B.,4 C. 55 D.,05 Zdnie 9. 8% liczby x = , , to liczb: A.,875 B.,75 C.,4 D. 0,4 Zdnie 0. 5% liczby x = 4 4 0,8, to liczb: 5 64 A. B. 9,8 C. D. 0, 5 OBLICZANIE PROCENTU Zdnie. Liczb (0,75) +(,5) stnowi x procent liczby,8. Wtedy: A. x = 400% B. x = 5% C. x = 75% D. x > 80% Zdnie. Cenę pewnego towru obniżono o 0%. O jki procent nleżłoby podwyższyć nową cenę, by towr kosztowł tyle smo co przed obniżką. A. 0% B. 5% C. 0% D. więcej niż 0%

9 Stron 9 Zdnie. W tbeli przedstwiono liczbę chłopców w 400 rodzinch mjących po troje dzieci. Liczb chłopców 0 Liczb rodzin Jki procent bdnych rodzin m wszystkie dzieci tej smej płci? A. 8,5% B.,75% C. 80% D. 0% Zdnie 4. Cen brutto komputer jest równ cenie netto plus % podtku VAT. Cen netto wynosi 500 zł. Jki procent ceny brutto stnowi podtek VAT? A. % B. 4% C. ok. 9% D. 77% Zdnie 5. Liczb 4 + 0,4 stnowi x procent liczby 8. Wtedy x wynosi: 4 5 A. 75% B. 5% C. % D. % OBLICZANIE LICZBY, GDY DANY JEST JEJ PROCENT Zdnie 6. Wskż liczbę, której 4% to liczb 8: A., B. C. 00 D. 00 Zdnie 7. Pn Artur i pn Mrcin kupili do spółki kosirkę do trwy. Pn Artur pokrył 55% kosztów zkupu. Pn Mrcin zpłcił 4,0 zł, więc kosirk kosztowł: A. 6 zł B. 5,8 zł C. 55,8 zł D. 50 zł Zdnie 8. Liczb, której 0,% wynosi, to: 5 A. 70 B. 0,08 C. 0,008 D. 700

10 Stron 0 Zdnie 9. Liczb, której 8% wynosi 5, to liczb: A. 400 B. 655,6 C D. 65,5 Zdnie 40. Liczb, której 5% jest równe, (0,9), to: 5 0, A. B. 48 C. D. 4 O ILE PROCENT WIĘCEJ, O ILE PROCENT MNIEJ? Zdnie 4. Cenę pewnego towru obniżono njpierw o 0%, nstępnie jeszcze o 0%. Ztem obniżk wyniosł: A. 50% B. 60% C. 56% D. 44% Zdnie 4. Wśród 00 psżerów Titnic, którzy płynęli r. do Nowego Jorku byli psżerowie I, II i III klsy orz złog. Digrm kołowy pokzuje procentowy skłd osobowy Titnic (z dokłdnością do %). O ile procent liczb podróżujących III klsą był większ od liczby członków złogi? % % 40% 5% psżźerowie I klsy psżerowie II klsy psżerowie III klsy złog A. 8% B. 5% C. 7% D. 5% Zdnie 4. W klsie jest 5 uczniów, w tym 5 dziewcząt. O ile procent więcej jest chłopców niż dziewcząt w tej

11 Stron klsie? A. o 5% B. około % C. około % D. około 57% Zdnie 44. Rd Polityki Pieniężnej podwyższył stopy procentowe z 8% n 9,5%. O ile procent wzrosł stop procentow? A. 8,75% B.,5% C. 84% D. 6% Zdnie 45. Cenę pewnego towru zwiększono o 0%. W nstępnym tygodniu obniżono ją o 0%, w kolejnym tygodniu obniżono o 0%. Ile wynosił cen początkow, jeżeli osttecznie wyniosł 058,40 zł? A. 400 zł B. 008 zł C. 500 zł D. 85 zł ZADANIA DOTYCZĄCE STĘŻEŃ PROCENTOWYCH Zdnie 46. Ile kilogrmów wody nleży odprowć z 5 kg roztworu % solnki, by otrzymć roztwór 6%? A. 8,75 kg B. 6, 5 kg C. 4 kg D. 5 kg Zdnie 47. Zmieszno kg stopu o zwrtości 5% miedzi z kg stopu o zwrtości miedzi 40%. W powstłym stopie znjduje się miedzi: A. 65% B.,5% C. 4% D. 7% Zdnie 48. Stężenie pewnego roztworu wodnego soli wynosi 5%. Ile kilogrmów czystej wody nleży dolć do 40 kg tego roztworu, by stężenie w otrzymnej mieszninie wynosiło %? A. kg B. 8 kg C. 00 kg D. 60 kg Zdnie 49. Ile soli nleży dosypć do 4 kg solnki dwuprocentowej, by otrzymć solnkę czteroprocentową? A. 0, kg B. 0,4 kg C. 0,5 kg D. 0,6 kg

12 Stron Zdnie 50. Z solnki 6% odprowno kg wody i otrzymno solnkę 8%. N początku był nstępując ilość solnki: A. 6 kg B. 8 kg C. 0 kg D. kg 7 Podsumownie zjęć Omówienie njczęściej występujących problemów i zgdnień sprwijących njwiększe trudności. 8 Uwgi metodyczne do relizcji

13 Stron Złączniki do scenriusz nr Zbiór testów do wydruku zl_liczby_rzeczywiste_scenriusz_nr

14 Stron 4 Scenriusz nr : Pierwistki. Prw dziłń n pierwistkch. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Pierwistki. Prw dziłń n pierwistkch. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących pojęci pierwistk rytmetycznego stopni n orz prw dziłń n pierwistkch Ksztłtownie umiejętności selekcjonowni i wykorzystni poznnych włsności dziłń n pierwistkch do rozwiązywni zdń Doskonlenie umiejętności wykonywni dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję pierwistk; zn i umie zstosowć prw dziłń n pierwistkch. Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków Złącznik Liczby rzeczywiste, tblic interktywn, komputer.

