V. CIĄGI LICZBOWE. V.1-4. Ciągi liczbowe. Maria Kielar, Tomasz Kielar

Transkrypt

1 V. CIĄGI LICZBOWE Mri Kielr Tomsz Kielr Wszelkie prw zstrzeżoe. Kopiowie i rozpowszechiie cłości lub frgmetu iiejszej publikcji w jkiejkolwiek postci jest zbroioe. Autorzy orz Wydwictwo Dobry ebook dołożyli wszelkich strń by zwrte w tej książce iformcje były komplete i rzetele. Nie biorą jedk żdej odpowiedzilości i z ich wykorzystie i z związe z tym ewetule ruszeie prw ptetowych lub utorskich. Autorzy i Wydwictwo Dobry ebook ie pooszą rówież żdej odpowiedzilości z ewetule szkody wyikłe z wykorzysti iformcji zwrtych w iiejszej publikcji. Wszelkie prw zstrzeżoe 009 Dobry ebook ISBN: Wydie II Dobry ebook ul. Gredierów / 0-08 Krków tel./fx () 0 0 e-mil: i.kielr@dobryebook.pl

2 ebook Spis treści Wstęp V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy -9 i rozszerzoy V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy. Wzór -ty wyrz. Wzór 0- sumę początkowych wyrzów poziom podstwowy i rozszerzoy V.. Procet skłdy. Oprocetowie lokt i kredytów poziom - podstwowy V.. Przykłdy ciągów zdefiiowych rekurecyjie poziom -7 rozszerzoy V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 7 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 8 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 9 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi

3 Wstęp Wstęp Zdie owego egzmiu mturlego z mtemtyki to mrzeie kżdego licelisty. Nie wystrczy chcieć zdć le trzeb jeszcze wiedzieć jki mterił obowiązuje do egzmiu w jkiej formie m być przyswojoy stępie wykorzysty egzmiie. Temty zdń odpowiedzi orz przykłdowe rozwiązi to mterił który propoujemy bsolwetom szkół podgimzjlych (liceów ogóloksztłcących i profilowych) zdjących egzmi mturly w zkresie podstwowym lub rozszerzoym. Mtemtyk może być przedmiotem wybrym przez zdjącego jko obowiązkowy zdwy poziomie podstwowym (0 mi) lub rozszerzoym (80 mi). Cetrl Komisj Egzmicyj w Wrszwie w porozumieiu z pozostłymi komisjmi okręgowymi oprcowł Iformtor mturly od 008 roku z mtemtyki w którym zostły umieszczoe stdrdy wymgń egzmicyjych czyli wykz zgdień wymgych do mtury w ltch 008 i 009. Do mtury w 00 r. obowiązują owe stdrdy wymgń egzmicyjych które rówież opublikowł CKE. Mjąc uwdze jkie trudości mją uczyciele i ucziowie z dobriem odpowiedich zdń w czsie uki szkolej przygotowliśmy odpowiedi zbiór zdń którego struktur i pl poszczególych dziłów uwzględiją stdrdy wymgń. Autormi zbioru są: Mri Kielr bsolwetk Wydziłu Mtemtyki Uiwersytetu Jgiellońskiego uczycielk mtemtyki z 0 letim stżem prcy w szkole średiej i Tomsz Kielr bsolwet Wydziłu Mtemtyki Uiwersytetu Jgiellońskiego. Od początku swojej ktywości zwodowej prcuje w jedym z krkowskich liceów egzmitor OKE. Połączeie dużego doświdczei z ktulymi potrzebmi bzie dobrych podstw teoretyczych owocuje mteriłem brdzo prktyczym. Zestw pytń jest brdzo dobrze dobry do obowiązującego progrmu brdzo dużą zletą zbioru jest to że posid o zestw rozwiązń przykłdowych które ułtwią rozwiązywie propoowych zdń. Cły mterił podzieloy jest IX dziłów: I. Liczby i ich zbiory II. Fukcje i ich włsości III. Wielomiy i fukcje wymiere IV. Fukcje trygoometrycze V. Ciągi liczbowe VI. Plimetri VII. Geometri litycz VIII. Stereometri IX. Rchuek prwdopodobieństw. Dził V. Ciągi liczbowe zwier zdi dotyczące:. defiicji i przykłdów ciągów liczbowych. ciągu rytmetyczego i geometryczego z zstosowiem wzorów -ty wyrz i sumę początkowych wyrzów. procetu skłdego orz oprocetowi lokt i kredytów. wyzczi wyrzów ciągu określoego rekurecyjie. Propoowy ebook obejmuje dził V. Ciągi liczbowe którego mterił wymgy będzie egzmiie mturlym w 009 i 00 roku poziomie podstwowym i rozszerzoym. stro z 7

4 V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy i rozszerzoy V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy i rozszerzoy w zdie z rozwiąziem (R) zdi z zkresu rozszerzoego.. Podj wzór ogóly wyrz ciągu: ) 8 0 b) 8 c)... 8 d)... e)... f) g)... h) 7 9 i) j) 0... w (R) Podj wzór ogóly wyrz ciągu: π ) si si π si π si π... b) si π π π si si siπ... c) cosπ cos π cosπ cos π d) cosπ cos π cos π 7 cos π π π π π e) si si si si f) cos π π cos cos π π cos w.. (R) Podj wzór ogóly wyrz ciągu ie używjąc fukcji trygoometryczych: ) cos π π cos π π cos π 7 cos π b) si π π si π π si π 9π 7 si π π π 7π c) tg tg tg tg d) ctg ctg ctg ctg π π 7π 0π e) tg tg tg tg f) cos π cos π 7 cos π 0π cos g) cos π cos π 9 cos π π cos h) tg 0 tg π tg π tg π w.. Podj wzór ogóly wyrz ciągu którego -ty wyrz jest: ) liczbą turlą ieprzystą b) liczbą przystą większą od c) liczbą turlą któr przy dzieleiu przez dje resztę stro z 7

5 V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy i rozszerzoy d) liczbą turlą ie będącą kwdrtem liczby turlej e) ułmkiem włściwym miejszym od f) ułmkiem włściwym którego liczik jest o miejszy od miowik g) obwodem kwdrtu o boku h) bokiem kwdrtu o przekątej i) obwodem okręgu o promieiu j) polem trójkąt rówoboczego o boku k) polem sześciu o krwędzi l) długością przekątej sześciu o krwędzi. w.. Pode jest sześć początkowych wyrzów pewego ciągu. Podj wzór ogóly wyrz tego ciągu. Wyzcz brkujący wyrz: ) 9 7 b) c) d) 80 e) 7 g) 9 h) 8 7 i) 0 8 j).w 7.. Oblicz pięć początkowych wyrzów orz wyrz dziesiąty ciągu o wyrzie ogólym jeśli: ) b) c) d) e) f) g) h) i) ( ) j) k) si π (R) l) cos π (R) m) si π (R) ) cos π. (R) w.7. Oblicz pięć początkowych wyrzów orz wyrz dziesiąty ciągu o wyrzie ogólym jeśli: ( )( ) ) b) e) 0 f) c) ( ) i) j) 0 k) m) ).w g) d) ( ) ( ) 0 h) l) stro z 7

6 V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy i rozszerzoy.8. Oblicz cztery początkowe wyrzy ciągu orz i jeśli ogóly wyrz ciągu pody jest wzorem: ) e) i) b) f) j) c) d) ( ) g).w.9. Oblicz 0 gdy: h) ) b) c) d) e) f) ( ) ( ) ( ) h g) ) ( ) i) j).w.0. Które z wyrzów ciągu ( ) są rówe zeru jeśli: ) 8 b) ( 9)( ) c ( ) ) d) e) 0 f) 8 g) 0 h) i) 9 j).w.. (R) Dy jest ogóly wyrz ciągu ( ). Wyzcz wszystkie pozostłe wyrzy tego ciągu rówe zero jeśli: ) 8 0 i 0 b) 8 9 i 8 0 c) 8 0 i d) 0 i 0 e) i 0 f) i 0 g) i 0 h) i 0 i) i 0 j) 0 i 0 0.w.. Zbdj czy istieją wyrzy ciągu ( ) rówe dej liczbie r jeśli: ) i r 8 b) i r c) 9 i r d) i r e) i r f) ( ) i r g) i r h) 7 i r 7 i) i r stro z 7

