Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Transkrypt

1 Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k = oblicz sumę wyrzów ciągu ( ) od dwudziestego do trzydziestego włączie. c) Przyjmując, Ŝe liczb wyrzów ciągu ( ) jest rów 00 i k =, oblicz, dl jkiej wrtości m stosuek wyrzu stojącego miejscu m licząc od początku do wyrzu stojącego miejscu m licząc od końc tego ciągu jest rów Odp.: ) k ( ;0) (;+ ) ( = + 7); b) 7; c) m =. Zd. : Pewie spriter, biegący dystsie 00 m, w pierwszej sekudzie po strcie przebiegł m, w kŝdej stępej o m więcej iŝ w poprzediej. W której sekudzie po strcie przekroczył o liię mety? Odp.: W dwustej. Zd. : ) Zjdź wrtość x, dl której wyrŝei log x, + log x, + log x są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrzem ieskończoego ciągu rytmetyczego. Ile początkowych wyrzów tego ciągu dje w sumie 05? *b) Udowodij, Ŝe jeŝeli k, m,, x są liczbmi dodtimi i róŝymi od jedości, log k x, log mx, log x są kolejymi wyrzmi ciągu rytmetyczego, to logk m = ( k ). Odp.: ) x =, =. Zd. : Pierwszy wyrz pewego ieskończoego ciągu rytmetyczego jest jwiększą liczbą ujemą spełijącą ierówość log ( x ) log ( x) + 0, trzeci wyrz tego ciągu jest jmiejszą liczbą dodtią spełijącą tę ierówość. Ile początkowych wyrzów tego ciągu leŝy dodć, by otrzymć 95? Odp.: NleŜy dodć 0 początkowych wyrzów ( =, = ). Zd. 5*: W trójkącie prostokątym długości wysokości i środkowej, poprowdzoych z wierzchołk kąt prostego, orz przeciwprostokątej tworzą ciąg geometryczy. Iloczy wyrzów tego ciągu jest rówy 8. Oblicz promień koł wpisego w te trójkąt. Odp.: 6. Zd. 6*: ) Dl jkich wrtości x liczby, si x, cosx są trzem kolejymi wyrzmi ciągu geometryczego? b) Oblicz sumę tych wszystkich wrtości x zlezioych w pukcie ), które spełiją ierówość x 0π < 0π. Odp.: ) x = π 5 + kπ lub x = π + kπ, gdzie k C; b) 800π

2 Zd. 7: Kopo studię. Z pierwszy metr głębokości zpłcoo 00 zł, z kŝdy stępy o 0 zł więcej iŝ z poprzedi. Łączie zpłcoo 700 zł. Jk jest głębokość studi? Odp.: 0 m. Zd. 8: Kupioo rty meble z łączą kwotę 500 zł. Pierwsz rt wyosił 650 zł, kŝd stęp był o 50 zł miejsz od poprzediej. Ile było rt i ile wyiosł ostti rt? Odp.: Było rt, ostti rt wyiosł 00 zł. Zd. 9: Oblicz sumę wszystkich liczb turlych miejszych od 500 i podzielych przez orz. Odp.: 096. Zd. 0: Dl jkich wrtości x liczby log, log( x ), log( x + 9) są kolejymi wyrzmi ciągu rytmetyczego? Oblicz róŝicę tego ciągu. Odp.: x =, r = log. Zd. : Dl jkich wrtości x liczby log(x ), log x, log x x 5 Odp.: x = 6. tworzą ciąg rytmetyczy? Zd. : Liczby log(x ), log x, log x są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrzem x 5 ieskończoego ciągu rytmetyczego. Oblicz x i czwrty wyrz tego ciągu. Odp.: x = 6, = log. Zd. : ) Dl jkich wrtości x liczby 9,, x x + są kolejymi wyrzmi ciągu rytmetyczego? Oblicz róŝicę tego ciągu. *b) Udowodij, Ŝe jeśli w ciągu rytmetyczym ( ) spełioy jest wruek S m : S = m :, gdzie S k ozcz sumę k początkowych wyrzów ciągu, to m : = (m ) : ( ). Odp.: ) Dl x = róŝic ciągu jest rów 5, dl x = róŝic ciągu jest rów 8,5. Zd. : Liczby, b, c są trzem początkowymi wyrzmi ieskończoego ciągu rytmetyczego. Liczb b jest cłkowitym dodtim rozwiąziem ierówości log (x + ) <, liczb c jest rozwiąziem rówi ( ) x+ = 6. Zjdź pięć początkowych wyrzów i oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrzów tego ciągu. Odp.: = 8, =, = 6, =, 5 = 0; S 0 = 5 ( = 8, b =, c = 6). Zd. 5: Ciąg ( ) jest określoy wzorem = 8. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym, i oblicz sumę wszystkich ujemych wyrzów tego ciągu. 97

3 b) Ile wyrzów tego ciągu leŝy do przedziłu ;0? c) Dl jkich wrtości wyrzy, +, + dego ciągu powiększoe odpowiedio o, i 9 stowią koleje wyrzy pewego ciągu geometryczego? Odp.: ) 7 ( + =, dziewięć początkowych wyrzów jest ujemych); b) Czterdzieści wyrzów, od wyrzu 6 do 5 ; c) = 0. Zd. 6: Liczby, b, c, d, róŝe od zer, są kolejymi wyrzmi ciągu geometryczego. ) Zjdź ilorz tego ciągu, wiedząc, Ŝe sum drugiego i czwrtego wyrzu jest dw rzy od sumy pierwszego i trzeciego wyrzu. b) Jkie wrtości moŝe przyjmowć ilorz tego ciągu, jeśli wyrzy ciągu spełiją wruek log + log b > log c + log d? c) Oblicz, b, c, d, wiedząc, Ŝe sum trzech początkowych wyrzów ciągu jest rów 6 orz Ŝe liczby +, b + 6, c + tworzą ciąg rytmetyczy. Odp.: ) q = ; b) q (;+ ); c) =, b = 6, c = 8, d = 5 lub = 8, b = 6, c =, d =. Zd. 7: Trzy liczby tworzą ciąg geometryczy. Sum tych liczb jest rów 6, sum ich logrytmów dziesiętych jest rów. Zjdź te ciąg. Odp.:, 0, 50. Zd. 8: Liczb jest pierwistkiem rówi log( ) log(9 ) = log, liczb b jest wrtością wyrŝei ( 5) ( si 50 cos 0 ). Zjdź tką liczbę x, Ŝe liczby, x, b są kolejymi wyrzmi ciągu rytmetyczego, orz tką liczbę y, Ŝe liczby, y, b są kolejymi wyrzmi ciągu geometryczego. Odp.: x = 5, y = 5 lub y = 5 ( = 5, b = 5). Zd. 9: Liczby, b, c tworzą (w podej kolejości) ciąg rytmetyczy, liczby b, c, d - ciąg geometryczy. Sum pierwszej trójki liczb wyosi, drugiej 9. Zjdź liczby, b, c, d. Odp.: =, b =, c = 6, d = 9 lub = 8, b =, c = 0, d = 5. Zd. 0: Trzy liczby, których sum jest rów 8, tworzą ciąg rytmetyczy. JeŜeli pierwszą i drugą liczbę pozostwimy bez zmi, trzecią powiększymy o 8, to otrzymmy trzy początkowe wyrzy pewego ieskończoego ciągu geometryczego mlejącego. ) Oblicz sumę wszystkich wyrzów ciągu geometryczego. b) Który z wyrzów ciągu geometryczego wyosi 9? Odp.: ) 7; b) Jedesty wyrz. Zd. : Pewe wyrzy ciągu rytmetyczego ( ) i ciągu geometryczego (b ) mją stępujące włsości: + =, b =, b = i b = + 8. Zjdź: ) pierwszy wyrz i róŝicę ciąg rytmetyczego ( ); b) wzory ogóle ciągów ( ) i (b ); c) zbiór tych wrtości, dl których

4 *d) WykŜ, Ŝe z ciągu ieskończoego ( ) ie moŝ wybrć trzech wyrzów tworzących ciąg rytmetyczy. Odp.: ) =, r = lub = 8, r = ; b) =, b = lub = + 0, b = ; c) {,,,,0}, gdy = lub N +, gdy = + 0. Zd. : W ieskończoym ciągu rytmetyczym pierwszy wyrz jest pierwistkiem rówi x + + x = 80, drugi wyrz jest iloczyem podwojoej liczby zdrzeń elemetrych przy dwukrotym rzucie kostką przez prwdopodobieństwo otrzymi sumy oczek obu kostkch ie większej od. Ile początkowych wyrzów ciągu leŝy dodć, by otrzymć 76? Odp.: 8 wyrzów ( =, = ). Zd. : Uczeń zprojektowł bse w ksztłcie prostopdłościu. Powierzchi d i ści bseu wyosi, m, jego wymiry, z których jmiejszym jest głębokość bseu, tworzą ciąg rytmetyczy o róŝicy 50 cm. Ile metrów sześcieych wody potrzeb do pełiei tego bseu? Odp.:,88 m (bse m wymiry,7 m, m 0,5 m). Zd. : Dy jest skończoy ciąg kwdrtów, których pol powierzchi tworzą ciąg rytmetyczy. Pole powierzchi pierwszego kwdrtu jest rówe cm, piątego 0 cm. Ile jest wszystkich kwdrtów, jeśli sum ich pól jest rów polu kwdrtu o boku cm? Odp.: kwdrtów. Zd. 5: RozwiąŜ ierówość log x log x 6 x. Zjdź wszystkie liczby cłkowite spełi- jące tę ierówość. Liczby te są początkowymi wyrzmi rosącego ciągu rytmetyczego. Ile kolejych początkowych wyrzów tego ciągu leŝy dodć, by otrzymć 90? Odp.: D ierówość jest spełio dl x (;6). Liczby cłkowite,,, 5 spełiją tę ierówość. NleŜy dodć wyrzów. Zd. 6: Sum pierwszego, drugiego i trzeciego wyrzu ciągu geometryczego ( ) jest rów 7. Liczby te są odpowiedio czwrtym, drugim i pierwszym wyrzem rosącego ciągu rytmetyczego (b ). b ) Zjdź wzór -ty wyrz ciągu (c ), gdzie c =. b) Zbdj mootoiczość ciągu (c ). Odp.: ) ( ) =, b =, c =. b) Ciąg (c ) jest rosący. 8 Zd. 7: W ciągu rytmetyczym mlejącym o wyrzch cłkowitych iloczy wyrzu trzeciego i szóstego jest rówy 5, przy dzieleiu wyrzu drugiego przez piąty otrzymujemy ilorz i resztę 5. ) Zjdź te ciąg. 99

5 b) Sprwdź, czy dl dego ciągu spełio jest rówość + + =. *c) WykŜ, Ŝe jeŝeli wszystkie wyrzy ciągu rytmetyczego ( ) są róŝe od zer, to spełio jest rówość K + =. Odp.: ) = + 7; b) + + = =. 5 Zd. 8: ) W ieskończoym ciągu rytmetyczym ( ) czwrty wyrz jest rówy 007, siódmy 700. O ieskończoym ciągu geometryczym (b ) widomo, Ŝe jest mootoiczy, jego trzeci wyrz jest rówy,5 i sum trzech początkowych wyrzów wyosi 8,75. Z wyrzów ciągów ( ) i (b ) utworzoo owy ciąg (c ) o wyrzie ogólym c =. Oblicz gricę ciągu (c ). ( b + ) *b) Oblicz Odp.: ) = 999 +, b = 5 ( ), c =, lim c = 998 ; b) Zd. 9: Trzy liczby są kolejymi wyrzmi ciągu rytmetyczego, którego róŝic jest cłkowitym pierwistkiem rówi log x = log(x ) + log(x + ). Jeśli do pierwszej z tych liczb dodmy, od drugiej odejmiemy i od trzeciej odejmiemy 6, to otrzymmy trzy początkowe wyrzy ieskończoego ciągu geometryczego. Dl jkich sum początkowych wyrzów ieskończoego ciągu geometryczego róŝi się od sumy wszystkich jego wyrzów o miej iŝ 0,0? Odp.: 0 (liczby, 5, 7 tworzą ciąg rytmetyczy, ciąg geometryczy m wzór = ( ) ). Zd. 0: (profil mtemtyczo-fizyczy) si x Liczby ctg x,,, gdzie x ( π ; π), są trzem początkowymi wyrzmi ieskończoego ciągu rytmetyczego ( ). Zjdź te ciąg. Które wyrzy ciągu ( ) spełiją + cosx ierówość ( )( ) + 0? Oblicz sumę wyrzów tego ciągu od piętstego do dwudziestego piątego włączie. Odp.: ( ) = +. Wyrzy i 5 spełiją dą ierówość K + 5 = Zd. : (profil mtemtyczo-fizyczy) Kwdrt jwiększej z czterech róŝych liczb cłkowitych, tworzących ciąg rytmetyczy, jest rówy podwojoej sumie kwdrtów pozostłych liczb. ) Zjdź wszystkie ciągi rytmetycze spełijące pode wruki. b) Czy wśród ciągów spełijących pode wruki istieje ciąg o wszystkich wyrzch dodtich? 00

6 *c) Udowodij, Ŝe jeśli ( ) jest ciągiem rytmetyczym o wyrzch dodtich, to spełio jest rówość + + K + = Odp.: ) Wruki zdi spełiją ciągi rosące typu (, 0,, ) i (,, 9, ) orz ciągi mlejące typu (,, 0, ) i (, 9,, ), gdzie jest dowolą liczbą cłkowitą ujemą. b) Nie m. Zd. : (profil mtemtyczo-fizyczy) ) W ieskończoym ciągu rytmetyczym ( ) czwrty wyrz jest rówy 007, siódmy 700. O ieskończoym ciągu geometryczym (b ) widomo, Ŝe jego czwrty wyrz jest rówy 5 8 i sum czterech początkowych wyrzów wyosi 9 8. Z wyrzów ciągów ( ) i (b ) utworzoo owy ciąg (c ) o wyrzie ogólym c = ( b + ). Oblicz gricę ciągu (c ). *b) Nieskończoy ciąg (d ) jest określoy stępująco: d =, d = b, gdzie > b > 0, orz = + dl. WykŜ, Ŝe lim d = 0. d d d + Odp.: ) Ptrz odpowiedź do zd. 8). Zd. : Pewie turyst przebył pieszo trsę liczącą 600 km. Gdyby, chcąc pokoć tę smą trsę, codzieie szedł o 0 km więcej, byłby w drodze o 5 di krócej. Ile di turyst był w drodze? Odp.: 0 di. Zd. : Z trzy ksiąŝki, których cey tworzą ciąg geometryczy, zpłcoo 76 zł. NjdroŜsz z tych ksiąŝek kosztowł o zł miej iŝ dwie pozostłe rzem. Ile kosztowł kŝd z ksiąŝek? Odp.: 6 zł, zł, 6 zł. Zd. 5: Z mist odległych od siebie o 6 kilometrów wyjeŝdŝją jedocześie przeciw siebie dwj kolrze. Pierwszy kolrz przebyw w ciągu pierwszej godziy 5 km, w kŝdej stępej godziie o km miej iŝ w poprzediej. Drugi kolrz przebyw w pierwszej godziie 5 km, w kŝdej stępej godziie o km miej iŝ w poprzediej. Po ilu godzich spotkją się kolrze i w jkiej odległości od mist, z którego wyruszył drugi kolrz? Odp.: Kolrze spotkją się po godzich 7 miutch i 0 sekudch, w odległości 8,875 km od mist, z którego wyruszył drugi kolrz. Zd. 6: Dy jest ciąg ( ) o wzorze ogólym = +. ) Zbdj mootoiczość ciągu ( ). b) Siedemsty i czwrty wyrz ciągu ( ) są odpowiedio ósmym i szóstym wyrzem pewego ieskończoego ciągu rytmetyczego. Ile początkowych wyrzów tego ciągu rytmetyczego dje w sumie 5? c) Piąty i pierwszy wyrz dego ciągu są odpowiedio pierwszym i drugim wyrzem pewego ieskończoego ciągu geometryczego. Oblicz sumę wszystkich wyrzów tego ciągu geometryczego. Odp.: ) Ciąg ( ) jest rosący. b) 7 początkowych wyrzów. c) S =

7 Zd. 7: k Dy jest ciąg ( ) o wzorze ogólym = +. ) Dl k = zjdź gricę ciągu (b ) określoego wzorem b = + +. b) Dl jkich wrtości k ciąg ( ) jest rosący? c) Trzeci i dziesiąty wyrz ciągu ( ) orz liczb,75, w tej kolejości, tworzą ciąg rytmetyczy. Zjdź k. Odp.: ) lim b = 0 ; b) k (0;+ ); c) k =. Zd. 8: Dl jkich wrtości x liczby log (x + ), log 5x x, są trzem początkowymi wyrzmi ieskończoego ciągu rytmetyczego? Zjdź wzór ogóly tego ciągu. Odp.: x = lub x =. Dl x = mmy ciąg stły =, dl x = mmy ciąg ( ) = + log log. Zd. 9: 0 Liczby log 9, ( ) ( ), log ( ) 6 + są, w podej kolejości, trzem początkowymi wyrzmi ieskończoego ciągu rytmetyczego ( ). Sum początkowych wyrzów tego ciągu jest o 60 większ od sumy początkowych wyrzów. Oblicz. Odp.: =. Zd. 0: W ieskończoym ciągu rytmetyczym mlejącym ( ) o wyrzch cłkowitych iloczy wyrzów trzeciego i dziewiątego jest rówy 9, przy dzieleiu wyrzu drugiego przez szósty otrzymujemy i resztę. ) Zjdź te ciąg. b) Sprwdź, czy dl tego ciągu + 8 = + 0. *c) W skończoym ciągu rytmetyczym rozwŝmy pry wyrzów: pierwszy i ostti, drugi i przedostti, trzeci i drugi od końc itd. WykŜ, Ŝe sum wyrzów kŝdej pry jest tk sm. Odp.: ) = + 8. b) RozwŜ rówość jest prwdziw dl dowolego ciągu rytmetyczego. Zd. : Pierwistki rówi ( ) + log x 8x = 0 są drugim i czwrtym wyrzem rosącego ciągu rytmetyczego. Sum ilu początkowych wyrzów tego ciągu jest rów 65? Odp.: 0 początkowych wyrzów ( =, = 9). Zd. : Dl jkich wrtości x 0; π ) liczby cos x, cos x + si x, cos x + si x są pierwszym, drugim i trzecim wyrzem ieskończoego ciągu rytmetyczego, w którym sum czterech początkowych wyrzów jest rów 6? ) Zjdź wzór ogóly tego ciągu. b) Oblicz sumę wyrzów ciągu od dziesiątego do dwudziestego włączie. 0

