Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Transkrypt

1 Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: tel. : , Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego POSTAĆ KANONICZNA ZADANIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO - PRZYPOMNIENIE Przypomijmy : Postć koicz zdi optymlizcji liiowej defiiow jest stępująco: Wyzczyć x(x,x,x 3,..., x )tkie,by by mi f ( x ) mi{ c x + c x + c x c x przy ogriczeich: x + x + 3x x b x + x + 3x x b x + x + x x b m m m3 3 m m } -zmieych m-ogriczeń x, x, x3,..., x 0 Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego

2 POSTAĆ KANONICZNA ZADANIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO - PRZYPOMNIENIE W zpisie wektorowo-mcierzowym otrzymmy stępującą postć: gdzie: A... m mi [ c ] c... c, x A x b c... m m x 0 x x x... x b b b b... b m Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 3 Przykłd Wyzczyć x(x, x, x 3 ) tkie, by mi{ f (x) x + 4x x3} przy ogriczeich: Mmy trzy zmiee decyzyje, dw ogriczei (3, m), x + 3x 4x3 0 jedk postć t jest postcią koiczą. 4x 5x + x3 5 W tym przypdku przykłd x, x, x3 0, 3-4, 4-5, 5b 0 itd. Wszystkie zdi optymlizcji liiowej sprowdzić musimy przede wszystkim do postci koiczej. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 4

3 Sprowdzie zdń optymlizcji liiowej do postci koiczej ) Jeśli szukmy zmieych mksymlizujących fukcję kryterium, to zmieimy ją przemożoą przez (-) i wtedy szukmy już zmieych miimlizujących ową fukcję,tz.mx f(x) mi f(x) ; b) Jeśli mmy ogriczeie typu, to od lewej stroy odejmujemy ową zmieą (tzw. sztuczą ) i zmieimy ierówość rówość; współczyik tej owej zmieej w fukcji kryterium wyosi 0(zero) (zero); c) Jeśli mmy ogriczeie typu, to do lewej stroy dodjemy ową zmieą (tzw. sztuczą ) i zmieimy ierówość rówość; współczyik tej owej zmieej w fukcji kryterium wyosi rówież 0(zero) (zero). Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 5 Przykłd (sprowdzie zdi do postci koiczej) Złóżmy, że mmy zdie optymlizcji postci : mx f (x) mx{x + x} c (,) przy ogriczeich: x + x x + x 3x + 4x 4 A b x, x 0 x x x Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 6

4 Przykłd (cd.) Sprowdźmy zdie do postci koiczej. Njpierw zmieimy mx mi możąc fukcję przez : mx{ x + x} mi{ x x + 0 x3 + 0 x4} Zmieimy ogriczei c (,,0,0) b x + x + x3 4 x + x x4 0 A 0 x 3x + 4x x x, x 0 x x 3 mi c, x Zpis wektorowo-mcierzowy x4 b x 0 A x Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 7 ELEMENTY ANALIZY WYPUKŁEJ Defiicj Zbiór Ω zywmy wypukłym jeśli dl kżdych dwóch puktów x,y Ω pukt z θ x+(-θ)y leży do Ω dl kżdego θ [0,]. x z y x z y Ω Ω Ω - zbiór wypukły Ω - zbiór, który ie jest wypukły Defiicj Hiperpłszczyzą H α w przestrzei E zywmy zbiór H { x E :, x α, E R} α α, gdzie <,x> - iloczy sklry wektorów orz x. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 8

5 Defiicj Hiperpłszczyz H α geeruje dwie półprzestrzeie domkięte { x E :, x } Hα α { x E :, x } + Hα α Defiicj Zbiorem wielościeym (simpleksem) zywmy zbiór Ω postci Ω m i { x E :, x b } Defiicj Fukcj rzeczywist f określo wypukłym zbiorze Ω zyw się wypukłą, jeśli dl kżdego x,y Ω orz dl kżdego θ [0,] spełio jest ierówość f ( θ x + ( θ ) y) θ f ( x) + ( θ ) f ( y) Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego i i 9 Jeśli tomist spełio jest ierówość f ( θ x + ( θ ) y) θ f ( x) + ( θ ) f ( y) to fukcję f zywmy wklęsłą. Uwg: fukcj liiow f(x)<,x> jest jedocześie wypukł i wklęsł. Twierdzeie Fukcj postci m F( x) λi fi ( x), λi 0, i,..., m i jest wypukł, jeśli f i (x) są wypukłe, i,...,m. Wiosek Zbiór postci gdzie A[ ij ] mx Ω { x E : A x b, x 0} jest wypukły. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 0

6 Sformułujemy dw zdi:. wyzczyć x* Ω E tkie, że f ( x*) mi f ( x) x Ω gdzie Ω - zbiór wypukły, f( ) fukcj wypukł, b. wyzczyć x* Ω E tkie, że f ( x*) mx f ( x) x Ω gdzie Ω - zbiór wypukły, y, f( ) fukcj wklęsł, ę Ob zdi zywe są w literturze zdimi wypukłymi. Dlej zjmowć się będziemy rozwiązywiem zdń wypukłych. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego METODY ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ LINIOWYCH N wykłdzie r pozliśmy metodę geometryczą rozwiązywi zdń progrmowi liiowego. Metod t mił pewe ogriczei: może ż zostć ć zstosow tylko do tkich zdń, ń w kó których hliczb zmieych wyosi (ewetulie liczb ogriczeń wyosi wówczs możemy skostruowć zdie dule i rozwiązć je metodą grficzą); ie dje się o do lgorytmizcji i komputerowej implemetcji (stosujemy wówczs jbrdziej zą metodę rozwiązywi zdń PL tzw. lgorytm simpleks); pozwl w prosty sposób zidetyfikowć tzw. zdi ze sprzeczymi ogriczeimi orz ieogriczoą wrtością fukcji celu (o liczbie zmieych rówej ). Metodą, któr dje się do utomtyzcji (ztem moż ją lgorytmizowć i wykorzystywć komputer) orz którą moż stosowć przy wielu zmieych i ogriczeich jest metod (lgorytm) simpleks. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego

7 Twierdzeie (wykorzystywe przez lgorytm simpleks) Jeśli zdie prymle m rozwiązie optymle x* Ω to istieje wierzchołek x Ω zbioru Ω tki, że c, x c,x * x Ω mi c, x przy czym Ω ozcz zbiór rozwiązń dopuszczlych. Ztem, jeśli zdie liiowe m rozwiązie optymle, to wystrczy przeglądć tylko wierzchołki zbioru Ω, by zleźć rozwiązie będące miimum globlymzbiorzeω. Metody wyzczi rozwiązń optymlych zdń liiowych polegją ogół kostrukcji lgorytmów przeglądu wierzchołków wielościów wypukłych (simpleksów). Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 3 METODA SIMPLEKS - ide Ide metody simpleks opier się o przeglądie wierzchołków zbioru ogriczeń według pewej ustloej reguły, tk, by ie pomiąć istotych wierzchołków (w których może być rozwiązie optymle), jedocześie, by ie przeglądć wszystkich wierzchołków, gdyż byłoby to zbyt czsochłoe; Poiewż wierzchołkiem zbioru ogriczeń jest pukt, w którym przeciją się hiperpłszczyzy (w szczególym przypdku - proste), ptrz sljd r 9, więc metod simpleks poleg rozwiązywiu ukłdu rówń, który geerowy jest przez ogriczei; Jest to metod krokow (itercyj); W kżdym kroku budow jest tzw. tbel simpleksow, podstwie której wioskujemy, czy otrzyme do tej pory rozwiązie jest już optymle, czy jeszcze ie; Ogólą postć tbeli simpleksowej przedstwioo stępym sljdzie. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 4

8 METODA SIMPLEKS tblic metody simpleks c c... c Zmiee bzowe c B h 0 h h... h x B x B c B h 0 h h... h c B h 0 h h... h Pogrubioą czerwoą liią zzczoo te frgmet tbeli simpleksowej, który podleg wylicziu w kżdym kroku lgorytmu współczyiki w w... w współczyiki ikifukcji jikryterium (p. przy tzw. zmieych hbzowych) wrtości ktule zmieych bzowych (w tym przypdku dwóch) oblicze współczyiki h ij (pierwotie mcierz A) oblicze współczyiki w i : c B h i Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 5 METODA SIMPLEKS ide, c.d. omówieie tbeli simpleksowej Wkżdym kroku wyprowdz się zmieą z bzy i wprowdz się jej miejsce ową; Wruki wejści owej zmieej do bzy iwyjści strej z bzy przedstwioo sljdzie ; Po dokoiu opercji wprowdzi do bzy i wyprowdzi zmieych z bzy dokouje się poowego przeliczei wrtości współczyików h ij orz w i ; Obliczie wrtości współczyików h ij i w i przedstwioo sljdch 0 i 4; Wrukiem zkończei obliczeń jest by w osttim wierszu tbeli simpleksowej (współczyiki w i )wrtości wszystkich współczyików byływiększe lub rówe zero; W osttiej tbeli simpleksowej (rozwiązi optymlego) zmiee bzowe, których wrtości są rówe wrtościom w kolumie h 0 stowią rozwiązie optymle zdi; Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 6

9 Przykłd (wykorzystie metody simpleks) Złóżmy, że mmy zdie optymlizcji postci mx f (x) mx{x + x} przy ogriczeich: x + x x + x x, x 0 Grdiet fukcji: df (x) d(x + x) dx dx df (x) d(x + x ) dx dx x c (,) A b Czyli rozwiąziem i grficzym tego zdi jest wektor x(/3,/3) f (x)(,)-grdiet x(x, x )(/3,/3) x Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 7 Przykłd (cd.) Sprowdźmy zdie do postci koiczej. Njpierw zmieimy mx mi możąc fukcje przez : mx{ x + x} mi{ x x + 0 x3 + 0 x4} Zmieimy ogriczei x + x + x3 x + x + x4 x, x 0 Zpis wektorowo-mcierzowy c (,,0,0) A 0 0 sugesti rozwiązi bzowego mi c, x b x x x x x 3 4 A x b x 0 Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 8

10 Przykłd (cd.) Szukmy pierwszego rozwiązi bzowego, tz. tkiego, które spełi ukłd rówń, le iekoieczie jest optymlym. Dl s tkim rozwiąziem jest wektor x(0,0,,) x + x + x3 pierwsze zmiee bzowe x + x + x 4 Łtwo zuwżyć, że x, x 0, x, x jest rozwiąziem dopuszczlym, więc bzowym. A 0 0 sugesti rozwiązi bzowego Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 9 Przykłd (cd.) (Metod simpleks pierwsz tblic metody simpleks) Tbel Zmiee bzowe c B h 0 h h h 3 h 4 x 3 0 x współczyiki współczyiki fukcji kryterium (p. przy zmieych bzowych) wrtości ktule zmieych bzowych współczyiki h ij (w Tbeli zwsze mcierz A) oblicze współczyiki w i : c B h i, p. w c ( c h + c h) (0 + 0 ) 3 4 w4 c4 ( c3 h4 + c4 h4) 0 ( ) 0 iloczy wektorów Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 0

11 Przykłd (cd.) (Metod simpleks tblic metody simpleks (cd.)) Tbel Zmiee bzowe c B h 0 h h h 3 h 4 x h 0 /h / x h 0 /h / mi Współczyiki w i mi Wruek wejści do bzy (owej zmieej): mi{współczyik w i i} } (mógł być też pierwszy, wybiermy z rówych według woli ). Kolum (h ) terz jest dl s podstwą wyjści zmieej bzowej z bzy, umer zmieej wchodzącej do bzy ozczmy jko L. Wruek wyjści z bzy (strej zmieej bzowej): dzielimy h i0 /h il (tylko dl h il >0)w kżdym i-tym wierszu i szukmy wrtości miimlej. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Tbel zmi Zmiee bzowe c B h 0 h h h 3 h 4 x x współczyiki Tbel Zmiee c h h h h h bzowe B x 3 0 3/ 0 -/ x - / 0 / Str tbel: w i są ujeme, ztem jeszcze ie mmy rozwiązi optymlego Now tbel: Ndl istieją ujeme w i, ztem dl ie mmy rozwiązi optymlego współczyiki -/ 0 0 / Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego

12 Jk wyzczyliśmy owe współczyiki tbeli simpleks r? Tbel Zmiee bzowe c B h 0 h h h 3 h 4 x 3 0 x 4 współczyiki W tym wierszu (odpowidjącym zmieej wyprowdzej z bzy) wszystkie komórki (bez iebieskich) dzielimy przez wrtość pol czerwoego (w czrej obwódce) Wszystkie komórki (bez iebieskich) iych wierszy obliczmy stępująco: p. owe h h -(h h / h ) -( /) 3/, ogólie: owe h ij gdzie K umer wiersz w tbeli, w którym zjduje się zmie h h h / h ) ij ( il Kj KL wyprowdz z bzy; L umer zmieej (kolumy) wprowdzej do bzy. oblicze współczyiki w i : c B h i 3 Szczegółowe obliczei dl tbeli r Współczyiki w i c B h i : Współczyiki h j : w c ( c3 h + c h) owe h 0 h 0 / h / (0 3/ + ( ) / ) / owe h h / h / / w 4 c 4 ( c 3 h 4 + c h 4) owe h h / h / 0 (0 ( / ) + ( ) / ) / owe h 3 h 3 / h 0/ 0 w c ( c3 h + c h) owe h 4 h 4 / h / / (0 0 + ( ) ) 0 w3 c3 ( c3 h3 + c h3) Współczyiki h j : 0 (0 + ( ) 0) 0 owe h 0 h 0 -(h h 0 /h ) -( /) /) owe h h -(h h / h ) -( /) 3/ owe h h -(h h / h ) -( /) 0 owe h 3 h 3 -(h h 3 / h ) -( 0/) owe h 4 h 4 -(h h 4 / h ) 0-( /) -/ ZAWSZE wylicze podstwie owej tbeli (czyli w tym kroku podstwie tbeli r ) ZAWSZE wylicze podstwie strej tbeli (czyli w tym kroku podstwie tbeli r ) Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 4

13 Tbel Zmiee bzowe c B h 0 h h h 3 h 4 x 3 0 3/ 0 -/ x - / 0 / Ndl istieją ujeme w i, ztem dl ie mmy rozwiązi optymlego współczyiki Tbel 3 -/ 0 0 / Zmiee c h h h h h bzowe B Istieją x - /3 0 /3 -/3 jedyie ieujeme w i, ztem mmy rozwiązie x - /3 0 -/3 /3 optymle współczyiki 0 0 /3 /3 5 Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego W osttiej tbeli otrzymliśmy: x(x, x, x 3, x 4 )(/3, /3, 0, 0) ztem szuke przez s rozwiązie bez zmieych sztuczych: x(x, x )(/3, /3) tomist wrtość fukcji kryterium f(x) x +x /3 + /34/3. Otrzymliśmy to smo rozwiązie co metodą grficzą (sljd r 7). Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd r : Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego 6