2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE"

Transkrypt

1 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć tylko oddziływnie pomiędzy ciłmi ędącymi w ezpośrednim kontkcie. Siły, tk jk wielkości wektorowe, ędziemy oznczć czcionką pogruioną ntomist wrtości sił czcionką normlną. Sił, podonie jk wektor, jest określon jednozncznie przez swoją wrtość ezwzględną (długość), kierunek w przestrzeni, zwrot i punkt przyłożeni. Dl oliczeń nie ędzie jednk miło znczeni to, że sił może się poruszć n prostej pokrywjącej się się z kierunkiem jej dziłni. ierwsz zsd Newton mówi, że jeżeli n ciło nie dził żdn sił lu jeżeli siły się równowżą (ich sum wektorow wynosi zero) to ciło pozostje w spoczynku lu porusz się ruchem jednostjnym prostoliniowym. Drug zsd dynmiki Newton jest podstwowym prwem dynmiki. rzek on jk zmieni się ruch cił pod wpływem przyłożonych do niego sił. sensie mtemtycznym możemy je zpisć w postci = F m, (.) w którym F ozncz siłę dziłjącą n ciło, m ozncz msę cił ntomist ozncz przyśpieszenie cił. rzyśpieszenie cił możemy zpisć jko = d v dt, (.) w którym v ozncz prędkość cił ntomist t ozncz czs. rto zuwżyć, że prędkość orz przyśpieszenie cił są wielkościmi wektorowymi. Jeżeli sił dziłjąc n ciło jest wektorem zerowym to i przyśpieszenie tego cił wynosi zero. Jk widć jest to treść pierwszej zsdy dynmiki. Trzeci zsd dynmiki Newton mówi, że dw cił oddziływują ze soą siłmi, które są soie równe co do wrtości i dziłjące n tej smej prostej, lecz mją przeciwne zwroty. Jeżeli F jest siłą wywierną n pierwsze ciło ze strony drugiego cił, F jest siłą wywierną n drugie ciło ze strony pierwszego cił to trzecią zsdę dynmiki możemy zpisć w postci wektorowej F = F. (.) której grficzną interpretcję przedstwi rysunek... ykreślne skłdnie i rozkłdnie sił n płszczyźnie dlszej części nszego kursu Mechniki ogólnej ędziemy rozptrywli siły, które dziłją n jednej płszczyźnie. Dwie dowolne nierównoległe siły i możemy sprowdzić do siły wypdkowej, któr jest ich sumą wektorową =. (.4)

2 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE F F Rys... Grficzn interpretcj trzeciej zsdy dynmiki Newton Kierunek dziłni siły wypdkowej przechodzi przez punkt przecięci się kierunków sił i ntomist jej długość jest równ przekątnej równoległooku zudownego n siłch i. ołożenie, kierunek, wrtość i zwrot siły wypdkowej przedstwi rysunek.. Rys... Sił wypdkow z dwóch nierównoległych sił Jeżeli mieliyśmy ukłd nierównoległych trzech sił, i. To njpierw możemy znleźć wypdkową z sił i w sposó opisny powyżej nstępnie znleźć siłę wypdkową z sił i. Możemy więc zpisć wektorowo =, (.5) = =. (.6) Grficzną interpretcję siły wypdkowej z ukłdu trzech nierównoległych sił, i przedstwi rysunek.. Jeżeli ukłd sił skłdły się z więcej niż trzech nierównoległych sił y znleźć siłę wypdkową njpierw skłdmy dwie dowolne siły nstępnie ich wypdkową skłdmy z trzecią siłą i tk dlej. Jeżeli mmy dwie siły równoległe to siły wypdkowej nie znjdziemy w sposó opisny powyżej, poniewż ędziemy znli tylko jej wrtość, kierunek i zwrot le nie ędziemy znli położeni. y znleźć siłę wypdkową z dwóch sił równoległych zstosujemy wielook sznurowy. Zkłdmy, że mmy dwie siły równoległe i o tych smych zwrotch. N płszczyźnie oiermy dowolny punkt nzywny iegunem. rzedstwi to rysunek.4. Nstępnie znjdujemy wrtość, kierunek orz zwrot siły wypdkowej, któr spełni wrunek (.4). rzedstwi to rysunek.5. Łączymy terz początki i końce wszystkich sił z iegunem promienimi, i. rzedstwi to rysunek.6. Sił leży pomiędzy promienimi i więc muszą się one przeciąć n kierunku tej siły. rzedstwi to rysunek.7. rzedłużmy promień do przecięci się z kierunkiem siły i otrzymujemy punkt. punkcie tym odkłdmy promień. rzedstwi to rysunek.8. N kierunku siły przecinją się promienie i, poniewż sił t znjduje się pomiędzy nimi (rysunek.6).