7 V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy i rozszerzoy 7 j) i r k) 7 i r 9 l) i r.w.. Wyzcz które wyrzy ciągu ( ) są większe od dej liczby M gdy: ) i M 00 b) i M 0 c) i M d) i M e) i M f) i M g) i M 0 h) i M i) i M j) 0 i M.w.. Wyzcz które wyrzy ciągu ( ) są miejsze od dej liczby m gdy: ) 0 i m 0 b) i m c) i m 0 d) i m 0 e) 0 i m 0 f) i m g) i m h) j) i m.w i m i) i m Wykż że kżdy wyrz ciągu ( ) jest liczbą dodtią jeśli: ) b) c) d) e) g) h) j) ).w ( ) ( f) i).. Wykż że kżdy wyrz ciągu ( ) jest liczbą ujemą jeśli: ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ( ).w ( ) 9 stro 7 z 7

8 V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy i rozszerzoy 8.7. Wykż że kżdy wyrz ciągu ( ) jest liczbą turlą jeśli: ) b) d) e) g) ( )( ) j) c) f) h) ( ).w i) ( ) ( ) Czy w ciągu o wyrzie ogólym występuje wyrz rówy 0? Jeśli tk wyzcz który to wyrz. Wykż że wszystkie wyrzy ciągu są liczbmi turlymi..9. Wyzcz cztery początkowe wyrzy ciągu ( ) dw wruki: i wiedząc że dl kżdego N spełi o. Wyzcz ogóly wyrz tego ciągu..0. Oblicz ile wyrzów ciągu o wyrzie ogólym jest miejszych od 0... Oblicz średią rytmetyczą i geometryczą trzeciego i siódmego wyrzu ciągu o wzorze ogólym.w.. Wypisz dziesięć wyrzów ciągu. Ile różych wrtości przyjmują wyrzy tego ciągu? Podj jmiejszy i jwiększy wyrz ciągu gdy: ) jest resztą z dzielei przez b) jest -tą cyfrą po przeciku w rozwiięciu dziesiętym liczby 7 c) si π (R) d) cos π (R) e) jest resztą z dzielei przez 7 f) jest resztą z dzielei przez g) si π (R) ( ) h). (R) w.. Wyzcz osiem początkowych wyrzów ciągu. Czy wyzczoe wyrzy tworzą ciąg rosący czy mlejący jeśli: ) b) c) d) stro 8 z 7

9 V.. Defiicj i przykłdy ciągów liczbowych poziom podstwowy i rozszerzoy 9 e) f) i) ( ) j).w g) ( ) h) 8.. Wykż że ciąg ( ) jest rosący jeśli: ) b) c) d) e) i) f) g) j) k) h) l).w.. Wykż że ciąg ( ) jest mlejący jeśli: ) 0 b) c) e) f) g) i) π π j) ( ) k) d) h) l).w.. Zbdj mootoiczość ciągu: ) π b) c) d) π e) f) g) h) i) j) k) ( ) l) 0.w.7. Podj przykłd ciągu: ) rosącego o wyrzch dodtich b) rosącego o wyrzch ujemych c) mlejącego o wyrzch dodtich d) mlejącego o wyrzch ujemych e) który ie jest mootoiczy. stro 9 z 7

10 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy 0 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy. Wzór -ty wyrz. Wzór sumę początkowych wyrzów poziom podstwowy i rozszerzoy.. Zbdj czy dy ciąg jest ciągiem rytmetyczym. Jeśli jest to ciąg rytmetyczy wyzcz i r. Określ mootoiczość ciągu. ) b) c) e) f) g) h) i) ( ) j) k).. Wyzcz wyrz pierwszy d) ( ) l) i różicę r ciągu rytmetyczego ( ).w mjąc de: ) b) c) d) e) ( ) f) g) h) i) ( ) j).w.. Wyzcz -ty wyrz ciągu rytmetyczego ( ) jeśli: ) i r 0 b) i r 0 c) i r d) i r e) i r 8 f) i r 7 g) 0 i r h) i r 0 0 i) 0 i r 9 j) 0 i r.w.. Wyzcz pierwszy wyrz ciągu rytmetyczego mjąc de: ) i r b) 0 i r c) 8 i r d) i r 0 e) 0 8 i r f) i r g) 7 i r h) 7 i r i) i r 9 j) 0 0 i r. w stro 0 z 7

11 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy.. Wyzcz różicę r ciągu rytmetyczego mjąc de: ) i b) i 9 c) i 0 d) 0 i 0 e) i f) i g) i h) 7 i 8 i) i 7 j) i.w.. Wyzcz ciąg rytmetyczy ( ) mjąc de: ) 7 i 8 0 b) 7 i 7 c) i d) i e) i 7 f) i 0 0 g) 7 i 0 8 h) 9 i i) 8 i 7 j).w 8 i Które z podych ciągów ie są ciągmi rytmetyczymi? ) b) c) d) e) f) 0... g)... h) i) j)... w.8. Wyzcz ogóly wyrz ciągu rytmetyczego ( ) wiedząc że: ) i b) i c) i d) i 8 e) 8 i 8 f) i r 0 g) i h) i i) 7 j) i.w Wyzcz cztery początkowe wyrzy ciągu rytmetyczego ( ) mjąc de: ) i r b) i r c) i 7 i i r d) e) i 0 f) i g) i r h) i 0 i) 0 i 8 j) 0 i.w stro z 7

12 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy.0. Ciąg ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Oblicz wskzą wielkość mjąc de: ) 9 0? b) 0 9 r? c) 0 7? d)? e) 9? f) 7 7 r? g) 7 7? h) 8 r? i) r? j) i 7? w 8.. Wyzcz liczbę wiedząc że ( ) jest ciągiem rytmetyczym orz: ) 7 r b) 0 r c) r d) 0 r e) r f) r g) 0 8 r h) 9 0 i) 9 9 j).w 9.. Oblicz sumę 0 początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego ( ) mjąc de: ) i r b) c) 7 0 d) i e) f) 0 i 8 8 g) 9 i 9 h) i) 7 0 i j) i 0.w 0.. Oblicz trzy początkowe wyrzy ciągu rytmetyczego ( ) i wyzcz wzór -ty wyrz tego ciągu jeśli sum początkowych wyrzów wyrż się wzorem: ) S b) S 7 c) S d) S e) S f) S ( ) 9 S i) S 7 g) S ( ) h) ( ) j) S.w.. Wyzcz wiedząc że ( ) jest ciągiem rytmetyczym w którym: ) S 00 b) S 8 c) 0 S 8 d) 7 0 S 7 e) 7 S7 0 S 7 f) r S 0 g) r 0 S 8 h) 0 S 7 i) S S 0 j) 0 r S 99.w 7 stro z 7

13 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy.. Wyzcz różicę r ciągu rytmetyczego ( ) mjąc de: ) i S0 b) i S 7 c) i S d) 8 i S8 0 e) 0 i S f) 0 7 i S 0 g) i S 8 h) i S S i) i S 0 S0 80 j) 7 i S 0.w.. Zjdź sumę dwudziestu początkowych kolejych liczb turlych dodtich będących wielokrotościmi liczby..7. Zjdź sumę: ) wszystkich liczb turlych ie większych od 00 b) wszystkich liczb turlych przystych do 0 włączie c) wszystkich liczb turlych ieprzystych dwucyfrowych d) dwudziestu początkowych kolejych liczb turlych które przy dzieleiu przez dją resztę. w.8. Między liczby i wstw cztery liczby tk by z dymi tworzyły ciąg rytmetyczy. Wyzcz: ) wstwioe liczby b) sumę tych liczb rzem z dymi c) różicę ciągu d) wzór ogóly wyrz tego ciągu..9. Oblicz sumę wszystkich dwucyfrowych liczb turlych: ) podzielych przez b) podzielych przez 7 c) podzielych przez i przez d) których reszt przy dzieleiu przez wyosi e) których reszt przy dzieleiu przez 7 wyosi f) których reszt przy dzieleiu przez wyosi lub. w.0. Rozwiąż rówie: ( ) 7... ( )... ( 0 ) d)... ( ) ) b) c) e) 9... ( 9) ( ) f)... 8 g) 7... x 00 h) x 80 i) 7... x 7 j) ( x ) ( x ) ( x )... ( x 0) 0 k) x x x... x 0) 77 l) ( x ) ( x ) ( x )... ( x ) 9.w ( ) ( ) ( stro z 7 0

