2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

Transkrypt

1 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć tylko oddziływnie pomiędzy ciłmi ędącymi w ezpośrednim kontkcie. Siły, tk jk wielkości wektorowe, ędziemy oznczć czcionką pogruioną ntomist wrtości sił czcionką normlną. Sił, podonie jk wektor, jest określon jednozncznie przez swoją wrtość ezwzględną (długość), kierunek w przestrzeni, zwrot i punkt przyłożeni. Dl oliczeń nie ędzie jednk miło znczeni to, że sił może się poruszć n prostej pokrywjącej się się z kierunkiem jej dziłni. ierwsz zsd Newton mówi, że jeżeli n ciło nie dził żdn sił lu jeżeli siły się równowżą (ich sum wektorow wynosi zero) to ciło pozostje w spoczynku lu porusz się ruchem jednostjnym prostoliniowym. Drug zsd dynmiki Newton jest podstwowym prwem dynmiki. rzek on jk zmieni się ruch cił pod wpływem przyłożonych do niego sił. sensie mtemtycznym możemy je zpisć w postci = F m, (.) w którym F ozncz siłę dziłjącą n ciło, m ozncz msę cił ntomist ozncz przyśpieszenie cił. rzyśpieszenie cił możemy zpisć jko = d v dt, (.) w którym v ozncz prędkość cił ntomist t ozncz czs. rto zuwżyć, że prędkość orz przyśpieszenie cił są wielkościmi wektorowymi. Jeżeli sił dziłjąc n ciło jest wektorem zerowym to i przyśpieszenie tego cił wynosi zero. Jk widć jest to treść pierwszej zsdy dynmiki. Trzeci zsd dynmiki Newton mówi, że dw cił oddziływują ze soą siłmi, które są soie równe co do wrtości i dziłjące n tej smej prostej, lecz mją przeciwne zwroty. Jeżeli F jest siłą wywierną n pierwsze ciło ze strony drugiego cił, F jest siłą wywierną n drugie ciło ze strony pierwszego cił to trzecią zsdę dynmiki możemy zpisć w postci wektorowej F = F. (.) której grficzną interpretcję przedstwi rysunek... ykreślne skłdnie i rozkłdnie sił n płszczyźnie dlszej części nszego kursu Mechniki ogólnej ędziemy rozptrywli siły, które dziłją n jednej płszczyźnie. Dwie dowolne nierównoległe siły i możemy sprowdzić do siły wypdkowej, któr jest ich sumą wektorową =. (.4)

2 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE F F Rys... Grficzn interpretcj trzeciej zsdy dynmiki Newton Kierunek dziłni siły wypdkowej przechodzi przez punkt przecięci się kierunków sił i ntomist jej długość jest równ przekątnej równoległooku zudownego n siłch i. ołożenie, kierunek, wrtość i zwrot siły wypdkowej przedstwi rysunek.. Rys... Sił wypdkow z dwóch nierównoległych sił Jeżeli mieliyśmy ukłd nierównoległych trzech sił, i. To njpierw możemy znleźć wypdkową z sił i w sposó opisny powyżej nstępnie znleźć siłę wypdkową z sił i. Możemy więc zpisć wektorowo =, (.5) = =. (.6) Grficzną interpretcję siły wypdkowej z ukłdu trzech nierównoległych sił, i przedstwi rysunek.. Jeżeli ukłd sił skłdły się z więcej niż trzech nierównoległych sił y znleźć siłę wypdkową njpierw skłdmy dwie dowolne siły nstępnie ich wypdkową skłdmy z trzecią siłą i tk dlej. Jeżeli mmy dwie siły równoległe to siły wypdkowej nie znjdziemy w sposó opisny powyżej, poniewż ędziemy znli tylko jej wrtość, kierunek i zwrot le nie ędziemy znli położeni. y znleźć siłę wypdkową z dwóch sił równoległych zstosujemy wielook sznurowy. Zkłdmy, że mmy dwie siły równoległe i o tych smych zwrotch. N płszczyźnie oiermy dowolny punkt nzywny iegunem. rzedstwi to rysunek.4. Nstępnie znjdujemy wrtość, kierunek orz zwrot siły wypdkowej, któr spełni wrunek (.4). rzedstwi to rysunek.5. Łączymy terz początki i końce wszystkich sił z iegunem promienimi, i. rzedstwi to rysunek.6. Sił leży pomiędzy promienimi i więc muszą się one przeciąć n kierunku tej siły. rzedstwi to rysunek.7. rzedłużmy promień do przecięci się z kierunkiem siły i otrzymujemy punkt. punkcie tym odkłdmy promień. rzedstwi to rysunek.8. N kierunku siły przecinją się promienie i, poniewż sił t znjduje się pomiędzy nimi (rysunek.6).