3 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Rys... Sił wypdkow z ukłdu trzech nierównoległych sił Rys..4. iegun wielooku sznurowego Rys..5. Sił wypdkow N rysunku.6 sił wypdkow znjduje się pomiędzy promienimi i. ięc ędzie on przechodzić przez punkt przecięci się promieni i. stteczne położenie siły wypdkowej przedstwi rysunek.9. N podstwie rysunku.9 możemy stwierdzić, że sił wypdkow dwóch sił równoległych mjących te sme zwroty znjduje się pomiędzy nimi, liżej siły o większej wrtości.

4 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 4 Rys..6. romienie wielooku sznurowego Rys..7. romienie n kierunku siły Rys..8. romienie n kierunku siły Zkłdmy, że mmy dwie siły równoległe i o przeciwnych zwrotch. N płszczyźnie oiermy iegun. rzedstwi to rysunek.0. Nstępnie znjdujemy wrtość, kierunek orz zwrot siły wypdkowej, któr spełni wrunek (.4). rzedstwi to rysunek.. Łączymy terz początki i końce wszystkich sił z iegunem promienimi, i. rzedstwi to rysunek.. Sił leży pomiędzy promienimi i więc muszą się one przeciąć n kierunku tej siły. rzedstwi to rysunek.. rzedłużmy promień do przecięci się z kierunkiem siły i otrzymujemy punkt. punkcie tym przecinją się promienie i, poniewż sił t znjduje się pomiędzy nimi (rysunek.6). rzedstwi to rysunek.4.

5 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 5 Rys..9. ołożenie wypdkowej dwóch sił równoległych o tych smych zwrotch Rys..0. iegun wielooku sznurowego Rys... Sił wypdkow Rys... romienie wielooku sznurowego N rysunku. sił wypdkow znjduje się pomiędzy promienimi i. ięc ędzie on przechodzić przez punkt przecięci się promieni i. stteczne położenie siły wypdkowej przedstwi rysunek.5.

6 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 6 Rys... romienie n kierunku siły Rys..4. romienie n kierunku siły Rys..5. ołożenie wypdkowej dwóch sił równoległych o przeciwnych zwrotch N podstwie rysunku.5 możemy stwierdzić, że sił wypdkow dwóch sił równoległych mjących przeciwne zwroty znjduje się poz nimi, po stronie siły o większej wrtości. N płszczyźnie dził sił, którą chcemy rozłożyć n dwie skłdowe, których kierunki są równoległe do dwóch prostych i przedstwionych n rysunku.6. Sił, zpisn wektorowo, wynosi więc

7 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 7 Rys..6. Sił i dw kierunki i =. (.7) y znleźć wrtości i zwroty sił orz przenosimy równolegle kierunki i do początku wektor siły. ędą one okmi równoległooku, którego przekątną jest sił. ołożenie sił orz ędzie tkie, y kierunki dziłni tych sił przecinły sią n kierunku siły. rzedstwi to rysunek.7. Rys..7. Rozkłd siły n dwie skłdowe c Rys..8. Sił i trzy kierunki, i c N płszczyźnie dził sił, którą chcemy rozłożyć n trzy skłdowe, których kierunki stnowią trzy proste, i c. roste te są przedstwione n rysunku.8. Nie ędziemy mieli tutj możliwości przesunięci równoległego którejkolwiek skłdowej. Sił, zpisn wektorowo, wynosi więc c =. (.8)

8 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 8 c Rys..9. unkty przecięci kierunków i orz siły i kierunku c y rozłożyć siłę n trzy kierunki dw z nich doprowdzmy do przecięci. ędą to n przykłd kierunki i. trzymmy punkt przedstwiony n rysunku.9. ozostły kierunek c doprowdzmy do przecięci z kierunkiem siły. trzymmy punkt n rysunku.9. Łącząc punkty i otrzymmy zstępczy kierunek przedstwiony n rysunku.0. c Rys..0. Zstępczy kierunek Nstępnie siłę rozkłdmy n kierunki i c. Rozkłd ten przedstwi rysunek.. Możemy go zpisć wektorowo c =. (.9) c c c Rys... Rozkłd siły n skłdowe c orz N koniec nleży zstępczą siłę rozłożyć n dwie skłdowe po kierunkch i. rzedstwi to rysunek.. sttecznie wszystkie trzy skłdowe siły po kierunkch, i c są przedstwione n rysunku..