15 Stron 5 oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel omwi orgnizcję prcy n lekcji, zjęci przeznczone głównie dl uczniów kls mturlnych. Nuczyciel przypomin i uwrżliwi uczniów n kilk podstwowych zsd podczs rozwiązywni zdń (uwżne przeczytnie poleceni; nliz pojęć mtemtycznych, czy też informcji występujących w zdniu, zplnownie wykonywnych czynności, powołnie się n włściwe prw dziłń n pierwistkch, korzystnie z wzorów mtemtycznych, sprwdznie wyników, przypominnie, że pośpiech nie jest wskzny, dokłdność obliczeń jest brdzo istotn). N tblicy interktywnej wyświetlonych zostje kilk zsd, o których uczeń zwsze powinien pmiętć podczs rozwiązywni zdń: Podczs rozwiązywni zdń pmiętj o kilku podstwowych zsdch:. Przeczytj uwżnie kżde zdnie.. Dokonj nlizy informcji dostrczonych z tekstu.. Zplnuj rozwiąznie zdni. 4. Zpisuj potrzebne obliczeni w zeszycie. 5. Sprwdzj otrzymne wyniki. 6. Nie spiesz się, prcuj powoli i dokłdnie. W dlszej części lekcji uczniowie przypominją prw dziłń n pierwistkch korzystjąc z temtu nr 5 złącznik nr. Jeśli n i m są liczbmi nturlnymi większymi od orz 0 i b 0, to zchodzą nstępujące równości: n n n. b = b n. n =, b 0 n b b

16 Stron 6 m n m n. = n m n 4. ( ) m Nuczyciel n przykłdch ilustruje zstosownie tych prw. Przykłdy: 6 8 = 6 8 = 4 9 = 6 5 : 8 = 5 : 8 = 5 : =,5 ( ) = = 7 6 ( ) = W dlszej części uczniowie wykonują dziłni n pierwistkch, które zmieszczone zostły w przykłdch złącznik nr : Przykłd. Oblicz: = = = = = 0 5 = 0 ( )( ) Przykłd. W trójkącie prostokątnym jedn z przyprostokątnych m długość + 5, przeciwprostokątn m długość 5 +. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąt. Rozwiąznie: Niech x ozncz długość drugiej przyprostokątnej trójkąt. Wówczs z twierdzeni Pitgors w trójkącie prostokątnym o dnych długościch boków zchodzi związek: x + ( + 5) = ( 5 + ). Wyznczjąc x z tego równni mmy: =

17 Stron 7 x x = (9 + 6 =, x > ) x = 4 Odp. Długość drugiej przyprostokątnej jest równ 4. W dlszej części uczniowie rozwiązują smodzielnie zdni zproponowne przez nuczyciel: Zd.. Oblicz wrtość wyrżeni b dl = 5, b = 8 6. Zd.. Wykż, że odwrotnością liczby 0 jest liczb 0. Zd.. Oblicz: ) b) c) Uczniowie (chętni) prezentują n tblicy rozwiązni zdń, wspólnie dyskutujemy nd poprwnością tych rozwiązń. N zkończenie uczniowie rozwiązują jeden z wybrnych przez nuczyciel testów dołączonych do zbioru scenriuszy w złączniku nr. 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel oceni prcę uczniów n lekcji, ich ktywność; zwrc uwgę, by być czujnym i nie popełnić błędów, które zostły zuwżone podczs rozwiązywni zdń. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zdni zproponowne przez nuczyciel uczniowie mogą rozwiązywć indywidulnie lub w prch.

18 Stron 8 Scenriusz nr : Potęgi o wykłdnikch wymiernych. Prw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Potęgi o wykłdnikch wymiernych. Prw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących pojęci potęgi o wykłdniku wymiernym orz prw dziłń n nich. Doskonlenie umiejętności wykonywni dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję potęgi o wykłdniku wymiernym; zn i umie zstosowć prw dziłń n potęgch o wykłdniku wymiernym. Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków Komputer, tblic interktywn, gr Wyprw Nsreddin.

19 Stron 9 oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel n wstępie informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie korzystją z złącznik nr temt nr 4, przypominją część teoretyczną dotyczącą potęg orz nlizują przykłdy zmieszczone w temcie 4: Przypomnijmy podstwowe pojęci związne z potęgą o wykłdniku nturlnym. Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą. 0 Przyjmujemy, że: =, dl 0 = n =... n czynników Liczbę nzywmy podstwą potęgi, n jest wykłdnikiem potęgi. Dl dowolnej liczby różnej od zer orz dowolnej liczny nturlnej n zchodzi: n =. n Ztem rozszerzyliśmy pojęcie potęgi o wykłdniki cłkowite. Potęgę o wykłdniku wymiernym określmy nstępująco: m n m n n m =, dl 0 i m, n N + =, dl > 0 i m, n N n m + W szczególności zchodzi: n n =, dl 0 i m, n N + Prw dziłń n potęgch: Jeśli > 0 i b > 0 orz r, s R, to prwdziwe są nstępujące równości:

20 Stron 0 Nuki ścisłe priorytetem społeczeństw oprtego n wiedzy. s r s r + =. s r s r b = :. ( ) s r s r = 4. ( ) r r r b b = 5. ( ) r r r b b : : A terz kilk przykłdów ilustrujących wykorzystnie opisnych wcześniej pojęć: Uwg: poniższe przykłdy rozwiązne są jednym ze sposobów, co nie ozncz, że jest to tylko ten jeden możliwy! Zchęcm do rdosnej włsnej twórczości w tym zkresie. Przykłd. Oblicz: ( ) ( ) = = = = ) ( = = = = Przykłd. Zpisz wyrżenie w prostszej postci: ( ) ( ) = = = = y x y x y x y x y x y x x y x y x W dlszej części uczniowie rozwiązują zdni zproponowne przez nuczyciel (konieczne obliczeni wykonują n krtkch, nstępnie chętni uczniowie przedstwiją rozwiązni n tblicy interktywnej dyskutując nd poprwnością tych rozwiązń.

21 Stron Zd.. Przedstw liczbę 5 5 ( 5) 5 w postci n, gdzie jest liczbą nturlną. Zd.. Oblicz: Zd Wykż, że liczb jest wielokrotnością liczby 4. N zkończenie uczniowie rozwiązują testy z gry Wyprw Nsreddin n poziomie pierwszym, ćwicząc w ten sposób dziłni w zbiorze liczb rzeczywistych. W przypdku brku dostępu do gry rozwiązują zdni z złącznik do scenriusz. 7 Podsumownie zjęć Nuczycie oceni ktywność uczniów, wspólnie omwimy njczęściej popełnine błędy i usterki podczs rozwiązywni zdń. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zdni zproponowne przez nuczyciel uczniowie mogą rozwiązywć indywidulnie lub w prch.

