KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

Transkrypt

1 Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Zcznij przygotowni do mtury już dziś Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl Listopd 07 Zdni zmknięte Kup vdemecum i testy Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. zdni Poprwn odpowiedź. B sklep.operon.pl/mtur Wskzówki do rozwiązni zdni Wyznczmy rozwiązni równni x + x = 0 : x = x = ztem dne równnie będzie miło cztery rozwiązni jeśli równnie x + x m = 0 będzie miło dw rozwiązni różne od i -. Stąd: D > 0 f() 0 f( ) 0 gdzie f( x ) = x + x = 0. Stąd: m > m m 6.. A Dzielnikmi są liczby: x x x x y y xy xy x y x y x y x y x y x y.. B Równnie przeksztłcmy do postci: x + = x + = x + = x = x = x = x = drugie równnie sprzeczne. C W () = W( ) = 6 W( x ) = ( x )( x + ) P( x ) + x + b. Ukłdmy ukłd równń: = 5 + b = R = 5 x + b = 6 b = 5. D Oznczmy odpowiednio krwędź podstwy i krwędź boczn prostopdł do płszczyzny podstwy ostrosłup i kąt między ścinmi ostrosłup nieprostopdłymi do płszczyzny podstwy. Obliczmy pozostłe krwędzie boczne:. Obliczmy wysokość ściny bocznej opuszczonej n njdłuższą krwędź boczną np. z pol: x = x = Korzystmy z twierdzeni cosinusów: ( ) ( ) = x + x x x cos = + cos cos = Zdni otwrte kodowne zdni Poprwn odpowiedź 6. Wskzówki do rozwiązni zdni y = 5 x W( x ) = 8 x + y = ( x + y )( x xy + y ) Liczb 0 W( x ) = 5 x x (5 x ) + (5 x ) W( x ) = 60 x 50 x + 5 Wyrżenie jest trójminem kwdrtowym o współczynniku > 0 ztem 50 5 = czyli wrtość t wynosi przyjmuje wrtość njmniejszą dl xw = W = = 5. Zobcz frgment stron 8 Zobcz frgment stron 95

2 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Próbn Mtur z OPERONEM i Wirtulną Polską zdni Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni zdni Niech b c d x będą odpowiednio podstwmi rmionmi i środkową Liczb 0 trpezu. Korzystmy ze wzoru n środkową trpezu i twierdzeni o czworokącie opisnym n okręgu: + b x= + b = x c + d = + b więc obwód trpezu jest równy 8 x = Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl 8. 9 ( x 7) + (y + ) = S = (7 ) r =. Obliczmy odległość środk okręgu 0 od prostej l: 7 + ( ) d ( S l) = d( S l ) = Zobcz frgment stron Obliczmy długość cięciwy AB : AB + = AB = Zdni otwrte zdni 9. Liczb Modelowe etpy rozwiązywni zdni Rozwiąznie: Wyznczmy pochodną funkcji: f ( x ) = ( x ) x ( x ) 0 = ( x ) x R \ {}. Prost l m współczynnik kierunkowy równy l = ztem prost k prostopdł do niej m współczynnik kierunkowy k =. Mmy więc z interpretcji geometrycznej = ( x ) = 6 to równnie jest sprzeczne gdyż pochodnej równnie: ( x ) lew stron w dziedzinie funkcji jest dodtni prw jest ujemn. Wyznczenie pochodnej funkcji f ( x ) = 0. x R \ {} ( x ) Pokonnie zsdniczych trudności: Zpisnie równni: = ( x ) Rozwiąznie pełne: Wykznie tezy zdni: ( x ) = 6 równnie jest sprzeczne gdyż lew stron w dziedzinie funkcji jest dodtni prw jest ujemn ztem nie istnieje tki punkt że styczn poprowdzon do krzywej w tym punkcie był prostopdł do prostej l. Rozwiąznie: x = m przeksztłcmy równnie do postci trójminu x + kwdrtowego z prmetrem: mx x + m = 0 i zpisujemy dl jkich wrtości prmetru m m rozwiąznie: Dl m = 0 równnie m postć: x = 0 więc m rozwiąznie. Dl m ¹ 0 równnie m rozwiąznie gdy D 0 6m 0 m \ {0}. Uwzględnijąc ob przypdki wyznczmy sumę rozwiązń i otrzymujemy zbiór wrtości funkcji: ZW =. 0 Zobcz frgment Niech liczb m Î ZW wtedy stron Postęp: Zpisnie równni kwdrtowego z prmetrem: mx x + m = 0 Rozwżenie przypdku m = 0: równnie m postć: x = 0 więc m rozwiąznie 7 Kup vdemecum i testy sklep.operon.pl/mtur

3 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Próbn Mtur z OPERONEM i Wirtulną Polską zdni Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl. Modelowe etpy rozwiązywni zdni Pokonnie zsdniczych trudności: Rozwżenie przypdku: m ¹ 0: D 0 6m 0 m \ {0} Rozwiąznie pełne: Wyznczenie sumy rozwiązń i podnie odpowiedzi: ZW = Rozwiąznie: Niech ciąg ( n ) będzie geometryczny zbieżny o pierwszym wyrzie i ilorzie q. Mmy wykzć że Sniep. q <. Zpisujemy sumę wszystkich wyrzów nieprzystych ciągu zbieżnego: S = q ztem: z treści zdni otrzymujemy nierówność: q przeksztłcmy tę nierówność równowżnie: q q q gdyż możemy podzielić obie strony przez > 0 stąd: q q ( q ) q + q 0 więc 0 t nierówność jest prwdziw gdyż licznik jest q q zwsze liczbą nieujemną jko kwdrt liczby rzeczywistej i równy 0 dl q = q = q q ( ) minownik jest liczbą dodtnią ze względu n wrunek q < Zpisnie nierówności: > q q < q Rozwiąznie pełne: Wykznie tezy zdni: ( q ) 0 i uzsdnienie tezy zdni: nierówność Zpisnie nierówności w postci: q jest prwdziw gdyż licznik jest zwsze liczbą nieujemną jko kwdrt liczby rzeczywistej minownik jest liczbą dodtnią ze względu n wrunek q <.. Liczb Rozwiąznie: Zpisujemy nierówność w postci: cos x < 0 cos x < Rozwiązujemy nierówność: cos x > cos x < p 5p 7p p x + k p + k p + k p + k p x p + k p p + k p p + k p p + k p 0 Zobcz frgment stron Wyznczmy część wspólną rozwiązń z przedziłem 0p : x p p p p 7 9 p p p p Postęp: Zpisnie równości w postci: cos x > cos x < Pokonnie zsdniczych trudności: Rozwiąznie nierówności w postci ogólnej: 7 5 x p + k p p + k p p + k p p + k p Rozwiąznie pełne: Wyznczenie części wspólnej z przedziłem 0p i zpisnie rozwiązni: x p p p p p p p p Kup vdemecum i testy sklep.operon.pl/mtur

4 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Próbn Mtur z OPERONEM i Wirtulną Polską zdni Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl. Modelowe etpy rozwiązywni zdni Rozwiąznie: Zpisujemy wszystkie przypdki liczb których sum cyfr jest równ : ) n początku i 9 zer ) n początku i 8 zer lub n początku i 8 zer ) n początku i 8 zer ) n początku i dwie i 7 zer lub n początku i 7 zer 5) n początku trzy i 6 zer Obliczmy liczbę liczb w kżdym przypdku: ) jedn liczb ) = 8 ) 9 9 ) = 5 9 5) = 969 Liczb 0 Korzystmy z reguły dodwni i otrzymujemy odpowiedź: = 50 Postęp: Zpisnie wszystkich przypdków liczb których sumą cyfr jest : ) n początku i 9 zer ) n początku i 8 zer lub n początku i 8 zer ) n początku i 8 zer ) n początku i dwie i 7 zer lub n początku i 7 zer 5) n początku trzy i 6 zer i zpisnie że jest jedn liczb z n początku (lub podnie liczby liczb w innym przypdku) Pokonnie zsdniczych trudności: Obliczenie liczby liczb w innych przypdkch: ) = ) 9 ) = 5 5) = 969 ( pkt jeśli pominięto co njwyżej dw przypdki) Rozwiąznie pełne: Obliczenie sumy i podnie odpowiedzi: = Rozwiąznie: Zobcz frgment Wyznczmy współrzędne wektorów: AB = [6] CD = [ ] łtwo sprwdzić że stron 87 AB = CD więc wektory są równoległe czyli odcinki również są równoległe. Obliczmy długości odcinków: AB = 0 CD = 60. Obliczmy sklę jednokłdności uwzględnijąc treść zdni (skl dodtni): k = 60 = = 0 Szukmy środk jednokłdności: S = ( x y ) SC = SA SD = SB Zpisujemy równnie: [ x 0 y ] = [ x y ] lub [ x y ] = [ x y ] Rozwiązujemy jedno z równń: S = (06) Wyznczenie współrzędnych wektorów: AB = [6] CD = [ ] i sprwdzenie że AB = CD więc wektory są równoległe czyli odcinki również są równoległe. Pokonnie zsdniczych trudności: Obliczenie długości odcinków: AB = 0 CD = 60 i obliczenie skli jednokłdności Kup vdemecum i testy uwzględnijąc że skl jest dodtni: k = sklep.operon.pl/mtur

5 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Próbn Mtur z OPERONEM i Wirtulną Polską zdni Modelowe etpy rozwiązywni zdni Liczb Rozwiąznie pełne: Wyznczenie współrzędnych środk jednokłdności: S = ( 06 ) ( pkt jeśli przy dobrej metodzie popełniono błąd rchunkowy) Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl 5. Rozwiąznie: Wprowdzmy oznczeni: ABCS dny ostrosłup o wierzchołku S i spodku wysokości S SD wysokość ściny bocznej BCE otrzymny przekrój SAS = EDA = Rozptrujemy trójkąt ADE: AED = 80 AED = 80 AD = AD DE Korzystmy z twierdzeni sinusów w tym trójkącie = sin stąd: sin 80 ED = sin sin Obliczmy pole przekroju P sin sin BCE = PBCE = sin sin Wprowdzenie oznczeń: ABCS dny ostrosłup o wierzchołku S i spodku wysokości S SD wysokość ściny bocznej BCE otrzymny przekrój SAS = EDA = Zpisnie dnych dl trójkąt ADE: AED = 80 AD = Pokonnie zsdniczych trudności: Obliczenie wysokości przekroju: ED = sin sin Rozwiąznie pełne: sin Obliczenie pol przekroju: PBCE = sin 6. Rozwiąznie: A wylosownie kuli biłej z losowo wybrnej urny po rozmieszczeniu biłych kul B B odpowiednio wylosownie urny I wylosownie urny II n liczb kul biłych dołożonych do urny I n { 0 } n P A B n PA B n ( / )= ( / ) = n P( B) = P( B ) = n n n n n n n n P( A)= n + + n = + + = n ( n+ 7) ( 6 n) ( n+ 7) ( 6 n) Zpisujemy równnie: n + n + ( + 7) ( 6 ) = 7 n n 7 Rozwiązujemy równnie: ( n= n= ) n { 0 } n= Kup vdemecum i testy sklep.operon.pl/mtur 5

6 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Próbn Mtur z OPERONEM i Wirtulną Polską zdni Modelowe etpy rozwiązywni zdni Wprowdzenie oznczeń: A wylosownie kuli biłej z losowo wybrnej urny po rozmieszczeniu biłych kul B B odpowiednio wylosownie urny I wylosownie urny II Liczb Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl n liczb kul biłych dołożonych do urny I n {0 } P(B ) = P(B ) = Zpisnie prwdopodobieństw: n n P ( A / B ) = P( A / B ) = n {0 } 7+ n 6 n Pokonnie zsdniczych trudności: Obliczenie prwdopodobieństw: n n 6n n + n + 7n n n + n + P( A) = + = = n+7 6 n ( n + 7)(6 n) ( n + 7)(6 n) Rozwiąznie pełne: n + n + 7 Zpisnie równni = i rozwiąznie go w dziedzinie: n = ( n + 7)(6 n) 7 7. Rozwiąznie: Niech f( x ) = x + (m + ) x m m + Równnie x + (m + ) x m m + = 0 m dw rozwiązni wtedy gdy: (D > 0 f() > 0 xw < ) D = 6m + 6m m = m = 0 D > 0 m (0 + ) f() = m + m + f() > 0 m 9 m + xw < < m Wyznczmy część wspólną wszystkich wrunków: m stron I część: Zpisnie i rozwiąznie wrunków istnieni dwóch różnych pierwistków: D > 0 m (0 + ) 8 II część: Rozwiąznie wrunków: ob pierwistki mniejsze od : f() > 0 xw < f() = m + m + f() > 0 m 9 m + < m + lub rozwiąznie wrunku: xw < Rozwiąznie wrunku: f() = m + m + f() > 0 m m + 9 < m + i rozwiąznie wrunku: xw < III część: Wyznczenie części wspólnej rozwiązń wszystkich wrunków: m 0 8 Zobcz frgment Kup vdemecum i testy sklep.operon.pl/mtur 6

7 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Próbn Mtur z OPERONEM i Wirtulną Polską Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl zdni Modelowe etpy rozwiązywni zdni 8. Rozwiąznie: Wprowdzmy oznczeni: ABCD dny prostokąt AB = x BC = y Korzystmy z twierdzeni Pitgors: R = x + y y = R x Wyznczmy pole prostokąt: P = xy Px ( ) = x R x D = ( 0 R) ztem P( x)= R x x Wprowdzmy funkcję pomocniczą f( x)= Rx x f ( x) = 8Rx x f ( x) = 0 8Rx x = 0 x = 0 x = R x = R f ( x) > 0 x ( 0 R ) f ( x) < 0 x ( R R) ztem funkcj rośnie w przedzile ( 0R ) i mleje w przedzile ( R R) więc w punkcie x = R funkcj osiąg mksimum będące njwiększą wrtością funkcji Funkcji f( x) więc również funkcji P( x) P( R )= R I część: Wyznczenie wzoru funkcji określjącej pole czworokąt Zpisnie zleżności między bokmi prostokąt y = R x Liczb 0 7 Wyznczenie wzoru n pole prostokąt: P( x)= R x x Zpisnie dziedziny funkcji: x ( 0 R) II część: Zbdnie pochodnej i wyznczenie ekstremum Wyznczenie wzoru pochodnej funkcji pomocniczej f ( x) = 8Rx x Wyznczenie miejsc zerowego pochodnej: x = R Zbdnie znków pochodnej i zpisnie wniosku dotyczącego minimum funkcji: f ( x) > 0 x ( 0 R ) f ( x) < 0 x ( R R) ztem funkcj rośnie w przedzile ( 0R ) i mleje w przedzile ( R R) więc w punkcie x = R funkcj osiąg mksimum będące njwiększą wrtością funkcji f więc również funkcji P III część: Wyznczenie njwiększej wrtości funkcji: P( R )= R TWÓJ KOD DOSTĘPU DO GIEŁDY MATURALNEJ Kup vdemecum i testy sklep.operon.pl/mtur ZOBACZ NA NASTĘPNEJ STRONIE 7

8 Wszystkie rkusze mturlne znjdziesz n stronie: rkuszemturlne.pl Wybierz Zdecydownie NAJLEPSZY SERWIS DLA MATURZYSTÓW DLA CIEBIE: WIĘCEJ ZADAŃ PEŁEN DOSTĘP do cłego serwisu przez tygodnie*! TWÓJ KOD DOSTĘPU ED75F9 Zloguj się n gieldmturln.pl Wpisz swój kod Odblokuj dostęp do bzy tysięcy zdń i rkuszy Przygotuj się do mtury z nmi! * Kod umożliwi dostęp do wszystkich mteriłów zwrtych w serwisie gieldmturln.pl przez dni od dty ktywcji (pierwsze użycie kodu). Kod nleży ktywowć do dni..07 r. Njlepsze zkupy przed egzminem! bezpłatna DOSTAWA -5 % TeSTY VADeMecUM i PAKieTY 08 SUPeR RAbAT