Szczególna i ogólna teoia względności (wybane zagadnienia) Maiusz Pzybycień Wydział Fizyki i Infomatyki Stosowanej Akademia Góniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 1 / 18
Od Szczególnej Teoii Względności... Szczególna Teoia Względności (STW) - podsumowanie: służy do opisu obiektów pouszajacych sie z dużymi pędkościami, słuszna w inecjalnych układach odniesienia, zdazenie to punkt w czasopzestzeni (t, x, y, z), upływ czasu i odległości pzestzenne wygodnie miezyć w tych samych jednostkach (np. czas w metach pokonanych pzez światło), obsewatozy znajdujący się w óżnych inecjalnych układach odniesienia pzypisują najczęściej óżne watości odległości x i upływu czasu t pomiędzy dwoma zdazeniami, zgadzają się jednak co do watości odstępu czasu τ (czas własny), zmiezonego na zegaze w układzie w któym oba zdazenia zachodzą w tym samym miejscu: s 2 t 2 x 2 = τ 2 długość własna σ - odległość pomiędzy jednoczesnymi zdazeniami: s 2 t 2 x 2 = σ 2 Zasada maksymalnego stazenia się: Cząstka swobodna pousza się pomiędzy dwoma zdazeniami w czasopzestzeni po linii, wzdłuż któej upływ czasu pomiędzy tymi zdazeniami, miezony na zegaze związanym z cząstką, jest maksymalny. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 2 / 18
... do Ogólnej Teoii Względności Metyka w STW: (płaska czasopzestzeń) Odległości pomiędzy punktami w pzestzeni okeślają jej geometię. Intewały pomiędzy zdazeniami w czasopzestzeni okeślają geometię czasopzestzeni: s 2 t 2 x 2 = τ 2 s 2 t 2 x 2 = σ 2 Gdy istnieje centum pzyciągania wygodne stają się współzędne sfeyczne: ( τ) 2 = ( t) 2 ( ) 2 ( φ) 2 Równoważność masy bezwładnej i gawitacyjnej: F = G Mm } g 2 a = m g g F = m i a m i Masa gawitacyjna jest popocjonalna do masy bezwładnej. Zasada ównoważności Einsteina (ZRE): Układ odniesienia pouszający się ze stałym pzyspieszeniem jest lokalnie nieodóżnialny od układu znajdującego się w spoczynku lub pousząjacego się uchem jednostajnym w polu gawitacyjnym. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 3 / 18 A g eath B A eath g B
Lokalność układów inecjalnych Układ inecjalny nie może być zbyt duży (czasopzestzenie). Lokalny chaakte układów inecjalnych wymaga stosowania OTW - do opisu uchu w pobliżu masywnych obiektów potzeba wielu lokalnych układów inecjalnych. Pojecie obsewatoa w STW i tzw. odległego obsewatoa w OTW (układ inecjalny ale nie sięgający źódła pzyciągania gawitacyjnego) Einstein: kzywizna czasopzestzeni Newton: pzyspieszenia pływowe δ δ δ δ Dla dwóch tajektoii 1 (t) oaz 2 (t) = 1 (t) + δ mamy: d 2 d2 = Φ( ) dt2 dt 2 δ = Φ( 1 + δ ) + Φ( 1 ) (δ ) Φ( 1 ) Miaą kzywizny jest zmiana odległości pomiędzy liniami postymi, któe początkowo są ównoległe. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 4 / 18
Gawitacyjna dylatacja czasu Wniosek z ZRE: Zegay znajdujące się wyżej w polu gawitacyjnym spieszą w poównaniu do zegaów znajdujących sią niżej. t s - odstęp czasu pomiędzy sygnałami emitowanymi pzez zódło t - odstęp czasu pomiędzy sygnałami ejestowanymi pzez odbionik S - chwilowy układ spoczynkowy akiety (t = 0) Analiza w układzie S: Rozważmy seię szybkich błysków (t s małe): v s = gt 0 oaz l s = 1 2 gt2 0 a więc można zaniedbać uch akiety jeśli ozważamy zódło. Ale czas potzebny na dotacie sygnału do odbionika jest skończony h/c, a więc nie można zaniedbać uchu akiety jeśli ozważamy odbionik. Zaniedbujac efekty wyższego zędu znajdujemy, że: h h g v = gt = g h c oaz l = 1 2 gt2 0 M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 5 / 18
Gawitacyjna dylatacja czasu Klasyczny efekt Dopplea powadzi do zależności: t = ct s c + v = t s 1 + v/c f = ( 1 + v ) f s = c ( 1 + gh ) c 2 f s Obsewato znajdujący się na powiezchni Ziemi widzi, że zega na wieży spieszy w poównaniu z jego zegaem: ( t h = 1 + gh ) c 2 t 0 Uwaga 1: Ponieważ cała analiza odbyła się w jednym układzie odniesienia (S), więc to co obsewato widzi jest ównoważne temu co aktualnie jest. Uwaga 2: Mogłoby się wydawać, że skoo t jest miezone w układzie S, a odbionik pousza sie względem niego, więc w zasadzie powinniśmy pomnożyć f pzez γ - jednak jest to efekt dugiego zędu w gh/c 2, któy systematycznie zaniedbywaliśmy, więc teaz nie możemy go uwzględnić. Piewszy ekspeyment (pecyzja zmiana częstości pomieniowania gamma (R.Pound, G.Rebka, Phys. Rev. Lett. 3, 439 (1959)) M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 6 / 18
Układ jednostajnie pzyspieszony Rozważamy czastkę o masie m jednostajnie pzyspieszaną siłą f = mg. Cząstka początkowo spoczywa w układzie S, a następnie znajduje się w kolejnych chwilowych układach inecjalnych S : f = dp dt = d(γmv) dt x = t 0 vdt = t 0 f x = f x = const γv = gt v = gt 1 + (gt) 2 gtdt = 1 ( 1 + (gt)2 1) 1 + (gt) 2 g P 1/g Definiując punkt P (x P, t P ) = ( 1/g, 0) mamy (x x P ) 2 t 2 = 1 g 2 t A hypebola t' Nachylenie linii P A, gdzie A jest dowolnym punktem na linii świata cząstki, dane jest pzez: t A t P gt = x A x = v P 1 + (gt) 2 Linia P A definiuje więc chwilową oś x. Oznacza to, że zdazenie P jest jednoczesne w S z dowolnym zdazeniem zachodzącym w układzie cząstki. Punkt P jest analogiem hoyzontu zdazeń wokół czanej dziuy. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 7 / 18 x' x
Układ jednostajnie pzyspieszony Jaka jest odległość punktów P i A w chwilowym układzie czastki S? Mamy γ = 1 + (gt) 2 oaz x A x P = 1 g 1 + (gt) 2 x = γ( x + v t ) x A x P = 1 γ (x A x P ) = 1 g W układzie S punkt P pozostaje zawsze w stałej odległości od cząstki! Z jednostajnie pzyspieszanych cząstek budujemy jednostajnie pzyspieszany układ odniesienia (ale taki w któym odległości pomiędzy cząstkami pozostają stałe w ich układach chwilowych S ): g A = 1 a oaz g B = 1 b g(z) 1 z P t E A a b E B x' x A i B odczuwają óżne pzyspieszenia własne. Nie jest możliwe skonstuowanie statycznego układu (o skończonych ozmiaach) w któym wszystkie punkty odczuwają jednakowe pzyspieszenie własne. Po opuszczeniu układu S po penym czasie mijamy punkt P, ale obsewato pozostający w układzie S stwiedzi, że czas spadania na P jest nieskończony. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 8 / 18
Jednostki masy - masa w metach Opis czasopzestzeni w pobliżu masywnych obiektów jest postszy jeśli masa ciała jest wyażona w jednostkach długości. F = G M [ ] kgm kg m 2 G = 6.6726 10 11 3 kg s 2 [ ] G 6.6726 m 10 11 3 c 2 = kg s 2 8.9876 10 [ 16 m ] = 7.424 10 28 s 2 2 [ ] m kg Obiekt Masa [kg] Masa [m] Pomień [m] Ziemia 5.9742 10 24 4.44 10 3 6.371 10 6 Słońce 1.989 10 30 1.477 10 3 6.960 10 8 Czana dziua w centum 5.2 10 36 3.8 10 9 Dogi Mlecznej (2.6 10 6 M ) Czana dziua w centum 6 10 39 4 10 12 gomady galaktyk Vigo (3 10 9 M ) M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 9 / 18
Metyka Schwazschilda Rozwiązanie ównań pola Einsteina, znalezione pzez K. Schwazschilda (1873-1916) miesiąc po opublikowaniu OTW. Metyka Schwazschilda służy do opisu czasopzestzeni w pobliżu sfeycznie symetycznego, nie obacającego się obiektu o dużej masie. Płaska czasopzestzeń: ( τ) 2 = ( t) 2 ( ) 2 ( φ) 2 Jak należy zmodyfikować te metykę do opisu dwóch zdazeń zachodzących w płaszczyźnie pzechodzącej pzez śodek sfeycznie symetycznego obiektu o dużej masie? ( dτ 2 = 1 2M ) dt 2 d2 1 2M 2 dφ 2 ( dσ 2 = 1 2M ) dt 2 + d2 1 2M + 2 dφ 2 = obwód/2π - zedukowany obwód t - odległy czas - czas miezony na zegaze znajdującym się daleko od centum pzyciągania gawitacyjnego. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 10 / 18
Metyka Schwazschilda - dyskusja Hoyzont zdazeń (pomień Schwazschilda): R = 2M (1 2M/) - kzywizna (dla obiektu sfeycznie symetycznego i nie obacającego się zależy jedynie od, a nie zależy od φ) dla kzywizna (1 2M/) 1 (płaska czasopzestzen) dla M 0 kzywizna (1 2M/) 1 (płaska czasopzestzen) dla > 2M mamy: odległość miezona w kieunku adialnym) pomiędzy współśodkowymi sfeami jest większa niż odległość wynikająca z pomiau współzędnej : dσ = d shell = d 1 2M gawitacyjne pzesunięcie ku czewieni: ( dτ = dt shell = 1 2M ) dt M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 11 / 18
Rozciągnięcie adialne pzestzeni Pzykład: Znajdź odległość pomiędzy współśodkowymi sfeami któych współzędne (zedukowane obwody) wynoszą odpowiednio 1 = 4 km i 2 = 5 km, dla czanej dziuy o masie Słońca (M = 1.477 km). shell = 2 1 d shell = d shell = 2 1 d 1 2M = 2 1 d 2M = = z 2 = = 2 1 = 1.723 km 2z 2 dz [z z2 2M = z 2 2M + 2M ln z + ] 2 z 2 2M = 1 M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 12 / 18
Gawitacyjne pzesunięcie ku czewieni Pzykład: Co się dzieje kiedy światło wysłane ze sfey o pomieniu 1 = 4M jest absobowane na sfeze 2 = 8M? O jaki czynnik zmienia sie okes fali elektomagnetycznej pomiędzy emisją i absopcją? dτ = dt shell = 1 2M dt dt shell, 1 1 2M = dt = dt shell, 2 1 2M dt 1 2M shell, 2 2 0.866 = = dt shell, 1 1 2M 0.707 = 1.22 1 Odpowiada to pzesunięciu światła żółtego do głęboko czewonego kańca widma. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 13 / 18
Czana dziua w mechanice Newtona Obiekt o masie m kg, znajdujący się początkowo w dużej odległości od czanej dziuy o masie M kg, i będący względem niej w spoczynku, jest pzez nią pzyciągany gawitacyjnie. Zgodnie z teoią Newtona mamy: E = 1 2 m kgv 2 G M kgm kg v = 2GMkg β = v c = 2GMkg c 2 = 2M wynik słuszny także w OTW dla shell Minimalny pomień sfey z któej wysłany obiekt może się oddalić w nieskończoność: hoyzont = 2M Wynik ten słuszny jest także w OTW gdy jest zedukowanym obwodem. Intepetacja fizyczna óżna w teoii Newtona i Einsteina! Światło wysłane adialnie na zewnątz z hoyzontu zdazeń nigdy nie opuści hoyzontu. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 14 / 18
Metyka Schwazschilda - dyskusja Metyka Schwazschilda (MS) stosuje się do obszau na zewnątz masywnego obiektu (Ziemia, Słońce, biały kazeł, gwiazda neutonowa). Czana dziua nie ma powiezchni MS opisuje całą pzestzeń, aż do = 0. Osobliwość dla = 2M nie jest zeczywista (zależy od wybou współzędnych) pzekaczając hoyzont nic nadzwyczajnego się nie dzieje. Osobliwość dla = 0 jest zeczywista, tzn. wszystko co dociea do centum czanej dziuy jest zgniecione do zeowej objętosci (punktu). Natua osobliwości nie jest znana mechanika kwantowa nie dopuszcza istnienia czegokolwiek w punkcie, ale nie istnieje jeszcze kwantowa teoia gawitacji. W osobliwości załamują się wszystkie pawa fizyki na szczęście wszystkie zeczywiste osobliwości wydają się być ubane (kosmiczny cenzo) tzn. istnieje powiezchnia = 2M któą można pzekoczyć tylko w jedną stonę... M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 15 / 18
Część pzestzenna metyki Schwazschilda Niech dt = 0 ( zamażamy czas) i oganiczmy się do płaszczyzny pzechodzącej pzez śodek czanej dziuy. dσ 2 = d2 + 2 dφ2 1 2M M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 16 / 18
Czasopzestzeń: płaska czy zakzywiona? Pzykład: W jakiej odległosci od centum masy czasopzestzeń staje się (paktycznie) płaska? Słońce: M = 1500m, R = 7 10 8 m, d = 1.5 10 11 m 1 2M = 1 = 10 6 = 2M 10 6 = 3 10 9 m 4R 1 2M = 1 = 10 8 = 2M 10 8 = 3 10 11 m 2d Uwzględnienie kzywizny czasopzestzeni konieczne jest pzy opisie obit planet. Czana dziua: M = 10 6 M, 1 ly = 9.46 10 15 m 1 2M = 1 10 6 = 2M 0.32 ly 10 6 M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 17 / 18
Tzy układy współzędnych Układ pouszający się (spadający) swobodnie: najpostszy opis zdazeń (można stosować STW), lokalność układu - siły pływowe, jedyny układ w okolicach czanej dziuy, w któym moze pzetwać człowiek. Układ powłoki sfeycznej (wokół centum pzyciągania gawitacyjnego): np. powiezchnia Ziemi - bak mozliwości natualnego uchu - odczuwamy siłę gawitacji, lokalnie stosujemy STW z metyką: (dτ) 2 = (dt shell ) 2 (d shell ) 2 (dφ) 2 taki układ moze istnieć tylko na zewnątz hoyzontu zdazeń. Współzędne Schwazschilda, φ, t opisują całą czasopzestzeń wokół czanej dziuy: obsewatozy na sfeach pzekazują infomacje o współzędnych, żaden obsewato nie znajduje się w układzie Schwazschilda. M. Pzybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoia Względności Wykład 7 18 / 18