22 Stron Złączniki do scenriusz nr Zdni:. Liczb jest równ: A. 0,075 B. 0,048 C. 0,75 D. 0,48. Ile liczb wymiernych nleży do zbioru 4 A = 4,4,4,4? A. Jedn B. dwie C. trzy D. cztery. Liczb : jest równ: A. B. C. 0,5 D. 0,5 5 ( ) W = 4 4. Po wykonniu dziłń w wyrżeniu ( ) otrzymmy A. 8 B. 9 C. D. 5. Czwrt cześć liczby 00 4 to: A. 00 B. 98 C D. 0 4

23 Stron 6. Liczbę możn zpisć w postci: A. 4 B. 7. Dne są liczby: = Prwdziw jest zleżność: C. ( ), b = D. i c = ( 4 ) A. < b < c B. c < b < C. b < < c D. b < c < ( 5 ) ( ) 8. Oblicz wrtość wyrżeni 5 :5 : 5 :5 9. Znjdź liczbę odwrotną do liczby ( 0,5 ) Uzsdnij, że liczb 6 0 = 5 jest 5 rzy mniejsz od liczby b = Dne są dwie liczby. Sprwdź, czy liczb 00 x = 9 i x =,5 ( 0,4 5 ) 5 00 y = 5. Sprwdź, któr liczb jest większ. jest liczbą nturlną?. Znjdź liczbę, której 4% jest równe liczbie =

24 Stron 4 4. Oblicz x = ( 7 ) 4. Wyzncz ( x ). 5. Podj njmniejsz liczbę cłkowitą spełnijącą nierówność 6 7 ( 4 ) x < ( 6) + x. 0,5

25 Stron 5 Scenriusz nr 4: Logrytm liczby rzeczywistej. Logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Logrytm liczby rzeczywistej. Logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących pojęci logrytmu liczby dodtniej orz przypomnienie prw dziłń n logrytmch (logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi) Doskonlenie umiejętności wykonywni dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję logrytmu liczby dodtniej; zn i umie zstosowć prw dziłń n logrytmch (logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi). Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym Gr Wyprw Nsreddin, komputer, tblic interktywn.

26 Stron 6 wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie korzystją z gry Wyprw Nsreddin poziom, przypominją pojęcie logrytmu liczby rzeczywistej: Logrytm związny jest z potęgą. Logrytmem liczby dodtniej b przy podstwie nzywmy wykłdnik x potęgi, do której nleży podnieść liczbę, by otrzymć liczbę b: x = b. Zpisujemy: x log b = x = b przy czym podstw jest liczbą dodtnią różną od jedności ( > 0 i ), zś liczb logrytmown b jest dodtni ( b > 0, jk wynik z wcześniejszego określeni). Zpmiętj! Logrytmowć możn tylko liczby dodtnie, podstw jest liczbą dodtnią różną od jedności!!! Logrytmownie jest opercją odwrotną do potęgowni (podobnie jk pierwistkownie) Przykłdy: 5 log = 5 bo = log = bo = 0 log = 0 bo ( ) = Zpmiętj! Dl > 0 i orz b > 0 zchodzą równości:

27 Stron 7 log = bo = np. log = log = 0 0 bo = np. log = 0 log = bo = np. log 6 = 6 b b b 6 log = b bo = np. log = 6 Szczególny logrytm to logrytm dziesiętny (logrytm przy podstwie 0): wówczs zmist log 0 b piszemy log b. Niech > 0 i, x > 0, y > 0, n N +. Wówczs prwdziwe są nstępujące włsności logrytmów:. Logrytm iloczynu log ( x y) = log x + log y Przykłd: log 4 + log = log (4 ) = log = Logrytm ilorzu x log = log x log y y 4 Przykłd: log5 4 log5 0 = log5 = log5 = 0 5. Logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym n log ( b ) = n log b 9 Przykłd: log 4 4 = 9log 4 4 = 9 = 9 Przykłd : Oblicz wrtość wyrżeni = log log9. 7 Rozwiąznie: Obliczmy oddzielnie kżdy czynnik. I tk:

28 Stron 8 log = log = orz 7 x log 9 = x 9 = x Obliczmy wrtość wyrżeni = x =, stąd = x = = ( =, 5 ). Przykłd : Oblicz b, wiedząc, że log = 5 orz log b =. Rozwiąznie: Z dnych informcji njpierw obliczymy- korzystjąc z definicji logrytmu - orz b. 5 log = 5 = log b = b = Ztem mmy: 5 6 b = = = ( ) = = 8 W dlszej części zjęć uczniowie indywidulnie rozwiązują wskzne przez nuczyciel testy dołączone do scenriusz. Stnowią one doskonłe ćwiczenie utrwljące dziłni w zbiorze liczb rzeczywistych. 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel n zkończenie podsumowuje prcę uczniów, omwi wyniki testów. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zjęci przeznczone głównie dl uczniów kls mturlnych.

29 Stron 9 Złączniki do scenriusz nr 4 Zdni. Jeżeli log m =, to A. m = - B. m = C. m = D. m =. Jeżeli log p = i log q =, to liczb p + q jest równ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8. Liczb log 0, + log 0, 5 jest równ A. - B. - C. - D. 4. Liczb log 5 + log 5 nie jest A. niewymiern B. wymiern C. dodtni D. mniejsz od 5 5. Prwdziw jest równość: A. log 6 8 = + log 6 B. log 6 = + log 6 C. log 6 7 = + log 6 D. log 6 44 = + log Liczb log 500 log jest równ A. log 50 B. log 50 C. log 5 D. log 50

30 Stron 0 7. Liczb log6 log jest równ A. 9 log B. log 0 C. ( ) 8. Jeżeli log = i log 5 = b, to liczb log 45 jest równ log D. 0log A. b B. + b C. + b D. b 9. Oblicz średnią rytmetyczną liczb: log 4, log 4,. 0. Uzsdnij, że liczb log log 7) + (log 6 log ) jest liczb wymierną. ( 0, 0, 0, 0,. Któr z liczb, b, c jest njwiększ? log 0, =,. Niech = log. Uzsdnij równość log 8 = +. log, 5 =, b c = log. Znjdź wszystkie liczby rzeczywiste p spełnijące równość 9 ( p) log = O ile procent liczb log 8 jest mniejsz od liczby log 4 + log 5 log 4? 5. Wykż, że równnie x + log x + log 6 = 0 nie m rozwiązń.

31 Stron Scenriusz nr 5: Przybliżenie i zokrąglenie liczby rzeczywistej. Błąd przybliżeni. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Przybliżenie i zokrąglenie liczby rzeczywistej. Błąd przybliżeni. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Ksztłcenie umiejętności logicznego wnioskowni Ćwiczenie sprwności językowej Cele szczegółowe Uczeń: poprwnie wyzncz przybliżenie dowolnej liczby rzeczywistej z zdną dokłdnością; poprwnie oblicz błąd przybliżeni; rozpoznje błąd względny i błąd bezwzględny. Formy i metody Dyskusj kierown z wykorzystniem złącznik nr Ćwiczeni Prc z cłą grupą Prc w prch 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, Komputer, tblic interktywn, klkultory.