14 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy.. Sum 0 kolejych liczb turlych wyosi 9. Wyzcz jmiejszą i jwiększą z tych liczb... W ciągu rytmetyczym i S. Sum ilu wyrzów tego ciągu wyosi 8?.. W ciągu rytmetyczym i 8 9. Sum ilu początkowych wyrzów tego ciągu wyosi 0?.. W ciągu rytmetyczym sum wyrzów pierwszego i czwrtego wyosi 0 iloczy wyrzu pierwszego i trzeciego wyosi. Wyzcz te ciąg. Oblicz ile początkowych wyrzów tego ciągu leży dodć by ich sum przekroczył Iloczy wyrzu drugiego i czwrtego ciągu rytmetyczego wyosi 0 ilorz wyrzu dziesiątego i trzeciego wyosi. Wyzcz te ciąg i oblicz sumę początkowych wyrzów tego ciągu... D jest fukcj ( x) wzorem ( ) f x. Wykż że ciąg którego ogóly wyrz określoy jest f dl N jest ciągiem rytmetyczym. Określ mootoiczość tego ciągu. Oblicz r 0 S Piąty wyrz ciągu rytmetyczego wyosi 8. Oblicz sumę dziewięciu początkowych wyrzów tego ciągu..8. Oblicz sumę kolejych liczb turlych od 0 do 00 włączie..9. Oblicz sumę wszystkich liczb turlych dwucyfrowych iepodzielych przez..0. Oblicz sumę początkowych trzydziestu liczb turlych które przy dzieleiu przez dją resztę... Pomiędzy liczby i wstw trzy liczby w tki sposób by ciąg ( ) był ciągiem rytmetyczym. Wyzcz te liczby i różicę ciągu... Wyzcz różicę ciągu rytmetyczego w którym sum dziesięciu początkowych wyrzów ciągu jest trzy rzy miejsz od sumy stępych dziesięciu wyrzów... Wyzcz pierwszy wyrz różicę i wzór ogóly wyrz rosącego ciągu rytmetyczego w którym sum trzech początkowych wyrzów wyosi sum ich kwdrtów wyosi stro z 7

15 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy.. Oblicz sumę wyrzów ciągu rytmetyczego w którym i... Długości boków wielokąt tworzą ciąg rytmetyczy o różicy cm. Njdłuższy bok tego wielokąt m cm jego obwód jest rówy 0 cm. Ile boków m te wielokąt?.. W ciągu rytmetyczym stosuek wyrzu piątego do trzeciego wyosi różic kwdrtów wyrzu czwrtego i wyrzu drugiego jest rów. Sum ilu początkowych wyrzów tego ciągu jest rów Miry kątów czworokąt wypukłego tworzą ciąg rytmetyczy o różicy 0 o. Oblicz kąty tego czworokąt. Czy moż tk dobrć kolejość kątów tego czworokąt by moż go było wpisć w okrąg?.8. Tbel przedstwi początkowe wyrzy dwóch ciągów rytmetyczych. Wyzcz dl których wyrzów obu ciągów są rówe b Dl jkich liczb rzeczywistych x liczby: x x x x x x tworzą ciąg rytmetyczy. Wyzcz te ciąg. Czy tki ciąg jest tylko jede? Określ mootoiczość wyzczoego ciągu..0. W trójkącie w którym jmiejszy kąt m mirę 0 o jkrótszy bok m cm miry kątów tworzą ciąg rytmetyczy. Oblicz kąty boki pole i obwód tego trójkąt... Miry kątów trójkąt prostokątego tworzą ciąg rytmetyczy. Obwód tego trójkąt wyosi. Oblicz długości boków trójkąt i jego pole. ( ).. Długości boków trójkąt prostokątego tworzą ciąg rytmetyczy o różicy r. Oblicz pole i obwód tego trójkąt... Długości boków trójkąt prostokątego o polu 0 cm tworzą ciąg rytmetyczy. Oblicz boki obwód tego trójkąt i długość promiei okręgu opisego trójkącie... Długości boków trójkąt prostokątego o przeciwprostokątej 0 cm tworzą ciąg rytmetyczy. Oblicz długości przyprostokątych i pole trójkąt. stro z 7

16 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy.. (R) Długości trzech różych krwędzi prostopdłościu tworzą ciąg rytmetyczy o różicy cm. Objętość prostopdłościu wyosi 80 cm. Oblicz długości krwędzi i długość przekątej tego prostopdłościu... Kierowc wybierjąc się w dłuższą podróż postowił co godz. sprwdzć st liczik. Przed rozpoczęciem podróży licziku było km. Kierowc jechł ze stłą prędkością 70 km/h. Jkie sty liczik odczyt kierowc w ciągu jbliższych godzi. Po jkim czsie od rozpoczęci jzdy liczik wskże 0 km?.7. Studet kupił sobie z 000 zł komputer. Przy zkupie dokoł wpłty 900 zł pozostłą kwotę rozłożył miesięcze rty. Uzgodioo stępujący sposób spłty: pierwsz rt 00 zł kżd stęp o 0 zł miejsz. Po ilu miesiącch studet spłci komputer i ile będzie wyosić ostti rt?.8. Ciąg rytmetyczy m dwdzieści wyrzów. Sum wyrzów o wskźikch ieprzystych wyosi 70 sum wyrzów o wskźikch przystych wyosi 00. Wyzcz te ciąg..9. Pi Bsi prcuje w sklepie. Wykłdjąc puszki z kukurydzą regł postowił ułożyć je w postci pirmidy w te sposób że w kżdym stępym rzędzie jest o jedą puszkę miej. Ile puszek pi Bsi musi ustwić w jiższym rzędzie jeśli regle zmieści się rzędów do wyłożei jest 00 puszek? Czy jwyższy rząd jest peły i ile jest w im puszek?.0. Mszy trci swoją wrtość zgodie z ciągiem rytmetyczym. Po ilu ltch mszy strci cłkowicie swoją wrtość jeżeli po 0 ltch wrtość mszyy jest rzy miejszą od jej wrtości po ltch?.. Boisko sportowe o powierzchi 08 h m ksztłt prostokąt którego boki i przekąt tworzą ciąg rytmetyczy. Ile drzewek jest potrzebe obsdzeie boisk wzdłuż jego boków przy zchowiu pięciometrowej odległości między drzewkmi? Jkie wymiry m to boisko?.. Aby przygotowć się do egzmiu mturlego z mtemtyki uczeń postowił rozwiązć dodtkowo wszystkie zdi ze zbioru zwierjącego 90 zdń. Rozwiązywie zdń rozpoczął w pierwszym tygodiu uki w klsie mturlej. Zplowł rozwiązć w pierwszym tygodiu 0 zdń w kżdym stępym zwiększć liczbę rozwiązywych zdń o dw. Ile tygodi zjmie ucziowi rozwiązie wszystkich zdń i ile ich rozwiąże w osttim tygodiu. W którym miesiącu będzie rozwiązywł osttie zdie... Młody rolik postowił specjlizowć się w produkcji truskwek. Zplowł że w ciągu lt osiągie reł h zmiejszjąc co roku o 0 rów obszr sdzeń. Jk dużą pltcję złożył rolik w pierwszym roku i o ile powiększył ją w osttim roku. stro z 7

17 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy 7.. Rzemieślik otrzymł zleceie wykoie 00 jedkowych wyrobów. W pierwszym diu prcy wykoł wyrobów w kżdym stępym diu wykoywł ich o stłą liczbę więcej iż w poprzedim. W dziewiętstym diu prcy wykoł wyrobów: ) ile di będzie trwło wykoie cłego zlecei? b) ile wyrobów wyko rzemieślik w osttim diu prcy?.. Uczeń przygotowując się do egzmiu przez 0 di postowił w kżdym stępym diu uczyć się więcej o mi. iż w poprzedim. W pierwszym diu poświęcił ukę godziy: ) ile czsu poświęcił uczeń ukę w dwudziestym diu? b) jki łączy czs w ciągu tych 0 di uczeń poświęcił ukę? w.. Zbdj czy dy ciąg jest ciągiem geometryczym. Jeśli jest to ciąg geometryczy wyzcz pierwszy wyrz i ilorz: ) d) e) ( ) f) h) i) b) g) ( ) j).w c) ( ).7. Które z podych ciągów ie są ciągmi geometryczymi? Jeśli jest to ciąg geometryczy wyzcz pierwszy wyrz i ilorz: ) 8... b) c) d)... e)... f) g) 9... h) i) j) w.8. Wyzcz ilorz ciągu geometryczego ( ) i podj pięć początkowych wyrzów tego ciągu jeśli: ) i b) i c) i d) i e) i f) i g) i h) i 9 i) i 7 8 j) i 0.w stro 7 z 7

