EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01

2 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź A C D C B Wymgni ogólne Zdnie 1. (0 1) I. Wykorzystnie i tworzenie informcji. Wymgni szczegółowe R.. Zdjący stosuje twierdzeni o reszcie z dzieleni wielominu przez dwumin x. Poprwn odpowiedź: A Zdnie. (0 1) I. Wykorzystnie i tworzenie informcji. R8.5.,.5. Zdjący posługuje się równniem okręgu x y b r orz opisuje koł z pomocą nierówności, rysuje wykres funkcji liniowej, korzystjąc z jej wzoru. Poprwn odpowiedź: C Zdnie. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji. R11.. Zdjący korzyst z włsności pochodnej do wyznczeni przedziłów monotoniczności funkcji. Poprwn odpowiedź: D Zdnie. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji. R6.. Zdjący posługuje się wykresmi funkcji trygonometrycznych (np. przy rozwiązywniu nierówności typu sin x,cos x, tg x ). Poprwn odpowiedź: C Zdnie 5. (0 1) II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji...,.. Zdjący n podstwie wykresu funkcji y f x szkicuje wykresy funkcji y f x, y f x, y f x, y f x ; odczytuje z wykresu włsności funkcji (dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, mksymlne przedziły, w których funkcj mleje, rośnie, m stły znk; punkty, w których funkcj przyjmuje w podnym przedzile wrtość njwiększą lub njmniejszą). Poprwn odpowiedź: B Stron z

3 Zdnie 6. (0 ) zdnie kodowne G6.6.,.1. Zdjący wyłącz wspólny czynnik z wyrzów IV. Użycie i tworzenie sumy lgebricznej poz nwis, używ wzorów skróconego strtegii Poprwn odpowiedź: 10 mnożeni n b orz b. Zdnie 7. (0 ) Długości boków prostokąt są równe orz 5. Oblicz sinus kąt ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąt. II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji Rozwiąznie (I sposób): Przyjmijmy oznczeni jk n rysunku. 6.1., R6.5. Zdjący wykorzystuje definicje i wyzncz wrtości funkcji sinus, cosinus i tngens kątów o mirch od 0 do 180, stosuje wzory n sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. D C S A 5 B Wtedy. Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy AC. Poniewż 5 sin orz cos, więc 5 15 sin sin cos 17 Rozwiąznie (II sposób): Przekątn tego prostokąt m długość. Niech ozncz kąt ostry między przekątnymi tego prostokąt. Obliczmy pole P prostokąt dwom sposobmi: Stąd 15 sin. 17 P 5 15, 1 P sin 17sin. Stron z

4 Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt jeżeli: 5 pod wrtość sin i cos lbo pod sposób obliczeni pol prostokąt przy wykorzystniu sin. Zdjący otrzymuje pkt 15 jeżeli obliczy sin. 17 Zdnie 8. (0 ) n n Oblicz grnicę lim. nn n II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R11.1. Zdjący oblicz grnice funkcji (i grnice jednostronne), korzystjąc z twierdzeń o dziłnich n grnicch i z włsności funkcji ciągłych. Rozwiąznie: n n n n lim n n lim n n n n n 8n 1n8 lim 8 n nn Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt jeżeli poprwnie zpisze wyrżenie n n n n w postci ułmk, np. n n 8n 1n8. Zdjący otrzymuje pkt jeżeli poprwnie obliczy wrtość grnicy. Stron z