9 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 9 c c Rys... Rozkłd zstępczej siły n skłdowe po kierunkch i c c Rys.... Trzy skłdowe siły y rozłożyć siłę n dw kierunki i, które są równoległe do tej siły nleży wykorzystć wielook sznurowy. Rysunek.4 przedstwi siłę orz dwie proste równoległe do niej i. Sił znjduje się pomiędzy kierunkmi i. N płszczyźnie oiermy iegun. Rys..4. Sił i dwie proste równoległe do niej i rzenosimy równolegle siłę i łączymy jej końce z iegunem promienimi i. rzedstwi to rysunek.5. Sił znjduje się pomiędzy promienimi i. romienie te muszą się więc przeciąć w punkcie znjdującym się n kierunku siły. rzedstwi to rysunek.6. romień przecin kierunek w punkcie promień przecin kierunek w punkcie. unkty te są przedstwione n rysunku.7. Łącząc punkty i otrzymujemy promień. romień ten przenosimy równolegle do iegun. rzedstwi to rysunek.8. romień numer określ nm wrtości skłdowych siły. Skłdowe te przedstwi rysunek.9. Spełniją one wrunek (.7).

10 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 0 Rys..5. romienie numer i Rys..6. romienie i przecinjące się n kierunku siły Rys..7. unkty i n kierunkch i y rozłożyć siłę n dw kierunki i, które są równoległe do tej siły nleży wykorzystć wielook sznurowy. Rysunek.0 przedstwi siłę orz dwie proste równoległe do niej i. Sił znjduje się poz kierunkmi i. N płszczyźnie oiermy iegun.

11 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Rys..8. romień numer Rys..9. Skłdowe siły Rys..0. Sił i dwie proste równoległe do niej i rzenosimy równolegle siłę i łączymy jej końce z iegunem promienimi i. rzedstwi to rysunek.. Sił znjduje się pomiędzy promienimi i. romienie te muszą się więc przeciąć w punkcie znjdującym się n kierunku siły. rzedstwi to rysunek.. romień przecin kierunek w punkcie promień przecin kierunek w punkcie. unkty te są przedstwione n rysunku.. Łącząc punkty i otrzymujemy promień. romień ten przenosimy równolegle do iegun. rzedstwi

12 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE to rysunek.4. romień numer określ nm wrtości skłdowych siły. Skłdowe te przedstwi rysunek.5. Spełniją one wrunek (.7). Rys... romienie numer i Rys... romienie i przecinjące się n kierunku siły Rys... unkty i n kierunkch i Jeżeli rozkłdmy siłę n dw kierunki równoległe i sił znjduje się wewnątrz tych kierunków to oie skłdowe mją zwroty zgodne ze zwrotem siły.

13 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Rys..4. romień numer Rys..5. Skłdowe siły Jeżeli rozkłdmy siłę n dw kierunki równoległe i sił znjduje się n zewnątrz tych kierunków to oie skłdowe mją zwroty przeciwne do sieie. Zwrot zgodny ze zwrotem siły m skłdow znjdując się liżej siły... nlityczne rozkłdnie sił Njczęściej ędziemy rozkłdli siły n dw kierunki, które są wzjemnie do sieie prostopdłe. Rysunek.6 przedstwi siłę, którą rozkłdmy n dwie skłdowe po kierunkch i. rtości skłdowych wynoszą = cos, (.0) = sin. (.) Jko dodtnią skłdową określimy tą siłę, której zwrot jest zgodny z przyjętym dodtnim kierunkiem. Rysunek.7 przedstwi njczęściej występujący rozkłd siły n kierunek poziomy zgodny ze zwrotem osi X orz kierunek pionowy zgodny ze zwrotem osi Y. rtości skłdowych wyznczymy ze wzorów

