zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Transkrypt

1 zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy połowie jego długości. Niech D ędzie środkiem odcink AC trójkąt ABC, E (uzupełnij, ptrz rysunek ook) D C Wykż, że ABC ~ CDE C jest kątem wspólnym ABC i CDE. D jest środkiem AC, ztem: CD = AC. 1 2 E jest środkiem CB, ztem zchodzi równość:. N mocy cechy k ABC ~ CDE, skl podoieństw k = 1 2. Trójkąty są podone, co możn powiedzieć o zleżności między kątmi (w puste miejsce wpisz odpowiedni znk: =, <, >) CDE CAB A E B CED CBA Co możn powiedzieć o okch AB i DE (prostopdłe, równoległe): AB DE Skl k =, 1 ztem oki AB i DE są. 2 1

2 Zdnie 2. D jest środkiem odcink AC, E jest środkiem odcink CB. Olicz owód trójkąt ABC, wiedząc, że CD = 5 cm, CE = 4 cm, DE = 7 cm. Zdnie 3. Wykż, że trzy wyrżeni w podnej kolejności: 1 + x y 1, 5 x 1 y, 11 x tworzą ciąg rytmetyczny, y 1, x R. 1 y Te trzy wyrżeni tworzą ciąg rytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy różnic między drugim i pierwszym wyrzem ędzie tk sm jk między trzecim i drugim. 1 = 1 + x pierwszy wyrz ciągu y 1 2 = 5 x drugi wyrz ciągu 1 y 3 = 11 x trzeci wyrz ciągu 1 y 2 1 = 5 x 1 y 1 + x y 1 = 5 x 1 y x 1 y = 6 1 y Olicz różnicę: 3 2 = Skoro 2 1 = 3 2 to te trzy wyrżeni tworzą ciąg rytmetyczny. Sprwdź, czy te trzy wyrżeni w innej kolejności: 11 x 1 y, 1 + x y 1, 5 x 1 y rytmetyczny dl: y 1, x R. tworzą ciąg 2

3 Zdnie 4. Wykż, że licz jest liczą podzielną przez 19. Stosując wzór ( n ) k = nk, możn przeksztłcić różnicę potęg w nstępujący sposó: = = (3 9 ) 2 (2 9 ) 2 Stosując wzór skróconego mnożeni 2 2 = ( )( + ) i wzór nk = ( n ) k, możn dokonć kolejnych przeksztłceń: (3 9 ) 2 (2 9 ) 2 = ( )( ) ( )( ) = ((3 3 ) 3 (2 3 ) 3 )((3 3 ) 3 + (2 3 ) 3 ) Zstosuj wzór n różnicę sześcinów: 3 3 = ( )( ) (3 3 ) 3 (2 3 ) 3 = ( ) Zstosuj wzór n sumę sześcinów: = ( + )( ) (3 3 ) 3 + (2 3 ) 3 = Ztem: = ( ) ( ) Licz 19 jest jednym z czynników: = 27 8 = 19 co dowodzi, że licz jest podzieln przez 19. Zdnie 5. Wykż, że licz jest liczą podzielną przez 7. 3

4 Zdnie 6. Dny jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 i 12. Olicz długości odcinków, n jkie dzieli punkt styczności okręgu wpisnego w trójkąt przeciwprostokątną. Przenlizuj i uzupełnij rozwiąznie tego zdni. Sporządź rysunek. O środek okręgu x = + A, B, C wierzchołki trójkąt 5 F C E r r O r x Olicz długość przeciwprostokątnej, stosując twierdzenie Pitgors. A D 12 B Promień r tego okręgu możn wyznczyć z zleżności pomiędzy polem i owodem trójkąt: P = Owód 2. r P = = 30 Owód = = = 30. r 2 r = 2 N rysunku poprowdź trzy promienie łączące środek okręgu z punktmi styczności. D, E, F punkty styczności Czworokąt ADOF jest kwdrtem o oku 2. Ztem: CF = 5 AF = 5 2 = 3 DB = 12 AD = 12 2 = 10 Czworokąty OECF i DOEB są deltoidmi, ztem: CE = FC => = 3 DB = EB => = 10 4

5 Zdnie 7. Olicz promień okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny równormienny o przeciwprostokątnej długości 6 2. Zdnie 8. Znjdź łąd w rozumowniu, wynikiem którego jest wniosek, że 2. 2 = = = (4 4) = 5. (4 4) / (4 4) 4 = = 5 Czy zuwżyłeś, że oustronnie wykonno dzielenie przez 0? Zdnie 9. Znjdź łąd w rozumowniu, wynikiem którego jest wniosek, że 1 = 2. 1 = = = = / = ( 3 2 ) 2 = ( 3 2 ) 2 ( ) 2 = ( ) 2 / = = 2 5

6 Zdnie 10. N trójkącie ABC opisno okrąg. Co możn powiedzieć o trójkącie ABC, jeżeli widomo, że środek okręgu leży n jednym z oków trójkąt? C A O B Zdnie 11. Olicz pole i owód trójkąt równormiennego ABC, wiedząc, że środek okręgu opisnego n tym trójkącie dzieli jeden z oków n połowy, średnic tego okręgu wynosi 6 cm. C x x A 6 cm B Środek okręgu nleży do jednego z oków trójkąt, ztemδ ABC jest prostokątny równormienny, średnic okręgu jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąt. Stosując twierdzenie Pitgors, olicz x. Olicz pole i owód trójkąt. 6

7 Zdnie 12. Wyzncz wszystkie wrtości prmetru m, dl których nierówność mx 2 + x + 1 > 0 jest spełnion przez kżdą liczę rzeczywistą. Wrunki zdni ędą spełnione, jeśli rmion proli skierowne ędą do góry (m > 0) orz ędzie ujemn (rk miejsc zerowych). Δ m > 0 Nleży oliczyć. = 1 4m < 0 1 4m < 0 4m < 1 m < 1 4 m > 1 4 orz m > 0 Wyzncz część wspólną przedziłów Zdnie 13. Wyzncz wszystkie wrtości p, dl których nierówność px 2 x + 2 > 0 jest spełnion przez kżdą liczę rzeczywistą. 7

8 Zdnie 14. Kolejne kroki pewnego dowodu przedstwiono n rysunkch. c 2 2 c c c 2 Wynik z tego, że A. ( + )( + ) = c 2 B. 2 2 = c 2 C = c 2 Zdnie 15. Wiedząc, że licz 10 jest niewymiern, wykż, że licz jest niewymiern. Przypuśćmy, że licz jest wymiern. Wówczs licz ( ) 2 jest. N mocy wzoru ( ) 2 = Przyjmijmy, że ( ) 2 = p i p W. Wówczs p = Wyzncz z powyższej równości = Licznik tego ułmk jest liczą. Minownik tego ułmk jest liczą. Ztem 20 jest liczą. Porównj otrzymny wniosek z złożeniem zdni. Odp. Licz jest. 8

9 Zdnie 16. Wiedząc, że cos2x jest liczą niewymierną, rozstrzygnij, czy cosx jest również liczą niewymierną. Zdnie 17. Dl pewnych zdrzeń P(A ) = 22 25, P(B ) = 7 10, P(A B) = 2 5. Olicz P(A B). Olicz P(A), korzystjąc z równości: P(A) = 1 P(A ). P(A) = Olicz P(B), korzystjąc z równości: P(B) = 1 P(B ). P(B) = Olicz P(A B), korzystjąc z równości: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 9

10 Zdnie 18. Dl pewnych zdrzeń P(A ) = 1 4, P(B ) = 1 15, P(A B) = Olicz P(A B). ODPOWIEDZI Zdnie cm Zdnie 3. Nie Zdnie Zdnie 9. ( ) 2 = = Zdnie 10. Trójkąt ABC jest prostokątny (kąt wpisny oprty n średnicy), środek okręgu leży n przeciwprostokątnej. Zdnie 11. P = 9 cm 2 Owód = ( ) cm 10

11 Zdnie 12. m ( 1 4 ; + ) Zdnie 13. p > 1 8 Zdnie 14. C Zdnie 17. P(A) = 3 25, P(B) = 3 10, P(A B) = 1 50 Zdnie 18. P(A B) =