5 Zdnie 9. (0 ) x Funkcj f jest określon wzorem f( x) dl kżdej liczby rzeczywistej x. Oblicz x pochodną funkcji f w punkcie x 1. II. Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R11.. Zdjący oblicz pochodne funkcji wymiernych. Rozwiąznie: x x x x x x 8x f( x) 1 96 f (1). 6, Schemt ocenini Zdjący otrzymuje 1 pkt gdy poprwnie pod wzór funkcji f, np. Zdjący otrzymuje pkt gdy obliczy wrtość pochodnej dl x 1: x x f( x) x f (1) x Zdnie 10. (0 ) Funkcj f jest określon wzorem f ( x) x dl kżdej liczby rzeczywistej x. Wyzncz równnie prostej stycznej do wykresu funkcji f, któr jest równoległ do prostej yx 7. IV. Użycie i tworzenie strtegii R11.. Zdjący korzyst z geometrycznej i fizycznej interpretcji pochodnej. Rozwiąznie: Styczn do wykresu funkcji f w punkcie x, f ( x ) jest prostą o równniu 0 0 y f ( x ) f ( x ) x x Obliczmy pochodną funkcji f: f ( x) x Poniewż styczn jest równoległ do prostej o równniu yx 7, więc f( x0 ). Ztem x0 1 i styczn m równnie y1 x 1, czyli yx. Stron 5 z

6 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Obliczenie pochodnej funkcji f: f ( x) x. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu styczności: x0 1. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie równni stycznej w postci np. yx. Zdnie 11. (0 ) Wyzncz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełnijące równnie sin5xsin x 0. IV. Użycie i tworzenie strtegii R6.5. Zdjący stosuje wzory n sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. Rozwiąznie (I sposób): Korzystmy ze wzoru n różnicę sinusów i zpisujemy równnie w postci ztem sin xcosx 0 sin x 0 lub cosx 0 stąd otrzymujemy kolejno: k sin x 0, gdy x k czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą, k cosx 0, gdy x k czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie równni w postci iloczynowej np. sin xcosx 0 Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie rozwiązń równni k sin x 0 : x, gdzie k jest liczbą cłkowitą lbo cosx 0 : k x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Rozwiąznie pełne p. Zpisnie wszystkich rozwiązń równni sin5xsin x 0 : jest liczbą cłkowitą. k x lub k x, gdzie k 6 Stron 6 z

7 Rozwiąznie (II sposób): Zpisujemy równnie w postci sin 5x sin x. Z włsności funkcji sinus wynik, że 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą, ztem k x k, czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub k 6x k, czyli x, gdzie k jest liczbą cłkowitą. 6 Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie jednej z zleżności: 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie obu zleżności: 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą orz 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Rozwiąznie pełne p. k k Zpisnie wszystkich rozwiązń równni sin5xsin x 0 : x lub x, gdzie k 6 jest liczbą cłkowitą. Uwgi 1. Jeżeli zdjący zpisze jedynie 5x x, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdjący zpisze 5x x orz 5x x, to otrzymuje 1 punkt.. Jeżeli zdjący zpisze tylko jedną z zleżności 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą lub 5x x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą i w rezultcie uzysk tylko jedną serię k k rozwiązń: x lbo x, gdzie k jest liczbą cłkowitą, to otrzymuje punkty. 6 Stron 7 z

8 Zdnie 1. (0 ) Niech P n ozncz pole koł o promieniu 1, dl n 1. Oblicz sumę wszystkich wyrzów n n ciągu P. IV. Użycie i tworzenie strtegii R5.. Zdjący rozpoznje szeregi geometryczne zbieżne i oblicz ich sumy. Rozwiąznie: 1 1 Pole koł o promieniu rn jest równe n n, czyli P n n. Dl n 1 zchodzi n Pn 1 1 równość 1. Wynik stąd, że P n jest ciągiem geometrycznym o ilorzie q Pn i pierwszym wyrzie P 1 1. Poniewż 1 1, więc sum S wszystkich wyrzów ciągu P jest skończon i jest równ n Schemt ocenini P1 S 1 q 1 1 Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Obliczenie pierwszego wyrzu i ilorzu ciągu P n : P1, 1 q Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Stwierdzenie, że istnieje skończon sum wszystkich wyrzów ciągu P n, np.: 1 q 1 Rozwiąznie pełne... p. Obliczenie sumy S wszystkich wyrzów ciągu P n : S Uwg: Jeżeli zdjący obliczy sumę wszystkich wyrzów ciągu P, le nie stwierdzi, że q 1, to otrzymuje punkty. n Stron 8 z

9 Zdnie 1. (0 ) b Wykż, że jeżeli b 1, to. b V. Rozumownie i rgumentcj R.6. Zdjący dodje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrżeni wymierne; rozszerz i (w łtwych przypdkch) skrc wyrżeni wymierne. Rozwiąznie (I sposób): b Przeksztłcmy nierówność równowżnie. b b b b, b b b, b b b b. Poniewż b, więc możemy obie strony tej nierówności podzielić przez b 0. Otrzymujemy b b. Poniewż b 1, to b 1 orz b Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. b Zpisnie nierówności b Pokonnie zsdniczych trudności zdni p., ztem b b 1 w postci b b b b Stwierdzenie, że dl b 1 nierówność b b b Uwg:. To kończy dowód. jest równowżn nierówności Zdjący zmist podzielić obie strony nierówności przez b 0, może zpisć nierówność b b b 0 w postci równowżnej Rozwiąznie pełne p. Przeprowdzenie pełnego dowodu. Rozwiąznie (II sposób): x Definiujemy funkcję f określoną wzorem f( x) dl kżdej liczby rzeczywistej x x. Obliczmy pochodną funkcji f: 1 x f( x) x Stron 9 z

10 dl 1, Stwierdzmy, że f ( x) 0 x. Wynik stąd, że w przedzile 1, funkcj f jest mlejąc. Ztem dl dowolnych dwóch rgumentów b z tego przedziłu prwdziw b jest nierówność f f b, czyli, co nleżło udowodnić. b Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. x Określenie funkcji f( x) i obliczenie jej pochodnej x Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. 1 x f( x) x Określenie znku pochodnej funkcji f w przedzile 1, : f ( x) 0 Rozwiąznie pełne p. Stwierdzenie, że w przedzile prwdziwości tezy. dl x1, 1, funkcj f jest mlejąc i wywnioskownie Zdnie 1. (0 ) Wykż, że jeżeli,, są kątmi wewnętrznymi trójkąt i cos 0. sin sin sin, to V. Rozumownie i rgumentcj R7.5. Zdjący znjduje związki mirowe w figurch płskich z zstosowniem twierdzeni sinusów i twierdzeni cosinusów. Rozwiąznie (I sposób): Niech bc,, oznczją długości boków trójkąt leżących nprzeciwko kątów, odpowiednio,,,, i niech R będzie promieniem okręgu opisnego n tym trójkącie. Z twierdzeni sinusów otrzymujemy sin R, sin b R c, sin. R Ztem nierówność sin sin sin możemy zpisć w postci Stąd b c, czyli b c cos 0. b b c R R R. b c 0. Ztem z twierdzeni cosinusów otrzymujemy Stron 10 z

11 Uwg: Zmist wykorzystć twierdzenie sinusów możemy również skorzystć ze wzoru n pole trójkąt i wówczs otrzymujemy Dlsz część rozwiązni przebieg tk smo. Schemt ocenini: P P P sin, sin, sin bc c b Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni 1 p. Zstosownie lbo twierdzeni sinusów, np. zpisnie równości: sin wzoru n pole trójkąt i zpisnie równości: Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p. Zpisnie nierówności b c 0. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. R, sin b R, sin c R P P P sin, sin, sin bc c b Zstosownie twierdzeni cosinusów do zpisni równości Rozwiąznie pełne p. Poprwne uzsdnienie, że cos 0. b c cos. b Uwg: Jeżeli zdjący zuwży, że z nierówności b c wynik, że trójkąt jest rozwrtokątny orz jest kątem rozwrtym, stąd cos 0, to otrzymuje punkty. Rozwiąznie (II sposób): Poniewż 180, więc sin sin sin możemy zpisć w postci sin sin 180 sin. Nierówność sin sin sin. Stron 11 z