14 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 4 α Rys..6. Skłdowe siły Y Y X α X Rys..7. Rozkłd siły n skłdową poziomą i pionową X = cos, (.) Y = sin. (.) oniewż oie skłdowe mją zwroty zgodne ze zwrotmi osi X i Y więc oie ędą dodtnie..4. Moment siły względem punktu Zkłdmy, że sił dził n płszczyźnie Π przedstwionej n rysunku.8. N płszczyźnie tej znjduje się punkt nie leżący n prostej dziłni siły. Sttycznym momentem siły względem punktu nzywmy iloczyn wektorowy M =r, (.4) w którym wektor r jest wektorem wodzącym siły. Jk widć n rysunku.8 ) wektor M jest prostopdły do płszczyzny Π jego zwrot jest zgodny z kierunkiem wkręcni się śruy prwoskrętnej kręcącej się od wektor wodzącego r do wektor siły. Rysunek.8 ) przedstwi widok z góry n płszczyznę Π. ektor momentu siły M zostł zstąpiony strzłką. rtość momentu siły względem punktu wynosi M =r sin 80 =r sin, (.5) którą możemy zpisć jko

15 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 5 ) ) Π M Π r M r 80 -α α Rys..8. Moment siły względem punktu M =, (.6) w którym ozncz odległość siły od punktu n płszczyźnie ntomist ozncz wrtość siły. tym czy jest to moment dodtni czy ujemny decyduje kierunek orotu siły względem punktu. Jeżeli orót nstępuje zgodnie z ruchem wskzówek zegr to ędziemy tki moment przyjmowć jko dodtni. Jeżeli przeciwnie do ruchu wskzówek zegr ędziemy tki moment przyjmowć jko moment ujemny. Rys..9. Moment ukłdu trzech sił Moment kilku sił względem punktu jest sumą momentów od poszczególnych sił. N rysunku.9 przedstwione są trzy siły, których moment względem punktu m wrtość M =. (.7) Sił orc się przeciwnie do ruch wskzówek zegr względem punktu więc jej moment jest ujemny. rą sił nzywmy ukłd dwóch sił o tkich smych wrtościch, kierunkch równoległych do sieie lecz przeciwnych zwrotch. rtość momentu pry sił względem dowolnego punktu wynosi

16 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 6 M =, (.8) w którym jest odległością sił od sieie. Jk widć moment pry sił nie zleży od położeni punktu. Rysunek.40 przedstwi prę sił. Moment M jest dodtni. M Rys..40. Moment pry sił.5. Rekcje w więzch Rysunek.4 przedstwi geometrycznie niezmienną i sttycznie wyznczlną trczę sztywną, n którą dził sił. Sił t może yć wypdkową wielu sił dziłjących n dną trczę. Siły dziłjące n trczę, których wypdkową może yć sił nzywmy siłmi czynnymi. I R Rys..4. Siły dziłjące n trczę sztywną Trcz sztywn jest geometrycznie niezmienn, czyli nie porusz się więc zgodnie z pierwszą zsdą dynmiki siły dziłjące n trczę muszą się równowżyć czyli ich wypdkow musi się równć zero. ynik z tego, że n trczę sztywną musi dziłć jeszcze jedn sił. ynik to tkże z trzeciej zsdy dynmiki. Jeżeli trcz sztywn dził n trczę podporową siłą to trcz podporow musi dziłć n trczę sztywną siłą dziłjącą n tej smej prostej, o tej smej wrtości lecz przeciwnym zwrocie. Siły, którymi trcz podporow dził n trczę sztywną nzywmy siłmi iernymi lu rekcjmi. Rekcj R musi więc spełnić wrunek wektorowy R=. (.9) Rekcje przekzują się z trczy podporowej poprzez więzy. Rekcj R jest więc wypdkową z rekcji dziłjących we wszystkich więzch trczy sztywnej. pręcie podporowym ędzie dziłł jedn rekcj, przedstwion n rysunku.4, której kierunek pokryw się z prętem podporowym. Jedyną niewidomą jest w tym przypdku wrtość rekcji w tym więzie. M to związek z tym, że pręt podporowy odier trczy sztywnej jeden stopnień swoody.