3 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Rys... Sił wypdkow z ukłdu trzech nierównoległych sił Rys..4. iegun wielooku sznurowego Rys..5. Sił wypdkow N rysunku.6 sił wypdkow znjduje się pomiędzy promienimi i. ięc ędzie on przechodzić przez punkt przecięci się promieni i. stteczne położenie siły wypdkowej przedstwi rysunek.9. N podstwie rysunku.9 możemy stwierdzić, że sił wypdkow dwóch sił równoległych mjących te sme zwroty znjduje się pomiędzy nimi, liżej siły o większej wrtości.

4 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 4 Rys..6. romienie wielooku sznurowego Rys..7. romienie n kierunku siły Rys..8. romienie n kierunku siły Zkłdmy, że mmy dwie siły równoległe i o przeciwnych zwrotch. N płszczyźnie oiermy iegun. rzedstwi to rysunek.0. Nstępnie znjdujemy wrtość, kierunek orz zwrot siły wypdkowej, któr spełni wrunek (.4). rzedstwi to rysunek.. Łączymy terz początki i końce wszystkich sił z iegunem promienimi, i. rzedstwi to rysunek.. Sił leży pomiędzy promienimi i więc muszą się one przeciąć n kierunku tej siły. rzedstwi to rysunek.. rzedłużmy promień do przecięci się z kierunkiem siły i otrzymujemy punkt. punkcie tym przecinją się promienie i, poniewż sił t znjduje się pomiędzy nimi (rysunek.6). rzedstwi to rysunek.4.

5 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 5 Rys..9. ołożenie wypdkowej dwóch sił równoległych o tych smych zwrotch Rys..0. iegun wielooku sznurowego Rys... Sił wypdkow Rys... romienie wielooku sznurowego N rysunku. sił wypdkow znjduje się pomiędzy promienimi i. ięc ędzie on przechodzić przez punkt przecięci się promieni i. stteczne położenie siły wypdkowej przedstwi rysunek.5.

6 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 6 Rys... romienie n kierunku siły Rys..4. romienie n kierunku siły Rys..5. ołożenie wypdkowej dwóch sił równoległych o przeciwnych zwrotch N podstwie rysunku.5 możemy stwierdzić, że sił wypdkow dwóch sił równoległych mjących przeciwne zwroty znjduje się poz nimi, po stronie siły o większej wrtości. N płszczyźnie dził sił, którą chcemy rozłożyć n dwie skłdowe, których kierunki są równoległe do dwóch prostych i przedstwionych n rysunku.6. Sił, zpisn wektorowo, wynosi więc

7 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 7 Rys..6. Sił i dw kierunki i =. (.7) y znleźć wrtości i zwroty sił orz przenosimy równolegle kierunki i do początku wektor siły. ędą one okmi równoległooku, którego przekątną jest sił. ołożenie sił orz ędzie tkie, y kierunki dziłni tych sił przecinły sią n kierunku siły. rzedstwi to rysunek.7. Rys..7. Rozkłd siły n dwie skłdowe c Rys..8. Sił i trzy kierunki, i c N płszczyźnie dził sił, którą chcemy rozłożyć n trzy skłdowe, których kierunki stnowią trzy proste, i c. roste te są przedstwione n rysunku.8. Nie ędziemy mieli tutj możliwości przesunięci równoległego którejkolwiek skłdowej. Sił, zpisn wektorowo, wynosi więc c =. (.8)