12 Ze wzoru n sinus sumy kątów otrzymujemy sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin 1cos sin 1 cos sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin Obie strony nierówności możemy podzielić przez sinsin 0, otrzymując sin sin cos cos cos cos sin sin 0 cos 0 Stąd wynik, że 90, więc 90. To ozncz, że cos 0, co kończy dowód. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni 1 p. Doprowdzenie nierówności do postci sin sin sin Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp p. Doprowdzenie nierówności do postci sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Doprowdzenie nierówności do postci Rozwiąznie pełne p. Poprwne uzsdnienie, że cos 0. cos 0 Stron 1 z

13 Zdnie 15. (0 ) Punkt E jest środkiem boku BC prostokąt ABCD, w którym AB BC. Punkt F leży n boku CD tego prostokąt orz AEF 90. Udowodnij, że BAE EAF. V. Rozumownie i rgumentcj Rozwiąznie (I sposób): Przedłużmy odcinki AB i EF do przecięci w punkcie G. D G10.1. Zdjący stosuje cechy przystwni trójkątów. F C E A B G Trójkąty ECF i EBG są przystjące (ob są prostokątne, kąty CEF i BEG są równe, gdyż są wierzchołkowe orz CE BE ), skąd EF EG. Ztem trójkąty AEF i AEG są przystjące (ob są prostokątne, AE jest ich wspólną przyprostokątną i przyprostokątne EF i EG mją tę smą długość). Ztem EAF EAB, co kończy dowód. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie, że trójkąty ECF i EBG są przystjące. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie, że trójkąty AEF i AEG są przystjące. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że EAF EAB. Rozwiąznie (II sposób): Przedłużmy odcinki AE i DC do przecięci w punkcie G. D F C G E A B Trójkąty ABE i GCE są przystjące (ob są prostokątne, kąty CEG i BEA są równe, gdyż są wierzchołkowe orz CE BE ), skąd AE GE orz EGC EAB. Prost EF jest więc Stron 1 z

14 symetrlną odcink AG. Ztem AF FG. Trójkąt AGF jest więc równormienny, czyli EAF EGF EAB. To kończy dowód. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. Zpisnie, że trójkąty ABE i GCE są przystjące. Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. Zpisnie, że EGF EAB. Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że EAF EAB. Rozwiąznie (III sposób): Przyjmijmy oznczeni, jk n rysunku. D x F C b E A B G Trójkąt ABE jest prostokątny, więc AEB 90, kąt AEF jest prosty, więc CEF Ztem trójkąty ABE i ECF są podobne, skąd FC BE EC AB, czyli x b. b b Stąd x. Z twierdzeni Pitgors dl trójkątów ABE i ADF otrzymujemy ztem stąd otrzymujemy orz AE b AF x b b b b AF x b b b b b b cos b orz AG x b cos AF AF b b Stron 1 z

15 b Nstępnie cos cos 1 cos, czyli, co nleżło b b udowodnić. Schemt ocenini III sposobu rozwiązni: Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Zpisnie, że cos b b Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zpisnie, że cos b b orz cos Rozwiąznie pełne... p. Zpisnie, że cos cos. b Rozwiąznie (IV sposób): Przyjmijmy oznczeni, jk n rysunku. D x F C b E A B G Trójkąt ABE jest prostokątny, więc AEB 90, kąt AEF jest prosty, więc CEF Ztem trójkąty ABE i ECF są podobne, skąd FC BE EC AB, czyli x b b b Stąd x Z trójkątów ABE i AGF otrzymujemy b b b b tg orz tg x b b b b tg b Zuwżmy, że tg tg, czyli 1 tg b b b 1 To nleżło udowodnić. b Stron 15 z

16 Schemt ocenini IV sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp 1 p. b Zpisnie, że tg b Pokonnie zsdniczych trudności zdni p. b Zpisnie, że tg b Rozwiąznie pełne p. Zpisnie, że tg tg b orz tg Zdnie 16. (0 5) Oblicz prwdopodobieństwo wrunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymmy co njmniej jedną jedynkę, pod wrunkiem, że otrzymmy co njmniej jedną szóstkę. III. Modelownie mtemtyczne R10.. Zdjący oblicz prwdopodobieństwo wrunkowe. Rozwiąznie: Zdrzenimi elementrnymi są wszystkie trzywyrzowe ciągi o wyrzch ze zbioru 1,,,,5,6 (czyli trójelementowe wricje z powtórzenimi tego zbioru). Jest to model klsyczny Wprowdźmy oznczeni dl zdrzeń A otrzymmy co njmniej rz jedno oczko, B otrzymmy co njmniej rz sześć oczek. Mmy obliczyć prwdopodobieństwo wrunkowe P( A B) A B P( A B). P( B) B Moc zdrzeni B obliczymy, korzystjąc z pojęci zdrzeni przeciwnego, które poleg n tym, że nie otrzymmy ni rzu sześciu oczek. B B Zdrzenie A Bjest sumą prmi rozłącznych zdrzeń: otrzymmy rz jedno oczko, rz sześć oczek i rz liczbę oczek ze zbioru,,,5 możliwe są tkie wyniki, otrzymmy rz jedno oczko i dw rzy sześć oczek; możliwe są tkie wyniki, otrzymmy dw rzy jedno oczko i rz sześć oczek; możliwe są tkie wyniki. Stąd AB 0 i Uwg: 0 P( A B) 91 A B możn obliczyć korzystjąc z prw de Morgn. Stron 16 z

17 Schemt ocenini A B A B A B A B A B = Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... 1 p. Zpisnie wzoru n prwdopodobieństwo wrunkowe przy poprwnie wprowdzonych oznczenich. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Obliczenie B 91 lub PB. ( ) Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Obliczenie AB 0 lub P( A B). Rozwiąznie prwie pełne... p. Rozwiąznie zdni do końc z błędmi rchunkowymi. Rozwiąznie pełne... 5 p. Obliczenie Zdnie 17. (0 6) 0 P( A B). 91 Dny jest okrąg 0 x y1 1. W pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych istnieją dw okręgi o1, o styczne zewnętrznie do okręgu o 0 i jednocześnie styczne do obu osi ukłdu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o 1 orz o. o o równniu IV. Użycie i tworzenie strtegii R8.5. Zdjący posługuje się równniem okręgu x y b r orz opisuje koł z pomocą nierówności. Rozwiąznie: Okrąg o równniu x y1 1 m środek w punkcie,1 i promień 1. Z treści zdni wynik, że okręgi o1, o leżą w pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych. Równnie okręgu leżącego w I ćwirtce ukłdu współrzędnych i stycznego do obu osi ukłdu jest postci x r y r r, gdzie r 0. Zpisujemy wrunek styczności okręgów. Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli odległość środków tych okręgów jest równ sumie ich promieni, ztem r r 1 r 1. Stron 17 z

18 Przeksztłcjąc to równnie, otrzymujemy równnie r rozwiązni r 1 1, r 9. Środki S1, S okręgów 1, równ 8. Schemt ocenini: 10r 9 0, które m dw o o mją współrzędne S, 1 1,1 S 9,9 i ich odległość jest Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... 1 p. Zpisnie, że okrąg o równniu x y1 1 m środek w punkcie,1 i promień 1. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zpisnie postci równni okręgu leżącego w I ćwirtce ukłdu współrzędnych i stycznego do obu osi ukłdu jest postci x r y r r, gdzie r 0 Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zpisnie równni wynikjącego z wrunku styczności okręgów r r 1 r 1 Rozwiąznie prwie pełne... 5 p. Rozwiąznie pełne... 6 p. Obliczenie odległości środków okręgów: 8. Zdnie 18. (0 7) Okno n poddszu m mieć ksztłt trpezu równormiennego, którego krótsz podstw i rmion mją długość po dm. Oblicz, jką długość powinn mieć dłuższ podstw tego trpezu, by do pomieszczeni wpdło przez to okno jk njwięcej świtł, czyli by pole powierzchni okn było njwiększe. Oblicz to pole. V. Rozumownie i rgumentcj R11.6. Zdjący stosuje pochodne do rozwiązywni zgdnień optymlizcyjnych. Rozwiąznie (I sposób): Niech x ozncz długość rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę trpezu, h wysokość trpezu. h x x Z geometrycznych wrunków zdni wynik, że 0x. Przy tk przyjętych oznczenich pole trpezu jest określone wzorem: x P h x h i 0x Stron 18 z

