EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01

2 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź A C D C B Wymgni ogólne Zdnie 1. (0 1) I. Wykorzystnie i tworzenie informcji. Wymgni szczegółowe R.. Zdjący stosuje twierdzeni o reszcie z dzieleni wielominu przez dwumin x. Poprwn odpowiedź: A Zdnie. (0 1) I. Wykorzystnie i tworzenie informcji. R8.5.,.5. Zdjący posługuje się równniem okręgu x y b r orz opisuje koł z pomocą nierówności, rysuje wykres funkcji liniowej, korzystjąc z jej wzoru. Poprwn odpowiedź: C Zdnie. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji. R11.. Zdjący korzyst z włsności pochodnej do wyznczeni przedziłów monotoniczności funkcji. Poprwn odpowiedź: D Zdnie. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji. R6.. Zdjący posługuje się wykresmi funkcji trygonometrycznych (np. przy rozwiązywniu nierówności typu sin x,cos x, tg x ). Poprwn odpowiedź: C Zdnie 5. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji...,.. Zdjący n podstwie wykresu funkcji y f x szkicuje wykresy funkcji y f x, y f x, y f x, y f x ; odczytuje z wykresu włsności funkcji (dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, mksymlne przedziły, w których funkcj mleje, rośnie, m stły znk; punkty, w których funkcj przyjmuje w podnym przedzile wrtość njwiększą lub njmniejszą). Poprwn odpowiedź: B Stron z

3 Zdnie 6. (0 ) zdnie kodowne G6.6.,.1. Zdjący wyłącz wspólny czynnik z wyrzów IV. Użycie i tworzenie sumy lgebricznej poz nwis, używ wzorów skróconego strtegii Poprwn odpowiedź: 10 mnożeni n b orz b. Zdnie 7. (0 ) Długości boków prostokąt są równe orz 5. Oblicz sinus kąt ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąt. II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji Rozwiąznie (I sposób): Przyjmijmy oznczeni jk n rysunku. 6.1., R6.5. Zdjący wykorzystuje definicje i wyzncz wrtości funkcji sinus, cosinus i tngens kątów o mirch od 0 do 180, stosuje wzory n sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. D C S A 5 B Wtedy. Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy AC. Poniewż 5 sin orz cos, więc 5 15 sin sin cos 17 Rozwiąznie (II sposób): Przekątn tego prostokąt m długość. Niech ozncz kąt ostry między przekątnymi tego prostokąt. Obliczmy pole P prostokąt dwom sposobmi: Stąd 15 sin. 17 P 5 15, 1 P sin 17sin. Stron z

4 Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt jeżeli: 5 pod wrtość sin i cos lbo pod sposób obliczeni pol prostokąt przy wykorzystniu sin. Zdjący otrzymuje pkt 15 jeżeli obliczy sin. 17 Zdnie 8. (0 ) n n Oblicz grnicę lim. nn n II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R11.1. Zdjący oblicz grnice funkcji (i grnice jednostronne), korzystjąc z twierdzeń o dziłnich n grnicch i z włsności funkcji ciągłych. Rozwiąznie: n n n n lim n n lim n n n n n 8n 1n8 lim 8 n nn Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt jeżeli poprwnie zpisze wyrżenie n n n n w postci ułmk, np. n n 8n 1n8. Zdjący otrzymuje pkt jeżeli poprwnie obliczy wrtość grnicy. Stron z

5 Zdnie 9. (0 ) x Funkcj f jest określon wzorem f( x) dl kżdej liczby rzeczywistej x. Oblicz x pochodną funkcji f w punkcie x 1. II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R11.. Zdjący oblicz pochodne funkcji wymiernych. Rozwiąznie: x x x x x x 8x f( x) 1 96 f (1). 6, Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt gdy poprwnie pod wzór funkcji f, np. Zdjący otrzymuje pkt gdy obliczy wrtość pochodnej dl x 1: x x f( x) x f (1) x Zdnie 10. (0 ) Funkcj f jest określon wzorem f ( x) x dl kżdej liczby rzeczywistej x. Wyzncz równnie prostej stycznej do wykresu funkcji f, któr jest równoległ do prostej yx 7. IV. Użycie i tworzenie strtegii R11.. Zdjący korzyst z geometrycznej i fizycznej interpretcji pochodnej. Rozwiąznie: Styczn do wykresu funkcji f w punkcie x, f ( x ) jest prostą o równniu 0 0 y f ( x ) f ( x ) x x Obliczmy pochodną funkcji f: f ( x) x Poniewż styczn jest równoległ do prostej o równniu yx 7, więc f( x0 ). Ztem x0 1 i styczn m równnie y1 x 1, czyli yx. Stron 5 z

6 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Obliczenie pochodnej funkcji f: f ( x) x. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu styczności: x0 1. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie równni stycznej w postci np. yx. Zdnie 11. (0 ) Wyzncz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełnijące równnie sin5xsin x 0. IV. Użycie i tworzenie strtegii R6.5. Zdjący stosuje wzory n sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. Rozwiąznie (I sposób): Korzystmy ze wzoru n różnicę sinusów i zpisujemy równnie w postci ztem sin xcosx 0 sin x 0 lub cosx 0 stąd otrzymujemy kolejno: k sin x 0, gdy x k czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą, k cosx 0, gdy x k czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie równni w postci iloczynowej np. sin xcosx 0 Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie rozwiązń równni k sin x 0 : x, gdzie k jest liczbą cłkowitą lbo cosx 0 : k x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Rozwiąznie pełne p. Zpisnie wszystkich rozwiązń równni sin5xsin x 0 : jest liczbą cłkowitą. k x lub k x, gdzie k 6 Stron 6 z

7 Rozwiąznie (II sposób): Zpisujemy równnie w postci sin 5x sin x. Z włsności funkcji sinus wynik, że 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą, ztem k x k, czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub k 6x k, czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie jednej z zleżności: 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie obu zleżności: 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą orz 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Rozwiąznie pełne p. k k Zpisnie wszystkich rozwiązń równni sin5xsin x 0 : x lub x, gdzie k 6 jest liczbą cłkowitą. Uwgi 1. Jeżeli zdjący zpisze jedynie 5x x, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdjący zpisze 5x x orz 5x x, to otrzymuje 1 punkt.. Jeżeli zdjący zpisze tylko jedną z zleżności 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą i w rezultcie uzysk tylko jedną serię k k rozwiązń: x lbo x, gdzie k jest liczbą cłkowitą, to otrzymuje punkty. 6 Stron 7 z

8 Zdnie 1. (0 ) Niech P n ozncz pole koł o promieniu 1, dl n 1. Oblicz sumę wszystkich wyrzów n n ciągu P. IV. Użycie i tworzenie strtegii R5.. Zdjący rozpoznje szeregi geometryczne zbieżne i oblicz ich sumy. Rozwiąznie: 1 1 Pole koł o promieniu rn jest równe n n, czyli P n n. Dl n 1 zchodzi n Pn 1 1 równość 1. Wynik stąd, że P n jest ciągiem geometrycznym o ilorzie q Pn i pierwszym wyrzie P 1 1. Poniewż 1 1, więc sum S wszystkich wyrzów ciągu P jest skończon i jest równ n Schemt ocenini P1 S 1 q 1 1 Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Obliczenie pierwszego wyrzu i ilorzu ciągu P n : P1, 1 q Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Stwierdzenie, że istnieje skończon sum wszystkich wyrzów ciągu P n, np.: 1 q 1 Rozwiąznie pełne... p. Obliczenie sumy S wszystkich wyrzów ciągu P n : S Uwg: Jeżeli zdjący obliczy sumę wszystkich wyrzów ciągu P, le nie stwierdzi, że q 1, to otrzymuje punkty. n Stron 8 z

9 Zdnie 1. (0 ) b Wykż, że jeżeli b 1, to. b V. Rozumownie i rgumentcj R.6. Zdjący dodje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrżeni wymierne; rozszerz i (w łtwych przypdkch) skrc wyrżeni wymierne. Rozwiąznie (I sposób): b Przeksztłcmy nierówność równowżnie. b b b b, b b b, b b b b. Poniewż b, więc możemy obie strony tej nierówności podzielić przez b 0. Otrzymujemy b b. Poniewż b 1, to b 1 orz b Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. b Zpisnie nierówności b Pokonnie zsdniczych trudności zdni p., ztem b b 1 w postci b b b b Stwierdzenie, że dl b 1 nierówność b b b Uwg:. To kończy dowód. jest równowżn nierówności Zdjący zmist podzielić obie strony nierówności przez b 0, może zpisć nierówność b b b 0 w postci równowżnej Rozwiąznie pełne p. Przeprowdzenie pełnego dowodu. Rozwiąznie (II sposób): x Definiujemy funkcję f określoną wzorem f( x) dl kżdej liczby rzeczywistej x x. Obliczmy pochodną funkcji f: 1 x f( x) x Stron 9 z