18 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy 8.9. Oblicz pierwszy wyrz i ilorz ciągu geometryczego ( ) jeśli: ) i b) 7 i 8 c) i 8 d) 9 i 8 e) i f) i 7 g) i 7 h) i 8 i) i 8 7 j) i.w 8.0. Wyzcz ogóly wyrz ciągu geometryczego ( ) jeśli: ) i b) i c) i d) 8 i e) 7 i f) 8 i g) i h) i 0 i) i 9 j) i.w.. Oblicz piąty wyrz i sumę pięciu początkowych wyrzów ciągu geometryczego ( ) jeśli: ) b) i c) i d) i e) i f) i g) i h) i 0 i) i j) i.w.. Zjdź pierwszy wyrz i ilorz ciągu geometryczego jeśli: ) 0 i b) i c) i d) i 9 e) i f) 8 i 8 g) i h) 8 i 8 i) i S j) i S.w.. Oblicz jeśli ( ) jest ciągiem geometryczym o ilorzie : ) b) c) 8 stro 8 z 7

19 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy 9 d) g) 0 e) f) 0 S 7 h) S 9 i) 9 S.w j) ( ) S 9 S Wyzcz pierwszy wyrz ciągu geometryczego ( ) jeśli: 7 ) i S 7 b) i S c) 8 i 8 d) 7 i e) i f) 8 i 79 g) i S ( ) h) i i) i S j) i S.w.. Wyzcz liczbę x tką by pode liczby tworzyły trójwyrzowy ciąg geometryczy. Czy jest tylko jed tk liczb? ) x b) x c) x 0 d) x e) x f) x g) x h) x i) x j) 7 x 7.w.. Między liczby i 7 wstw dwie liczby tk by wrz z podymi utworzyły ciąg geometryczy. Wyzcz te liczby..7. Między liczby i 9 wstw trzy liczby które rzem z dymi utworzą ciąg geometryczy. Wyzcz te liczby..8. Zjdź trzy liczby tworzące ciąg geometryczy wiedząc że ich sum wyosi iloczy..9. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczy w którym sum obu skrjych wyrzów wyosi sum obu środkowych wyosi 8. Zjdź te liczby..70. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczy. Trzeci liczb jest większ od pierwszej o czwrt jest większ od drugiej o 0. Wyzcz te liczby..7. Sum trzech liczb tworzących ciąg geometryczy jest rów ich iloczy wyosi..7. Liczby x i x są pierwistkmi rówi x x 0.Wyzcz liczbę y tk by x y x tworzyły ciąg geometryczy. stro 9 z 7

20 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy 0.7. W cysterie zjduje się 00 litrów płyu. Odlo z iej 0% płyu. Odly pły uzupełioo wodą. Z otrzymego roztworu poowie odlo 0% i uzupełioo wodą. Oblicz ile litrów pierwotego płyu pozostie po pięciu odlich. Zkłdjąc że pierwoty pły był 00% substcją oblicz jkie jest stężeie procetowe płyu po tych pięciu odlich..7. Ce kcji pewej spółki kżdej z kolejych sesji giełdowych rosł o 0%. W czsie której sesji ce kcji przekroczył 0% cey początkowej..7. Po okresie próbym p Krol podpisł umowę o prcę okres lt. W umowie tej określoo że w pierwszym roku jego zrobki wyiosą zł brutto w kżdym stępym roku dostie 0% podwyżkę. Ile zrobi p Krol w piątym roku prcy ile przez cłe lt?.7. Ktoś wymyślił dowcip i w ciągu godziy opowiedził go trzem osobom. Kżd z osób w ciągu godziy opowiedził go trzem stępym osobom i tk dlej. Zkłdjąc że żd z osób ie usłyszł dowcipu dwukrotie oblicz po ilu godzich liczb osób zjących dowcip przekroczy Trzy krwędzie prostopdłościu wychodzące z jedego wierzchołk tworzą ciąg geometryczy. Njkrótsz krwędź m długość dm objętość prostopdłościu wyosi 8 dm. Wyzcz pozostłe krwędzie i pole powierzchi tego prostopdłościu..78. Długości różych krwędzi prostopdłościu o objętości cm tworzą ciąg geometryczy ich sum jest rów cm. Oblicz wymiry prostopdłościu..79. Bkteriolodzy zuwżyli że populcj pewej bkterii w sprzyjjących wrukch rośie w postępie geometryczym. W pierwszym tygodiu obserwcji liczb bkterii wyosił milioy w drugim milioów. W którym tygodiu od czsu rozpoczęci obserwcji liczb bkterii podwoi się. O ile procet tygodiowo przyrst liczb bkterii..80. Piłk spdjąc z pewej wysokości odbij się z kżdym rzem wysokości z której spdł. N jką wysokość wziesie się po piątym odbiciu jeśli spdł z ok bloku wysokości 0 m..8. Przyjmijmy że jedo pokoleie odpowid okresowi lt. Szesstoleti Tomek postowił w czsie wkcji 00 r. sporządzić drzewo geelogicze swojej rodziy dyspoując dymi od 80 r. Ilu przodków umieści Tomek w swoim oprcowiu?.8. Rozwiąż zdie z jstrszego zego podręczik mtemtyki. W kżdym z 7 domów jest 7 kotów kżdy kot zjdł 7 myszy z których kżd zjdł po 7 kłosów jęczmiei kżdy z kłosów mógł dć 7 mir zir. Ile było łączie domów kotów myszy kłosów i mir zir? stro 0 z 7

21 V.. Ciąg rytmetyczy i geometryczy poziom podstwowy i rozszerzoy.8. Trzy róże liczby x y z których sum wyosi tworzą ciąg geometryczy liczby x y y z z x tworzą ciąg rytmetyczy. Wyzcz x y z orz ilorz ciągu geometryczego i różicę ciągu rytmetyczego..8. Między liczby i wstw dwie liczby tk by trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczy trzy osttie ciąg rytmetyczy. Wyzcz te liczby ilorz ciągu geometryczego i różicę ciągu rytmetyczego..8. Trzy liczby których sum wyosi tworzą ciąg geometryczy. Liczby te są jedocześie pierwszym trzecim i dziewiątym wyrzem ciągu rytmetyczego. Wyzcz te liczby..8. Wyzcz tkie liczby x i y by liczby x y były trzem początkowymi wyrzmi ciągu rytmetyczego zś liczby x y 8 trzem początkowymi kolejymi wyrzmi ciągu geometryczego. Który wyrz ciągu rytmetyczego jest rówy czwrtemu wyrzowi ciągu geometryczego?.87. Liczby x y tworzą ciąg geometryczy liczby x y 9 tworzą ciąg rytmetyczy. Zjdź x i y..88. Dw ciągi: rytmetyczy i geometryczy mją rówe wyrzy pierwsze i trzecie. Pierwszy wyrz obu ciągów wyosi. Drugi wyrz ciągu rytmetyczego jest o większy od drugiego wyrzu ciągu geometryczego. Wyzcz te ciągi..89. Ztrudijąc prcowik okres miesięcy zkłd prcy przygotowł dwie wersje umowy do wyboru: ) w pierwszym miesiącu prcowik otrzym 80 zł w kżdym stępym prcowik otrzym % podwyżki pesji z poprzediego miesiąc ) w pierwszym miesiącu prcowik otrzym 900 zł w kżdym stępym otrzym o 0 zł więcej w porówiu do poprzediego miesiąc. Którą wersję umowy powiie wybrć prcowik? uzsdij. Ile będą wyosić zrobki prcowik w osttim miesiącu prcy według kżdej z wersji? w stro z 7

22 V.. Procet skłdy. Oprocetowie lokt i kredytów poziom podstwowy V.. Procet skłdy. Oprocetowie lokt i kredytów poziom podstwowy.. Kredyt w wysokości 000 zł miesięcy oprocetowy jest 8% w skli roku. Co miesiąc spłc jest część kredytu i odsetki od ktulego zdłużei. Ile wyiosą odsetki od tego kredytu? Wypełij tbelę: Kolej rt I II III IV V VI Pozostło do spłcei Odsetki 90 7 Rt z odsetkmi Przy stłej stopie procetowej p% kpitł początkowy K 0 zł po ltch jeśli odsetki p dopisywe są rz w roku wyosi K K 0 zł. Do jkiej sumy wzrośie lokt zł przy oprocetowiu 8% w stosuku roczym jeśli odsetki dopisywe są rz w roku: ) po ltch b) po ltch c) po ltch d) po 0 ltch? w Rozptrz dw przypdki: I. odsetki ie są opodtkowe II. bk odprowdz 0% podtku od odsetek... Który sposób oszczędzi przez okres lt jest korzystiejszy przy wpłcie kwoty 000 zł % w stosuku roczym przy kpitlizcji: ) roczej b) półroczej c) kwrtlej? k p Zstosuj wzór K K 0 gdzie: K 0 - kpitł początkowy K - kpitł z odsetkmi po 00k ltch k krotość kpitlizcji w ciągu roku p% - w stosuku roczym. Pody wzór ie uwzględi opodtkowi odsetek. Podj wzór kpitł z odsetkmi uwzględijąc 0% podtek od odsetek. Rozwż dw przypdki: I. odsetki ie są opodtkowe II. bk odprowdz 0% podtku od odsetek... Jką kwotę leży wpłcć przez cztery koleje kwrtły (wpłty dokoywe są pierwszego di kżdego rozpoczyjącego się kwrtłu) by przy oprocetowiu prostym i roczej stopie procetowej % wrz z odsetkmi po roku zgromdzić 000 zł (w oprocetowiu stro z 7

