Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
|
|
- Łukasz Osiński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli liczb jest równ to jej wrtość bezwzględn równ jest Jeżeli liczb jest dodtni, to wrtość bezwzględn nic nie zmieni Jeżeli liczb jest ujemn, to wrtość bezwzględn poprzedz liczbę dodtkowym minusem czyniąc zeń liczbę dodtnią Wrtość bezwzględn liczby jest to po prostu odrzucenie minus jeżeli tki liczb posid Wrtość bezwzględną liczby interpretujemy n osi liczbowej jko odległość liczby od zer Równość ozncz, że jest liczbą odległą od zer o, więc lub gdyż tylko te dwie liczby położone są n osi w odległości dw od zer T interpretcj okże się wżn podczs rozwiązywni równń i nierówności Wrtość bezwzględn posid nstępujące włsności: I II b b III b b IV b b V b b Aby je uzsdnić korzystmy bezpośrednio z definicji Przykłdowo dl włsności II mmy, jeżeli, b to b b b Jeżeli jedn z liczb jest zerem, to po obu stronch równości mmy Jeżeli jest ujemne b dodtnie, to b ( ) b b b Przejście od drugiej do trzeciej równości jest możliwe poniewż jest dodtnie dl liczby dodtnich równość pokzno wcześniej Aby pokzć włsność IV (nzyw się tę włsność nierównością trójkąt) zuwżmy, że: Stąd mmy: b b b b Poniewż ( b) b b b b b b (włsność I), więc b b b b wszystkie liczby występujące w tych nierównościch są dodtnie) (gdyż
2 Włsność V jest konsekwencją włsności IV gdyż ( b) b b b stąd wynik, że : b b Podstwijąc w tej nierówności z b liczbę b otrzymmy b b Osttni nierówność pozwl n rozszerzenie nierówności trójkąt, n wzór: VI b b b Zuwżmy pondto, że b ( b) b b z czego będziemy często korzystć Pmiętjąc, że pierwistek rytmetyczny (Definicj 5) jest zwsze nieujemny możemy podć brdzo wżny wzór: Przykłd 43 ) b) c) d) ( 5) 5 5 e) 4 4 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ Kżde równnie, w którym niewidom występuje pod znkiem wrtości bezwzględnej nzywmy równniem z wrtością bezwzględną Nszym celem będzie terz poznnie metod rozwiązywni tkich równń Zczniemy od njprostszych przypdków Przykłd 44 Rozwiążmy równnie: 3 Wykorzystujemy definicję wrtości bezwzględnej:, ( ), Powyższ definicj podzielił oś liczbową n dwie części W części pierwszej, tm gdzie, czyli, ) możn w myśl definicji opuścić symbol wrtości bezwzględnej Równnie przybierze wtedy postć 3, rozwiązniem jego jest liczb 5, któr jk widć nleży do przedziłu,) W części drugiej osi dl, czyli (,) opuszczmy wrtość bezwzględną zmienijąc znk n przeciwny, równnie ztem wygląd nstępująco 3 Rozwiązniem równni jest liczb, rozwiąznie to nleży do przedziłu (,) Podsumowując równnie m dw rozwiązni 5 orz
3 Jk widć w tej metodzie rozptruje się dw przypdki Dl kżdego z nich równnie będzie wyglądć nieco inczej Po znlezieniu rozwiązni nleży sprwdzi, czy rozwiąznie rzeczywiście jest z włściwego przedziłu Przykłd 45 Rozwiążmy równnie Wykorzystujemy włsność, że wrtość bezwzględn jest odległością n osi liczbowej od zer W nszym równniu pytmy nim jk liczb (umieszczon między znkmi bezwzględnej wrtości) oddlon jest od zer o? Oczywiście są dwie tkie liczby minowicie orz Mmy ztem: 3 Metod t jest brdzo krótk i szybko prowdzi do rozwiązni nleży jednk pmiętć, że możemy ją stosowć tylko do równń postci b k Metodę tę nzyw się żrtobliwie metodą zsłnini plcem Wyobrźmy sobie, że zsłnimy kciukiem zwrtość wrtości bezwzględnej i pytmy, jkie liczby zsłonięte kciukiem mj tę włsność, że oddlone są od zer o? Przykłd 46 W ten sm sposób możemy postąpić rozwiązując nierówność W przypdku, zsłnijąc plcem pytmy o liczby, których odległość od zer jest mniejsz niż dw Ztem są to liczby, które nleżą do przedziłu (,), co jest równoznczne z koniunkcj nierówności: z czego wynik, że 3 czyli (,3) W przypdku, zsłnijąc plcem pytmy o liczby, których odległość od zer jest większ niż dw Ztem są to liczby, które nleżą do sumy przedziłów ( ) (, ), co jest równoznczne z lterntywą nierówności: z czego wynik, że 3 czyli (, ) (3, ) Przykłd 47 Czsmi z budowy równni możemy ntychmist odczytć informcję o rozwiązniu Weźmy równnie Skoro po lewej stronie mmy zwsze wielkość nieujemną po prwej zwsze ujemną, równnie jest sprzeczne i ntychmist możn podć rozwiąznie Znlizujmy budowę równni Jest to równniу z zgnieżdżoną wrtością bezwzględną Widć, że zewnętrzn wrtość bezwzględn nie jest potrzebn i nsze równnie równowżne jest równniu, to równnie rozwiązuje Co nleży zpmiętć? wrtość bezwzględn poleg n odrzuceniu znku liczby, możn ją też interpretowć jko odległość liczby od n osi liczbowej, wrtość bezwzględn m nstępujące włsności: I II b b 3
4 III IV b b b b V b b njprostszą metodą rozwiązywni równń i nierówności z bezwzględną wrtością jest metod zsłnini plcem, nierówność typu k spełniją z wnętrz przedziłu ( kk, ), nierówność typu k spełniją leżąc n zewnątrz przedziłu ( kk),, czyli leżące w sumie przedziłów (, k) ( k, ) Zdni przeznczone do smodzielnego rozwiązni Rozwiąż w pmięci nstępujące równni ) b) c) 4 5 d) e) 3 3 f) g) 3 5 h) 4 i) j) 3 Rozwiąż w pmięci nstępujące nierówności ) b) c) 4 5 d) e) 3 3 f) g) 3 5 h) 4 i) j) 3 4
5 Zwnsowne równni i nierówności z wrtością bezwzględną Równni zwierjące wrtość bezwzględną zwykle są brdziej skomplikowne Często spotyk się równni gdzie występuje kilk wrtości bezwzględnych lub jedn wrtość jest zgnieżdżon w drugiej Jeżeli znk równości zstąpimy nierównością otrzymmy nierówność z wrtością bezwzględną Pokżemy n przykłdch jk rozwiązywć tkie zdni Przykłd 48 Rozwżmy równnie brdziej skomplikowne W tym przykłdzie poniewż mmy dwie wrtości bezwzględne nie możemy zstosowć metody zsłnini plcem, pozostje ztem skorzystć z definicji i rozwżyć kilk przypdków, () ( ),, () ( ), Zuwżmy, że ze względu n przypdek () otrzymliśmy dw przedziły, ) orz (,) Ze względu n przypdek () otrzymliśmy kolejne dw przedziły, ) orz (, ) Opuszczmy w tych przedziłch wrtość bezwzględną, zmienijąc lub nie znk przed wyrżeniem stojącym pomiędzy symbolem bezwzględnej wrtości Biorąc to pod uwgę możemy wyróżnić 4 przypdki: ) co ozncz, ), ), ) W tym przypdku obie wrtości bezwzględne możn opuścić bez zminy znku równnie przybierze postć: Znlezione rozwiąznie nleży do przedziłu, w którym go poszukiwno tzn, ) b) co ozncz, ) (,) W tym przypdku jko ewentulny zbiór do poszukiwni rozwiązni otrzymliśmy zbiór pusty Wobec czego brk jest tu rozwiązń c) co ozncz (,), ),) W tym przypdku opuszczjąc pierwszą wrtość bezwzględną zmienimy znk n przeciwny, opuszczjąc drugą wrtość bezwzględną nie zmienimy znku Równnie przybierze postć: ( ) 5
6 Otrzymn tożsmość ozncz, że kżd liczb z rozptrywnego przedziłu spełni równnie (podstwijąc kżdą liczbę z rozptrywnego przedziłu w miejsce otrzymmy prwdziwą równość) Ztem, ) d) co ozncz (,) (, ), ) W tym przypdku równnie przybierze postć: ( ) ( ), ) Zuwżmy, że znleziono rozwiąznie, które nie nleży do zbioru, dl którego określono równnie Ztem liczb nie jest włściwym rozwiązniem w tym przedzile i nleży ją odrzucić Aby zkończyć zdnie nleży zebrć rzem (zsumowć) przypdki ) d) Wnioskujemy z nich, że równnie rozwiązują, Przykłd 49 Równnie 4 (wrtość bezwzględn zgnieżdżon) łtwiej możn rozwiązć metodą odległości od zer N wstępie zuwżmy, że zewnętrzn wrtość bezwzględn może zostć pominięt, gdyż wyrżenie wewnątrz niej n pewno jest dodtnie Ztem równnie przybier prostszą formę: 4 Pytmy terz o liczbę, któr odległ jest od zer o dw Są dwie tkie liczby i Ztem mmy: 4 Rozwiązniem równni są dwie liczby, tzn {, 4} Przykłd 5 Równnie ( ) pomimo swojego wyglądu jest równniem z wrtością bezwzględną, gdyż jk wiemy ( ) Stąd: Osttnie równnie możn rozwiązć korzystjąc z definicji wrtości bezwzględnej:, ( ), 6
7 ) dl to znczy, ) otrzymujemy: Otrzymn sprzeczność pokzuje, że nie m rozwiązń, ztem b) dl to znczy (,) równnie przybierze postć: ( ) Podsumowując stwierdzmy, że jedynym rozwiązniem równni jest Zuwżmy, że korzystnie z definicji wrtości bezwzględnej może być czsmi kłopotliwe Jeżeli równnie posidło jedną wrtość bezwzględną rozróżniliśmy przypdki Dl równń z dwiem wrtościmi bezwzględnymi przypdków do rozwżeni mieliśmy 4 Gdyby równnie zwierło trzy wrtości bezwzględne, nleżłoby rozptrzyć 8 przypdków itd Ztem rozwiąznie nwet prostych równń może okzć się brdzo mozolne Istnieje metod, któr te trudności redukuje Przykłd 5 Rozwiążmy równnie Ustlmy liczby dl których poszczególne wrtości bezwzględne zerują się W nszym przypdku są to liczby,, Zznczmy te liczby n osi liczbowej i rozwżmy przedziły, n które te liczby podzieliły oś I II III IV - Jk widć 8 przypdków, które otrzymlibyśmy korzystjąc w osttnim przykłdzie z definicji wrtości bezwzględnej zredukowno do 4 przypdków Będąc w części I, przedził (, ) otrzymmy równnie ( ) ( ) ( ) Aby szybko się o tym przekonć weźmy jkąkolwiek liczbę (dobrą do obliczeń) z bdnego przedziłu i podstwmy ją w miejsce Ntychmist zorientujemy się czy opuścić wrtość bezwzględną czy przed opuszczeniem poprzedzić ją minusem Dl przykłdu biorąc widzimy, że jest ujemne, ztem poprzedzmy wyrżenie minusem, będzie tkże ujemne, stąd minus (który ze znkiem odejmowni d plus), jest również ujemne dl nszej próbkowej liczby, dltego minus po opuszczeniu wrtości bezwzględnej Mmy więc równnie: Znlezione rozwiąznie nleży do przedziłu (, ), w którym było poszukiwne 7
8 Rozwiązujemy nstępnie równnie w części II tzn dl,) (domykmy tu lewy koniec przedziłu, co jest zgodne z definicją wrtości bezwzględnej), przy ustlniu jk opuścić wrtość bezwzględn njłtwiej próbkowć liczbą ( ) ( ) ( ) Znlezione rozwiąznie nleży do przedziłu,), w którym było poszukiwne Przechodzimy do części III, tzn ( ) ( ) 3, ) 3, ) Otrzymmy: Znlezione rozwiąznie nie nleży do przedziłu, ) ztem trzeb je odrzucić i w tym przedzile brk jest rozwiązń Osttni, IV przypdek obejmuje przedził, ) Podstwijąc jkąkolwiek dużą liczbę z tego przedziłu widzimy, że wszystkie wrtości bezwzględne możn opuścić nie zmienijąc znku Otrzymmy równnie: ( ), ) To rozwiąznie odrzucmy gdyż nie nleży do przedziłu, ) Podsumowując rozwiązniem nszego równni są dwie liczby {, } Przykłd 5 Rozwiązć nierówność 3 Metod rozwiązywni nierówności jest identyczn z metodą rozwiązywni równń, nleży podzielić oś n przedziły i w kżdym opuścić wrtość bezwzględną Nstępnie sprwdzić rozwiąznie tzn wziąć część wspólną przedziłu, w którym jesteśmy i znlezionego przedziłu, który spełni nierówność Wrtości bezwzględne zerują się dl liczb,,, które n osi wyznczją przedziły: (, ),, ),, ),, ) ) (, ) ( ) 3( ) 36 4 (, 8
9 Zwróćmy uwgę, że w przedzile ) (, znleźliśmy rozwiąznie (,, ztem nleży wziąć część wspólną tych przedziłów, czyli (, ) b), ) ( ) 3( ) , ), ), ), ) c), ) ( ) 3( ) 3 6 4,) Tożsmość ozncz, że wszystkie liczby z rozptrywnego przedziłu spełniją nierówność d), ) ( ) 3( ) 36 4 <, ), ), ), ) Podsumowując wszystkie przypdki otrzymujemy Przykłd 5 Rozwiązć równnie Przypdek ten komplikuje wrtość bezwzględn zgnieżdżon Fktycznie występują tu cztery wrtości bezwzględne Nleży ustlić w jkich punktch wrtości bezwzględne się zerują Zcznijmy od wrtości zgnieżdżonej jeżeli To zchodzi dl orz 3 (metod zsłnini plcem) Pozostłe wrtości bezwzględne nie sprwiją kłopotu, zerują się dl liczb,, Liczby te dzielą oś n przedziły: (, 3), 3, ),, ),,),, ) ) ) (, 3 ( ) ( ) 3 b) 3, ) ( ) ( ) 3 9
10 c), ) ( ) d),) ( ) Równnie przyjęło prostszą postć, któr w rozptrywnym przedzile sprowdz się do równni: ( ),) e), ) W rozptrywnym przedzile możn opuścić wrtość bezwzględną, więc: Podsumowując przypdki widzimy, że równnie m jedno rozwiąznie Przykłd 53 Rozwiązć nierówność: Podobnie jk w poprzednim przykłdzie, znjdujemy liczby dl których wrtości bezwzględne zerują się Problem może sprwić wyrżenie Aby się z nim uporć nleży rozwiązć równnie Było to zrobione wcześniej (Punkt 4), rozwiązniem są liczby z przedziłu, W tkim rzie dl liczb z przedziłu, zgnieżdżon wrtość bezwzględn będzie równy Mmy ztem cztery przedziły (wyznczją je trzy punkty,, ) (, ),, ),,),, ) ) ) (, ( ) ( ) 4 Zuwżmy, że obie strony możn podzielić przez i w rozptrywnym przedzile sprowdzić nierówność do postci: (, ) (, ) (, ) ) (,
11 b), ) zgnieżdżon wrtość bezwzględn w tym przedzile zeruje się (,),) (,),) c),) jk poprzednio zgnieżdżon wrtość bezwzględn w tym przedzile zeruje się d), ) \{} z wyjątkiem dl kżdego zchodzi nierówność,, ) \{} (, ) Ztem nierówność wyjściow jest spełnion dl (, ),) (, ) (,) (, ) Co nleży zpmiętć? by rozwiązć równnie z wrtością bezwzględną nleży rozptrywć je w kilku przedziłch tk, żeby znk wrtości bezwzględnej możn było w rozptrywnym przedzile opuścić, przedziły te uzyskujemy dzieląc oś liczbową punktmi, w których wrtości bezwzględne się zerują, nierówności z wrtością bezwzględn rozwiązujemy identycznie jk równni, dzielimy oś n przedziły i opuszczmy wrtości bezwzględne dl poszczególnych przedziłów, nleży pmiętć, że z kżdym rzem porównujemy przedził rozwiązujący z przedziłem gdzie rozwiązni szukmy Co pondto wrto wiedzieć? Równni z wrtością bezwzględną i prmetrem Do tej pory spotykliśmy się z równnimi, które nleżło rozwiązć tzn wskzć zbiór liczb (może to być nwet zbiór pusty), o tkiej włsności, że kżd liczb z tego zbioru podstwion w miejsce niewidomej zmieni równnie w zdnie prwdziwe (w sensie logicznym) Zuwżyliśmy przy tym, że już proste równni z wrtością bezwzględną mogą mieć jedno, kilk lub nie mieć wcle rozwiązń Tym rzem pytnie postwimy inczej Nie będzie ns interesowło smo rozwiąznie le wrunki, które muszą być spełnione by to rozwiąznie istniło lbo istniło kilk rozwiązń lbo rozwiązń nie było wcle Weźmy równnie i zpytjmy, kiedy to równnie posid rozwiąznie lbo precyzyjniej, dl jkiej wrtości prmetru równnie posid rozwiąznie? N pierwszy rzut ok widć, że dl równnie sprowdz się do postci, któr m nieskończenie wiele rozwiązń (wszystkie ) Jeżeli będzie różne od np, nleży skorzystć z definicji wrtości bezwzględnej:
12 , ( ), ) Dl, ) Jeżeli to otrzymujemy sprzeczność czyli b) Dl (, ) Jeżeli to liczb (, ), ztem mmy jedno rozwiąznie Jeżeli to liczb (, ) więc jest brk rozwiązń Podsumowując widzimy, że w zleżności od wrtości prmetru rozptrywne równnie może mieć jedno rozwiąznie, nieskończenie wiele rozwiązń lub może nie mieć ich wcle Odnjdywnie i rozptrywnie poszczególnych przypdków, kiedy równnie posid określoną liczbę rozwiązń nzyw się dyskusją rozwiązń w zleżności od prmetru Zwykle zdni, w których tką dyskusję nleży przeprowdzi są trudniejsze od zdń, w których wystrczy rozwiązć konkretne równnie Przeprowdzić dyskusję rozwiązń równni m m m w zleżności od wrtości prmetru ) Jeżeli m to równnie nie m oczywiście rozwiązń gdyż po stronie prwej mmy liczbę ujemną, po stronie lewej dodtnią b) Jeżeli m równnie m jedno rozwiąznie, jest to c) Jeżeli m równnie m dw rozwiązni, gdyż pytmy wtedy o liczbę, któr odległ jest n osi od o m Jk widomo są dwie tkie liczby po przeciwnych stronch Zdni przeznczone do smodzielnego rozwiązni Rozwiązć nstępujące równni: ) b) 3 3 c)
13 d) 3 e) 3 f) g) 4 4 h) i) j) Rozwiąż nierówności ) b) c) d) e) f) g) 3 3 h) i) j) 3
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoKOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy
KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowo( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoJest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.
Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoJest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.
Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoSTYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoNauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka
Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoWykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoRedukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowomgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Bardziej szczegółowobezkontekstowa generujac X 010 0X0.
1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 7.
Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowo3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
Bardziej szczegółowo5. Zadania tekstowe.
5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.
Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,
Bardziej szczegółowoLaura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale
Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba
Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C
Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż
Bardziej szczegółowo