32 Stron gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje co będzie przedmiotem zjęć, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie zpoznją się z mteriłem, dotyczącym zokrągleni liczby rzeczywistej, nlizują przykłdy zmieszczone w lekcji. W zeszycie przedmiotowym zpisują włsny przykłd zokrągleni liczby, nuczyciel prosi o przeczytnie tych przykłdów kilku uczniów. W życiu codziennym brdzo często używmy zokrągleń. Są one istotne w pomirch różnych wielkości fizycznych czy chemicznych. Jeśli chcemy zokrąglić pewien ułmek dziesiętny, to odrzucmy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zsdy:. jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest którś z cyfr od 0 do 4, to zokrąglmy z niedomirem (czyli pozostwimy bez zmin). ntomist jeśli pierwsz odrzucn jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zokrąglmy z ndmirem. Często zokrągljąc liczbę określmy jej rząd. I tk np.: Zokrągleni do tysięcy: Zokrągleni do setek: ,0487 7, ,95, ,4988 6,50 W dlszej części uczniowie poznją pojęcie błędu (z ndmirem i niedomirem), błędu względnego i błędu bezwzględnego. Jeżeli zkupimy np. odkurzcz z 98, 90 zł, to powiemy, że zkupiliśmy go z ok 400 zł lub z około 90 zł uznjąc, że nie popełniliśmy istotnego błędu. Klkultor wynik dziłni : przedstwi z dokłdnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. I tk mmy np.: = 0,

33 Stron Liczb t w przybliżeniu będzie równ 0,666 (z niedomirem) lub 0,667 (z ndmirem). Aby obliczyć błąd przybliżeni pewnej liczby x odejmujemy przybliżenie tej liczby od nszej liczby czyli: x. Błędem bezwględnym przybliżeni nzywmy wrtość bezwzględną różnicy liczby x i jej przybliżeni, czyli: x. Błędem względnym przybliżeni nzywmy stosunek błędu bezwzględnego do wrtości bezwzględnej x liczby x, czyli:. x N zkończenie zjęć uczniowie rozwiązują dw zdni. Jedno z nich zmieszczone jest w złączniku nr, treść drugiego nuczyciel wyświetl n tblicy. Uczniowie rozwiązują w prch, nstępnie prezentują odpowiedzi n tblicy. Zdnie : Dne liczby 0,487 ; 5,078 ; 4,998 zokrąglij z dokłdnością do: ) jednego miejsc po przecinku b) dwóch miejsc po przecinku c) trzech miejsc po przecinku Zdnie : Liczb 50 jest przybliżeniem pewnej liczby z niedomirem. Błąd bezwzględny tego przybliżeni jest równy 4,5. Oblicz błąd względny tego przybliżeni i wyrź go w procentch. 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel prosi uczniów o przypomnienie poznnych pojęć, oceni ktywność uczniów n lekcji. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zjęci możn przeprowdzić jko lekcj wprowdzjąc pojęci błędu, jk również powtórzeniow w klsie czwrtej.

34 Stron 4 Scenriusz nr 6: Zbiory liczbowe. Przedziły liczbowe i dziłni n nich. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Zbiory liczbowe. Przedziły liczbowe i dziłni n nich. Liczby rzeczywiste Kls I (IV etp edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących dziłń n zbiorch, w szczególności n przedziłch liczbowych Doskonlenie rozumieni pojęci zbioru, podzbioru Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie wyznczyć sumę, iloczyn i różnicę zbiorów; zn i rozumie określenie przedziłu liczbowego; wykonuje dziłni n przedziłch liczbowych; dostrzeg, formułuje i zpisuje wrunki definiujące odpowiednie przedziły. Formy i metody Rozmow dydktyczn Ćwiczeni Prc z klsą lub indywiduln 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w Komputer, tblic interktywn.

35 Stron 5 projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, prosi o podnie przykłdu zbioru orz zwrc uwgę n to iż zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Nstępnie wskzuje n szczególny rodzj zbiorów tj. n przedziły liczbowe. W dlszej części lekcji nuczyciel skupi się n rozróżniniu przedziłów liczbowych i dziłnich n nich wykorzystując do tego celu złącznik nr Liczby rzeczywiste temt nr 7. Wrz z ucznimi nlizują część teoretyczną orz zmieszczone w złączniku nr ćwiczeni: Oś liczbow to prost, n której zznczono zwrot dodtni, punkt zerowy i jednostkę: 0 Przedziły liczbowe to szczególne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Dzielimy je n przedziły ogrniczone i nieogrniczone (nieskończone). Niech, b R i < b. Wówczs: ( ; b) = x R : < x < b - przedził ogrniczony, obustronnie otwrty { } b = { x R : x b} b ; - przedził ogrniczony, obustronnie domknięty (zmknięty) ; b = { x R : x b} b ( - przedził nieogrniczony domknięty od minus nieskończoności b

36 Stron 6 ; + ) = { x R : x > } ( - przedził nieogrniczony otwrty od do plus nieskończoności (- ; + ) = R cł oś liczbow. Zwróćmy uwgę n równowżne zpisy: x > x ( ; b) < x < b x > i x < b x < b Skoro przedziły są podzbiormi zbioru liczb rzeczywistych, to możn n nich wykonywć dziłni jk n zbiorch. Brdzo pomocne jest przedstwienie przedziłów n osi liczbowej i wyzncznie ich sumy, części wspólnej i różnicy. Przykłd : Wyzncz zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, gdy A = ;), B = (0;4). Rozwiąznie: Wykorzystjmy ilustrcję grficzną dnych przedziłów liczbowych: A B Mmy wówczs: A B =,4) A B = (0,) A \ B =, 0 B \ A =,4). Przykłd : Rozwżmy dw zbiory: A- zbiór dzielników nturlnych liczby 6 B- zbiór liczb pierwszych mniejszych od 6 Wypisz wszystkie elementy zbiorów: A B; A B; A \ B.

37 Stron 7 Rozwiąznie: Wypiszmy elementy zbiorów A i B. Mmy ztem: A = {,,4,8,6} orz B = {,,5,7,,} Wówczs: A B = {,,,4,5,7,8,,,6} A B = { } A \ B = {,4,8,6} N zkończenie uczniowie smodzielnie rozwiązują zdni (z wykorzystniem tblicy interktywnej) przygotowne przez nuczyciel: Zdnie. Uzupełnij tbelkę podjąc włsny przykłd dnego przedziłu: Nzw przedziłu Zpis symboliczny Wrunek definiujący Ilustrcj n osi liczbowej Ogrniczony, obustronnie otwrty Ogrniczony, obustronnie domknięty Ogrniczony, lewostronnie domknięty Nieogrniczony otwrty od minus nieskończoności Nieogrniczony zmknięty do plus nieskończoności

38 Stron 8 Zdnie. Dne są zbiory A i B. Wyzncz A B, A B, A \ B, B \ A jeśli A = (, 6, B = 4,8). Część końcow: Uczniowie prezentują wyniki swojej prcy, nuczyciel omwi poprwność rozwiązń i oceni prcę uczniów n lekcji. 7 Podsumownie zjęć Uczniowie prezentują wyniki swojej prcy, nuczyciel omwi poprwność rozwiązń i oceni prcę uczniów n lekcji. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zjęci możn przeprowdzić w klsie I technikum lub liceum, tkże jko lekcj powtórzeniow w klsie kończącej nukę.