23 V.. Procet skłdy. Oprocetowie lokt i kredytów poziom podstwowy prostym odsetki ie są kpitlizowe)? Ile wyiosą odsetki od wpłcoych kwot i jk będzie wrtość odprowdzoego od odsetek podtku?.. Pierwszego di kżdego miesiąc pi Ai wpłc rchuek bkowy 00 zł. Oprocetowie rocze wyosi %. W okresie oszczędzi odsetki ie są kpitlizowe. Jką kwotą dyspoowć będzie pi Ai po sześciu miesiącch oszczędzi? Uwzględij 0% podtek od odsetek... P Jcek zdepoowł w bku pewą kwotę brdzo trkcyjy procet. Po ltch bk wypłcił mu 0% kwoty wpłcoej. Jkie było oprocetowie jeśli okres kpitlizcji wyosił jede rok i bk odliczł 0% podtku od odsetek? Wyik podj w postci dziesiętej z dokłdością do 0%..7. Pi El zmierz ulokowć pewą kwotę okres dwóch lt. W dwóch bkch które odwiedził oferowo jej: w bku I oprocetowie % w stosuku roczym i roczą kpitlizcję w bku II oprocetowie % w stosuku roczym i kpitlizcję półroczą. W którym bku pi El powi ulokowć kpitł?.8. Przedsiębiorc zciągął w bku kredyt w wysokości zł rozbudowę firmy okres lt oprocetowy 0% w stosuku roczym. Umow między bkiem i przedsiębiorcą przewiduje że kredyt wrz z odsetkmi zostie spłcoy w trzech rówych rtch płtych w końcu kżdego roku odsetki będą licze od kwoty iespłcoej. Ile wyiesie rocz rt? Jką kwotę łączą przedsiębiorc wpłci do bku? Ile wyiosą łącze odsetki od tego kredytu? Jkie rty spłcłby przedsiębiorc i ile wyiosłyby łącze odsetki od tego kredytu gdyby umow przewidywł spłcie w kżdym roku rówych części kredytu i odsetek liczych od iespłcoej z poprzedzjący rok kwoty? W którym z przypdków łącz kwot odsetek jest miejsz?.9. P Kowlski ulokowł początku 00 r. w bku zł lt. Mił do wyboru dw writy oprocetowi: I. zmieą stopę procetową w 00 roku % II. stłą stopę procetową %. W obu przypdkch odsetki kpitlizowe są rz w roku. Okzło się że w 00 r. zmie stop wyosił % w 00 r. zmiee oprocetowie depozytów w tym bku wyosiło już tylko %. P Kowlski wybrł writ I. Czy dobrze przewidził swój zysk?.0. Bk prowdzący rchuki bieżące dl klietów oprocetowuje depozyty w wysokości % w stosuku roczym. Odsetki kpitlizowe są co miesiąc. Ile otrzymmy odsetek po roku jeśli zblokujemy zł tym rchuku rok? stro z 7

24 V.. Procet skłdy. Oprocetowie lokt i kredytów poziom podstwowy.. Mjąc do dyspozycji złożeie lokty: ) % w stosuku roczym i odsetki kpitlizowe co roku ) % (procet prosty) w skli roku i odsetki ie są kpitlizowe. Który z writów jest korzystiejszy dl zkłdjącego loktę jeśli wpłc do bku 000 zł: ) lt b) lt? Oblicz kpitł końcowy po odliczeiu podtku dl obu writów oprocetowi i obu termiów lokty jeśli wpłcimy do bku 000 zł oprocetowie przez cły okres ie uleg zmiie... P Adm początku roku wpłcił do bku zł % w stosuku roczym. Odsetki są kpitlizowe co kwrtł. Jką kwotą będzie dyspoowł p Adm po roku jką po pięciu ltch (przyjmujemy że bk ie zmiei wruków oprocetowi depozytów i odprowdz 0% podtek od uzyskych odsetek). Rozwiąż to smo zdie zkłdjąc że odsetki kpitlizowe są co rok?.. Oblicz kpitł jki uzyskmy wpłcjąc do bku 000 zł lt jeśli oprocetowie w bku wyosi % w skli roku odsetki są kpitlizowe: ) rz w roku ( koiec kżdego roku) b) co miesiąc. Uwzględij pobrie 0% podtku od odsetek... Kliet złożył do bku kwotę zł. Po dwóch ltch wybrł z bku 0 8 zł. Jkie było oprocetowie w skli roku jeśli bk kpitlizowł odsetki co pół roku? Uwzględij pobrie 0% podtku od odsetek. Wyik zokrąglij do 0%... Kiedy otrzymmy większą kwotę lokując pewą kwotę w bku: % przez lt czy % przez lt zkłdjąc że w obu przypdkch kpitlizcj stępuje rz w roku? Uwzględij pobrie podtku od odsetek... Dzidkowie w diu rodzi wuczki wpłcili do bku zł 0 lt. Przy zkłdiu lokty oprocetowie w bku wyosiło % w skli roku. Po 0 ltch bk zmieił umowę i zmiejszył oprocetowie do % w skli roku. W obu okresch odsetki kpitlizowe są rz w roku. Jką kwotą będzie dyspoowć wuczk po ukończeiu 0 roku życi? Wykoj obliczei przyjmując że odsetki ie podlegją opodtkowiu. Ile wyiesie t kwot gdyby odsetki były opodtkowe?.7. Zploy mtor gier liczbowych postowił część większej wygrej wpłcić do bku tk by bk przez kolejych lt po kżdym stępym roku od dty wpłty wypłcł stłą retę po r złotych. Oprocetowie w bku wyosi p% w stosuku roczym kpitlizcj odsetek stępuje rz w roku. stro z 7

25 V.. Procet skłdy. Oprocetowie lokt i kredytów poziom podstwowy Wzór zwierjący zleżości między K r p i jest stępujący: p K r 00 p p ) oblicz wysokość rety wypłcej roczie przez 0 lt jeśli p % i do bku złożoo zł b) oblicz jki kpitł leży wpłcić do bku by przez 0 lt przy oprocetowiu p % otrzymywć retę w wysokości zł roczie? W zdiu ie uwzględij podtku od odsetek..8. Trzydziestoleti prcowik pewej firmy postowił wpłcć do bku koiec kżdego roku 000 zł dodtkowy fudusz emerytly. Bk oprocetowuje lokty w wysokości % w stosuku roczym i kpitlizuje odsetki rz w roku. Jką sumę zoszczędzi prcowik koiec roku życi. Po roku bk zczie mu wypłcć rz w roku retę przez kolejych lt. Ile o będzie wyosić? Odsetki ie są opodtkowe..9. Jki procet kpitłu wpłcoego do bku loktę termiową lt będą stowić odsetki bez podtku jeśli oprocetowie w bku wyosi % w skli roku odsetki kpitlizowe są co kwrtł? Wyik zokrąglij do 00%. Rozwiąż to smo zdie uwzględijąc 0% podtek od uzyskych odsetek. ) jki kpitł leży wpłcić do bku by odsetki przy tych dych były ie miejsze iż 00 zł?.0. P Kowlski wpłcił do bku zł rchuek oprocetowy % w stosuku roczym kpitlizcj odsetek stępuje co pół roku. Jk kwotę otrzym p Kowlski po czterech ltch jeśli w tym czsie ie wykoywł żdych wpłt i wypłt bk odprowdził 0% podtek od odsetek... Pństwo Nowkowie postowili systemtyczie oszczędzć budowę domu. N początku kżdego kwrtłu wpłcli do bku 000 zł. Oprocetowie lokt w bku wyosi % w stosuku roczym kpitlizcj odsetek jest kwrtl. Jki będzie st kot pństw Nowków po ltch oszczędzi? Bk odprowdz 0% podtek od odsetek... Trzy bki oferują róże rodzje oprocetowi lokt: ) bk A oprocetowie rocze wyosi 7% odsetki kpitlizowe są rz w roku b) bk B oprocetowie rocze wyosi % odsetki kpitlizowe są co pół roku c) bk C oprocetowie rocze wyosi % odsetki kpitlizowe są co kwrtł. W którym z tych bków jkorzystiej jest ulokowć kwotę zł okres roku? Jką kwotę uzysk się z tej lokty uwzględijąc 0% podtek od odsetek? w stro z 7

26 V.. Przykłdy ciągów zdefiiowych rekurecyjie poziom rozszerzoy V.. Przykłdy ciągów zdefiiowych rekurecyjie poziom rozszerzoy.. (R) Ciąg ( ) określoy jest wzorem rekurecyjym. Oblicz pięć początkowych wyrzów tego ciągu: ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) w... (R) Wyzcz pięć wyrzów ciągu zdefiiowego rekurecyjie: ) b) d) e) g) h) j) w. ) b) d) e) c) f) i) 0.. (R) Ciąg ( ) określoy jest wzorem rekurecyjym. Określ mootoiczość ciągu. Czy dy ciąg jest ciągiem rytmetyczym lub geometryczym wyzcz różicę ciągu rytmetyczego lub ilorz ciągu geometryczego: c) f) stro z 7

27 V.. Przykłdy ciągów zdefiiowych rekurecyjie poziom rozszerzoy 7 g) j) w. h) i) stro 7 z 7

28 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 8 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi.. ) b) f) g) c) ( ) h) d) i) ( ) e) ( ) j). Rozwiązie j) Podj ogóly wyrz ciągu: Ogóly wyrz tego ciągu może wyrżć się wzorem. Sprwdzm poprwość wzoru wyzczjąc koleje wyrzy tego ciągu Ogóly wyrz ciągu: 0... wyrż się wzorem ) si π b) d) cos π e) si π c) cos π π si f) cos π. Rozwiązie π π π π f) Podj ogóly wyrz ciągu: cos cos cos cos... cos π. Sprwdzm poprwość wzoru wyzczjąc koleje wyrzy ciągu: π π π π π π π cos cos cos cos cos cos cos... stro 8 z 7

29 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 9 π π π π Ogóly wyrz ciągu: cos cos cos cos... wyrż się wzorem cos π... ) 0 b) ( ) c) ( ) d) f) ( ) g) ( ) e) h) 0. Rozwiązie h) Podj ogóly wyrz ciągu: tg 0 tgπ tgπ tgπ... ie używjąc fukcji trygoometryczych Z włsości fukcji trygoometryczych: tg 0 0 tgπ 0 tgπ 0 tgπ Ogóly wyrz dego ciągu wyrż się wzorem 0. Jest to ciąg stły... ) b) c) d) e) f) g) h) i) π j) k) l). Rozwiązie l) Podj wzór ogóly wyrz ciągu którego -ty wyrz jest długością przekątej sześciu o krwędzi. Przekąt d sześciu o krwędzi wyrż się wzorem d. p przekąt kwdrtu o boku : p. d Z tw. Pitgors d p d d d.. p Jeśli krwędzie sześciów są kolejymi liczbmi turlymi to przekąte tych sześciów tworzą ciąg o wyrzie ogólym. stro 9 z 7

30 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 0.. ( ) c) ) b) ( ) d) e) 8 f) ( ) g) h) i) j). ( ) j) Pode są początkowe koleje wyrzy ciągu: ogóly wyrz ciągu i brkujący wyrz: Rozwiązie 7.Podj wzór Łtwo zuwżyć że liczikmi ułmków są koleje liczby turle w miowikch jest liczb o większ.. Sprwdzm wyzczjąc koleje wyrzy tego ciągu.. 7 Ogóly wyrz tego ciągu wyrż się wzorem brkujący wyrz to ) h) b) i) stro 0 z 7

31 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi c) j) 7 d) k) e) l) f) m) 0 g) 7 9 ) 0 Rozwiązie ) Oblicz pięć początkowych wyrzów orz wyrz dziesiąty ciągu o wyrzie ogólym cos π. π cos π π cos cos π π π π cos cos cos π cos 0π π π π 0 cos cos cos π cos. π π cos cos 0 π π π cos cos π cos Pięć początkowych wyrzów dego ciągu to liczby wrtość 0. 0 wyrz dziesiąty m stro z 7

32 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi ) 0 8 h) b) 7 c) 9 d) i) j) k) e) l) 8 f) 0 9 m) 0 7 g) ) 0 Rozwiązie ) Oblicz pięć początkowych wyrzów orz wyrz dziesiąty ciągu o wyrzie ogólym Pięć początkowych wyrzów dego ciągu to liczby: i ) 0 b) 8 c) 0 d) 8 ( ) e) stro z 7

33 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi f) g) 7 h) 7 i) 0 j) Rozwiązie j) Oblicz cztery początkowe wyrzy ciągu orz i jeśli ogóly wyrz ciągu dy jest wzorem. Wstwijąc z koleje liczby turle otrzymuję:. Szukymi wyrzmi ciągu są: (cztery początkowe) orz ) b) c) 8 0 d) 0 90 e) 99 8 f) ( ) ( )( ) ( ) g) ( ) ( ) ( ) ( ) stro z 7

34 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi ( ) h) ( ) 0 i) 9 7 ( ) j) 0 00 Rozwiązie j) Oblicz: gdy. 0 ( ) Wstwijąc z do wzoru odpowiedie wrtości otrzymuję: ( ) ( ). Szuke wyrzy wyoszą w podej kolejości odpowiedio: ) 0 0 b) 0 0 c) 0 0 d) e) 0 f) 0 0 g) 0 h) i) 0 j) 0. ( ) Rozwiązie j) Które z wyrzów ciągu są rówe zeru jeśli:. 0 0 N 0 0 b c ( ) 0 Δ 0 Δ N N N. T ylko jede wyrz tego ciągu jest rówy zeru i jest im 0. stro z 7

35 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi.. ) 0 0 b) 0 0 c) 0 0 d) 0 0 e) 0 0 f) 0 0 g) 0 0 h) i) j) 0 0. ) Rozwiązie j) Dy jest ogóly wyrz ciągu (. Wyzcz wszystkie pozostłe wyrzy tego ciągu rówe zero jeśli 0. 0 i 0 Aby wyzczyć wskźiki wyrzów ciągu które rówe są zero leży rozwiązć rówie: 0 wiedząc że N (Tw. Bezoute`) ( 0) / ( 0) Aby podzielić wielomi przez dwumi stosuję schemt Horer ( 0)( ) 0 Wskźiki wyrzów ciągu rówych zero (oprócz 0 ) są turlymi pierwistkmi rówi 0 b c Δ b c b Δ b Δ N N 0. 0 Pozostłe wyrzy tego ciągu rówe zero to wyrzy drugi i trzeci czyli ) 8 b) c) d) h) żde z wyrzów e) f) g) tego ciągu ie jest rówy i) 9 j) 9 k) 8 9 l). Rozwiązie l) Zbdj czy istieją wyrzy ciągu rówe dej liczbie r jeśli: i r. stro z 7

36 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi Wskźiki wyrzów ciągu spełijące dy wruek są rozwiązimi turlymi dodtimi rówi N 0 b c Δ b c 0 b Δ 0 N b Dy ciąg m jede wyrz rówy dej liczbie i jest im. Δ N.. ) b) 7 c) N (wszystkie wyrzy) d) e) f) (tylko pierwszy wyrz) g) h) i) 9 N j) N. Rozwiązie j) Wyzcz które wyrzy ciągu o wyrzie ogólym 0 są większe od M. > M 0 > N Rozwiązuję dą ierówość: 0 > 0 0 > 0 0 ; 0 0; N N ( ) 0 ( ) ( ) Wszystkie wyrzy dego ciągu są większe od ) b) c) d) { 7} e) żde wyrz ciągu ie jest miejszy od m f) 7 g) N (wszystkie wyrzy ciągu są miejsze od m) h) i) { } j) Rozwiązie j) Wyzcz które wyrzy ciągu o wyrzie ogólym są miejsze od m. < < N stro z 7

37 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 7 Rozwiązuję dą ierówość w zbiorze N < > > > > > N N Wszystkie wyrzy dego ciągu z wyjątkiem pięciu początkowym są miejsze od... Wszystkie wyrzy ciągów o podych wyrzch ogólych z przykłdów od ) do j) są dodtie. Rozwiązie ( ) ( ) ( ) j) Wykż że kżdy wyrz ciągu o wyrzie ogólym jest liczbą dodtią. ) Aby wykzć że kżdy wyrz ciągu ( jest liczbą dodtią leży rozwiązć ierówość > 0. ( ) ( ) > > 0 0 N. Przeksztłcm lewą stroę ierówości wykorzystując tw. dotyczące dziłń potęgch o wykłdiku turlym ( ) ( ) ( ) > 0 [( ) ( ) ] > 0 > 0 > 0 ierówość (z włsości fukcji wykłdiczej) jest spełio przez kżdą liczbę N. Kżdy wyrz dego ciągu jest liczbą dodtią... Kżdy wyrz ciągu ( ) którego -ty wyrz określoy jest wzorem z przykłdów od ) do j) jest liczbą ujemą. ( ) Rozwiązie j) Wykż że kżdy wyrz ciągu którego ogóly wyrz określoy jest wzorem ( ) ( ) jest liczbą ujemą. Aby wykzć że kżdy wyrz dego ciągu jest liczbą ujemą przeksztłcm wzór ogóly wyrz ciągu ( stosując twierdzei dotyczące dziłń potęgch. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]. Z włsości fukcji wykłdiczej wyik że > 0 dl kżdego N < 0 dl kżdego N. stro 7 z 7

38 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 8 Kżdy wyrz dego ciągu jest liczbą ujemą..7. Doprowdzjąc wzór ogóly wyrz ciągu do jprostszej postci otrzymuję wzór który pozwl stwierdzić że dl kżdego N N. ) b) c) e) i) ( )( ) f) g) ( ) j). ( ) ( )( Rozwiązie j) Wykż że kżdy wyrz ciągu którego ogóly wyrz określoy jest wzorem jest liczbą turlą. ( ) d) h). Rozkłdm liczik ułmk czyiki:. Z włsości że iloczy dwóch kolejych liczb turlych jest liczbą przystą wyik że dl kżdego N N ) Dl kżdego N jest liczbą turlą N dl kżdego N Osiem pierwszych początkowych wyrzów tego ciągu jest miejszych od stro 8 z 7

39 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 9 Rozwiązie.) Oblicz średią rytmetyczą i geometryczą trzeciego i siódmego wyrzu ciągu o wyrzie ogólym. Korzystjąc ze wzoru ogóly wyrz ciągu obliczm wyrz trzeci i siódmy Obliczm średią rytmetyczą i średią geometryczą wyzczoych wyrzów: średi rytmetycz średi geometrycz Trzeci wyrz tego ciągu siódmy wyrz 7. Średi rytmetycz tych wyrzów wyosi zś średi geometrycz wyosi Dziesięć początkowych kolejych wyrzów ciągu ) ( ) b) ( 87...) Liczb grupy wyrzów powtrzjących się Njmiejszy Wyrz Njwiększy wyrz c) d) e) ( ) f) ( ) g) h)... stro 9 z 7

40 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 0 Rozwiązie ( ) h) Wypisz dziesięć wyrzów ciągu. Ile różych wrtości przyjmują wyrzy tego ciągu. Podj jmiejszy i jwiększy wyrz tego ciągu. Wyzczm koleje dziesięć wyrzów ciągu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Wyik stąd że ( ). Ciąg m więc dwie róże wrtości i.... Powtrz się grup dwóch wyrzów. Njmiejszy wyrz ciągu jwiększy..... Powtrz się grup dwóch wyrzów ciągu wyrz jmiejszy jwiększy. zś.. )... ciąg jest mlejący b) (... ) ciąg jest stły c) ( 79 ) ciąg jest rosący d) ( ) ciąg jest rosący e) ( ) ciąg jest rosący f)... ciąg jest rosący g) (... ) ciąg ie jest mootoiczy h) ( ) ciąg ie jest mootoiczy i) ( ) ciąg ie jest mootoiczy. j) ciąg jest mlejący. stro 0 z 7

41 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi Rozwiązie j) Wypisz osiem wyrzów ciągu którego ogóly wyrz określoy jest wzorem. Czy wyzczoe wyrzy tworzą ciąg rosący czy mlejący N 8. Osiem początkowych wyrzów ciągu: Dy ciąg jest mlejący. Ciąg o wyrzie ogólym dl 8 jest mlejący... Kżdy z ciągów ( ) w przykłdch ) do l) jest rosący. ( ) Rozwiązie l) Wykż że ciąg jest rosący jeśli. Obliczm różicę między dowolym wyrzem stępym i poprzedim ( ) ( ) ( ) Dl kżdego N > 0 (z włsości fukcji wykłdiczej) (zgodie z defiicją ciągu rosącego) jest ciągiem rosącym. ( ) ( ) Ciąg w którym jest ciągiem rosącym... Kżdy z ciągów ( ) z przykłdów ) do l) jest mlejący. l) Wykż że ciąg ( ) jest mlejący jeśli Rozwiązie. stro z 7

42 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi Zgodie z defiicją ciągu mlejącego obliczm wrtość różicy ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dl kżdego N < 0 < 0 ( ) (zgodie z defiicją ciągu mlejącego) ciąg jest mlejący. ( ) Dy ciąg ( ) jest mlejący... ) rosący b) rosący c) rosący d) mlejący e) mlejący f) rosący g) rosący h) rosący i) mlejący j) ie jest mootoiczy k) ie jest mootoiczy l) ie jest mootoiczy. Rozwiązie l) Zbdj mootoiczość ciągu ( jeśli 0. ) Obliczm różicę wyrzów stępego i poprzediego i określm zk tej różicy: ( ) 0( ) ( 0) > 0 > N 9 9 < 0 < N { } Zgodie z defiicją ciąg ( ) ie jest i rosący i mlejący. Dy ciąg ( ) ie jest mootoiczy..7. ) b) ( ) ( ) c) stro z 7

43 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi d) π ( ) 0 si e) ( ). stro z 7

44 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 7 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi.. Czy jest to ciąg rytmetyczy? r Mootoiczość ) tk rosący b) tk mlejący c) tk mlejący d) tk rosący e) ie - - rosący f) ie - - mlejący g) tk mlejący h) ie - - rosący i) ie - - ie jest mootoiczy j) tk 0 stły k) ie - - rosący l) ie - - rosący Rozwiązie l) Zbdj czy ciąg o wyrzie ogólym jest ciągiem rytmetyczym jeśli jest wyzcz i r określ jego mootoiczość. Obliczm różicę między wyrzem stępym i poprzedim: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ie jest liczbą stłą. ( )( ) Zgodie z defiicją ciągu rytmetyczego dy ciąg ie jest ciągiem rytmetyczym. > 0 dl kżdego N zgodie z defiicją ciąg ( ) jest rosący. Ciąg o wyrzie ogólym ie jest ciągiem rytmetyczym. Jest to ciąg rosący. stro z 7

45 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi.. ) r b) r c) r 0 d ) r e) 0 r f) g) r r h) r i) j r ) r. j) Wyzcz i r ciągu rytmetyczego ( ) Rozwiązie gdy. Wyzczm różicę ciągu obliczjąc różicę między dowolym wyrzem stępym poprzedim ( ) Dy ciąg jest więc rytmetyczy o różicy r. Pierwszy wyrz ciągu obliczm ze wzoru wyrz ogóly. Wyrz pierwszy dego ciągu rytmetyczego jest rówy zś różic r... ) 0 b) 0 c) 7 d) e) 8 0 f) 7 g) h) 0 0 i) j) 8. 9 Rozwiązie j) Wyzcz dwudziesty drugi wyrz ciągu rytmetyczego 0 i r. ( ) w którym ( ) r Wzór -ty wyrz ciągu rytmetyczego:. Podstwijąc do wzoru de z zdi otrzymuję: Szuky wyrz dego ciągu wyosi 8. stro z 7 8.

46 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi.. ) 0 b) c) d) 0 e) 7 f) g) h) i) 7 j). Rozwiązie j) Wyzcz pierwszy wyrz ciągu rytmetyczego mjąc de: 0 i r. 0 ( ) r Wzór -ty wyrz ciągu rytmetyczego:. Po przeksztłceiu wzoru i wstwieiu dych otrzymuję: 0 r 0 0r ( ) 0. Pierwszy wyrz dego ciągu rytmetyczego wyosi... ) r b) f) r g) 0 r c) r d) r e) r r h) r i) r j) r. 9 Rozwiązie j) Wyzcz różicę r ciągu rytmetyczego mjąc de: i. ( ) r Wzór ogóly wyrz ciągu rytmetyczego Wstwijąc de do wzoru otrzymuję r r r r r Szuk różic dego ciągu wyosi r stro z 7

47 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 7.. ) i r b) i r c) i r d) i r e) i r f) 0 i r g) i r h) 0 i r i) i r j) 0 i 7 r. Rozwiązie j) Wyzcz ciąg rytmetyczy mjąc de: i. 8 0 Aby wyzczyć ciąg rytmetyczy leży wyzczyć wyrz pierwszy i różicę r. Wstwim de do wzoru -ty wyrz ciągu rytmetyczego ( ) r i otrzymuję ukłd rówń z iewidomymi i r. r 8 r r 9r r r Wyrz pierwszy dego ciągu rytmetyczego wyosi 0 zś różic r..7. Nie są ciągmi rytmetyczymi ciągi z przykłdów b) c) e) f) h) i). Rozwiązie j) Czy liczby: mogą być kolejymi wyrzmi ciągu rytmetyczego. Ciąg jest ciągiem rytmetyczym jeśli różic między kżdym wyrzem wyrzem bezpośredio go poprzedzjącym jest liczbą stłą (jest to różic ciągu rytmetyczego). Sprwdzm dl dych wyrzów wszystkie różice między wyrzmi stępymi i poprzedimi ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 Wszystkie różice między wyrzmi stępymi i poprzedimi są rówe i wyoszą r 0. Pode wyrzy ciągu spełiją defiicję ciągu rytmetyczego. Dy ciąg może być ciągiem rytmetyczym..8. ) b) 8 c) d) e) f) g) h) i) j) 8. stro 7 z 7

48 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 8 Rozwiązie j) Wyzcz ogóly wyrz ciągu ( wiedząc że: i. ) 0 Aby wyzczyć ogóly wyrz ciągu muszę wyzczyć różicę r ciągu. Różicę ciągu wyzczę ze wzoru -ty wyrz ciągu ( ) r. Po wstwieiu dych otrzymuję rówie: 9r 9r 7 r Po wstwieiu do wzoru -ty wyrz ciągu z i r otrzymuję. ( ) ( ) 8 Ogóly wyrz dego ciągu wyrż się wzorem ) ( 79...) b) ( ) c)... ( ) d) e)... g)... h) ( 7... ) j) ( ) ( 8 ) f) ( ) i) ( 0... ) Rozwiązie j) Wyzcz cztery początkowe wyrzy ciągu rytmetyczego ( ) mjąc de: 0 i Aby wyzczyć cztery początkowe wyrzy ciągu muszę wyzczyć ciąg tz. obliczyć i r. Korzystm ze wzoru -ty wyrz ciągu ( ) r 0 9r 9r 9 r ( r) r r r r Korzystjąc z def. ciągu rytmetyczego 0. Cztery początkowe wyrzy tego ciągu to ( 0... ).0. ) 0 9 b) r c) d) e) 0 f) r g) h) r i) r j). stro 8 z 7

49 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 9 ( ) Rozwiązie j) Ciąg jest ciągiem rytmetyczym. Oblicz mjąc de: 8 i 7. ( ) r Korzystm ze wzoru ogóly wyrz ciągu rytmetyczego Po wstwieiu dych rozwiązuję ukłd rówń: 8 r 8 r r 7 r 9 r r Pierwszy wyrz dego ciągu jest rówy.... ) b) c) d) e) 8 f) 0 g) h) i) 0 j). ) Rozwiązie j) Wyzcz liczbę wiedząc że ( jest ciągiem rytmetyczym orz. 9 Wyzczm ciąg rytmetyczy obliczjąc i r. Korzystm ze wzoru ogóly wyrz ciągu rytmetyczego ( ) r 0 9 8r 8r r r r r Podstwim do wzoru 0 ( ) ( ) 0 Szuk liczb. Pięćdziesiąty pierwszy wyrz tego ciągu jest rówy... ) S 70 b) S 0 c) S 0 d) S 90 e) S f) S 0 0 g) S0 80 h) S 0 70 i) S 0 0 S 0 j) S stro 9 z 7

50 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 0 Rozwiązie j) Oblicz sumę 0 początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego ( ) mjąc de: i 0. 0 Wzór sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego: ( ) r S Aby wyzczyć sumę 0 początkowych wyrzów tego ciągu muszę wyzczyć ciąg tz. obliczyć i r. Korzystm ze wzoru ( ) r. Po wstwieiu dych do wzoru -ty wyrz ciągu otrzymuję ukłd rówń z iewidomymi i r. 0 r 0 r 0 r 0 0 r 0r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 r Wstwim otrzyme wrtości do wzoru ( 0 ) S 0 r S 0 0 S 0 ( 0 9) 0 0 Sum dwudziestu początkowych wyrzów dego ciągu rytmetyczego wyosi S ) ( ) 0 b) ( 0... ) c) ( 9... ) 9 d) ( 9... ) e) ( 0... ) 8 f) (... ) 8 8 g) ( ) 8 8 h) ( 9... ) i) (... ) 8 j) Rozwiązie stro 0 z j) Oblicz orz ciągu rytmetyczego ( ) jeśli S. Wyzczm pierwszy wyrz ciągu i jego różicę S S 8 8

51 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi r r r r r. Zgodie z defiicją sumy początkowych wyrzów ciągu S... S S ( ) S S ( ) Trzy początkowe wyrzy tego ciągu wyoszą ciągu wyrż się wzorem. zś -ty wyrz tego.. ) 8 b) 9 c) d) e) f) 0 g) h) 9 i) j). Rozwiązie j) Wyzcz liczbę jeśli ( ) jest ciągiem rytmetyczym i 0 r S r 0 Korzystm ze wzoru sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego. ( ) r S. Po wstwieiu dych otrzymuję rówie: ( ) ( ) N b c 98 Δ Δ b Δ b Δ 9 N N. Sum początkowych wyrzów tego ciągu jest rów stro z 7

52 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi.. ) r b) r c) r d) r e) r 0 f) r g) r h) r i) r j) r. Rozwiązie j) Wyzcz różicę r ciągu rytmetyczego ( ) mjąc de: i S Podstwijąc de do wzoru sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego ( ) r S i do wzoru -ty wyrz ciągu ( )r otrzymuję ukłd rówń z iewidomymi i r. ( r) ( 9r) 7 r 7 r 7 0r 0 0r 0 0r 0 0r 0 7r 0 0r 0 r r Szuk różic dego ciągu wyosi r... S S0 b) S0 0 S ) 00 c) 7 d) S Rozwiązie d) Zjdź sumę dwudziestu początkowych kolejych liczb turlych które przy dzieleiu przez dją resztę. Wyzczm sumę r S Sum dwudziestu początkowych kolejych liczb turlych które przy dzieleiu przez dją resztę wyosi S stro z 7

53 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi.8. ) Szuke liczby to: 7 9 b) S 78 c) r d)..9. ) b) 78 c) 80 d) 98 e) 7 f) 0. Rozwiązie f) Oblicz sumę wszystkich dwucyfrowych liczb turlych których reszt przy dzieleiu przez wyosi lub. Obliczm sumę liczb S Grupuję skłdiki tk by oddzielie obliczyć sumę liczb turlych dwucyfrowych których reszt przy dzieleiu przez wyosi i oddzielie tych których reszt wyosi r 97 0 ( ) r 98 ( ) S 0 0. Sum wszystkich liczb turlych dwucyfrowych których reszt przy dzieleiu przez wyosi lub jest rów S ) 0 b) c) 0 9 d) e) f) g) x 7 h) x i) x j) x 8 k) x 8 l) x 7. Rozwiązie ( ) ( x ) ( x )... ( x ) 9 l) Rozwiąż rówie x. Lew stro jest sumą pewej liczby wyrzów ciągu rytmetyczego w którym x r x. Obliczm liczbę wyrzów ciągu i ich sumę: x x x 8 ( ) ( ) 9 stro z 7

54 V.. Odpowiedzi z przykłdowymi rozwiązimi 9 x x x S 9 9 S9 9 S9 9 S9 ( x 7) 9. Do lewej stroy rówi wstwim otrzymy wzór sumę x x 7 x x ( ) 7 Rówie m jedo rozwiązie i jest im x 7... Njmiejsz liczb wyosi jwiększ... Sum wyrzów tego ciągu wyosi 8... Sum wyrzów tego ciągu wyosi 0... Są dw ciągi spełijące pode wruki: pierwszy r lub drugi r. Sum co jmiej początkowych wyrzów pierwszego ciągu jest większ od 00. Dl drugiego ciągu S dl kżdego N... Są dw tkie ciągi: r S 0 lub r S 0... Tk określoy ciąg jest rytmetyczy i rosący orz r 0 0 S Sum dziewięciu początkowych wyrzów tego ciągu wyosi S Sum kolejych liczb turlych od 0 do 00 włączie wyosi Sum wszystkich liczb turlych dwucyfrowych iepodzielych przez wyosi Sum trzydziestu początkowych liczb turlych które przy dzieleiu przez dją resztę wyosi 9... Szuke liczby wyoszą r... Różic ciągu wyosi r... Szuke wielkości wyoszą: r... Szuk sum wyosi 0 r. stro z 7