ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

Transkrypt

1 ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe. Niech wymiry złotych prostokątów wynoszą: długość zś szerokość b, przy czym b/ jest złotą liczbą. Posługując się wzorem n odległość dwóch punktów orz znjąc współrzędne tych punktów udowodnij, że AB = BC = CA. Rozwiąznie: Odległości AB, BC i CA wynoszą odpowiednio: AB BC AC b ( b) b ( b) ( b) b Są więc tkie sme. Trzeb jeszcze pokzć, że wynoszą one b, gdyż tk jest długość krwędzi dwudziestościnu. Obliczmy ztem: AB b ( b) b b b ( b b) (*) Poniewż prostokąt o bokch, b jest złoty, więc b b,

2 co jest równowżne zpisowi: b b. Podstwijąc to wyrżenie do wzoru (*) otrzymmy: AB ( b b) ( b b b b) 4b b ZADANIE TRÓJKI PITAGOREJSKIE Trójk pitgorejsk to trzy liczby cłkowite dodtnie x, y, h tkie, że x +y =h. Nzw pochodzi od twierdzeni Pitgors, które w jednej z interpretcji mówi, że kżdy trójkąt prostokątny o cłkowitych długościch boków określ trójkę pitgorejską. Prwdziwe jest też twierdzenie odwrotne: kżd trójk pitgorejsk określ trójkąt prostokątny o dnych cłkowitych długościch boków. Jeśli wybierzemy dwie kolejne liczby Fiboncciego, które są długościmi przyprostokątnych dnego trójkąt prostokątnego, to okzuje się, że kwdrt przeciwprostokątnej jest również liczbą nleżącą do ciągu Fiboncciego. Wybierz dwie dowolne kolejne liczby ciągu Fiboncciego, które są przyprostokątnymi boków trójkąt prostokątnego i sprwdź, czy fktycznie trzeci bok jest też liczbą Fiboncciego. Spróbuj to uzsdnić dl dowolnych liczb f(n) i f(n+1). Niech f(3) =, f(4) = 3. Ztem f(3) + f(4) = + 3 = 13. Liczb 13 fktycznie jest liczbą ciągu Fiboncciego. ZADANIE 3 WŁASNOŚC LUCASA Zuwż, że jeśli dl przykłdu długości przyprostokątnych trójkąt wynoszą odpowiednio x = f(4) = 3 i y = f(5) = 5, wówczs zgodnie z twierdzeniem Pitgors: h x y f (9) Wynik 34 to znów liczb Fiboncciego i to nie byle któr. To liczb dziewiąt tego ciągu. Czy to przypdek?

3 Jej wskźnik wynosi 9? Poptrzmy przecież wzięliśmy czwrty i piąty wyrz ciągu Fiboncciego (4 + 5 = 9). Włsność tę dostrzegł po rz pierwszy i udowodnił w 1876 roku frncuski mtemtyk Edwrd Lucs formułując nstępujące twierdzenie: Jeśli dw boki trójkąt prostokątnego są kolejnymi liczbmi F(n) i F(n+1) ciągu Fiboncciego to sum ich kwdrtów jest liczbą ciągu Fiboncciego i jej wskźnik jest sumą wskźników liczb skłdowych. F(n) + F(n+1) = F(n+1) Spróbuj uzsdnić ten związek. ZADANIE 4 ZŁOTE PROSTOKĄTY Znmy już zleżność pomiędzy złotym prostokątem odciętym od niego kwdrtem. To co zostło ze złotego prostokąt to znowu złoty prostokąt. Ale wykonjmy terz czynność przeciwną: doklejjmy do złotych prostokątów kwdrty. Pierwszy prostokąt utwórzmy z dwóch kwdrtów o boku długości 1. Uzyskmy prostokąt o wymirch 1. Doklejjąc kolejny kwdrt otrzymmy prostokąt o wymirch 3 rysunek obok. Podj wymiry dwóch nstępnych prostokątów. Nstępny będzie mił wymiry 3 5. Kwdrty te będą mieć wymiry 3 X 5 orz 5 X 8

4 ZADANIE 5 CIĄG UŁAMKÓW ŁAŃCUCHOWYCH Po podzieleniu równni, którego rozwiązniem jest złot liczb: 1 (*) przez otrzymujemy: 1 1 (**) co znowu po zstąpieniu wrtością obliczoną z tego związku dje niekończący się ciąg ułmków łńcuchowych: (***) Przypuśćmy, że nie znmy wrtości. Jeśli we wzorze (***) do kolejnych wyrżeń występujących po prwej stronie wstwimy z dowolną wrtość liczbową, to ciąg tk obliczonych wrtości będzie się zbliżł do wrtości liczby. Sprwdź ten fkt. ZADANIE 6 LICZBY LUCASA Wspomniny w poprzednich zdnich Edwrd Lucs wprowdził ciąg podobny do ciągu Fiboncciego:, 1, 3, 4, 7, 11, 18, nzwny później ciągiem Lucs. Rozpoczynmy go od liczby, 1 i dlej tworzymy kolejne liczby ciągu poprzez dodwnie kżdych dwóch poprzednich. Liczby Lucs definiujemy więc: L 0 =, L 1 = 1, L n = L n-1 + L n- dl n>1 Porównjmy ciąg Lucs z ciągiem Fiboncciego:

5 Pomiędzy nimi występuje wiele relcji. Przypuśćmy, że dodjemy dwie njbliższe nie kolejne liczby Fiboncciego, F n-1 + F n+1. Okzuje się, że ich sum jest liczbą ciągu Lucs. Którą? Spróbuj ją odnleźć. Jest to zwsze liczb F n. Np. sum liczby ósmej i dziesiątej ciągu Fiboncciego jest liczb dziewiąt Lucs. ZADANIE 7 PIRAMIDA CHEOPSA Słynn pirmid Cheops to też wielościn, zbudowny tk, jk to przedstwi poniższ ilustrcj. Sprwdź ile wynosi ilorz s/b? Jki wynik dje ilorz obwodu podstwy do wysokości pirmidy?