39 Stron 9 Scenriusz nr 7: Wyrżeni rytmetyczne i ich wrtości liczbowe Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Wyrżeni rytmetyczne i ich wrtości liczbowe Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Utrwlenie widomości i umiejętności związnych z wyrżenimi lgebricznymi Cele szczegółowe Uczeń: podstwi do dnego wyrżeni lgebricznego w miejsce zmiennych ich wrtości liczbowe; uprszcz wyrżeni lgebriczne; stosuje prw dziłń i kolejność wykonywnych dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych; prowdzi proste rozumownie mtemtyczne. Formy i metody Pogdnk powtórzeniow z wykorzystniem złącznik nr Ćwiczeni utrwljące Prc z cłą grupą Prc indywiduln 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, Złącznik nr Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

40 Stron 40 gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje co będzie przedmiotem zjęć, omwi orgnizcję prcy n lekcji, wprowdz w pojęcie wyrżeni lgebricznego. Uczniowie zpoznją się z lekcją nr złącznik nr Wyrżeni lgebriczne i ich wrtości liczbowe, nlizują przykłdy zmieszczone w lekcji. W zeszycie przedmiotowym rozwiązują smodzielnie zdni z lekcji nr, nstępnie sprwdzją poprwność rozwiązni: nuczyciel udostępni rozwiązni zmieszczone w złączniku. Tok lekcji jest zgodny z treścią lekcji nr złącznik nr : Njczęściej w zdnich mtemtycznych pojwi się pojęcie wyrżeni lgebricznego rozuminego jko wyrżeni, w którym występują liczby i litery połączone znkmi dziłń mtemtycznych np. b x + y, 7b,, x 5y +, d. c + d Litery w wyrżenich lgebricznych nzywmy zmiennymi. Jeżeli w miejsce liter podstwimy odpowiednie liczby i wykonmy wskzne dziłni, to otrzymmy liczbę określną jko wrtość liczbow wyrżeni lgebricznego. Wyrżenie rytmetyczne jest często utożsmine z wyrżeniem lgebricznym. Przy obliczniu wrtości wyrżeń lgebricznych pmiętjmy o kolejności wykonywnych dziłń, stosowniu wzorów skróconego mnożeni i bądźmy brdzo uwżni jeśli chodzi o znki liczb! Przykłd. Oblicz wrtość liczbową wyrżeni: x y ) dl x =,5; y = 0,5; z = 6 x + z,5 ( 0,5) 7,5 0,5 7,5 0,5 Rozwiąznie: = = =,5 + ( 6),5 6,5 Uwg! 7,5 =

41 Stron 4 Oczywiście powyższe obliczeni uczeń mógłby wykonć zncznie szybciej, niemniej jednk pośpiech nie jest wskzny, gdyż njdrobniejsz pomyłk może trochę kosztowć. Niech kżdy sm odpowie sobie n pytnie, czy liczę w pmięci wykonując kilk dziłń jednocześnie, czy powoli i dokłdnie wykonm to zdnie. x y b) dl x = ; y = 4 + ( ) ( 4 + ) Rozwiąznie: = = = c) + 4 dl x =. Wynik przedstw w postci + b, gdzie, b R. x + + ( + ) = = = = ( ) Rozwiąznie: ( )( ) Przykłd. * Uprość i oblicz wrtość otrzymnego wyrżeni: ) ( ) ) x + ( x + )( x x + ) x( x )( x + dl Rozwiąznie: ( x ) + ( x + )( x x + ) x( x )( x + ) = x x = x x + x + x + x + x = x + 6x + dl x = mmy: b b) dl = sin 0 0, b = + b + b x = + x + ( x + ) x( x ) =

42 Stron 4 Rozwiąznie: b = + b + b ( b)( + b + b ) = b + b + b 0 Dl = sin 0 = = orz b = = = = mmy: 4 7 b = = = = Przykłd. Oblicz wrtość wyrżeni: ( + + )( +) dl = 5 Rozwiąznie: ( + + )( + ) = ( + ) = ( 5) ( 5) = = Dl = 5 mmy: N zkończenie uczniowie rozwiązują zdni zmieszczone n końcu lekcji nr : Zdnie : + Dne są liczby: x =, y =. 4 ) Sprwdź, czy x y =. 9 x b) Oblicz 7. y Zdnie : Wykż, że wrtość wyrżeni ( )( ) ( ) ( ) dodtnią dl ( ) = 0,5 jest liczbą

43 Stron 4 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel oceni ktywność uczniów n lekcji, wskzuje n konieczność elimincji njczęściej popełninych błędów, zchęc do uwżnych dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Lekcj typowo powtórzeniow, szczególnie polecn do relizcj w klsch kończących nukę.

44 Stron 44 Scenriusz nr 8: Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Doskonlenie umiejętności związnych z rozróżniniem podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych Wyrbinie umiejętności rozróżnini liczb wymiernych i niewymiernych n podstwie rozwinięci dziesiętnego liczby rzeczywistej Rozwijnie zdolności bstrkcyjnego myśleni i kojrzeni Cele szczegółowe Uczeń: zn i rozróżni liczby nturlne, cłkowite, wymierne, niewymierne; zn i stosuje w zdnich pojęcie liczby nieprzystej, przystej; wskzuje liczby przeciwne i odwrotne do dnej; sprwnie wykonuje dziłni w zbiorze liczb wymiernych. Formy i metody Pogdnk powtórzeniow z wykorzystniem złącznik nr, Ćwiczeni utrwljące Prc z cłą grupą Prc indywiduln lub w prch 4 Środki dydktyczne Złącznik Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

45 Stron 45 (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje co będzie przedmiotem zjęć, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Nuczyciel wspólnie z ucznimi w oprciu o treści zwrte w złączniku nr Liczby rzeczywiste temt nr, systemtyzuje wiedzę i umiejętności związne z podzbiormi zbioru R, wskzuje n wzjemną relcję między nimi (inkluzj zbiorów), zwrc uwgę n rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej. Tok lekcji przebieg zgodnie z zpismi w złączniku nr, lekcji nr : Liczby rzeczywiste to jeden z njwżniejszych zbiorów w cłej mtemtyce. Zbiór liczb rzeczywistych (R) jest sumą zbioru liczb wymiernych (W) orz zbioru licz niewymiernych (NW), co zpisujemy: R = W NW. Szczególne miejsce zjmują liczby nturlne, o których się mówi, że stworzył je sm Pn Bóg do liczeni kmieni. Przyjmujemy oznczeni: N zbiór liczb nturlnych C zbiór liczb wymiernych W zbiór liczb wymiernych NW zbiór liczb niewymiernych Elementy zbioru N oznczmy młą literą n. Mmy ztem: n N, N = { 0,,,,... } Liczbą pierwszą nzywmy kżdą liczbę nturlną większą od podzielną przez i smą siebie. Liczbą złożoną nzywmy liczbę nturlną większą od, któr nie jest liczbą pierwszą. Liczby: 0 orz nie są ni pierwsze ni złożone. Liczby nturlne wrz z liczbmi do nich przeciwnymi tworzą zbiór liczb cłkowitych, czyli C =...,,,0,,,... { }