8 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 8 c Rys..9. unkty przecięci kierunków i orz siły i kierunku c y rozłożyć siłę n trzy kierunki dw z nich doprowdzmy do przecięci. ędą to n przykłd kierunki i. trzymmy punkt przedstwiony n rysunku.9. ozostły kierunek c doprowdzmy do przecięci z kierunkiem siły. trzymmy punkt n rysunku.9. Łącząc punkty i otrzymmy zstępczy kierunek przedstwiony n rysunku.0. c Rys..0. Zstępczy kierunek Nstępnie siłę rozkłdmy n kierunki i c. Rozkłd ten przedstwi rysunek.. Możemy go zpisć wektorowo c =. (.9) c c c Rys... Rozkłd siły n skłdowe c orz N koniec nleży zstępczą siłę rozłożyć n dwie skłdowe po kierunkch i. rzedstwi to rysunek.. sttecznie wszystkie trzy skłdowe siły po kierunkch, i c są przedstwione n rysunku..

9 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 9 c c Rys... Rozkłd zstępczej siły n skłdowe po kierunkch i c c Rys.... Trzy skłdowe siły y rozłożyć siłę n dw kierunki i, które są równoległe do tej siły nleży wykorzystć wielook sznurowy. Rysunek.4 przedstwi siłę orz dwie proste równoległe do niej i. Sił znjduje się pomiędzy kierunkmi i. N płszczyźnie oiermy iegun. Rys..4. Sił i dwie proste równoległe do niej i rzenosimy równolegle siłę i łączymy jej końce z iegunem promienimi i. rzedstwi to rysunek.5. Sił znjduje się pomiędzy promienimi i. romienie te muszą się więc przeciąć w punkcie znjdującym się n kierunku siły. rzedstwi to rysunek.6. romień przecin kierunek w punkcie promień przecin kierunek w punkcie. unkty te są przedstwione n rysunku.7. Łącząc punkty i otrzymujemy promień. romień ten przenosimy równolegle do iegun. rzedstwi to rysunek.8. romień numer określ nm wrtości skłdowych siły. Skłdowe te przedstwi rysunek.9. Spełniją one wrunek (.7).

10 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 0 Rys..5. romienie numer i Rys..6. romienie i przecinjące się n kierunku siły Rys..7. unkty i n kierunkch i y rozłożyć siłę n dw kierunki i, które są równoległe do tej siły nleży wykorzystć wielook sznurowy. Rysunek.0 przedstwi siłę orz dwie proste równoległe do niej i. Sił znjduje się poz kierunkmi i. N płszczyźnie oiermy iegun.

11 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Rys..8. romień numer Rys..9. Skłdowe siły Rys..0. Sił i dwie proste równoległe do niej i rzenosimy równolegle siłę i łączymy jej końce z iegunem promienimi i. rzedstwi to rysunek.. Sił znjduje się pomiędzy promienimi i. romienie te muszą się więc przeciąć w punkcie znjdującym się n kierunku siły. rzedstwi to rysunek.. romień przecin kierunek w punkcie promień przecin kierunek w punkcie. unkty te są przedstwione n rysunku.. Łącząc punkty i otrzymujemy promień. romień ten przenosimy równolegle do iegun. rzedstwi

12 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE to rysunek.4. romień numer określ nm wrtości skłdowych siły. Skłdowe te przedstwi rysunek.5. Spełniją one wrunek (.7). Rys... romienie numer i Rys... romienie i przecinjące się n kierunku siły Rys... unkty i n kierunkch i Jeżeli rozkłdmy siłę n dw kierunki równoległe i sił znjduje się wewnątrz tych kierunków to oie skłdowe mją zwroty zgodne ze zwrotem siły.