8 π Odp.: x = ; ) = + ; b) + + K + = Zd. : Drugi wyrz ieskończoego mlejącego ciągu geometryczego jest rówy 6, czwrty wyrz wyosi. Pierwszy wyrz tego ciągu jest pierwszym wyrzem pewego ieskończoego ciągu rytmetyczego, sum wszystkich wyrzów ciągu geometryczego jest rów róŝicy ciągu rytmetyczego. ) Które wyrzy ciągu rytmetyczego są miejsze od 5? b) Sprwdź, czy liczb 7 jest wyrzem ciągu rytmetyczego. c) Oblicz sumę tych wyrzów ciągu rytmetyczego, które są liczbmi cłkowitymi miejszymi od 5. Odp.: ) < 5 dl < 68 ( = ( ) ) ; b) Liczb 7 ie jest wyrzem ciągu rytmetyczego. c) 8. Zd. : Sum trzech liczb tworzących ciąg rytmetyczy jest rów. Jeśli drugą z tych liczb powiększymy sześć rzy, osttią zwiększymy o, to liczby te, w podej kolejości, utworzą mlejący ciąg geometryczy. Z ilu wyrzów powiie skłdć się ciąg rytmetyczy o trzech początkowych wyrzch spełijących powyŝsze wruki, by sum liczb tworzących te ciąg był miejsz od? Odp.: Co jmiej z pięciu. Zd. 5: Dziewiąty wyrz ieskończoego ciągu rytmetyczego jest rówy log, dwusty wyrz wyosi 7. Ile początkowych wyrzów tego ciągu leŝy dodć, by ich sum był 8 rów sumie wszystkich wyrzów ieskończoego ciągu geometryczego o pierwszym wyrzie 6 i ilorzie 0,8? Odp.: 5 początkowych wyrzów. Zd. 6: Rosące ciągi rytmetyczy i geometryczy mją pierwsze wyrzy rówe 9. Trzecie wyrzy tych ciągów tkŝe są rówe. Drugi wyrz ciągu rytmetyczego jest o większy od drugiego wyrzu ciągu geometryczego. Zjdź te ciągi. Odp.: Ciąg rytmetyczy moŝ opisć wzorem = 8 +, ciąg geometryczy b ( ) 9 5 =. Zd. 7: ) Dl jkich wrtości x liczby x, x, x + x tworzą, w podej kolejości, ciąg rytmetyczy? b) Wiedząc, Ŝe x, x 6, x + x + są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrzem ciągu geometryczego, zbdj zk róŝicy S 0 S 9 sum częściowych tego ciągu. *c) Dl jkich wrtości x i y ciąg liczb x + y, x, y + jest jedocześie ciągiem rytmetyczym i geometryczym? Odp.: ) x = lub x = ; b) S 0 S 9 = 0 = 0 < 0; c) x = y =. 0

9 Zd. 8: ) D jest fukcj f(x) = x. WykŜ, Ŝe ciąg f(), f(), f(5),, f( ),, gdzie N +, jest ciągiem rytmetyczym. Zbdj mootoiczość tego ciągu. b) Dobierz współczyiki i b fukcji f(x) = x + b tk, by ciąg f(), f(), f(5),, f( ), był ciągiem rytmetyczym o pierwszym wyrzie 5 i róŝicy. *c) Dl jkich wrtości x ieskończoy ciąg geometryczy o wyrzch, ( x), ( x), ( x) 6, jest zbieŝy? Odp.: ) RozwŜy ciąg jest mlejący (pierwszy wyrz tego ciągu jest rówy, róŝic wyosi 6). b) =, b =. c) x ; 5. 0