46 Stron 46 Liczbą przystą nzywmy kżdą liczbę cłkowitą podzielną przez, ntomist liczby nieprzyste to liczby cłkowite, które nie są podzielne przez. Liczb 0 jest liczbą przystą. Liczbą wymierną nzywmy liczbę, którą możn przedstwić w postci ilorzu dwóch liczb cłkowitych, m tzn. w postci, gdzie m, n C i n 0. Pozostłe liczby to liczby niewymierne. n Kżd liczb rzeczywist m rozwinięcie dziesiętne: skończone lub nieskończone okresowe, gdy jest liczbą wymierną, lub nieskończone nieokresowe, gdy jest liczbą niewymierną Liczbą przeciwną do nzywmy liczbę. Zchodzi wówczs: +(-) = 0 Odwrotnością liczby różnej od zer jest liczb. Zchodzi wówczs: =. Pomiędzy liczbmi nturlnymi, cłkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możn zuwżyć nstępujące związki: N C W R NW Zpis: N C czytmy: Zbiór liczb nturlnych jest podzbiorem zbioru liczb cłkowitych lub Zbiór liczb nturlnych zwier się w zbiorze liczb cłkowitych. NW C N W R Po części teoretycznej, przypomnieniu i usystemtyzowniu widomości o podzbiorch zbioru R, uczniowie w prch lub indywidulnie rozwiązują dw zdni zmieszczone n końcu lekcji nr

47 Stron 47 (zdnie, ) orz zdni zproponowne przez nuczyciel (zdnie,4): Zdnie. Ze zbioru = π Z, 8,,, 8,0;,(7); wybierz liczby 4 ) nturlne b) cłkowite c) wymierne d) niewymierne. Zdnie. Wyzncz wszystkie liczby cłkowite, które spełniją wrunek: 5 < < 5. Zdnie : Oblicz wrtość wyrżeni: + 4 wynik jest liczbą wymierną czy niewymierną. Zdnie 4: : 4,5 4, dl =, nstępnie oceń, czy otrzymny 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel oceni prcę uczniów n lekcji, ich zngżownie, zwrc uwgę n istotne elementy lekcji. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg

48 Stron 48 Scenriusz nr 9: Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących logrytmu Rozwijnie umiejętności logicznego rozumowni i twórczego myśleni Ćwiczenie jednozncznego, jsnego formułowni myśli Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie stosowć w obliczenich definicję logrytmu, wzory n logrytm potęgi orz wzór n zminę podstwy logrytmu. Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, Złącznik Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

49 Stron 49 gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel wprowdz do temtyki zjęć, może nwiązć do temtu nr 9 złącznik. Uczniowie przypominją widomości związne z pojęciem logrytmu liczby dodtniej orz przypominją wzory n logrytm iloczynu orz logrytm ilorzu. Możn w tym celu wykorzystć przykłdy z lekcji nr 9 złcznik lub wykonć kilk przykłdów podnych przez nuczyciel: Oblicz: ) log 8 8 =... b) log 7 8 =... c) log =... W dlszej części lekcji uczniowie prcują wykorzystując temt nr 0 złcznik nr Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu : W temcie 9 poznliśmy wzór n logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym. Wzór ten jest prwdziwy tkże w przypdku logrytmu potęgo o dowolnym wykłdniku rzeczywistym: c log b = c log b, gdzie > 0 i, b > 0, c R Przykłd : Ustl, wykonując odpowiednie obliczeni, któr z liczb czy b mniejsz, któr większ, jeśli: = log 5 5, b = log 4 00 Rozwiąznie: 5 = = log 5 = log5 5 = 4 4 b = log00 = log(0 ) = log0 = log0 =

50 Stron 50 Stąd < b, bo <. I jeszcze zdnie utrwljące poznne wcześniej włsności logrytmów: Zdnie: Niech log 4 =. Oblicz wrtość wyrżeni: log 6. 4 W niektórych sytucjch istnieje potrzeb zminy podstwy logrytmu. Zwrcmy uwgę, iż wzory n sumę i różnicę logrytmów wymgją, by logrytmy miły tę smą podstwę! Korzystmy z dlszej części temtu nr 0 złącznik nr poznjąc przydtne wzory: logb x I. log x = logb II. log b = logb dl > 0 i, b > 0 i b orz x > 0. Przykłd : Oblicz: ) log 6 64 b) log (log 6 log 4) Rozwiąznie: Ad ) zuwżmy, że liczby 6 i 64 są potęgmi liczby 4. Możemy ztem zpisć korzystjąc ze wzoru n zminę podstwy logrytmu: log 4 64 log6 64 = = log log 4 Ad b) log (log 6 log 4) = log log = log log 4 = log 4 = = log 4 = 4 log log

51 Stron 5 Po dokłdnym przenlizowniu rozwiązń przedstwionych w złączniku nr zdń, uczniowie otrzymują krtę prcy z zdnimi wykorzystującymi poznne wzory: (Uczniowie prcują indywidulnie lub w prch, nuczyciel oceni poprwność rozwiąznych zdń po zprezentowniu ich n tblicy) Krt prcy uczni Zd.. Oblicz: log 9 7 (Odp. ). Zd.. Oblicz: Zd.. Oblicz: log log log (Odp. ) 8 log 8 7 (Odp. ) 7 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel podsumowuje prcę uczniów n lekcji, oceni ich zngżownie, zwrc uwgę n istotne frgmenty rozwiązywnych zdń. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg

52 Stron 5 Scenriusz nr 0: Procenty i punkty procentowe Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Procenty i punkty procentowe Liczby rzeczywiste IV poziom edukcyjny 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących obliczeń procentowych Wyrbinie umiejętności sprwnego wykonywni obliczeń procentowych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć trzy typy obliczeń procentowych; odróżni zminy wyrżone w punktch procentowych od zmin wyrżonych w procentch; rozwiązuje zdni wykorzystujące obliczeni procentowe w życiu codziennym. Formy i metody Pogdnk dydktyczn Ćwiczeni Prc indywiduln Prc z cłą klsą 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w Złącznik nr Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

53 Stron 5 projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie przypominją pojęcie procentu, punktu procentowego, nlizują zmieszczone tm przykłdy, korzystjąc z złącznik nr temt nr 6: Niezwykle wżną umiejętnością współczesnego człowiek jest posługiwnie się procentmi, od polityków czy ekonomistów słyszymy o punktch procentowych. Procent p % pewnej wielkości to setn część tej wielkości, ztem p% liczby to. 00 Punkt procentowy to różnic między dwiem wrtościmi jednej wielkości podnymi w procentch. Przykłd : Jeśli nstąpił wzrost jkiejś wielkości z 0% do 5% to wielkość t wzrosł o 5 punktów procentowych. Przykłd : Jeśli bnk podniósł oprocentownie kredytu z 8% n 0% to podniósł o punkty procentowe. Jednocześnie wysokość oprocentowni wzrosł o 5% (z podstwę przyjmujemy wysokość przed podwyżką ( 00% = 5% ) 8 Uczniowie zgdnieni związne z obliczenimi procentowymi znją ( przynjmniej powinni znć) z wcześniejszych etpów edukcyjnych. Niemniej jednk nleży dążyć do tego, by obliczeni te były wykonywne brdzo sprwnie, szczególnie w kontekście umiejętności prktycznych. W dlszej części lekcji uczniowie utrwlją zgdnieni związne z obliczenimi procentowymi i punktmi procentowymi rozwiązując indywidulnie zdni przygotowne przez nuczyciel:

54 Stron 54 Krt prcy uczni zdni utrwljące związne z obliczenimi procentowymi Zdnie.. Zosi n koniec roku szkolnego w klsie I mił średnią ocen,45 n koniec klsy II poprwił tę średnią n,80. Ani zś poprwił swoją średnią z klsy I n koniec roku szkolnego z 4,60 n 5,05 w klsie drugiej. Któr z dziewcząt procentowo poprwił brdziej swoje oceny i o ile? Zdnie.. Globlny wskźnik lfbetyzcji (umiejętności czytni i pisni ze zrozumieniem) wzrósł z 76% w ltch do 84% w ltch ) O ile punktów procentowych wzrósł wskźnik lfbetyzcji? b) O ile procent wzrósł ten wskźnik? Zdnie. N lekcji mtemtyki 8% uczniów nie rozwiązło zdni, 4% uczniów rozwiązło je błędmi, 7 uczniów rozwiązło zdnie poprwnie. Ilu uczniów było w klsie? Zdnie 4. Cenę pewnego towru obniżono o x %. O ile procent nleży podwyższyć nową cenę, by cen końcow był równ cenie początkowej? Zdnie 5. W czsie suszy poziom strumyk o głębokości m obniżył się o 5 cm, poziom rzeki o głębokości 5 m obniżył się o m. Który spdek poziomu wody, wyrżony w procentch, jest większy? Odpowiedzi do zdń z Krty prcy uczni: Zd. 0,5 Przyrost ocen Zosi: 0,5; procentowy przyrost: 00% 0,%,45 0,45 Przyrost ocen Ani: 0,45; procentowy przyrost: 00% 9,8% 4,60 Odp. Zosi brdziej poprwił swoje oceny końcowe w klsie drugiej niż Zosi, więcej o około 0,%.

55 Stron 55 Zd.. ) Wskźnik lfbetyzcji wzrósł o 84-76=8 punktów procentowych 8 b) Wskźnik ten wzrósł o około 0,5% ( 00% 0,5% ). 76 Zd.. Odp. 5 uczniów Zd x Odp. Cenę nleży podwyższyć o %. 00 x Zd.5. Odp. Większy jest spdek wody w strumyku (5%) niż w rzece (0%). Chętne osoby przedstwiją swoje rozwiązni n tblicy interktywnej. Nuczyciel wybier wśród rozwiązń różne sposoby zproponowne przez uczniów, przedstwine są n dwudzielnej tblicy interktywnej. (istnieje wówczs możliwość porównni różnych sposobów rozwiązń). 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel podsumowuje prcę uczniów n lekcji, zwrc uwgę n istotne zgdnieni, szczególnie jeśli chodzi o zstosownie obliczeń procentowych w życiu codziennym. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg

56 Stron 56 Scenriusz nr : Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn Liczby rzeczywiste IV poziom edukcyjny 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Ksztłtownie pojęci wrtości bezwzględnej liczby i jej interpretcji geometrycznej Ksztłcenie logicznego myśleni Formułownie definicji i włsności wrtości bezwzględnej n podstwie przykłdów Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję wrtości bezwzględnej liczby rzeczywistej; zn i umie zstosowć włsności wrtości bezwzględnej; potrfi rozróżnić pojęci wrtość bezwzględn i liczb przeciwn ; umie opisywć i zznczć zbiory z użyciem wrtości bezwzględnej. Formy i metody Dyskusj kierown Rozwiązywnie zdń problemowych Ćwiczeni Prc z cłą klsą Prc indywiduln 4 Środki dydktyczne Złącznik nr Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

57 Stron 57 (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji, wprowdz do pojęci odległości n osi liczbowej. Uczniowie korzystją z złącznik nr temt nr 8 Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn. Zpoznją się z temtem nlizując przedstwione treści mtemtyczne, nlizują przykłdy orz rozwiązują zproponowne przez nuczyciel zdni. Czy wiesz, drogi Uczniu, jk jest odległość liczby 5 od zer? A jk jest odległość liczby (-4) od zer? Jk jest odległość zer od zer? Zpewne bez problemu bezbłędnie odpowiesz n te pytni. A terz przedstwimy dne zgdnienie brdziej profesjonlnie wykorzystując do tego celu oś liczbową Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej (nzywn tkże modułem liczby) w interpretcji geometrycznej jest jej odległością od punktu zerowego. Zpmiętj! Skoro wrtość bezwzględną trktujemy jko odległość, ztem dl kżdej liczby rzeczywistej jej wrtość bezwzględn jest liczbą nieujemną! Kilk wżnych włsności wrtości bezwzględnej: Dl dowolnych liczb rzeczywistych x, y zchodzi:. x 0

58 Stron 58. x = x. x = x 4. x y = x y ; zuwż, że dl x 0 zchodzi: ( x ) = x 5. x x =, y 0 y y Algebricznie wrtość bezwzględną definiujemy nstępująco: x, dl x 0 x = x dl x < 0 Czyli dl liczb nieujemnych moduł liczby jest tą smą liczbą, zś dl liczb ujemnych liczbą do niej przeciwną. Przykłd : Zpisz bez użyci symbolu wrtości bezwzględnej: ) 5 b) Rozwiąznie: Ad ) zuwżmy, że 5 0, ztem 5 = 5 (jest tą smą liczbą) Ad b) zuwżmy, że < 0, czyli = ( ) = (jest liczbą przeciwną do niej) Przykłd : Oblicz ( 4 7)

59 Stron 59 Rozwiąznie: Z włsności ) mmy: (4 7) = 4 7 = (4 7) = 7 4, bo 4 7 < 0 Nstępny problem: Jkie liczby rzeczywiste są odległe od liczby o 6 jednostek? Jkie liczby rzeczywiste są odległe od liczby (-) o 4 jednostki? Szukjąc odpowiedzi n te pytni zilustrujemy sytucje n osi liczbowej Ztem od liczby o sześć jednostek odległe są dwie liczby: (-) orz 9. Zpiszemy wówczs: x = 6 (zbiór liczb rzeczywistych x, których odległość n osi liczbowej od liczby jest równ 6) Od liczby (-) odległe o cztery jednostki są dwie liczby: (-5) orz. Zpiszemy wówczs: x + = 4 (zbiór liczb rzeczywistych x, których odległość n osi liczbowej od liczby (-) jest równ 4).

60 Stron 60 Uogólnijmy: Zpis: x = r w interpretcji geometrycznej ozncz zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od liczby jest równ r. -r +r -r +r Terz z łtwością zinterpretujemy nierówności: x r ozncz zbiór liczb, których odległość n osi liczbowej od liczby jest nie większ niż r x -r +r x > r ozncz zbiór liczb, których odległość n osi liczbowej od liczby jest większ niż r x -r +r Przykłd : Zbiorem liczb spełnijących nierówność x 4 < jest przedził liczbowy: A. (-,) B. (,7) C. (,5) D. (-4,) Rozwiąznie: W powyższej nierówności = 4 orz r =. Wykorzystując omówioną wcześniej geometryczną tego typu nierówności otrzymujemy: interpretcję

61 Stron Ztem dną nierówność spełniją liczby z przedziłu (,7). Odp. B. Przykłd 4: Zbiór liczb rzeczywistych x przedstwiony poniżej n osi liczbowej jest zbiorem rozwiązń nierówności: - 7 A. x 5 B. x + 5 C. x 5 D. x 5 Rozwiąznie: Nleży zuwżyć, że liczb (-) jest odległ od liczby (-7) orz od liczby o pięć jednostek. N osi liczbowej zznczono liczny rzeczywiste, które są w odległości niemniejszej niż pięć od liczby (-), ztem są to liczby spełnijące wrunek: x 5. Odp. D. N zkończenie proponuję zdni utrwljące: Zd.. Używjąc symbolu wrtości bezwzględnej zpisz nstępujące zbiory: A =,, B = (, 4) ( 4, + ), C = (,7) Zd.. Przedstw n osi liczbowej orz zpisz w postci przedziłu lub sumy przedziłów zbiór rozwiązń równni lub nierówności:

62 Stron 6 ) x + = 6 b) x < c) x + 5 d) x = 6 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel podsumowuje prcę uczniów n lekcji, oceni ich zngżownie, podkreśl jkie istotne umiejętności związne z wrtością bezwzględną są niezbędne do dlszego ksztłceni mtemtycznego, szczególnie przydtne w kontynuowniu tego temtu n poziomie rozszerzonym. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II 1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM. Określenie, wykres i własności funkcji homograficznej.

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM. Określenie, wykres i własności funkcji homograficznej. Ktrzyn Gwinkowsk Hnn Młeck VI L.O im J. Korczk W ZSO nr w Sosnowcu. SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Temt: Określenie, wykres i włsności unkcji homogricznej. Cele lekcji: poznwcze:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.2. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.2. Zakres podstawowy D MATeMAtyk cz.2 Zkres podstwowy Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące (D) i wykrczjące poz progrm nuczni (W). Wymienione poziomy wymgń

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI. Alin Grodzk Scenriusz lekcji mtemtyki w kl. VI. Temt lekcji: Pol figur płskich - powtórzenie. Celem lekcji jest rozwijnie umiejętności rozpoznwni i klsyfikowni wielokątów, obliczni pól figur orz utrwlnie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy S t r o n a 1 DZIAŁANIA NA POTĘGACH Zadanie 1. Przedstaw liczbę w postaci potęgi liczby 2: Zadanie 2. Przedstaw liczbę w postaci potęgi liczby 2: Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Czwarta część liczby,

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY

Bardziej szczegółowo

Droga Pani/Drogi Panie! Wakacje minęły szybko i znowu możemy się spotkać. oraz za zabawami z koleżankami i kolegami.

Droga Pani/Drogi Panie! Wakacje minęły szybko i znowu możemy się spotkać. oraz za zabawami z koleżankami i kolegami. KARTY PRACY 1 CZĘŚĆ KARTA PRACY NR 1 IMIĘ:... DATA: STRONA 1 1. Jkie są twoje oczekiwni i postnowieni związne z kolejnym rokiem szkolnym? Npisz list do nuczyciel, uzupełnijąc luki w tekście. miejscowość

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych Dz.U.2012.204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dni 7 lutego 2012 r. w sprwie rmowych plnów nuczni w szkołch publicznych (Dz. U. z dni 22 lutego 2012 r.) N podstwie rt. 22 ust. 2 pkt 1 ustwy

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 016/017 Zwód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zwody Przedmiot: MATEMATYKA Kls II (67 godz) Rozdził 1. Funkcj liniow 1. Wzór i

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

ANKIETA potrzeb doskonalenia zawodowego na rok szkolny 2013/2014

ANKIETA potrzeb doskonalenia zawodowego na rok szkolny 2013/2014 06-500 Młw, ul. Reymont 4 tel. (023) 654-32-47 ANKIETA potrzeb doskonleni zwodowego n rok szkolny 2013/2014 Zespół dordców metodycznych ośrodk przystąpił do uktulnieni oferty szkoleniowej n rok szkolny

Bardziej szczegółowo

Warszawa, dnia 22 lutego 2012 r. Pozycja 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r.

Warszawa, dnia 22 lutego 2012 r. Pozycja 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Wrszw, dni 22 lutego 2012 r. Pozycj 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dni 7 lutego 2012 r. w sprwie rmowych plnów nuczni w szkołch publicznych

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

szkicuje wykresy funkcji: f ( x)

szkicuje wykresy funkcji: f ( x) Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls tps Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące oziom Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1-3 zakres podstawowy

MATeMAtyka 1-3 zakres podstawowy MATeMAtyk 1-3 zkres podstwowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych ( N podstwie przedmiotowego systemy ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych oprcownego przez Dorotę Ponczek

Bardziej szczegółowo

Opracowanie zbiorcze wyników ankiet przeprowadzonych wśród rodziców na temat koncepcji pracy szkoły szkoły.

Opracowanie zbiorcze wyników ankiet przeprowadzonych wśród rodziców na temat koncepcji pracy szkoły szkoły. Oprcownie ziorcze wyników nkiet przeprowdzonych wśród rodziców n temt koncepcji prcy szkoły szkoły. Termin i miejsce dń Zernie Rodziców dn. 22.09.2014r. Ankiet zostł oprcown w celu poznni opinii nuczycieli

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. LICZBY RZECZYWISTE I DZIALANIA

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

PROGRAM NAPRAWCZY DO PROGRAMU PROFILAKTYKI Zawsze bezpieczny, codziennie grzeczny SZKOŁY PODSTAWOWEJ NR 24 W OPOLU NA LATA 2010-2012

PROGRAM NAPRAWCZY DO PROGRAMU PROFILAKTYKI Zawsze bezpieczny, codziennie grzeczny SZKOŁY PODSTAWOWEJ NR 24 W OPOLU NA LATA 2010-2012 PROGRAM NAPRAWCZY DO PROGRAMU PROFILAKTYKI Zwsze bezpieczny, codziennie grzeczny SZKOŁY PODSTAWOWEJ NR 24 W OPOLU NA LATA 2010-2012 ZAŁOŻENIA PROGRAMU: progrm m być spójny z progrmem wychowwczym szkoły,

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące

Bardziej szczegółowo