13 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Rys..4. romień numer Rys..5. Skłdowe siły Jeżeli rozkłdmy siłę n dw kierunki równoległe i sił znjduje się n zewnątrz tych kierunków to oie skłdowe mją zwroty przeciwne do sieie. Zwrot zgodny ze zwrotem siły m skłdow znjdując się liżej siły... nlityczne rozkłdnie sił Njczęściej ędziemy rozkłdli siły n dw kierunki, które są wzjemnie do sieie prostopdłe. Rysunek.6 przedstwi siłę, którą rozkłdmy n dwie skłdowe po kierunkch i. rtości skłdowych wynoszą = cos, (.0) = sin. (.) Jko dodtnią skłdową określimy tą siłę, której zwrot jest zgodny z przyjętym dodtnim kierunkiem. Rysunek.7 przedstwi njczęściej występujący rozkłd siły n kierunek poziomy zgodny ze zwrotem osi X orz kierunek pionowy zgodny ze zwrotem osi Y. rtości skłdowych wyznczymy ze wzorów

14 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 4 α Rys..6. Skłdowe siły Y Y X α X Rys..7. Rozkłd siły n skłdową poziomą i pionową X = cos, (.) Y = sin. (.) oniewż oie skłdowe mją zwroty zgodne ze zwrotmi osi X i Y więc oie ędą dodtnie..4. Moment siły względem punktu Zkłdmy, że sił dził n płszczyźnie Π przedstwionej n rysunku.8. N płszczyźnie tej znjduje się punkt nie leżący n prostej dziłni siły. Sttycznym momentem siły względem punktu nzywmy iloczyn wektorowy M =r, (.4) w którym wektor r jest wektorem wodzącym siły. Jk widć n rysunku.8 ) wektor M jest prostopdły do płszczyzny Π jego zwrot jest zgodny z kierunkiem wkręcni się śruy prwoskrętnej kręcącej się od wektor wodzącego r do wektor siły. Rysunek.8 ) przedstwi widok z góry n płszczyznę Π. ektor momentu siły M zostł zstąpiony strzłką. rtość momentu siły względem punktu wynosi M =r sin 80 =r sin, (.5) którą możemy zpisć jko

15 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 5 ) ) Π M Π r M r 80 -α α Rys..8. Moment siły względem punktu M =, (.6) w którym ozncz odległość siły od punktu n płszczyźnie ntomist ozncz wrtość siły. tym czy jest to moment dodtni czy ujemny decyduje kierunek orotu siły względem punktu. Jeżeli orót nstępuje zgodnie z ruchem wskzówek zegr to ędziemy tki moment przyjmowć jko dodtni. Jeżeli przeciwnie do ruchu wskzówek zegr ędziemy tki moment przyjmowć jko moment ujemny. Rys..9. Moment ukłdu trzech sił Moment kilku sił względem punktu jest sumą momentów od poszczególnych sił. N rysunku.9 przedstwione są trzy siły, których moment względem punktu m wrtość M =. (.7) Sił orc się przeciwnie do ruch wskzówek zegr względem punktu więc jej moment jest ujemny. rą sił nzywmy ukłd dwóch sił o tkich smych wrtościch, kierunkch równoległych do sieie lecz przeciwnych zwrotch. rtość momentu pry sił względem dowolnego punktu wynosi

16 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 6 M =, (.8) w którym jest odległością sił od sieie. Jk widć moment pry sił nie zleży od położeni punktu. Rysunek.40 przedstwi prę sił. Moment M jest dodtni. M Rys..40. Moment pry sił.5. Rekcje w więzch Rysunek.4 przedstwi geometrycznie niezmienną i sttycznie wyznczlną trczę sztywną, n którą dził sił. Sił t może yć wypdkową wielu sił dziłjących n dną trczę. Siły dziłjące n trczę, których wypdkową może yć sił nzywmy siłmi czynnymi. I R Rys..4. Siły dziłjące n trczę sztywną Trcz sztywn jest geometrycznie niezmienn, czyli nie porusz się więc zgodnie z pierwszą zsdą dynmiki siły dziłjące n trczę muszą się równowżyć czyli ich wypdkow musi się równć zero. ynik z tego, że n trczę sztywną musi dziłć jeszcze jedn sił. ynik to tkże z trzeciej zsdy dynmiki. Jeżeli trcz sztywn dził n trczę podporową siłą to trcz podporow musi dziłć n trczę sztywną siłą dziłjącą n tej smej prostej, o tej smej wrtości lecz przeciwnym zwrocie. Siły, którymi trcz podporow dził n trczę sztywną nzywmy siłmi iernymi lu rekcjmi. Rekcj R musi więc spełnić wrunek wektorowy R=. (.9) Rekcje przekzują się z trczy podporowej poprzez więzy. Rekcj R jest więc wypdkową z rekcji dziłjących we wszystkich więzch trczy sztywnej. pręcie podporowym ędzie dziłł jedn rekcj, przedstwion n rysunku.4, której kierunek pokryw się z prętem podporowym. Jedyną niewidomą jest w tym przypdku wrtość rekcji w tym więzie. M to związek z tym, że pręt podporowy odier trczy sztywnej jeden stopnień swoody.

17 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 7 R Rys..4. Rekcj w pręcie podporowym przeguie rzeczywistym dził tkże jedn rekcj, której kierunek przechodzi przez ten przegu jednk w przeciwieństwie do pręt podporowego nie znmy jego kąt nchyleni. Możemy więc stwierdzić, że w przeguie rzeczywistym ędziemy mieli dwie niewidome: wrtość rekcji orz kąt nchyleni kierunku tej rekcji. M to związek z tym, że przegu odier trczy sztywnej dw stopnie swoody. rzedstwi to rysunek.4 ). Ze względów oliczeniowych korzystniej jest rozłożyć rekcję w przeguie rzeczywistym n dwie skłdowe H orz V i wyznczenie wrtości i zwrotów ou skłdowych. rzedstwi to rysunek.4 ). ) ) α R H V Rys..4. Rekcj w przeguie rzeczywistym I II V H Rys..44. Rekcje w przeguie rzeczywistym łączącym dwie trcze sztywne nie ędące podporowymi H V Jeżeli przegu rzeczywisty łączy dwie trcze sztywne, z których żdn nie jest trczą podporową to w przeguie n kżdą z trcz sztywnych dziłją dwie skłdowe rekcji mjące prmi te sme wrtości i kierunek le przeciwne zwroty. rzedstwi je rysunek.44. Ich sum wektorow wynosi oczywiście zero. zyli jeżeli rozptrujemy oie trcze rzem to w przeguie nie dził żdn rekcj, jeżeli rozdzielimy trcze sztywne to w przeguie mmy po dwie skłdowe rekcji. Spełniją one wrunki wektorowe { H I II = H I V II. (.0) = V N podporze przeguowo-przesuwnej, któr odpowid prętowi podporowemu, dził jedn rekcj. Kierunek tej rekcji pokryw się z kierunkiem pręt podporowego. Rekcje w pręcie podporowym orz w podporze przeguowo-przesuwnej przedstwi rysunek.45. odpor przeguowo-nieprzesuwn odier prętowi dw stopnie swoody więc n tej podporze wystąpią dwie rekcje. Njczęściej przyjmuje się, że jedn z nich jest pionow drug poziom. Rysunek.46 przedstwi rekcje n podporze przeguowo-nieprzesuwnej. odpor ślizgow odier tkże dw stopnie swoody więc n tej podporze muszą wystąpić dwie rekcje. N rysunku.47 ) w kżdym z prętów tej podpory występuje pojedyncz rekcj. rtości tych rekcji możn zpisć w sposó przedstwiony n rysunku.47 ) jko

18 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 8 R R R R R R Rys..45. Rekcj n podporze przeguowo-przesuwnej H H V V Rys..46. Rekcj n podporze przeguowo-nieprzesuwnej R = V R R = V R. (.) Rekcje V/ rzem dją nm rekcję pionową V. Ntomist rekcje R stnowią prę sił, którą możn zstąpić odpowiednim momentem M. sttecznie n podporze ślizgowej występują dwie rekcje zznczone n rysunku.47 c). Utwierdzenie odier prętowi trzy stopnie swoody. N podporze tej wystąpią więc trzy rekcje. Rysunek.48 ) przedstwi wszystkie trzy rekcje. Rekcje R orz R zpisujemy zgodnie ze wzorem (.) ntomist rekcję R oznczmy jko rekcję poziomą H. wyniku tych dziłń otrzymmy rekcje przedstwione n rysunku.49. orównując rysunki.45,.46,.47 c) orz.49 widć, że n kżdej z tych podpór występują rekcje o kierunkch, które lokuje dn podpor. odpor przeguowo-przesuwn nie pozwl n przesuw w pewnym kierunku i ten sm kierunek m rekcj n tej podporze. odpor przeguowo-przesuwn lokuje przesuw w poziomie i pionie i tkie kierunki mją oie rekcje. odpor ślizgow lokuje przesuw w pionie orz orót. Rekcje n tej podporze to rekcj pionow orz moment. reszcie utwierdzenie lokuje przesuw w poziomie i w pionie orz orót. Stąd n tej podporze mmy rekcję poziomą, pionową i moment.

19 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 9 ) ) c) M V R R V V R R Rys..47. Rekcje n podporze ślizgowej ) ) R R R R V V R R Rys..48. Rekcje w utwierdzeniu M H V Rys..49. Rekcje w utwierdzeniu yzncznie rekcji w więzch nzywmy nlizą sttyczną. Rysunek.50 przedstwi geometrycznie niezmienną trczę sztywną n którą dził sił czynn. ypdkow rekcj R leży n prostej dziłni siły czynnej i m on tą smą wrtość le przeciwny zwrot. Rekcj t jest wypdkową z rekcji w pręcie podporowym R orz w przeguie R. ektorowo możemy to zpisć jko R=R R. (.)

20 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 0 R I R R R Rys..50. ypdkow rekcj dziłjąc n trczę sztywną Kierunek wypdkowej rekcji R musi przejść przez punkt przecięci się kierunków rekcji skłdowych R orz R. Jednk n rzie nie znmy drugiego punktu n prostej dziłni rekcji w przeguie, znmy ntomist punkt przecięci kierunków siły czynnej orz rekcji R, którym jest punkt. Kierunek rekcji w przeguie musi więc przechodzić przez ten punkt. ten sposó znmy kierunek rekcji R. N koniec możemy wyznczyć rekcje R i R. N rysunku.5 przedstwione są wszystkie siły dziłjące n trczę sztywną. Jeżeli wykonmy ich sumę wektorową to otrzymmy trójkąt przedstwiony n tym rysunku. Trójąt ten nzyw się wielookiem sił. Jk widć wypdkow w wielooku sił jest wektorem zerowym. Tki ukłd sił nzywmy ukłdem w równowdze. I R R R R Rys..5. Siły dziłjące n trczę sztywną Siły dziłjące n trczę sztywną: wypdkow sił czynn orz rekcje w więzch, ędą w równowdze, jeżeli ich kierunki ędą się przecinć w jednym punkcie orz sił wypdkow w wielooku sił ędzie zerow. Innymi słowy siły w wielooku sił muszą się gonić. R R Rys..5. Dwie siły w równowdze dziłjące n trczę sztywną Rysunek.5 przedstwi trczę sztywną ociążoną dwiem siłmi. Jeżeli n trczę sztywną dziłją dwie siły R i R to y trcz ył w równowdze siły te muszą dziłć n tej smej prostej, mieć te sme wrtości le przeciwne zwroty czyli muszą spełnić wrunek wektorowy R = R. (.) rzedstwione powyżej dwie zsdy, kiedy siły dziłjące n trczę sztywną znjdują się w równowdze mją zstosownie przy metodzie wykreślnej wyznczni rekcji. Metodę tę omówimy n konkretnych przykłdch złączonych do niniejszego oprcowni.

21 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Y I X R R Rys..5. Siły dziłjące n trczę sztywną Jednk wykreślne metody nie są dzisij wykorzystywne w prktyce. dlszej części skupimy się n metodzie nlitycznej wyznczni rekcji podporowych, którą zstosujemy do płskich ukłdów prętowych. metodzie tej zerownie się sił w wielooku sił zstępujemy dwom wrunkmi sumy rzutów wszystkich dziłjących n trczę sztywną n dw nierównoległe kierunki. Zgodnie z rysunkiem.5 mogą to yć sumy rzutów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną n oś poziomą X orz pionową Y. Sumy tych rzutów muszą wynosić zero. Są to njczęściej wykorzystywne kierunki. metodzie nlitycznej wrunek przecinni się kierunków wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną w jednym punkcie zstępujemy wrunkiem sumy momentów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną względem dowolnego punktu n płszczyźnie. Sum momentów musi wynosić zero. Sumy rzutów orz sumę momentów nzywmy równnimi równowgi. Zpisujemy je w nstępującej postci { X =0 Y =0 M =0, (.4) w którym dw pierwsze równni to sumy rzutów, trzecie to sum momentów. Możemy tkże wykorzystywć jedno równnie sumy rzutów orz dw równni sumy momentów względem dwóch dowolnych punktów n płszczyźnie. ędą one miły postć { X =0 M =0 M =0 (.5) lu { X =0 M =0 M =0 (.6) Równni równowgi (.5) lu (.6) są njczęściej wykorzystywnymi równnimi przy oliczniu rekcji podporowych w ukłdch prętowych.

22 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE Istnieje tkże trzeci postć równń równowgi. ędą to trzy sumy momentów względem trzech dowolnych punktów. Jednk punkty te nie mogą leżeć n jednej prostej. Równni te ędą miły postć { M =0 M =0 M =0. (.7) łski ukłd prętowy zstępujemy płskim ukłdem trcz sztywnych. Dl kżdej trczy sztywnej określmy kierunki rekcji w więzch orz zkłdmy ich zwroty. dlszej kolejności dl kżdej trczy sztywnej zpisujemy trzy równni równowgi. Jeżeli mmy t trcz sztywnych to otrzymujemy w ten sposó ukłd t równń z t niewidomymi, którymi są rekcje w więzch. Ukłd ten m postć { X =0 Y =0 M =0 X t =0 Y t =0 M t =0. (.8) y ukłd równń (.8) mił rozwiązni wyzncznik główny tego ukłdu musi yć różny od zer. łski ukłd prętowy, dl którego wyzncznik główny ukłdu (.8) jest różny od zer jest ukłdem geometrycznie niezmiennym i sttycznie wyznczlnym. Stnowi to więc wrunek konieczny i dostteczny geometrycznej niezmienności. o rozwiązniu ukłdu równń (.8) otrzymmy wrtości i zwroty rekcji we wszystkich więzch. Jeżeli dn rekcj jest dodtni to m on zwrot zgodny z przyjętym n początku oliczeń. Jeżeli dn rekcj jest ujemn to m on zwrot przeciwny do przyjętego n początku oliczeń. prktyce njczęściej nie trze rozwiązywć cłego ukłdu równń (.8), poniewż d się tk zpisć równni równowgi y z pojedynczego równni wyznczyć jedną rekcję. R Y X R R Rys..54. Trcz sztywn Rysunek.54 przedstwi przykłdową trczę sztywną. Zkłdmy zwroty rekcji w prętch podporowych. unkt jest punktem przecięci kierunków rekcji w prętch numer i ntomist punkt jest punktem przecięci kierunków rekcji w prętch numer i. rtości rekcji wyznczymy z nstępujących wrunków równowgi.

23 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE { X =0 M =0 M =0. (.9) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji R. Z drugiego równni wyznczymy wrtość rekcji R, poniewż momenty pozostłych rekcji względem punktu wynoszą zero. Z trzeciego równni wyznczymy wrtość rekcji R, poniewż momenty pozostłych rekcji względem punktu wynoszą zero. Równnie sumy rzutów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną n oś pionową Y posłuży nm do sprwdzeni poprwności oliczeń wrtości rekcji R i R. I II H H H H V V V V I II Y X H H V V Rys..55. Ukłd trójprzeguowy z przegumi i n jednym poziomie Rysunek.55 przedstwi ukłd trójprzeguowy z przegumi i n jednym poziomie. Zkłdmy zwroty rekcji we wszystkich przeguch. Nleży pmiętć o tym, że w przeguie n kżdą z trcz sztywnych ędą dziłły dwie rekcje, które wrtości spełniją wrunek { H I II =H I V II. (.0) =V rtości pionowych rekcji w przeguch i wyznczymy z nstępujących równń równowgi dl cłego ukłdu trójprzeguowego (trcze sztywne I+II) { M I II =0 I II M =0. (.)

24 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 4 Z pierwszego równni otrzymmy wrtość rekcji V, poniewż momenty pozostłych trzech rekcji, dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy, względem punktu wynoszą zero. Z drugiego równni otrzymmy wrtość rekcji V, poniewż momenty pozostłych trzech rekcji, dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy, względem punktu wynoszą zero. Nstępnie wykorzystmy sumę rzutów wszystkich sił dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy n oś pionową Y w celu sprwdzeni poprwności oliczeni wrtości rekcji V i V. rtość poziomej rekcji w przeguie wyznczymy z wrunku sumy momentów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną numer I względem punktu czyli M I =0. (.) rtość poziomej rekcji w przeguie wyznczymy z wrunku sumy momentów wszystkich sił dziłjących n trczę sztywną numer II względem punktu czyli M II =0. (.) Nstępnie wykorzystmy sumę rzutów wszystkich sił dziłjących n cły ukłd trójprzeguowy n oś poziomą X w celu sprwdzeni poprwności oliczeni wrtości rekcji H i H. rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer I wyznczymy z nstępujących równń równowgi { X I =0 Y I =0. (.4) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer II wyznczymy z nstępujących równń równowgi { X II =0 Y II =0. (.5) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtości rekcji H i H orz V i V muszą spełnić zleżność (.0). Stnowi to sprwdzenie poprwności oliczeni wrtości tych rekcji. Rysunek.56 przedstwi ukłd trójprzeguowy z przegumi i n różnych poziomch. Zkłdmy zwroty rekcji we wszystkich przeguch. Nleży pmiętć o tym, że w przeguie n kżdą z trcz sztywnych ędą dziłły dwie rekcje, które wrtości spełniją wrunek (.0). rtości rekcji w przeguie wyznczymy z nstępujących równń równowgi { M I II =0 I M =0. (.6)

25 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 5 Y I II X H H H V V V H I II V H V H V Rys..56. Ukłd trójprzeguowy z przegumi i n różnych poziomch ierwsze z tych równń dotyczy cłego ukłdu trójprzeguowego ntomist drugie dotyczy tylko trczy sztywnej numer I. Równni (.6) stnowią ukłd równń, z którego możemy wyznczyć wrtości rekcji V i H. rtości rekcji w przeguie wyznczymy z nstępujących równń równowgi { M I II =0 II M =0. (.7) ierwsze z tych równń dotyczy cłego ukłdu trójprzeguowego ntomist drugie dotyczy tylko trczy sztywnej numer II. Równni (.7) stnowią ukłd równń, z którego możemy wyznczyć wrtości rekcji V i H. celu sprwdzeni poprwności oliczeni wrtości rekcji w przeguch i zstosujemy równni dotyczące cłego ukłdu trójprzeguowego { X I II =0 Y I II =0. (.8) rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer I wyznczymy z nstępujących równń równowgi

26 M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE 6 { X I =0 Y I =0. (.9) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtość rekcji w przeguie dziłjących n trczę sztywną numer II wyznczymy z nstępujących równń równowgi { X II =0 Y II =0. (.40) Z pierwszego równni wyznczymy wrtość rekcji H ntomist z drugiego wrtość rekcji V. rtości rekcji H i H orz V i V muszą spełnić zleżność (.0). Stnowi to sprwdzenie poprwności oliczeni wrtości tych rekcji. Zstosownie metody nlitycznej do wyznczni rekcji w więzch płskiego ukłdu trcz sztywnych omówimy n konkretnych przykłdch złączonych do niniejszego oprcowni.