Struna nieograniczona

Transkrypt

1 Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei rówowgi pk sry o odcięej w chwii Poiewż srę ie dziłją siły zewęrze więc rch jes możiwy yko wedy gdy dmy jej pewe zbrzeie począkowe Chrkerysykmi rówi sry są prose C C rówie jes jego poscią koiczą Dego rozwiązie ogóe rówi sry jes posci: y F G gdzie F s G s są dowoymi kcjmi o ciągłych pochodych rzęd drgiego Sr ieogriczo Szkmy rozwiązi rówi sry w zbiorze D : począkowych: - kszł sry w chwii począkowej przy wrkch b g - prędkość począkow pków sry gdzie kcje g są kcjmi o ciągłych pochodych odpowiedio rzęd drgiego i pierwszego Isieje dokłdie jedo rozwiązie powyższego zgdiei począkowego okreśoe wzorem d mber: g s ds Przyjmijmy erz że kcje są rozwiązimi zgdiei Cchy ego b d dych pr kcji odpowiedio g orz g Usmy iczbę T Moż pokzć że d dowoej iczby isieje k że: m sp sp g g sp sp T Ozcz o że gdy wrki począkowe różią się ie więcej iż o o rówież rozwiązie w dowoym e z góry zdym przedzie czsowym ie różią się o więcej iż o czyi rozwiązie zeży w sposób ciągły od wrków począkowych Możemy eż powiedzieć że młe zmiy dych kcji g mło zmieiją rozwiązie M o zczeie w zsosowich izyczych i ozcz że dosecz dokłdość pomirów wrków począkowych dje poprwe rozwiązie RRCzII /

2 Przykłd Wyzczyć kszł sry ieogriczoej po czsie b gdy w chwii począkowej do jej kszł wykres kcji swobodie Rozwiązie Szkmy rozwiązi rówi: spełijącego wrki: g Sosjemy wzór d mber i orzymjemy: [ ] 4 4 c sępie pszczoo 4 b wykres iebieski wykres zieoy c wykres iebieski wykres zieoy Zwżmy erz że deiijąc rozwiązie rówi różiczkowego cząskowego wymgiśmy by miło oo ciągłe pochode cząskowe do rzęd rówi włączie W eorii rówń różiczkowych cząskowych operje się różymi ypmi rozwiązń ogóioych kóre mogą być kcjmi iegłdkimi we ieciągłymi Probemy e zosły omówioe między RRCzII /

3 iymi w książce Heey Mrcikowskiej zyłowej Wsęp do eorii rówń różiczkowych cząskowych W koejych przykłdch zsosjemy wzór d mber d kcji g kóre ie są różiczkowe w pewych pkch orzymjąc rozwiązie ogóioe Przykłd Wyzczyć kszł sry ieogriczoej po czsie b c c gdy sr zosł pobdzo do drgń przez wychyeie począkowe: d d d Rozwiązie prędkość począkow wyosi Szkmy rozwiązi rówi: spełijącego wrki: g Sąd rozwiązie jes posci: * - b Podswimy do rozwiązi * wedy: rozwiązie gricze: RRCzII /

4 RRCzII 4/ si si wykres iebieski wykres zieoy wykres czerwoy rozwiązie gebricze Do podej kcji w miejsce wswimy jpierw poem 4 4 W przedzie sosjemy wzór gdzie 4 c Podswimy do rozwiązi * wedy: wykres iebieski wykres zieoy wykres czerwoy - -

5 d Podswimy do rozwiązi * wedy: - wykres iebieski - wykres zieoy wykres czerwoy Przykłd Wyzczyć kszł sry ieogriczoej po czsie: b c d e gdy pkom z przedził <> do prędkość począkową rówą słej Rozwiązie Szkmy rozwiązi rówi: spełijącego wrki: g g Rozwiązie m posć g s ds RRCzII 5/

6 RRCzII 6/ b d rozwiązie ds s g Rozprjemy przypdki: b b ds s ds b b4 s ds ds c ds s g c g g g g g

7 RRCzII 7/ c c ds ds c4 c5 ds ds d e g g g g

8 Sr półogriczo Szkmy rozwiązi rówi sry w zbiorze D : wrkch począkowych: i b orz wrk brzegowym: c - ewy kriec przymocowy Tj rozwiązie m posć : przy g s ds gdzie g są ieprzysymi przedłżeimi kcji odpowiedio i g cły zbiór D kcji g posępjemy k jk d sry ieogriczoej orzymjąc rozwiązie Jes oo rozwiąziem sry półogriczoej d Przykłd 4 Nrysowć kszł sry półogriczoej w chwii: b c c gdy sr zosł pobdzo do drgń przez wychyeie począkowe: d prędkość począkow wyosi i ewy kriec jes d przymocowy Rozwiązie Szkmy rozwiązi rówi: spełijącego wrki: g Sąd rozwiązie jes posci: d d gdzie d d RRCzII 8/

9 RRCzII 9/ b 4 d d d c = d d d d d d d d

10 Sr ogriczo Szkmy rozwiązi rówi sry w zbiorze D : przy wrkch począkowych i b orz wrkch brzegowych kóre mogą mieć różą posć Ogóie okreśoe są sępjąco: h orz h Meod seprcji zmieych meod Forier Zjmjemy się rówiem d sry ogriczoej z wrkmi począkowymi orz b kże z wrkmi brzegowymi: c - ob krńce przymocowe d Szkmy rozwiązi posci: X T Poiewż kcj jes rozwiąziem rówi i odpowid przypdkowi kiedy sr ie zosł w żde sposób pobdzo do drgń możemy przyjąć że szkmy Po podswiei k okreśoej kcji do rówi orzymjemy: X T X T X T X T X T Poiewż X T możemy zpisć k cos X T Zwżmy że w osiej rówości kcj zmieej jes rów kcji zmieej o jes możiwe gdy obie kcje są rówe ożsmościowo ej smej słej k X T Orzymiśmy dw rówi posci k orz k bo X T X k X orz T k T Zjmjemy się rówiem Gdy k wedy rówie posci X m rozwiązie X C C N podswie wrk c C T co ozcz że C Uwzgędijąc powyższe orz wrek d C T co ozcz że C Sąd X czyi d k rozwiązie X T Zem k k k Jeżei k rówie m rozwiązie X Ce Ce Korzysjąc koejo z wrków brzegowych c i d słe C orz C są rozwiąziem kłd C C Poiewż k wyzczik k k k k Ce Ce e e Ozcz o że kłd rówń posid jedyie rozwiązie C C Podobie jk przy poprzedim złożei o słej k orzymiśmy X Złóżmy zem że k Możemy przyjąć k i Rówi orz przyjmją posć X X T T Rozwiąziem rówi jes X C C si Z wrków brzegowych c i d słe C orz C są rozwiąziem kłd C C C si Poiewż C mmy zow RRCzII /

11 Rozwiąziem osiej rówości jes ciąg iczb posci: Sąd ciąg kcji X C si kóre są rozwiązimi rówi Zjmijmy się rówiem Jego rozwiązie jes posci: T D D si Przyjmjąc orzymjemy ciąg rozwiązń rówi T D D si To z koei dje ciąg rozwiązń rówi spełijących wrki brzegowe c orz d [ C D C D si ]si B B si si Fkcj B si si jes rozwiąziem rówi spełijącym wrki brzegowe c orz d o ie szereg jes zbieży wrz z odpowiedimi pochodymi rząd drgiego Ceem zeziei współczyików orz B korzysmy z wrków począkowych Z wrk orzymjemy: si To ozcz że są współczyikmi rozwiięci w szereg rygoomeryczy Forier wedłg smych sisów kcji przedzie czyi 4 si d Przed skorzysiem z wrk b zwżmy że: si B si Uwzgędijąc powyższe orz wrek: g mmy: g B si T widzimy że iczby B są współczyikmi rozwiięci w szereg rygoomeryczy Forier wedłg smych sisów kcji g przedzie Ozcz o że B 5 g si d sąd B g si d RRCzII /

12 Przykłd 5 Sr jedorod dłgości jes mocow w pkch i W chwii począkowej do jej kszł wykres kcji si sępie pszczoo swobodie Zeźć wzór opisjący jej drgi swobode Nrysowć kszł sry po czsie: b c Rozwiązie Szkmy rozwiązi rówi: spełijącego wrki począkowe: si g orz brzegowe: Korzysjąc z meody Forier B si si Poiewż g więc B orz si Współczyiki orzymjemy z rozwiięci w szereg rygoomeryczy Forier smych sisów kcji przedzie si si si si si Ozcz o że i d orz że si Przykłd 6 Sr jedorod dłgości jes mocow w pkch i W chwii począkowej do jej kszł wykres kcji si orz prędkość w poszczegóych jej pkch okreśoą kcją g si si Zeźć wzór opisjący jej drgi swobode Rozwiązie Szkmy rozwiązi rówi: spełijącego wrki począkowe: si si si orz brzegowe: Korzysjąc z meody Forier B si si RRCzII /

13 Współczyiki orzymjemy z rozwiięci w szereg rygoomeryczy Forier smych sisów kcji si si si Ozcz o że i d orz że si B si si Nsępie B b gdzie b są współczyikmi rozwiięci w szereg rygoomeryczy Forier smych sisów kcji g Podobie jk d kcji zwżmy że 4 g si si si si si si Dego B B B B d 45 Zem si si si si si RRCzII /