17 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 7 R Rys..4. Rekcj w pręcie podporowym przeguie rzeczywistym dził tkże jedn rekcj, której kierunek przechodzi przez ten przegu jednk w przeciwieństwie do pręt podporowego nie znmy jego kąt nchyleni. Możemy więc stwierdzić, że w przeguie rzeczywistym ędziemy mieli dwie niewidome: wrtość rekcji orz kąt nchyleni kierunku tej rekcji. M to związek z tym, że przegu odier trczy sztywnej dw stopnie swoody. rzedstwi to rysunek.4 ). Ze względów oliczeniowych korzystniej jest rozłożyć rekcję w przeguie rzeczywistym n dwie skłdowe H orz V i wyznczenie wrtości i zwrotów ou skłdowych. rzedstwi to rysunek.4 ). ) ) α R H V Rys..4. Rekcj w przeguie rzeczywistym I II V H Rys..44. Rekcje w przeguie rzeczywistym łączącym dwie trcze sztywne nie ędące podporowymi H V Jeżeli przegu rzeczywisty łączy dwie trcze sztywne, z których żdn nie jest trczą podporową to w przeguie n kżdą z trcz sztywnych dziłją dwie skłdowe rekcji mjące prmi te sme wrtości i kierunek le przeciwne zwroty. rzedstwi je rysunek.44. Ich sum wektorow wynosi oczywiście zero. zyli jeżeli rozptrujemy oie trcze rzem to w przeguie nie dził żdn rekcj, jeżeli rozdzielimy trcze sztywne to w przeguie mmy po dwie skłdowe rekcji. Spełniją one wrunki wektorowe { H I II = H I V II. (.0) = V N podporze przeguowo-przesuwnej, któr odpowid prętowi podporowemu, dził jedn rekcj. Kierunek tej rekcji pokryw się z kierunkiem pręt podporowego. Rekcje w pręcie podporowym orz w podporze przeguowo-przesuwnej przedstwi rysunek.45. odpor przeguowo-nieprzesuwn odier prętowi dw stopnie swoody więc n tej podporze wystąpią dwie rekcje. Njczęściej przyjmuje się, że jedn z nich jest pionow drug poziom. Rysunek.46 przedstwi rekcje n podporze przeguowo-nieprzesuwnej. odpor ślizgow odier tkże dw stopnie swoody więc n tej podporze muszą wystąpić dwie rekcje. N rysunku.47 ) w kżdym z prętów tej podpory występuje pojedyncz rekcj. rtości tych rekcji możn zpisć w sposó przedstwiony n rysunku.47 ) jko

18 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 8 R R R R R R Rys..45. Rekcj n podporze przeguowo-przesuwnej H H V V Rys..46. Rekcj n podporze przeguowo-nieprzesuwnej R = V R R = V R. (.) Rekcje V/ rzem dją nm rekcję pionową V. Ntomist rekcje R stnowią prę sił, którą możn zstąpić odpowiednim momentem M. sttecznie n podporze ślizgowej występują dwie rekcje zznczone n rysunku.47 c). Utwierdzenie odier prętowi trzy stopnie swoody. N podporze tej wystąpią więc trzy rekcje. Rysunek.48 ) przedstwi wszystkie trzy rekcje. Rekcje R orz R zpisujemy zgodnie ze wzorem (.) ntomist rekcję R oznczmy jko rekcję poziomą H. wyniku tych dziłń otrzymmy rekcje przedstwione n rysunku.49. orównując rysunki.45,.46,.47 c) orz.49 widć, że n kżdej z tych podpór występują rekcje o kierunkch, które lokuje dn podpor. odpor przeguowo-przesuwn nie pozwl n przesuw w pewnym kierunku i ten sm kierunek m rekcj n tej podporze. odpor przeguowo-przesuwn lokuje przesuw w poziomie i pionie i tkie kierunki mją oie rekcje. odpor ślizgow lokuje przesuw w pionie orz orót. Rekcje n tej podporze to rekcj pionow orz moment. reszcie utwierdzenie lokuje przesuw w poziomie i w pionie orz orót. Stąd n tej podporze mmy rekcję poziomą, pionową i moment.

19 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 9 ) ) c) M V R R V V R R Rys..47. Rekcje n podporze ślizgowej ) ) R R R R V V R R Rys..48. Rekcje w utwierdzeniu M H V Rys..49. Rekcje w utwierdzeniu yzncznie rekcji w więzch nzywmy nlizą sttyczną. Rysunek.50 przedstwi geometrycznie niezmienną trczę sztywną n którą dził sił czynn. ypdkow rekcj R leży n prostej dziłni siły czynnej i m on tą smą wrtość le przeciwny zwrot. Rekcj t jest wypdkową z rekcji w pręcie podporowym R orz w przeguie R. ektorowo możemy to zpisć jko R=R R. (.)

20 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 0 R I R R R Rys..50. ypdkow rekcj dziłjąc n trczę sztywną Kierunek wypdkowej rekcji R musi przejść przez punkt przecięci się kierunków rekcji skłdowych R orz R. Jednk n rzie nie znmy drugiego punktu n prostej dziłni rekcji w przeguie, znmy ntomist punkt przecięci kierunków siły czynnej orz rekcji R, którym jest punkt. Kierunek rekcji w przeguie musi więc przechodzić przez ten punkt. ten sposó znmy kierunek rekcji R. N koniec możemy wyznczyć rekcje R i R. N rysunku.5 przedstwione są wszystkie siły dziłjące n trczę sztywną. Jeżeli wykonmy ich sumę wektorową to otrzymmy trójkąt przedstwiony n tym rysunku. Trójąt ten nzyw się wielookiem sił. Jk widć wypdkow w wielooku sił jest wektorem zerowym. Tki ukłd sił nzywmy ukłdem w równowdze. I R R R R Rys..5. Siły dziłjące n trczę sztywną Siły dziłjące n trczę sztywną: wypdkow sił czynn orz rekcje w więzch, ędą w równowdze, jeżeli ich kierunki ędą się przecinć w jednym punkcie orz sił wypdkow w wielooku sił ędzie zerow. Innymi słowy siły w wielooku sił muszą się gonić. R R Rys..5. Dwie siły w równowdze dziłjące n trczę sztywną Rysunek.5 przedstwi trczę sztywną ociążoną dwiem siłmi. Jeżeli n trczę sztywną dziłją dwie siły R i R to y trcz ył w równowdze siły te muszą dziłć n tej smej prostej, mieć te sme wrtości le przeciwne zwroty czyli muszą spełnić wrunek wektorowy R = R. (.) rzedstwione powyżej dwie zsdy, kiedy siły dziłjące n trczę sztywną znjdują się w równowdze mją zstosownie przy metodzie wykreślnej wyznczni rekcji. Metodę tę omówimy n konkretnych przykłdch złączonych do niniejszego oprcowni.

21 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Y I X R R Rys..5. Siły dziłjące n trczę sztywną Jednk wykreślne metody nie są dzisij wykorzystywne w prktyce. dlszej części skupimy się n metodzie nlitycznej wyznczni rekcji podporowych, którą zstosujemy do płskich ukłdów prętowych. metodzie tej zerownie się sił w wielooku sił zstępujemy dwom wrunkmi sumy rzutów wszystkich dziłjących n trczę sztywną n dw nierównoległe kierunki. Zgodnie z rysunkiem.5 mogą to yć sumy rzutów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną n oś poziomą X orz pionową Y. Sumy tych rzutów muszą wynosić zero. Są to njczęściej wykorzystywne kierunki. metodzie nlitycznej wrunek przecinni się kierunków wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną w jednym punkcie zstępujemy wrunkiem sumy momentów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną względem dowolnego punktu n płszczyźnie. Sum momentów musi wynosić zero. Sumy rzutów orz sumę momentów nzywmy równnimi równowgi. Zpisujemy je w nstępującej postci { X =0 Y =0 M =0, (.4) w którym dw pierwsze równni to sumy rzutów, trzecie to sum momentów. Możemy tkże wykorzystywć jedno równnie sumy rzutów orz dw równni sumy momentów względem dwóch dowolnych punktów n płszczyźnie. ędą one miły postć { X =0 M =0 M =0 (.5) lu { X =0 M =0 M =0 (.6) Równni równowgi (.5) lu (.6) są njczęściej wykorzystywnymi równnimi przy oliczniu rekcji podporowych w ukłdch prętowych.

22 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Istnieje tkże trzeci postć równń równowgi. ędą to trzy sumy momentów względem trzech dowolnych punktów. Jednk punkty te nie mogą leżeć n jednej prostej. Równni te ędą miły postć { M =0 M =0 M =0. (.7) łski ukłd prętowy zstępujemy płskim ukłdem trcz sztywnych. Dl kżdej trczy sztywnej określmy kierunki rekcji w więzch orz zkłdmy ich zwroty. dlszej kolejności dl kżdej trczy sztywnej zpisujemy trzy równni równowgi. Jeżeli mmy t trcz sztywnych to otrzymujemy w ten sposó ukłd t równń z t niewidomymi, którymi są rekcje w więzch. Ukłd ten m postć { X =0 Y =0 M =0 X t =0 Y t =0 M t =0. (.8) y ukłd równń (.8) mił rozwiązni wyzncznik główny tego ukłdu musi yć różny od zer. łski ukłd prętowy, dl którego wyzncznik główny ukłdu (.8) jest różny od zer jest ukłdem geometrycznie niezmiennym i sttycznie wyznczlnym. Stnowi to więc wrunek konieczny i dostteczny geometrycznej niezmienności. o rozwiązniu ukłdu równń (.8) otrzymmy wrtości i zwroty rekcji we wszystkich więzch. Jeżeli dn rekcj jest dodtni to m on zwrot zgodny z przyjętym n początku oliczeń. Jeżeli dn rekcj jest ujemn to m on zwrot przeciwny do przyjętego n początku oliczeń. prktyce njczęściej nie trze rozwiązywć cłego ukłdu równń (.8), poniewż d się tk zpisć równni równowgi y z pojedynczego równni wyznczyć jedną rekcję. R Y X R R Rys..54. Trcz sztywn Rysunek.54 przedstwi przykłdową trczę sztywną. Zkłdmy zwroty rekcji w prętch podporowych. unkt jest punktem przecięci kierunków rekcji w prętch numer i ntomist punkt jest punktem przecięci kierunków rekcji w prętch numer i. rtości rekcji wyznczymy z nstępujących wrunków równowgi.

23 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE { X =0 M =0 M =0. (.9) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji R. Z drugiego równni wyznczymy wrtość rekcji R, poniewż momenty pozostłych rekcji względem punktu wynoszą zero. Z trzeciego równni wyznczymy wrtość rekcji R, poniewż momenty pozostłych rekcji względem punktu wynoszą zero. Równnie sumy rzutów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną n oś pionową Y posłuży nm do sprwdzeni poprwności oliczeń wrtości rekcji R i R. I II H H H H V V V V I II Y X H H V V Rys..55. Ukłd trójprzeguowy z przegumi i n jednym poziomie Rysunek.55 przedstwi ukłd trójprzeguowy z przegumi i n jednym poziomie. Zkłdmy zwroty rekcji we wszystkich przeguch. Nleży pmiętć o tym, że w przeguie n kżdą z trcz sztywnych ędą dziłły dwie rekcje, które wrtości spełniją wrunek { H I II =H I V II. (.0) =V rtości pionowych rekcji w przeguch i wyznczymy z nstępujących równń równowgi dl cłego ukłdu trójprzeguowego (trcze sztywne I+II) { M I II =0 I II M =0. (.)

24 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 4 Z pierwszego równni otrzymmy wrtość rekcji V, poniewż momenty pozostłych trzech rekcji, dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy, względem punktu wynoszą zero. Z drugiego równni otrzymmy wrtość rekcji V, poniewż momenty pozostłych trzech rekcji, dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy, względem punktu wynoszą zero. Nstępnie wykorzystmy sumę rzutów wszystkich sił dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy n oś pionową Y w celu sprwdzeni poprwności oliczeni wrtości rekcji V i V. rtość poziomej rekcji w przeguie wyznczymy z wrunku sumy momentów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną numer I względem punktu czyli M I =0. (.) rtość poziomej rekcji w przeguie wyznczymy z wrunku sumy momentów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną numer II względem punktu czyli M II =0. (.) Nstępnie wykorzystmy sumę rzutów wszystkich sił dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy n oś poziomą X w celu sprwdzeni poprwności oliczeni wrtości rekcji H i H. rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer I wyznczymy z nstępujących równń równowgi { X I =0 Y I =0. (.4) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer II wyznczymy z nstępujących równń równowgi { X II =0 Y II =0. (.5) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtości rekcji H i H orz V i V muszą spełnić zleżność (.0). Stnowi to sprwdzenie poprwności oliczeni wrtości tych rekcji. Rysunek.56 przedstwi ukłd trójprzeguowy z przegumi i n różnych poziomch. Zkłdmy zwroty rekcji we wszystkich przeguch. Nleży pmiętć o tym, że w przeguie n kżdą z trcz sztywnych ędą dziłły dwie rekcje, które wrtości spełniją wrunek (.0). rtości rekcji w przeguie wyznczymy z nstępujących równń równowgi { M I II =0 I M =0. (.6)