19 Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy x h, stąd h 16 x. Pole trpezu, w zleżności od zmiennej x, jest określone wzorem: P x x x x x x x x 8x 18x 56 gdzie 0x. Nleży obliczyć, dl jkiego x spełnijącego nierówność 0x, funkcj P określon P x x 8x 18x 56 przyjmuje wrtość njwiększą. wzorem Funkcj P osiąg wrtość njwiększą, gdy funkcj f x x 8x 18x 56 osiąg w przedzile 0, wrtość njwiększą. Wystrczy więc zbdć funkcję f. Wyznczmy pochodną tej funkcji f x x x 18 Nstępnie obliczmy miejsc zerowe pochodnej: x1 x, x Pondto: f x 0 0,, w przedzile fx 0 w przedzile, Ztem funkcj f jest rosnąc w przedzile 0, i mlejąc w przedzile Poniewż Px f x dl 0,,. x, więc funkcj P jest rosnąc w przedzile 0,, mlejąc w przedzile,. Stąd wynik, że w punkcie x funkcj P przyjmuje wrtość njwiększą. Gdy x, to x 8, czyli dłuższ podstw trpezu m długość 8, pole tego trpezu jest wówczs równe P Odpowiedź: Njwiększe pole, równe 1 dm, m szyb w ksztłcie trpezu, którego dłuższ podstw m długość 8 dm. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni: Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów. Pierwszy etp skłd się z trzech części: ) wybór zmiennej x (długość rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę trpezu) i zpisnie z pomocą tej zmiennej wysokości trpezu: h 16 x P x x 16 x b) zpisnie pol trpezu w zleżności od zmiennej x: c) określenie dziedziny funkcji P: 0, Zdjący może otrzymć mksymlnie po 1 punkcie z relizcję kżdej z części tego etpu, przy czym dziedzin funkcji nie może wynikć jedynie z wyznczonego wzoru funkcji, le z geometrycznych wrunków zdni. Stron 19 z

20 Drugi etp skłd się z trzech części: f x x 8x 18x 56 : ) wyznczenie pochodnej funkcji wielominowej f x x x 18, b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x1 x, x, c) uzsdnienie (np. przez bdnie monotoniczności funkcji), że funkcj P osiąg wrtość njwiększą w punkcie x. Z poprwne rozwiąznie kżdej z części tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt, o ile poprzedni część etpu zostł zrelizown bezbłędnie. Trzeci etp. Obliczenie pol trpezu dl P 1. x : Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt. Uwg: Punkt z trzeci etp przyznjemy tylko w przypdku, gdy zdjący wyznczył poprwnie x. Rozwiąznie (II sposób): Niech x ozncz długość dłuższej podstwy trpezu, h wysokość trpezu. x Długość y rzutu prostokątnego rmieni trpezu n prostą zwierjąc dłuższą podstwę x trpezu jest wówczs równ y. Z geometrycznych wrunków zdni wynik, że x 1. Przy tk przyjętych oznczenich pole trpezu jest określone wzorem: x P h i x 1 Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy y h, x h. x x8x16 6x8x16 1 h x 8x 8 stąd Pole trpezu, w zleżności od zmiennej x, jest określone wzorem: x 1 1 Px x 8x 8 x x 8x x 8x 16x 8x 8 x 96x 51x 768 gdzie x 1. h y y Stron 0 z

21 Nleży obliczyć, dl jkiego x spełnijącego nierówność x 1, funkcj P określon 1 wzorem Px x 96x 51x 768 przyjmuje wrtość njwiększą. Funkcj P osiąg wrtość njwiększą, gdy funkcj f x x 96x 51x 768 osiąg w przedzile,1 wrtość njwiększą. Wystrczy więc zbdć funkcję f. Wyznczmy pochodną tej funkcji f x x 19x 51 Nstępnie obliczmy miejsc zerowe pochodnej: x1 x, x 8. Pondto: f x,8 0 w przedzile fx 0 w przedzile 8,1 Ztem funkcj f jest rosnąc w przedzile,8 i mlejąc w przedzile 1 mlejąc w przedzile Poniewż Px f x dl,1 8,1. x, więc funkcj P jest rosnąc w przedzile,8, 8,1. Stąd wynik, że w punkcie x 8 funkcj P przyjmuje wrtość njwiększą. Dl x 8 pole tego trpezu jest równe 8 1 P Odpowiedź.: Njwiększe pole, równe 1 dm, m szyb w ksztłcie trpezu, którego dłuższ podstw m długość 8 dm. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni: Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów. Pierwszy etp skłd się z trzech części: ) wybór zmiennej x (długość dłuższej podstwy trpezu) i zpisnie z pomocą tej zmiennej wysokości trpezu: h 16 x b) zpisnie pol trpezu w zleżności od zmiennej x: x P x x 8x 8 c) określenie dziedziny funkcji P:, 1. Zdjący może otrzymć mksymlnie po 1 punkcie z relizcję kżdej z części tego etpu, przy czym dziedziną funkcji nie może wynikć jedynie z wyznczonego wzoru funkcji, le z geometrycznych wrunków zdni. Drugi etp skłd się z trzech części: f x x 96x 51x 768 : ) wyznczenie pochodnej funkcji wielominowej f x x 19x 51, b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x1 x, x 8, c) uzsdnienie (np. przez bdnie monotoniczności funkcji), że funkcj P osiąg wrtość njwiększą w punkcie x 8. Stron 1 z

22 Z poprwne rozwiąznie kżdej z części tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt, o ile poprzedni część etpu zostł zrelizown bezbłędnie. Trzeci etp. Obliczenie pol trpezu dl 8 P 8 1. x : Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje 1 punkt. Uwg: Punkt z trzeci etp przyznjemy tylko w przypdku, gdy zdjący wyznczył poprwnie x 8. Stron z

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7 Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C

Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy

Bardziej szczegółowo

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu 9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW Trpez w trpezie przynmniej jen pr oków jest równoległ δ γ, postwy trpezu c h c, - rmion trpezu α β h wysokość trpezu + 80 α δ β + γ 80 x `Ocinek łączący śroki rmion

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 016/017 Zwód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zwody Przedmiot: MATEMATYKA Kls II (67 godz) Rozdził 1. Funkcj liniow 1. Wzór i

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy SCHEMAT UNKTOWANIA Wojewódzki Konkurs rzedmiotowy z Mtemtyki dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 0/03 Etp rejonowy rzy punktowniu zdń otwrtych nleży stosowć nstępujące ogólne reguły: Ocenimy rozwiązni zdń

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D.

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D. Sprwdzin Potęgi i pierwistki. Piąt potęg liczby jest równ: A. 0 B. C. D. 4. Iloczyn jest równy: A. B. C. D.. Odległość Ziemi od Słońc jest równ 0 000 000 km. Odległość tą możn zpisć w postci iloczynu:

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

szkicuje wykresy funkcji: f ( x)

szkicuje wykresy funkcji: f ( x) Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls tps Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące oziom Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13 Zkres n egzminy poprwkowe w r. szk. 2012/13 /nuczyciel M.Ttr/ MATEMATYKA Kls II ZAKRES PODSTAWOWY Dził progrmu I. Plnimetri, cz. 1 Temt 1. Podstwowe pojęci geometryczne 2. Współliniowość punktów. Nierówność

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIIa ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIIa ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III ZAKRES PODSTAWOWY 1. ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA prowdzi proste rozumownie skłdjące się z niewielkiej liczby kroków prowdzi rozumownie z wykorzystniem wzorów

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo