EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
|
|
- Karol Przybysz
- 10 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01
2 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź A C D C B Wymgni ogólne Zdnie 1. (0 1) I. Wykorzystnie i tworzenie informcji. Wymgni szczegółowe R.. Zdjący stosuje twierdzeni o reszcie z dzieleni wielominu przez dwumin x. Poprwn odpowiedź: A Zdnie. (0 1) I. Wykorzystnie i tworzenie informcji. R8.5.,.5. Zdjący posługuje się równniem okręgu x y b r orz opisuje koł z pomocą nierówności, rysuje wykres funkcji liniowej, korzystjąc z jej wzoru. Poprwn odpowiedź: C Zdnie. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji. R11.. Zdjący korzyst z włsności pochodnej do wyznczeni przedziłów monotoniczności funkcji. Poprwn odpowiedź: D Zdnie. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji. R6.. Zdjący posługuje się wykresmi funkcji trygonometrycznych (np. przy rozwiązywniu nierówności typu sin x,cos x, tg x ). Poprwn odpowiedź: C Zdnie 5. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji...,.. Zdjący n podstwie wykresu funkcji y f x szkicuje wykresy funkcji y f x, y f x, y f x, y f x ; odczytuje z wykresu włsności funkcji (dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, mksymlne przedziły, w których funkcj mleje, rośnie, m stły znk; punkty, w których funkcj przyjmuje w podnym przedzile wrtość njwiększą lub njmniejszą). Poprwn odpowiedź: B Stron z
3 Zdnie 6. (0 ) zdnie kodowne G6.6.,.1. Zdjący wyłącz wspólny czynnik z wyrzów IV. Użycie i tworzenie sumy lgebricznej poz nwis, używ wzorów skróconego strtegii Poprwn odpowiedź: 10 mnożeni n b orz b. Zdnie 7. (0 ) Długości boków prostokąt są równe orz 5. Oblicz sinus kąt ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąt. II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji Rozwiąznie (I sposób): Przyjmijmy oznczeni jk n rysunku. 6.1., R6.5. Zdjący wykorzystuje definicje i wyzncz wrtości funkcji sinus, cosinus i tngens kątów o mirch od 0 do 180, stosuje wzory n sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. D C S A 5 B Wtedy. Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy AC. Poniewż 5 sin orz cos, więc 5 15 sin sin cos 17 Rozwiąznie (II sposób): Przekątn tego prostokąt m długość. Niech ozncz kąt ostry między przekątnymi tego prostokąt. Obliczmy pole P prostokąt dwom sposobmi: Stąd 15 sin. 17 P 5 15, 1 P sin 17sin. Stron z
4 Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt jeżeli: 5 pod wrtość sin i cos lbo pod sposób obliczeni pol prostokąt przy wykorzystniu sin. Zdjący otrzymuje pkt 15 jeżeli obliczy sin. 17 Zdnie 8. (0 ) n n Oblicz grnicę lim. nn n II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R11.1. Zdjący oblicz grnice funkcji (i grnice jednostronne), korzystjąc z twierdzeń o dziłnich n grnicch i z włsności funkcji ciągłych. Rozwiąznie: n n n n lim n n lim n n n n n 8n 1n8 lim 8 n nn Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt jeżeli poprwnie zpisze wyrżenie n n n n w postci ułmk, np. n n 8n 1n8. Zdjący otrzymuje pkt jeżeli poprwnie obliczy wrtość grnicy. Stron z
5 Zdnie 9. (0 ) x Funkcj f jest określon wzorem f( x) dl kżdej liczby rzeczywistej x. Oblicz x pochodną funkcji f w punkcie x 1. II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R11.. Zdjący oblicz pochodne funkcji wymiernych. Rozwiąznie: x x x x x x 8x f( x) 1 96 f (1). 6, Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt gdy poprwnie pod wzór funkcji f, np. Zdjący otrzymuje pkt gdy obliczy wrtość pochodnej dl x 1: x x f( x) x f (1) x Zdnie 10. (0 ) Funkcj f jest określon wzorem f ( x) x dl kżdej liczby rzeczywistej x. Wyzncz równnie prostej stycznej do wykresu funkcji f, któr jest równoległ do prostej yx 7. IV. Użycie i tworzenie strtegii R11.. Zdjący korzyst z geometrycznej i fizycznej interpretcji pochodnej. Rozwiąznie: Styczn do wykresu funkcji f w punkcie x, f ( x ) jest prostą o równniu 0 0 y f ( x ) f ( x ) x x Obliczmy pochodną funkcji f: f ( x) x Poniewż styczn jest równoległ do prostej o równniu yx 7, więc f( x0 ). Ztem x0 1 i styczn m równnie y1 x 1, czyli yx. Stron 5 z
6 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Obliczenie pochodnej funkcji f: f ( x) x. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu styczności: x0 1. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie równni stycznej w postci np. yx. Zdnie 11. (0 ) Wyzncz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełnijące równnie sin5xsin x 0. IV. Użycie i tworzenie strtegii R6.5. Zdjący stosuje wzory n sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. Rozwiąznie (I sposób): Korzystmy ze wzoru n różnicę sinusów i zpisujemy równnie w postci ztem sin xcosx 0 sin x 0 lub cosx 0 stąd otrzymujemy kolejno: k sin x 0, gdy x k czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą, k cosx 0, gdy x k czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie równni w postci iloczynowej np. sin xcosx 0 Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie rozwiązń równni k sin x 0 : x, gdzie k jest liczbą cłkowitą lbo cosx 0 : k x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Rozwiąznie pełne p. Zpisnie wszystkich rozwiązń równni sin5xsin x 0 : jest liczbą cłkowitą. k x lub k x, gdzie k 6 Stron 6 z
7 Rozwiąznie (II sposób): Zpisujemy równnie w postci sin 5x sin x. Z włsności funkcji sinus wynik, że 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą, ztem k x k, czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub k 6x k, czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie jednej z zleżności: 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie obu zleżności: 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą orz 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Rozwiąznie pełne p. k k Zpisnie wszystkich rozwiązń równni sin5xsin x 0 : x lub x, gdzie k 6 jest liczbą cłkowitą. Uwgi 1. Jeżeli zdjący zpisze jedynie 5x x, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdjący zpisze 5x x orz 5x x, to otrzymuje 1 punkt.. Jeżeli zdjący zpisze tylko jedną z zleżności 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą i w rezultcie uzysk tylko jedną serię k k rozwiązń: x lbo x, gdzie k jest liczbą cłkowitą, to otrzymuje punkty. 6 Stron 7 z
8 Zdnie 1. (0 ) Niech P n ozncz pole koł o promieniu 1, dl n 1. Oblicz sumę wszystkich wyrzów n n ciągu P. IV. Użycie i tworzenie strtegii R5.. Zdjący rozpoznje szeregi geometryczne zbieżne i oblicz ich sumy. Rozwiąznie: 1 1 Pole koł o promieniu rn jest równe n n, czyli P n n. Dl n 1 zchodzi n Pn 1 1 równość 1. Wynik stąd, że P n jest ciągiem geometrycznym o ilorzie q Pn i pierwszym wyrzie P 1 1. Poniewż 1 1, więc sum S wszystkich wyrzów ciągu P jest skończon i jest równ n Schemt ocenini P1 S 1 q 1 1 Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Obliczenie pierwszego wyrzu i ilorzu ciągu P n : P1, 1 q Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Stwierdzenie, że istnieje skończon sum wszystkich wyrzów ciągu P n, np.: 1 q 1 Rozwiąznie pełne... p. Obliczenie sumy S wszystkich wyrzów ciągu P n : S Uwg: Jeżeli zdjący obliczy sumę wszystkich wyrzów ciągu P, le nie stwierdzi, że q 1, to otrzymuje punkty. n Stron 8 z
9 Zdnie 1. (0 ) b Wykż, że jeżeli b 1, to. b V. Rozumownie i rgumentcj R.6. Zdjący dodje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrżeni wymierne; rozszerz i (w łtwych przypdkch) skrc wyrżeni wymierne. Rozwiąznie (I sposób): b Przeksztłcmy nierówność równowżnie. b b b b, b b b, b b b b. Poniewż b, więc możemy obie strony tej nierówności podzielić przez b 0. Otrzymujemy b b. Poniewż b 1, to b 1 orz b Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. b Zpisnie nierówności b Pokonnie zsdniczych trudności zdni p., ztem b b 1 w postci b b b b Stwierdzenie, że dl b 1 nierówność b b b Uwg:. To kończy dowód. jest równowżn nierówności Zdjący zmist podzielić obie strony nierówności przez b 0, może zpisć nierówność b b b 0 w postci równowżnej Rozwiąznie pełne p. Przeprowdzenie pełnego dowodu. Rozwiąznie (II sposób): x Definiujemy funkcję f określoną wzorem f( x) dl kżdej liczby rzeczywistej x x. Obliczmy pochodną funkcji f: 1 x f( x) x Stron 9 z
10 dl 1, Stwierdzmy, że f ( x) 0 x. Wynik stąd, że w przedzile 1, funkcj f jest mlejąc. Ztem dl dowolnych dwóch rgumentów b z tego przedziłu prwdziw b jest nierówność f f b, czyli, co nleżło udowodnić. b Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. x Określenie funkcji f( x) i obliczenie jej pochodnej x Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. 1 x f( x) x Określenie znku pochodnej funkcji f w przedzile 1, : f ( x) 0 Rozwiąznie pełne p. Stwierdzenie, że w przedzile prwdziwości tezy. dl x1, 1, funkcj f jest mlejąc i wywnioskownie Zdnie 1. (0 ) Wykż, że jeżeli,, są kątmi wewnętrznymi trójkąt i cos 0. sin sin sin, to V. Rozumownie i rgumentcj R7.5. Zdjący znjduje związki mirowe w figurch płskich z zstosowniem twierdzeni sinusów i twierdzeni cosinusów. Rozwiąznie (I sposób): Niech bc,, oznczją długości boków trójkąt leżących nprzeciwko kątów, odpowiednio,,,, i niech R będzie promieniem okręgu opisnego n tym trójkącie. Z twierdzeni sinusów otrzymujemy sin R, sin b R c, sin. R Ztem nierówność sin sin sin możemy zpisć w postci Stąd b c, czyli b c cos 0. b b c R R R. b c 0. Ztem z twierdzeni cosinusów otrzymujemy Stron 10 z
11 Uwg: Zmist wykorzystć twierdzenie sinusów możemy również skorzystć ze wzoru n pole trójkąt i wówczs otrzymujemy Dlsz część rozwiązni przebieg tk smo. Schemt ocenini: P P P sin, sin, sin bc c b Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni 1 p. Zstosownie lbo twierdzeni sinusów, np. zpisnie równości: sin wzoru n pole trójkąt i zpisnie równości: Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p. Zpisnie nierówności b c 0. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. R, sin b R, sin c R P P P sin, sin, sin bc c b Zstosownie twierdzeni cosinusów do zpisni równości Rozwiąznie pełne p. Poprwne uzsdnienie, że cos 0. b c cos. b Uwg: Jeżeli zdjący zuwży, że z nierówności b c wynik, że trójkąt jest rozwrtokątny orz jest kątem rozwrtym, stąd cos 0, to otrzymuje punkty. Rozwiąznie (II sposób): Poniewż 180, więc sin sin sin możemy zpisć w postci sin sin 180 sin. Nierówność sin sin sin. Stron 11 z
12 Ze wzoru n sinus sumy kątów otrzymujemy sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin 1cos sin 1 cos sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin Obie strony nierówności możemy podzielić przez sinsin 0, otrzymując sin sin cos cos cos cos sin sin 0 cos 0 Stąd wynik, że 90, więc 90. To ozncz, że cos 0, co kończy dowód. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni 1 p. Doprowdzenie nierówności do postci sin sin sin Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p. Doprowdzenie nierówności do postci sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Doprowdzenie nierówności do postci Rozwiąznie pełne p. Poprwne uzsdnienie, że cos 0. cos 0 Stron 1 z
13 Zdnie 15. (0 ) Punkt E jest środkiem boku BC prostokąt ABCD, w którym AB BC. Punkt F leży n boku CD tego prostokąt orz AEF 90. Udowodnij, że BAE EAF. V. Rozumownie i rgumentcj Rozwiąznie (I sposób): Przedłużmy odcinki AB i EF do przecięci w punkcie G. D G10.1. Zdjący stosuje cechy przystwni trójkątów. F C E A B G Trójkąty ECF i EBG są przystjące (ob są prostokątne, kąty CEF i BEG są równe, gdyż są wierzchołkowe orz CE BE ), skąd EF EG. Ztem trójkąty AEF i AEG są przystjące (ob są prostokątne, AE jest ich wspólną przyprostokątną i przyprostokątne EF i EG mją tę smą długość). Ztem EAF EAB, co kończy dowód. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie, że trójkąty ECF i EBG są przystjące. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie, że trójkąty AEF i AEG są przystjące. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że EAF EAB. Rozwiąznie (II sposób): Przedłużmy odcinki AE i DC do przecięci w punkcie G. D F C G E A B Trójkąty ABE i GCE są przystjące (ob są prostokątne, kąty CEG i BEA są równe, gdyż są wierzchołkowe orz CE BE ), skąd AE GE orz EGC EAB. Prost EF jest więc Stron 1 z
14 symetrlną odcink AG. Ztem AF FG. Trójkąt AGF jest więc równormienny, czyli EAF EGF EAB. To kończy dowód. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie, że trójkąty ABE i GCE są przystjące. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie, że EGF EAB. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że EAF EAB. Rozwiąznie (III sposób): Przyjmijmy oznczeni, jk n rysunku. D x F C b E A B G Trójkąt ABE jest prostokątny, więc AEB 90, kąt AEF jest prosty, więc CEF Ztem trójkąty ABE i ECF są podobne, skąd FC BE EC AB, czyli x b. b b Stąd x. Z twierdzeni Pitgors dl trójkątów ABE i ADF otrzymujemy ztem stąd otrzymujemy orz AE b AF x b b b b AF x b b b b b b cos b orz AG x b cos AF AF b b Stron 1 z
15 b Nstępnie cos cos 1 cos, czyli, co nleżło b b udowodnić. Schemt ocenini III sposobu rozwiązni: Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Zpisnie, że cos b b Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zpisnie, że cos b b orz cos Rozwiąznie pełne... p. Zpisnie, że cos cos. b Rozwiąznie (IV sposób): Przyjmijmy oznczeni, jk n rysunku. D x F C b E A B G Trójkąt ABE jest prostokątny, więc AEB 90, kąt AEF jest prosty, więc CEF Ztem trójkąty ABE i ECF są podobne, skąd FC BE EC AB, czyli x b b b Stąd x Z trójkątów ABE i AGF otrzymujemy b b b b tg orz tg x b b b b tg b Zuwżmy, że tg tg, czyli 1 tg b b b 1 To nleżło udowodnić. b Stron 15 z
16 Schemt ocenini IV sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. b Zpisnie, że tg b Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. b Zpisnie, że tg b Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że tg tg b orz tg Zdnie 16. (0 5) Oblicz prwdopodobieństwo wrunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymmy co njmniej jedną jedynkę, pod wrunkiem, że otrzymmy co njmniej jedną szóstkę. III. Modelownie mtemtyczne R10.. Zdjący oblicz prwdopodobieństwo wrunkowe. Rozwiąznie: Zdrzenimi elementrnymi są wszystkie trzywyrzowe ciągi o wyrzch ze zbioru 1,,,,5,6 (czyli trójelementowe wricje z powtórzenimi tego zbioru). Jest to model klsyczny Wprowdźmy oznczeni dl zdrzeń A otrzymmy co njmniej rz jedno oczko, B otrzymmy co njmniej rz sześć oczek. Mmy obliczyć prwdopodobieństwo wrunkowe P( A B) A B P( A B). P( B) B Moc zdrzeni B obliczymy, korzystjąc z pojęci zdrzeni przeciwnego, które poleg n tym, że nie otrzymmy ni rzu sześciu oczek. B B Zdrzenie A Bjest sumą prmi rozłącznych zdrzeń: otrzymmy rz jedno oczko, rz sześć oczek i rz liczbę oczek ze zbioru,,,5 możliwe są tkie wyniki, otrzymmy rz jedno oczko i dw rzy sześć oczek; możliwe są tkie wyniki, otrzymmy dw rzy jedno oczko i rz sześć oczek; możliwe są tkie wyniki. Stąd AB 0 i Uwg: 0 P( A B) 91 A B możn obliczyć korzystjąc z prw de Morgn. Stron 16 z
17 Schemt ocenini A B A B A B A B A B = Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... 1 p. Zpisnie wzoru n prwdopodobieństwo wrunkowe przy poprwnie wprowdzonych oznczenich. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Obliczenie B 91 lub PB. ( ) Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Obliczenie AB 0 lub P( A B). Rozwiąznie prwie pełne... p. Rozwiąznie zdni do końc z błędmi rchunkowymi. Rozwiąznie pełne... 5 p. Obliczenie Zdnie 17. (0 6) 0 P( A B). 91 Dny jest okrąg 0 x y1 1. W pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych istnieją dw okręgi o1, o styczne zewnętrznie do okręgu o 0 i jednocześnie styczne do obu osi ukłdu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o 1 orz o. o o równniu IV. Użycie i tworzenie strtegii R8.5. Zdjący posługuje się równniem okręgu x y b r orz opisuje koł z pomocą nierówności. Rozwiąznie: Okrąg o równniu x y1 1 m środek w punkcie,1 i promień 1. Z treści zdni wynik, że okręgi o1, o leżą w pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych. Równnie okręgu leżącego w I ćwirtce ukłdu współrzędnych i stycznego do obu osi ukłdu jest postci x r y r r, gdzie r 0. Zpisujemy wrunek styczności okręgów. Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli odległość środków tych okręgów jest równ sumie ich promieni, ztem r r 1 r 1. Stron 17 z
18 Przeksztłcjąc to równnie, otrzymujemy równnie r rozwiązni r 1 1, r 9. Środki S1, S okręgów 1, równ 8. Schemt ocenini: 10r 9 0, które m dw o o mją współrzędne S, 1 1,1 S 9,9 i ich odległość jest Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... 1 p. Zpisnie, że okrąg o równniu x y1 1 m środek w punkcie,1 i promień 1. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zpisnie postci równni okręgu leżącego w I ćwirtce ukłdu współrzędnych i stycznego do obu osi ukłdu jest postci x r y r r, gdzie r 0 Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zpisnie równni wynikjącego z wrunku styczności okręgów r r 1 r 1 Rozwiąznie prwie pełne... 5 p. Rozwiąznie pełne... 6 p. Obliczenie odległości środków okręgów: 8. Zdnie 18. (0 7) Okno n poddszu m mieć ksztłt trpezu równormiennego, którego krótsz podstw i rmion mją długość po dm. Oblicz, jką długość powinn mieć dłuższ podstw tego trpezu, by do pomieszczeni wpdło przez to okno jk njwięcej świtł, czyli by pole powierzchni okn było njwiększe. Oblicz to pole. V. Rozumownie i rgumentcj R11.6. Zdjący stosuje pochodne do rozwiązywni zgdnień optymlizcyjnych. Rozwiąznie (I sposób): Niech x ozncz długość rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę trpezu, h wysokość trpezu. h x x Z geometrycznych wrunków zdni wynik, że 0x. Przy tk przyjętych oznczenich pole trpezu jest określone wzorem: x P h x h i 0x Stron 18 z
19 Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy x h, stąd h 16 x. Pole trpezu, w zleżności od zmiennej x, jest określone wzorem: P x x x x x x x x 8x 18x 56 gdzie 0x. Nleży obliczyć, dl jkiego x spełnijącego nierówność 0x, funkcj P określon P x x 8x 18x 56 przyjmuje wrtość njwiększą. wzorem Funkcj P osiąg wrtość njwiększą, gdy funkcj f x x 8x 18x 56 osiąg w przedzile 0, wrtość njwiększą. Wystrczy więc zbdć funkcję f. Wyznczmy pochodną tej funkcji f x x x 18 Nstępnie obliczmy miejsc zerowe pochodnej: x1 x, x Pondto: f x 0 0,, w przedzile fx 0 w przedzile, Ztem funkcj f jest rosnąc w przedzile 0, i mlejąc w przedzile Poniewż Px f x dl 0,,. x, więc funkcj P jest rosnąc w przedzile 0,, mlejąc w przedzile,. Stąd wynik, że w punkcie x funkcj P przyjmuje wrtość njwiększą. Gdy x, to x 8, czyli dłuższ podstw trpezu m długość 8, pole tego trpezu jest wówczs równe P Odpowiedź: Njwiększe pole, równe 1 dm, m szyb w ksztłcie trpezu, którego dłuższ podstw m długość 8 dm. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni: Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów. Pierwszy etp skłd się z trzech części: ) wybór zmiennej x (długość rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę trpezu) i zpisnie z pomocą tej zmiennej wysokości trpezu: h 16 x P x x 16 x b) zpisnie pol trpezu w zleżności od zmiennej x: c) określenie dziedziny funkcji P: 0, Zdjący może otrzymć mksymlnie po 1 punkcie z relizcję kżdej z części tego etpu, przy czym dziedzin funkcji nie może wynikć jedynie z wyznczonego wzoru funkcji, le z geometrycznych wrunków zdni. Stron 19 z
20 Drugi etp skłd się z trzech części: f x x 8x 18x 56 : ) wyznczenie pochodnej funkcji wielominowej f x x x 18, b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x1 x, x, c) uzsdnienie (np. przez bdnie monotoniczności funkcji), że funkcj P osiąg wrtość njwiększą w punkcie x. Z poprwne rozwiąznie kżdej z części tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt, o ile poprzedni część etpu zostł zrelizown bezbłędnie. Trzeci etp. Obliczenie pol trpezu dl P 1. x : Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt. Uwg: Punkt z trzeci etp przyznjemy tylko w przypdku, gdy zdjący wyznczył poprwnie x. Rozwiąznie (II sposób): Niech x ozncz długość dłuższej podstwy trpezu, h wysokość trpezu. x Długość y rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę x trpezu jest wówczs równ y. Z geometrycznych wrunków zdni wynik, że x 1. Przy tk przyjętych oznczenich pole trpezu jest określone wzorem: x P h i x 1 Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy y h, x h. x x8x16 6x8x16 1 h x 8x 8 stąd Pole trpezu, w zleżności od zmiennej x, jest określone wzorem: x 1 1 Px x 8x 8 x x 8x x 8x 16x 8x 8 x 96x 51x 768 gdzie x 1. h y y Stron 0 z
21 Nleży obliczyć, dl jkiego x spełnijącego nierówność x 1, funkcj P określon 1 wzorem Px x 96x 51x 768 przyjmuje wrtość njwiększą. Funkcj P osiąg wrtość njwiększą, gdy funkcj f x x 96x 51x 768 osiąg w przedzile,1 wrtość njwiększą. Wystrczy więc zbdć funkcję f. Wyznczmy pochodną tej funkcji f x x 19x 51 Nstępnie obliczmy miejsc zerowe pochodnej: x1 x, x 8. Pondto: f x,8 0 w przedzile fx 0 w przedzile 8,1 Ztem funkcj f jest rosnąc w przedzile,8 i mlejąc w przedzile 1 mlejąc w przedzile Poniewż Px f x dl,1 8,1. x, więc funkcj P jest rosnąc w przedzile,8, 8,1. Stąd wynik, że w punkcie x 8 funkcj P przyjmuje wrtość njwiększą. Dl x 8 pole tego trpezu jest równe 8 1 P Odpowiedź.: Njwiększe pole, równe 1 dm, m szyb w ksztłcie trpezu, którego dłuższ podstw m długość 8 dm. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni: Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów. Pierwszy etp skłd się z trzech części: ) wybór zmiennej x (długość dłuższej podstwy trpezu) i zpisnie z pomocą tej zmiennej wysokości trpezu: h 16 x b) zpisnie pol trpezu w zleżności od zmiennej x: x P x x 8x 8 c) określenie dziedziny funkcji P:, 1. Zdjący może otrzymć mksymlnie po 1 punkcie z relizcję kżdej z części tego etpu, przy czym dziedziną funkcji nie może wynikć jedynie z wyznczonego wzoru funkcji, le z geometrycznych wrunków zdni. Drugi etp skłd się z trzech części: f x x 96x 51x 768 : ) wyznczenie pochodnej funkcji wielominowej f x x 19x 51, b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x1 x, x 8, c) uzsdnienie (np. przez bdnie monotoniczności funkcji), że funkcj P osiąg wrtość njwiększą w punkcie x 8. Stron 1 z
22 Z poprwne rozwiąznie kżdej z części tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt, o ile poprzedni część etpu zostł zrelizown bezbłędnie. Trzeci etp. Obliczenie pol trpezu dl 8 P 8 1. x : Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt. Uwg: Punkt z trzeci etp przyznjemy tylko w przypdku, gdy zdjący wyznczył poprwnie x 8. Stron z
Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Wymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =
Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM
usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =
PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Sumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Załącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ Copyright by Now Er Sp z oo Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprwne i spełnijące
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy
Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Nr zd Klucz punktowni zdń zmkniętych 3 5
Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Sumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C
Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż
Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa
Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik
H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM. Modelowe etapy rozwiązywania zadania
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Mtemtyk Poziom rozszerzony Mrzec 09 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. C Obliczenie wrtości funkcji: f(
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje
MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu
MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Plan wynikowy z matematyki
ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU
PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie
( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Sprawdzian całoroczny kl. III
Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0
Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019
Wymgni edukcyjne z mtemtyki dl klsy II liceum (poziom podstwowy) n rok szkolny 08/09 Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY
MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH
MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 08/09 Schemt punktowni zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź uczeń otrzymuje punkt Numer zdni Poprwn odpowiedź 5 6 7 8 9
Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy
Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu
9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW Trpez w trpezie przynmniej jen pr oków jest równoległ δ γ, postwy trpezu c h c, - rmion trpezu α β h wysokość trpezu + 80 α δ β + γ 80 x `Ocinek łączący śroki rmion
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził - Lp Lp temt z.p. z.r. Zkres treści Wykres f() = 1 1 wykres i włsności f() =, gdzie 0 Przesunięcie wykresu f() = wzdłuż osi OX i OY /o wektor/ Postć knoniczn i postć ogóln
Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.
Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 016/017 Zwód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zwody Przedmiot: MATEMATYKA Kls II (67 godz) Rozdził 1. Funkcj liniow 1. Wzór i
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
DZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R MAJ 09 Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Kls technikum Przedmiotowy system ocenini wrz wymgnimi edukcyjnymi Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące (D) i wykrczjące (W). Wymienione
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II
1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie
Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Pobrno ze strony www.sqlmedi.pl Modele odpowiedzi do rkusz Próbnej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 9 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni
Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera
Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
5. Zadania tekstowe.
5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość
SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy
SCHEMAT UNKTOWANIA Wojewódzki Konkurs rzedmiotowy z Mtemtyki dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 0/03 Etp rejonowy rzy punktowniu zdń otwrtych nleży stosowć nstępujące ogólne reguły: Ocenimy rozwiązni zdń
PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189