Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo, że dl kżdego leżącego do dziedziy fukcji y f() zchodzi wruek: f() f (), gdzie lew stro jest sumą zbieżego szeregu geometryczego Wyzcz wzór tej fukcji i jej dziedzię Ilorz ciągu geometryczego wyosi q f() Aby szereg był zbieży, musi być spełioy wruek: q < f() < Korzystjąc ze wzoru sumę szeregu geometryczego otrzymujemy: f() f() f() Otrzymliśmy rówie fukcji: f() Aby wyzczyć dziedzię tej fukcji, leży rozwiązć ierówość <, której dziedzią jest zbiór R \ {, } < / ( ) > / ( ) ( )( ) < ( ) ( )( ) > ( ) ( )( ) ( ) < 0 ( )( ) ( ) > 0 ( ) [( ) ( ) ] < 0 ( ) [( ) ( ) ] > 0 ( )( ) < 0 ( )( ) > 0 > 0 ( )( )( )( ) > 0 ) > 0 (, ) (, ) b) ( )( )( )( ) > 0
,,, 4,, Otrzymliśmy: (, ) (, ), (,) (,), co dje,, Otrzymy zbiór jest dziedzią fukcji f () Zdie Wykż, że jeśli rówie p q 0 m rozwiązie, to wrtość bezwzględ różicy jego pierwistków jest rów pierwistkowi wyróżik tego rówi Rówie m rozwiązi, czyli p 4q 0 Nleży udowodić, że, czyli ( ) ( ) 4 ( ) 4 korzystmy ze wzorów Viete ( p) 4q p 4q, co leżło udowodić Zdie Bok kwdrtu ABCD m długość Wierzchołek A połączoo ze środkmi E i F odpowiedio boków BC i CD Wykż, że odciki AE i AF dzielą przekątą BD trzy odciki o rówej długości BD
Wystrczy udowodić jedo z dwojg: lub y W ABE : siα tg α, skąd mmy: i si α cos α cosα cosα siα, si α (siα) 5si α siα, cosα 5 5 W ABP stosujemy twierdzeie siusów: 0 0 siα si( 80 (45 α) ) 0 si( 45 α) 5 5 0 0 si45 cosα cos45 siα 5 5 5 5 5 5 5, co leżło udowodić Zdie 4 Wykż, że jeżeli rówie postci b 0 m pierwistek podwójy, to 4 7b 0 Jeżeli to rówie m pierwistek podwójy, to musi się dć zpisć w postci: ( p) ( q) 0, gdzie p jest pierwistkiem podwójym, q drugim pierwistkiem i p q Przeksztłcmy to rówie: ( p p )( q) 0 q p pq p p q 0 (p q) (pq p ) p q 0 Porówując otrzyme rówie z rówiem wyjściowym otrzymujemy: p q 0 pq p p q b q p - wstwimy otrzymą wrtość do pozostłych dwóch rówń p ( p) p p, co dje p ( p) b p b
6 6 b Z otrzymych rówń wyik, że p i p 7 4 b Stąd 4 7b 4 7b 0, co leżło udowodić 7 4 Zdie 5 Czy prwdziwe jest zdie: V Λ 4 0 R R >? M istieć tkie R, by trójmi kwdrtowy 4 przyjmowł wrtości dodtie dl wszystkich liczb rzeczywistych Tk sytucj m miejsce wtedy, gdy wykresem trójmiu jest prbol leżąc d osią OX, czyli gdy < 0 6 4 4 4 < 0 4 < < 0 co dje >, bo fukcj y jest mlejąc Odp Tkich wrtości istieje ieskończeie wiele: < Zdie jest prwdziwe Zdie 6 Wszystkie liczby turle ustwioe w porządku rosącym podzieloo grupy: ( ),(,),(4,5,6),(7,8,9,0), Obliczyć sumę liczb występujących w -tej grupie Ilość liczb w -tej grupie wyosi Obliczymy, od jkiej liczby rozpoczy się -t grup W grupch:,,,,- występuje (-) liczb (-) jest sumą (-) wyrzów ciągu rytmetyczego, dltego ( ) ( ) ( ) ( ) Wobec tego -t grup rozpoczy się od liczby, tomist ostti liczb tej ( ) grupy to Liczby -tej grupy tworzą -wyrzowy ciąg rytmetyczy, którego sum wyosi: ( ) ( ) ( ) S, co jest rozwiąziem zdi
Zdie 7 Iloczy sklry wektorów AB o AC jest rówy polu rówoległoboku o bokch AB i AC Wyzczyć mirę kąt BAC Zgodie z defiicją iloczyu sklrego i dymi w zdiu: P AB o AC AB AC cosα, gdzie P ozcz pole rówoległoboku Z drugiej stroy pole rówoległoboku wyosi: P P ABC AB AC siα AB AC siα Mmy więc: AB AC cosα AB AC siα, czyli si α cosα, z czego wyciągmy 0 wiosek, że kąt BAC m mirę α 45 Zdie 8 Wykzć, że jeżeli, to co jmiej dwie spośród liczb,b,c są liczbmi b c b c przeciwymi Widomo, że 0 b c b c bc c b 0 bc b c (bc c b)( b c) bc 0 bc( b c) Wobec tego musi być: ( bc c b)( b c) bc 0 ( b)(bc c b) bc c ( b)(bc c b) c ( b) 0 bc bc 0 ( b)(bc c b c ) 0 ( b) [ b( c) c( c) ] 0 ( b)( c)(b c) 0 b 0 c 0 b c 0, czyli b c b c, co leżło udowodić Zdie 9 Wykzć, że jeżeli b c b c bc, to b c De: b c b c bc 0 / b c b c bc 0 b b c c b bc c 0
( b) ( c) (b c) 0 Osttie rówie jest spełioe tylko wtedy, gdy b i c i b c, co leżło udowodić Zdie 0 4 4 Wykzć, że jeżeli b, to b dl dowolych liczb i b 8 [ b ] b [( b) b] (b) 4 4 b korzystmy z złożei b [ b] (b) 4b 4(b) (b) (b) 4(b) Oszcujmy wyrżeie b Korzystjąc z fktu, że b otrzymujemy: b ( ) Fukcj f() przyjmuje wrtości z przedziłu (, q, gdzie q jest drugą współrzędą wierzchołk prboli: 4 ( ) 0 q 4 ( ) 4 4 Wiemy więc, że b, 4 Przyjmijmy terz, że t b, t, 4 4 4 Mmy b t 4t g(t) 4 Pierwsz współrzęd wierzchołk tej prboli jest rów, co ozcz, że fukcj g(t) jest w przedzile, mlejąc i wrtość jmiejszą przyjmuje dl t 4 4 g 4 4 4 4 8 4 4 Stąd wiosek, że g(t) t 4t b, co leżło udowodić 8 Zdie Zbdj liczbę pierwistków rówi (m ) 0 w zleżości od prmetru m m 0 m m 0 - tkie złożeie możemy przyjąć, bo 0 ie jest rozwiąziem rówi wyjściowego Zbdmy przebieg zmieości fukcji f(), 0
lim f() lim lim lim f() lim, bo liczik dąży do, miowik do 0 po wrtościch 0 0 ujemych lim f() lim, bo liczik dąży do, miowik do 0 po wrtościch 0 0 dodtich limf() lim lim ( ) ( ) ( ) f'() Zk pochodej zleży od zku wyrżei y, czyli dl > pochod przyjmuje wrtości dodtie, dl (,0) (0,) - wrtości ujeme Wobec tego fukcj f () jest mlejąc w przedziłch (,0) i (0,), orz rosąc w przedzile (, ) Dl fukcj osiąg miimum, które wyosi f() 5 Przybliżoy wykres fukcji f () : Z wykresu fukcji f () odczytujemy, że rówie m m: ) jedo rozwiązie dl m < 5 b) dw rozwiązi dl m 5 c) trzy rozwiązi dl m > 5 Zdie Oblicz gricę lim 4 9 6
Dl mmy: 4 4 4 Dl mmy: 4 9 6 5 Dl 4 mmy: 4 9 6 8 6 Dl 5 mmy: 4 9 6 5 0 Stwimy hipotezę, że dl {,,4,} zchodzi: 4 9 6 Udowodimy to idukcyjie Dl już to sprwdziliśmy Zkłdmy, że wzór te jest prwdziwy dl pewego {,,4,}, tz, że 4 9 6 Nleży udowodić, że twierdzeie jest prwdziwe dl liczby, tz 4 9 6 ( ) ( ) Liczymy: ( mocy złożei) 4 9 6 ( ) ( ) ( ), co leżło udowodić ( ) ( ) ( ) ( ) Liczymy gricę: lim lim lim 4 9 6 Zdie Oblicz sumę: 005 004 00 00 005 004 00 00 (005 004 ) (00 00 ) ( ) ( 005 004)(005 004) (00 00)(00 00) ( )( ) 4009 4005 400 5 Otrzym sum jest sumą wyrzów ciągu rytmetyczego, w którym: 4009, r 4, ( )r - z pomocą tego wzoru wyliczymy, ile wyrzów ciągu jest sumowych 4009 ( )( 4) 0 4008 4 4 4 40 00
Szuk sum wyosi: S (00) 4009 00 005 00 005 Zdie 4 Udowodij, że liczb jest wielokrotym pierwistkiem wielomiu W() wtedy i tylko wtedy, gdy jest wspólym miejscem zerowym wielomiu W() i jego pochodej A Zkłdmy, że liczb jest wielokrotym pierwistkiem wielomiu W(), tz W() ( ) Q(), {,,4,} Nleży udowodić, ze liczb jest tkże pierwistkiem W '() [ Q() ( )Q'() ] W'() ( ) Q() ( ) Q'() ( ) Z otrzymego rówi wyik, że W '() 0, czyli liczb jest pierwistkiem W '() B Złóżmy terz odwrotie, ze liczb jest wspólym pierwistkiem W () i W '(), czyli W () 0 i W '() 0 Nleży udowodić, że liczb jest pierwistkiem wielokrotym wielomiu W() W () 0, czyli W() ( )P(), gdzie P() jest pewym wielomiem W'() P() ( )P'() Wiemy, że W '() 0, czyli P () ( )P'() 0 Stąd P () 0, czyli jest pierwistkiem wielomiu P() Wielomi P() moż więc zpisć w postci P() ( )M() W() ( )P() ( )( )M() ( ) M() Stąd wiosek, że liczb jest co jmiej dwukrotym pierwistkiem wielomiu W(), co kończy dowód Zdie 5 Pry (,y) liczb cłkowitych, spełijące rówie y y y 5 są współrzędymi wierzchołków pewego wielokąt wypukłego Oblicz pole tego wielokąt y y y 5 ( y) y( y) 5 ( y)( y) 5 Skoro i y są liczbmi cłkowitymi, to musi być: y 5 y 5 y y lub lub lub y y y 5 y 5 y 5 y 5 y y lub lub lub 6 0 6 0 6 0 6 0 Drugi i czwrty ukłd ie mją rozwiązń Rozwiąziem rówi 6 0 jest
y 5 y 8 y 5 y y y 4 y y Otrzymliśmy pukty: A (, 8), B (, ), C (,), D (, 4) Czworokąt ABCD jest rówoległobokiem (wykoie rysuku zostwimy czytelikowi), o podstwie AD 4 i wysokości 5 Jego pole: P 4 5 0 j Zdie 6 Iloczy trzech liczb pierwszych rów się ich pięciokrotej sumie Jkie to liczby? Ozczmy szuke liczby:,y,z Szukmy ich w zbiorze {,,4,}, gdyż są liczbmi pierwszymi yz 5( y z) Prw stro rówi dzieli się przez 5, więc lew rówież dzieli się przez 5 Stąd wiosek, że jed z tych liczb ( lbo y lbo z) musi być rów 5 Przyjmijmy, że z 5 Wtedy: 5 y 5( y 5) y y 5 y y 5 y ( ) 5 5 6 6 6 y y jest liczbą cłkowitą, więc 6 musi dzielić się przez i {,,4,} Wobec tego {,,,6}, czyli {,,4,7} Spośród tych czterech liczb, liczbmi pierwszymi są,, 4 7 Liczymy odpowidjące im wrtości y: 5 5 7 5 y 7 y 4 y 7 y odrzucmy, bo 4 ie jest liczbą pierwszą z 5 z 5 Otrzymliśmy: lub 7 y 7 y Szuke liczby pierwsze to, 5, 7 Zdie 7 Wyzcz wszystkie pry (,y) liczb cłkowitych spełijące ukłd rówń
y 6 y 5 y Liczby i są dodtie, wobec tego: < 5, czyli < 5, orz y < 5, czyli y < Z pierwszego rówi: y 6, co dje 6 < > < 5, > i jest liczbą cłkowitą, więc 4 y 6 6 4 Odp istieje tylko jed tk pr: 4 i y Zdie 8 Liczby,,,, są kolejymi wyrzmi ciągu geometryczego Zjąc sumy: S orz T oblicz iloczy I Przyjmijmy:, q, q,, q S S q q q ( q q q ), stąd: q q q T q q q q q q q q S Dje to: q T Obliczymy terz szuky iloczy: I q q q q q q q q korzystmy ze wzoru sumę wyrzów ciągu rytmetyczego q () q q () () q ( q ) korzystmy z obliczoej wcześiej wrtości q S T S Odp Szuky iloczy wyosi T Zdie 9 Wiedząc, że log 98 56 p obliczyć log 7 4 98 7 orz 56 7 logb Skorzystmy ze wzoru zmię podstwy logrytmu log : log S T S b S q
p log 98 Z rówi log 56 log(7 ) log 7 log 56 log 98 log ( 7 ) log log log 7 log 7 p obliczymy log 7 : 7 log 7 log 7 log 7 p plog 7 plog 7 log 7 p ( p )log 7 p p log 7 p Podobie zmieimy podstwę logrytmu dl szukego log 7 4 log 4 log( 7) log log 7 log 7 log7 4 log 7 log 7 log 7 log 7 i wstwimy obliczoy wcześiej log 7 p p p p p p, co leżło obliczyć p p p p p Zdie 0 00 99 50 Wyzczyć resztę z dzielei wielomiu W() przez wielomi G() Wielomi W() dzielimy przez wielomi stopi trzeciego, więc reszt z dzielei m postć b c G() ( ) ( )( ) Wielomi W() moż przedstwić w postci: W() G() P() b c, gdzie P() jest wyikiem z dzielei 00 99 50 ( )( )P() b c Wstwijąc do osttiego rówi kolejo liczby 0,, otrzymujemy ukłd rówń: c c c b c b 0 b c b 4 b Szuk reszt m postć