10 dl 1, Stwierdzmy, że f ( x) 0 x. Wynik stąd, że w przedzile 1, funkcj f jest mlejąc. Ztem dl dowolnych dwóch rgumentów b z tego przedziłu prwdziw b jest nierówność f f b, czyli, co nleżło udowodnić. b Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. x Określenie funkcji f( x) i obliczenie jej pochodnej x Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. 1 x f( x) x Określenie znku pochodnej funkcji f w przedzile 1, : f ( x) 0 Rozwiąznie pełne p. Stwierdzenie, że w przedzile prwdziwości tezy. dl x1, 1, funkcj f jest mlejąc i wywnioskownie Zdnie 1. (0 ) Wykż, że jeżeli,, są kątmi wewnętrznymi trójkąt i cos 0. sin sin sin, to V. Rozumownie i rgumentcj R7.5. Zdjący znjduje związki mirowe w figurch płskich z zstosowniem twierdzeni sinusów i twierdzeni cosinusów. Rozwiąznie (I sposób): Niech bc,, oznczją długości boków trójkąt leżących nprzeciwko kątów, odpowiednio,,,, i niech R będzie promieniem okręgu opisnego n tym trójkącie. Z twierdzeni sinusów otrzymujemy sin R, sin b R c, sin. R Ztem nierówność sin sin sin możemy zpisć w postci Stąd b c, czyli b c cos 0. b b c R R R. b c 0. Ztem z twierdzeni cosinusów otrzymujemy Stron 10 z

11 Uwg: Zmist wykorzystć twierdzenie sinusów możemy również skorzystć ze wzoru n pole trójkąt i wówczs otrzymujemy Dlsz część rozwiązni przebieg tk smo. Schemt ocenini: P P P sin, sin, sin bc c b Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni 1 p. Zstosownie lbo twierdzeni sinusów, np. zpisnie równości: sin wzoru n pole trójkąt i zpisnie równości: Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p. Zpisnie nierówności b c 0. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. R, sin b R, sin c R P P P sin, sin, sin bc c b Zstosownie twierdzeni cosinusów do zpisni równości Rozwiąznie pełne p. Poprwne uzsdnienie, że cos 0. b c cos. b Uwg: Jeżeli zdjący zuwży, że z nierówności b c wynik, że trójkąt jest rozwrtokątny orz jest kątem rozwrtym, stąd cos 0, to otrzymuje punkty. Rozwiąznie (II sposób): Poniewż 180, więc sin sin sin możemy zpisć w postci sin sin 180 sin. Nierówność sin sin sin. Stron 11 z

12 Ze wzoru n sinus sumy kątów otrzymujemy sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin 1cos sin 1 cos sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin Obie strony nierówności możemy podzielić przez sinsin 0, otrzymując sin sin cos cos cos cos sin sin 0 cos 0 Stąd wynik, że 90, więc 90. To ozncz, że cos 0, co kończy dowód. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni 1 p. Doprowdzenie nierówności do postci sin sin sin Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p. Doprowdzenie nierówności do postci sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Doprowdzenie nierówności do postci Rozwiąznie pełne p. Poprwne uzsdnienie, że cos 0. cos 0 Stron 1 z

13 Zdnie 15. (0 ) Punkt E jest środkiem boku BC prostokąt ABCD, w którym AB BC. Punkt F leży n boku CD tego prostokąt orz AEF 90. Udowodnij, że BAE EAF. V. Rozumownie i rgumentcj Rozwiąznie (I sposób): Przedłużmy odcinki AB i EF do przecięci w punkcie G. D G10.1. Zdjący stosuje cechy przystwni trójkątów. F C E A B G Trójkąty ECF i EBG są przystjące (ob są prostokątne, kąty CEF i BEG są równe, gdyż są wierzchołkowe orz CE BE ), skąd EF EG. Ztem trójkąty AEF i AEG są przystjące (ob są prostokątne, AE jest ich wspólną przyprostokątną i przyprostokątne EF i EG mją tę smą długość). Ztem EAF EAB, co kończy dowód. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie, że trójkąty ECF i EBG są przystjące. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie, że trójkąty AEF i AEG są przystjące. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że EAF EAB. Rozwiąznie (II sposób): Przedłużmy odcinki AE i DC do przecięci w punkcie G. D F C G E A B Trójkąty ABE i GCE są przystjące (ob są prostokątne, kąty CEG i BEA są równe, gdyż są wierzchołkowe orz CE BE ), skąd AE GE orz EGC EAB. Prost EF jest więc Stron 1 z