25 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 5 Y I II X H H H V V V H I II V H V H V Rys..56. Ukłd trójprzeguowy z przegumi i n różnych poziomch ierwsze z tych równń dotyczy cłego ukłdu trójprzeguowego ntomist drugie dotyczy tylko trczy sztywnej numer I. Równni (.6) stnowią ukłd równń, z którego możemy wyznczyć wrtości rekcji V i H. rtości rekcji w przeguie wyznczymy z nstępujących równń równowgi { M I II =0 II M =0. (.7) ierwsze z tych równń dotyczy cłego ukłdu trójprzeguowego ntomist drugie dotyczy tylko trczy sztywnej numer II. Równni (.7) stnowią ukłd równń, z którego możemy wyznczyć wrtości rekcji V i H. celu sprwdzeni poprwności oliczeni wrtości rekcji w przeguch i zstosujemy równni dotyczące cłego ukłdu trójprzeguowego { X I II =0 Y I II =0. (.8) rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer I wyznczymy z nstępujących równń równowgi

26 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 6 { X I =0 Y I =0. (.9) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer II wyznczymy z nstępujących równń równowgi { X II =0 Y II =0. (.40) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtości rekcji H i H orz V i V muszą spełnić zleżność (.0). Stnowi to sprwdzenie poprwności oliczeni wrtości tych rekcji. Zstosownie metody nlitycznej do wyznczni rekcji w więzch płskiego ukłdu trcz sztywnych omówimy n konkretnych przykłdch złączonych do niniejszego oprcowni.

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna. dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4 MECHNIK OGÓLN wykład 4 D R I N Ż. G T M R Y N I K Obliczanie sił wewnętrznych w układach prętowych. K R T O W N I C E KRTOWNIC UKŁD PRĘTÓW PROSTOLINIOWYCH Przegubowe połączenia w węzłach Obciążenie węzłowe

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7 Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw

Bardziej szczegółowo

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU I. Cel ćwiczeni: zpoznnie z teorią odksztłceń sprężystych cił stłych orz z prwem Hooke.Wyzncznie modułu sprężystości (modułu Young) metodą

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk OZWIĄZYWANIE MAŁYCH TÓJKĄTÓW SFEYCZNYCH rezentowne metody rozwiązywni młyh trójkątów sferyznyh

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012 Preskrypt n

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Podstawy układów logicznych

Podstawy układów logicznych Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA W SZTUCE. Maswerki gotyckie w Kolonii

GEOMETRIA W SZTUCE. Maswerki gotyckie w Kolonii GEOMETRIA W SZTUCE Mswerki gotyckie w Kolonii WSTĘP T oto broszurk jest dziełem uczniów trzeciej klsy Gimnzjum Przymierz Rodzin im. Jn Pwł II. Nsz grup, prowdzon przez prof. Wojciech Guzickiego i mgr

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie

Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie materiały pomocnicze do zajęć audytoryjnych i projektowych opracowanie: dr inż. Piotr Dębski, dr inż. Dariusz Zaręba

Bardziej szczegółowo

Władysław Tomaszewicz Piotr Grygiel. Podstawy Fizyki. Część I Fizyka Klasyczna. (na prawach rękopisu)

Władysław Tomaszewicz Piotr Grygiel. Podstawy Fizyki. Część I Fizyka Klasyczna. (na prawach rękopisu) Włdysłw Tomszewicz Piotr Grygiel Podstwy Fizyki Część I Fizyk Klsyczn (n prwch rękopisu) Wydził Fizyki Technicznej i Mtemtyki Stosownej Politechnik Gdńsk 2002 Rozdził 1 Wstęp 1.1 Międzynrodowy ukłd jednostek

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo