m q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,

Podobne dokumenty
L(x, 0, y, 0) = x 2 + y 2 (3)

11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO

II.6. Wahadło proste.

Laboratorium Dynamiki Maszyn

29 Rozpraszanie na potencjale sferycznie symetrycznym - fale kuliste

1. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW.

Mechanika ogólna. Łuki, sklepienia. Zalety łuków (1) Zalety łuków (2) Geometria łuku (2) Geometria łuku (1) Kształt osi łuku (1) Kształt osi łuku (2)

MECHANIKA BUDOWLI 11

MECHANIKA OGÓLNA (II)

MECHANIKA BUDOWLI 12

Wykład: praca siły, pojęcie energii potencjalnej. Zasada zachowania energii.

Drgania układu o wielu stopniach swobody

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

podsumowanie (E) E l Eds 0 V jds

dr inż. Zbigniew Szklarski

Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną.

Metody optymalizacji. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Laboratorium Mechaniki Technicznej

cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Siła. Zasady dynamiki

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

WYKŁAD 1. W przypadku zbiornika zawierającego gaz, stan układu jako całości jest opisany przez: temperaturę, ciśnienie i objętość.

Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład III

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

LABORATORIUM WIBROAKUSTYKI MASZYN. Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów

Energia kinetyczna i praca. Energia potencjalna

dr inż. Zbigniew Szklarski

XXI OLIMPIADA FIZYCZNA ( ). Stopień III, zadanie teoretyczne T1. Źródło: XXI i XXII OLIMPIADA FIZYCZNA, WSiP, Warszawa 1975 Andrzej Szymacha,

PRĄD ELEKTRYCZNY I SIŁA MAGNETYCZNA

Mechanika ogólna. Łuki, sklepienia. Zalety łuków (2) Zalety łuków (1) Geometria łuku (1) Geometria łuku (2) Kształt osi łuku (2) Kształt osi łuku (1)

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

Wykład 15. Reinhard Kulessa 1

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Graf skierowany. Graf zależności dla struktur drzewiastych rozgrywających parametrycznie

XXXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

BADANIE DYNAMICZNEGO TŁUMIKA DRGA

PRACA MOC ENERGIA. Z uwagi na to, że praca jest iloczynem skalarnym jej wartość zależy również od kąta pomiędzy siłą F a przemieszczeniem r

Atom (cząsteczka niepolarna) w polu elektrycznym

23 PRĄD STAŁY. CZĘŚĆ 2

BRYŁA SZTYWNA. Umowy. Aby uprościć rozważania w tym dziale będziemy przyjmować następujące umowy:

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

TECHNIKI INFORMATYCZNE W ODLEWNICTWIE

ELEKTROMAGNETYCZNE DRGANIA WYMUSZONE W OBWODZIE RLC. 1. Podstawy fizyczne

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 10 7.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

ROZWIAZANIA ZAGADNIEŃ PRZEPŁYWU FILTRACYJNEGO METODAMI ANALITYCZNYMI.

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.

RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin

Moment pędu w geometrii Schwarzshilda

WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ Instytut Fizyki LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI, ELEKTRONIKI I MIERNICTWA

MIERNICTWO WIELKOŚCI ELEKTRYCZNYCH I NIEELEKTRYCZNYCH

Badania nad kształtowaniem się wartości współczynnika podatności podłoża dla celów obliczeń statycznych obudowy tuneli

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

Siła tarcia. Tarcie jest zawsze przeciwnie skierowane do kierunku ruchu (do prędkości). R. D. Knight, Physics for scientists and engineers

Równania Lagrange a II r.

KOOF Szczecin: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej. Andrzej Wysmołek Komitet Główny Olimpiady Fizycznej, IFD UW.

należą do grupy odbiorników energii elektrycznej idealne elementy rezystancyjne przekształcają energię prądu elektrycznego w ciepło

RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE

DRGANIA MECHANICZNE. Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.

Zadanie 1. Zadanie 2. Sprawdzam dla objętości, że z obwarzanków mogę posklejać całą kulę o promieniu R: r = {x, y, z}; A = * Cross r, B

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Rama płaska metoda elementów skończonych.

ι umieszczono ladunek q < 0, który może sie ι swobodnie poruszać. Czy środek okregu ι jest dla tego ladunku po lożeniem równowagi trwa lej?

WYKŁAD 11 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA

ĆWICZENIE 3 REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Fizyka 10. Janusz Andrzejewski

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOSCI KRĄŻKA

1. Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.

Fizyka dla Informatyki Stosowanej

θ = 0 lub = = g l dw dt Przykłady drgań: Wahadło matematyczne (małe wychylenia): Inaczej: m l(1-cosθ) Drgania i fale II rok Fizyki BC

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

Studia magisterskie ENERGETYKA. Jan A. Szantyr. Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów. Ćwiczenia 2. Wyznaczanie reakcji hydrodynamicznych I

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

dr inż. Zbigniew Szklarski

PRĘDKOŚCI KOSMICZNE OPRACOWANIE

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

dr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA

Cieplne Maszyny Przepływowe. Temat 8 Ogólny opis konstrukcji promieniowych maszyn wirnikowych. Część I Podstawy teorii Cieplnych Maszyn Przepływowych.

Zasada prac przygotowanych

Wykład FIZYKA I. 8. Grawitacja. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Siła elektromotoryczna

Pole magnetyczne. 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki. przewodniki z prądem Podstawowe zjawiska magnetyczne

Fizyka. Wykład 2. Mateusz Suchanek

gęstością prawdopodobieństwa

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z FIZYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

ĆWICZENIE 5. Badanie przekaźnikowych układów sterowania

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Transkrypt:

OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Kzysztof Tymbe, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsutacje naukowe: pof. d hab. Jezy Rakowski Poznań 00/00.. Opis uchu OPIS RUCHU Rys.. m masa[ kg] pzemieszczenie w czasie Pzypuśćmy, że mamy układ jak na ysunku obok (ys..). Zgodnie z zasadą d Aembeta ównanie ównowagi można zapisać: gdzie:.. () t + () t = 0 m κ (.).. κ =, m () t + () t = 0 (.) d = dt N κ sztywność podpoy m. Rozwiązaniem jest funkcja () t = s sin t + c cost () t = Asin ( t + ϕ), pzy czym kąt ϕ-to kąt fazowy. Stałe A, ϕ wyznaczymy z dwóch waunków początkowych: np... i : 0 ) t = 0 () 0 = a. d dt 0 ) t = 0 () 0 = = 0 t= 0 Rys.. Z waunków tych otzymujemy: a = Asin π = ( 0 + ϕ) = Asinϕ Asin = a A a

d π = Acos( t + ϕ) 0 = A cos( 0 + ϕ) cosϕ = 0 ϕ = dt Zatem da waunków początkowych j.w otzymujemy pełne ozwiązanie postaci: π = (.) () t asin t + = a cost gdzie: a -ampituda dgań, to max. watość pzemieszczenia(wychyenia) w stosunku do położenia ównowagi, -to częstość kołowa dgań własnych (zakładamy bak czynników zabuzających, czyi nie występuje tłumienie) [ d s], jest cechą indywiduaną każdego ciała (Jest stała!) Uwaga! Nie ma związku między ampitudą a częstością kołową! Zgodnie z ozwiązaniem (wzó.) nasza kuka powóci do swego położenia po czasie odpowiadającym π. Podstawmy tą watość do naszego ozwiązania: π () t = a cos( t + π ) = cos t + = cos[ ( t + T )] gdzie T = π to okes dgań, czyi czas dzieący dwa identyczne stany ozpatywanego ciała (łatwiej można to sobie wyobazić patząc na ysunek.). Zadanie Wyznaczyć częstość kołową eementu. Powiedzmy, że mamy układ jak na ysunku (ys..) z jednym stopniem swobody. Zakładamy, że masa beki jest znikomo mała w stosunku do nałożonej masy (powstały w ten sposób błąd będzie badzo mały i nieistotny da daszych ozważań). Częstość kołowa wyażana jest wzoem: κ = (.4) m

Rys.. Sztywność beki wyznaczymy kozystając z pacy wituanej. W miejscu masy m pzykładamy taką siłę P, któa spowoduje jednostkowe ugięcie beki (ys..b) stąd iδ ówne będzie. Wykonujemy wykesy momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej (ys..c i d)otzymując: M M P δ = ds = P = EI EI EI Pzyównując otzymaną watość do jedynki: P EI EI = P = czyi κ = stąd szukana częstość kołowa wynosi: EI EI = (.5) m Zajmijmy się teaz beką swobodnie podpatą, któej masę spowadzimy do masy skupionej umieszczonej w śodku jej ozpiętości (ys..4). Sposób postępowania jest anaogiczny jak da beki z pzykładu piewszego. Wykonujemy wykesy momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej.

Rys..4 M M P δ = ds = EI EI 4 ponieważ : P = P = czyi wynosi: 4 κ = P = stąd szukana częstość kołowa pzy czym = (.6) m m = ρ A (A-poe pzekoju popzecznego beki)... Dgania własne, tłumione. Tłumienie dgań jest wynikiem działania sił opou oznaczanych jako R. Siły te działają w uchu zwanym Voigt. Zakładany w nim tłumienie ekkie (wiskotyczne) popocjonane do pędkości uch, co zapisujemy: R ~`c (

Na ysunku (ys..5) widzimy ciało o masie m dgające swobodnie (bez tłumienia) i podczas tłumienia dgań. a)dgania własne-układ o jednym stopniu swobody b)dgania własne tłumione Rys..5 Równanie uch z uwzgędnieniem tłumienia pzyjmuje postać: gdzie c -stała tłumienia pzy wpowadzeniu zmiennej m ( + c ( + κ ( = 0 (.7) ρ = c m ównanie pzechodzi do postaci: ( + ρ ( + ( = 0 (.8) ρ współczynnik tłumienia dgań. t Rozwiązaniem ównania uchu (wzó.8) będzie funkcja postaci: ( = Ae. Podstawiając ją do ównania otzymamy ównanie chaakteystyczne postaci: + ρ + = 0 (.9) Rozwiązując je możemy otzymać tzy pzypadki: < 0 = 4ρ 4 = 4( ρ ) > 0 = 0 Rozważamy małe tłumienia ρ < Możiwe są dwa ozwiązania: i ρ Rozwiązującą funkcją jest funkcja postaci: ρt ( = Ae sin( t + ϕ) co jest ównoważne ozwiązaniu: + i ρ (.0) ρt = e sin( c cost + c sin ) (.) ( t

Wykes (ys..6) poniżej obazuje funkcję ozwiązującą (wzó.0): Rys..5 gdzie: T okes dgań własnych tłumionych wynoszący: π T = a = ρ Miaą tłumienia jest to z jaką szybkością następuje edukcja ampitudy, czyi eacja między dwiema koejnymi ampitudami podobnych stanów. I tak: π i T = +.Podstawiając do funkcji ozwiązującej (.0) otzymujemy:] i ρ ( t+ T ) i+ Ae pzy założeniu, że: sin( t + e) = = ρt Ae pzy czym i λ = n + i = ρ T Sine tłumienie ρ > Możiwe są dwa ozwiązania: = e = e i+ ρt λ i i ogaytmiczny dekement mienia. ρ Funkcja ozwiązująca pzyjmuje postać: + ρ (.) ρt = e ( c ch + c sh ) (.) ( t

gdzie: = ρ W YKŁ ADY Z MECHANIKI BUDOWLI W tym pzypadku wykes funkcji ozwiązującej wygąda następująco (ys..6): Rys..6 W tzecim ostatnim pzypadku gdy ρ = funkcja ozwiązująca jest postaci: t = e ρ ( c t + ) (.4) ( c a jej wykes jest taki jak pzy sinym tłumieniu(ys..6).