14 symetrlną odcink AG. Ztem AF FG. Trójkąt AGF jest więc równormienny, czyli EAF EGF EAB. To kończy dowód. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie, że trójkąty ABE i GCE są przystjące. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie, że EGF EAB. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że EAF EAB. Rozwiąznie (III sposób): Przyjmijmy oznczeni, jk n rysunku. D x F C b E A B G Trójkąt ABE jest prostokątny, więc AEB 90, kąt AEF jest prosty, więc CEF Ztem trójkąty ABE i ECF są podobne, skąd FC BE EC AB, czyli x b. b b Stąd x. Z twierdzeni Pitgors dl trójkątów ABE i ADF otrzymujemy ztem stąd otrzymujemy orz AE b AF x b b b b AF x b b b b b b cos b orz AG x b cos AF AF b b Stron 1 z

15 b Nstępnie cos cos 1 cos, czyli, co nleżło b b udowodnić. Schemt ocenini III sposobu rozwiązni: Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Zpisnie, że cos b b Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zpisnie, że cos b b orz cos Rozwiąznie pełne... p. Zpisnie, że cos cos. b Rozwiąznie (IV sposób): Przyjmijmy oznczeni, jk n rysunku. D x F C b E A B G Trójkąt ABE jest prostokątny, więc AEB 90, kąt AEF jest prosty, więc CEF Ztem trójkąty ABE i ECF są podobne, skąd FC BE EC AB, czyli x b b b Stąd x Z trójkątów ABE i AGF otrzymujemy b b b b tg orz tg x b b b b tg b Zuwżmy, że tg tg, czyli 1 tg b b b 1 To nleżło udowodnić. b Stron 15 z

16 Schemt ocenini IV sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. b Zpisnie, że tg b Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. b Zpisnie, że tg b Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że tg tg b orz tg Zdnie 16. (0 5) Oblicz prwdopodobieństwo wrunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymmy co njmniej jedną jedynkę, pod wrunkiem, że otrzymmy co njmniej jedną szóstkę. III. Modelownie mtemtyczne R10.. Zdjący oblicz prwdopodobieństwo wrunkowe. Rozwiąznie: Zdrzenimi elementrnymi są wszystkie trzywyrzowe ciągi o wyrzch ze zbioru 1,,,,5,6 (czyli trójelementowe wricje z powtórzenimi tego zbioru). Jest to model klsyczny Wprowdźmy oznczeni dl zdrzeń A otrzymmy co njmniej rz jedno oczko, B otrzymmy co njmniej rz sześć oczek. Mmy obliczyć prwdopodobieństwo wrunkowe P( A B) A B P( A B). P( B) B Moc zdrzeni B obliczymy, korzystjąc z pojęci zdrzeni przeciwnego, które poleg n tym, że nie otrzymmy ni rzu sześciu oczek. B B Zdrzenie A Bjest sumą prmi rozłącznych zdrzeń: otrzymmy rz jedno oczko, rz sześć oczek i rz liczbę oczek ze zbioru,,,5 możliwe są tkie wyniki, otrzymmy rz jedno oczko i dw rzy sześć oczek; możliwe są tkie wyniki, otrzymmy dw rzy jedno oczko i rz sześć oczek; możliwe są tkie wyniki. Stąd AB 0 i Uwg: 0 P( A B) 91 A B możn obliczyć korzystjąc z prw de Morgn. Stron 16 z

17 Schemt ocenini A B A B A B A B A B = Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... 1 p. Zpisnie wzoru n prwdopodobieństwo wrunkowe przy poprwnie wprowdzonych oznczenich. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Obliczenie B 91 lub PB. ( ) Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Obliczenie AB 0 lub P( A B). Rozwiąznie prwie pełne... p. Rozwiąznie zdni do końc z błędmi rchunkowymi. Rozwiąznie pełne... 5 p. Obliczenie Zdnie 17. (0 6) 0 P( A B). 91 Dny jest okrąg 0 x y1 1. W pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych istnieją dw okręgi o1, o styczne zewnętrznie do okręgu o 0 i jednocześnie styczne do obu osi ukłdu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o 1 orz o. o o równniu IV. Użycie i tworzenie strtegii R8.5. Zdjący posługuje się równniem okręgu x y b r orz opisuje koł z pomocą nierówności. Rozwiąznie: Okrąg o równniu x y1 1 m środek w punkcie,1 i promień 1. Z treści zdni wynik, że okręgi o1, o leżą w pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych. Równnie okręgu leżącego w I ćwirtce ukłdu współrzędnych i stycznego do obu osi ukłdu jest postci x r y r r, gdzie r 0. Zpisujemy wrunek styczności okręgów. Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli odległość środków tych okręgów jest równ sumie ich promieni, ztem r r 1 r 1. Stron 17 z

18 Przeksztłcjąc to równnie, otrzymujemy równnie r rozwiązni r 1 1, r 9. Środki S1, S okręgów 1, równ 8. Schemt ocenini: 10r 9 0, które m dw o o mją współrzędne S, 1 1,1 S 9,9 i ich odległość jest Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... 1 p. Zpisnie, że okrąg o równniu x y1 1 m środek w punkcie,1 i promień 1. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zpisnie postci równni okręgu leżącego w I ćwirtce ukłdu współrzędnych i stycznego do obu osi ukłdu jest postci x r y r r, gdzie r 0 Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zpisnie równni wynikjącego z wrunku styczności okręgów r r 1 r 1 Rozwiąznie prwie pełne... 5 p. Rozwiąznie pełne... 6 p. Obliczenie odległości środków okręgów: 8. Zdnie 18. (0 7) Okno n poddszu m mieć ksztłt trpezu równormiennego, którego krótsz podstw i rmion mją długość po dm. Oblicz, jką długość powinn mieć dłuższ podstw tego trpezu, by do pomieszczeni wpdło przez to okno jk njwięcej świtł, czyli by pole powierzchni okn było njwiększe. Oblicz to pole. V. Rozumownie i rgumentcj R11.6. Zdjący stosuje pochodne do rozwiązywni zgdnień optymlizcyjnych. Rozwiąznie (I sposób): Niech x ozncz długość rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę trpezu, h wysokość trpezu. h x x Z geometrycznych wrunków zdni wynik, że 0x. Przy tk przyjętych oznczenich pole trpezu jest określone wzorem: x P h x h i 0x Stron 18 z

19 Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy x h, stąd h 16 x. Pole trpezu, w zleżności od zmiennej x, jest określone wzorem: P x x x x x x x x 8x 18x 56 gdzie 0x. Nleży obliczyć, dl jkiego x spełnijącego nierówność 0x, funkcj P określon P x x 8x 18x 56 przyjmuje wrtość njwiększą. wzorem Funkcj P osiąg wrtość njwiększą, gdy funkcj f x x 8x 18x 56 osiąg w przedzile 0, wrtość njwiększą. Wystrczy więc zbdć funkcję f. Wyznczmy pochodną tej funkcji f x x x 18 Nstępnie obliczmy miejsc zerowe pochodnej: x1 x, x Pondto: f x 0 0,, w przedzile fx 0 w przedzile, Ztem funkcj f jest rosnąc w przedzile 0, i mlejąc w przedzile Poniewż Px f x dl 0,,. x, więc funkcj P jest rosnąc w przedzile 0,, mlejąc w przedzile,. Stąd wynik, że w punkcie x funkcj P przyjmuje wrtość njwiększą. Gdy x, to x 8, czyli dłuższ podstw trpezu m długość 8, pole tego trpezu jest wówczs równe P Odpowiedź: Njwiększe pole, równe 1 dm, m szyb w ksztłcie trpezu, którego dłuższ podstw m długość 8 dm. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni: Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów. Pierwszy etp skłd się z trzech części: ) wybór zmiennej x (długość rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę trpezu) i zpisnie z pomocą tej zmiennej wysokości trpezu: h 16 x P x x 16 x b) zpisnie pol trpezu w zleżności od zmiennej x: c) określenie dziedziny funkcji P: 0, Zdjący może otrzymć mksymlnie po 1 punkcie z relizcję kżdej z części tego etpu, przy czym dziedzin funkcji nie może wynikć jedynie z wyznczonego wzoru funkcji, le z geometrycznych wrunków zdni. Stron 19 z

20 Drugi etp skłd się z trzech części: f x x 8x 18x 56 : ) wyznczenie pochodnej funkcji wielominowej f x x x 18, b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x1 x, x, c) uzsdnienie (np. przez bdnie monotoniczności funkcji), że funkcj P osiąg wrtość njwiększą w punkcie x. Z poprwne rozwiąznie kżdej z części tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt, o ile poprzedni część etpu zostł zrelizown bezbłędnie. Trzeci etp. Obliczenie pol trpezu dl P 1. x : Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt. Uwg: Punkt z trzeci etp przyznjemy tylko w przypdku, gdy zdjący wyznczył poprwnie x. Rozwiąznie (II sposób): Niech x ozncz długość dłuższej podstwy trpezu, h wysokość trpezu. x Długość y rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę x trpezu jest wówczs równ y. Z geometrycznych wrunków zdni wynik, że x 1. Przy tk przyjętych oznczenich pole trpezu jest określone wzorem: x P h i x 1 Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy y h, x h. x x8x16 6x8x16 1 h x 8x 8 stąd Pole trpezu, w zleżności od zmiennej x, jest określone wzorem: x 1 1 Px x 8x 8 x x 8x x 8x 16x 8x 8 x 96x 51x 768 gdzie x 1. h y y Stron 0 z

21 Nleży obliczyć, dl jkiego x spełnijącego nierówność x 1, funkcj P określon 1 wzorem Px x 96x 51x 768 przyjmuje wrtość njwiększą. Funkcj P osiąg wrtość njwiększą, gdy funkcj f x x 96x 51x 768 osiąg w przedzile,1 wrtość njwiększą. Wystrczy więc zbdć funkcję f. Wyznczmy pochodną tej funkcji f x x 19x 51 Nstępnie obliczmy miejsc zerowe pochodnej: x1 x, x 8. Pondto: f x,8 0 w przedzile fx 0 w przedzile 8,1 Ztem funkcj f jest rosnąc w przedzile,8 i mlejąc w przedzile 1 mlejąc w przedzile Poniewż Px f x dl,1 8,1. x, więc funkcj P jest rosnąc w przedzile,8, 8,1. Stąd wynik, że w punkcie x 8 funkcj P przyjmuje wrtość njwiększą. Dl x 8 pole tego trpezu jest równe 8 1 P Odpowiedź.: Njwiększe pole, równe 1 dm, m szyb w ksztłcie trpezu, którego dłuższ podstw m długość 8 dm. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni: Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów. Pierwszy etp skłd się z trzech części: ) wybór zmiennej x (długość dłuższej podstwy trpezu) i zpisnie z pomocą tej zmiennej wysokości trpezu: h 16 x b) zpisnie pol trpezu w zleżności od zmiennej x: x P x x 8x 8 c) określenie dziedziny funkcji P:, 1. Zdjący może otrzymć mksymlnie po 1 punkcie z relizcję kżdej z części tego etpu, przy czym dziedziną funkcji nie może wynikć jedynie z wyznczonego wzoru funkcji, le z geometrycznych wrunków zdni. Drugi etp skłd się z trzech części: f x x 96x 51x 768 : ) wyznczenie pochodnej funkcji wielominowej f x x 19x 51, b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x1 x, x 8, c) uzsdnienie (np. przez bdnie monotoniczności funkcji), że funkcj P osiąg wrtość njwiększą w punkcie x 8. Stron 1 z

22 Z poprwne rozwiąznie kżdej z części tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt, o ile poprzedni część etpu zostł zrelizown bezbłędnie. Trzeci etp. Obliczenie pol trpezu dl 8 P 8 1. x : Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt. Uwg: Punkt z trzeci etp przyznjemy tylko w przypdku, gdy zdjący wyznczył poprwnie x 8. Stron z

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu 9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW Trpez w trpezie przynmniej jen pr oków jest równoległ δ γ, postwy trpezu c h c, - rmion trpezu α β h wysokość trpezu + 80 α δ β + γ 80 x `Ocinek łączący śroki rmion

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

szkicuje wykresy funkcji: f ( x)

szkicuje wykresy funkcji: f ( x) Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls tps Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące oziom Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

MAP1142 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A. Listy zadań

MAP1142 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A. Listy zadań MAP4 ANALIZA MATEMATYCZNA.A Zdni z listy oznczone gwizdką ) są nieco trudniejsze lbo mją chrkter teoretyczny. Jednk nie wychodzą one poz rmy progrmu kursu. Odpowiedzi do zdń z listy możn zweryfikowć z

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 64130 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wielomian P(x)

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014 ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 013/014 WIELOMIANY Tematyka: Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Dodawanie, odejmowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo