WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 2. 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 2.. Wstęp Dynaika jest działe echaniki zajujący się układai odkształcalnyi będącyi w ruchu, w których uwzględniay wpływ działających sił. Przy rozpatrywaniu zagadnień dynaicznych zakładay, że przeieszczenia są bardzo ałe i charakteryzują się ziennością w czasie. Przeieszczenia te ają charakter oscylacyjny. W rozważaniach zajować się będziey drganiai haronicznyi. Kolejny założenie jest sposób określenia współczynników uogólnionych. Każde ciało posiada stopnie swobody dynaicznej, czyli liczbę współczynników uogólnionych, które jednoznacznie określają położenie ciała w przestrzeni oraz ożliwość ruchu. Aby dobrze zrozuieć zagadnienia dynaiki budowli, należałoby wyjaśnić kilka pojęć:. Punkt aterialny to ciało, którego położenie w przestrzeni daje się określić w taki sa sposób, jak położenie punktu geoetrycznego (asa bez wyiarów). 2. Ciało aterialne to układ oddzielnych punktów aterialnych lub też zbiór punktów wypełniających daną część przestrzeni w sposób ciągły. Belka jest traktowana jako zbiór punktów aterialnych i a nieskończenie wiele stopni swobody dynaicznej. Należy przez to rozuieć, że każdy z punktów belki ugina się inaczej. Możey w ty przypadku posłużyć się aproksyacją sprowadzając opis belki do dwóch końcowych jej punktów. 3. Siła to działanie wywierane na ciało cele wyprowadzenia go ze stanu spoczynku. Siła jest wielkością kierunkową, czyli wektore. 4. Masa to pewna wielkość, charakteryzująca zachowanie się dynaiczne ciała, niezależna ani od stanu ruchu, ani też od stanu fizycznego ciała. Masa jest wielkością bezkierunkową, czyli skalare. 2.2. Zasada d'aleberta Na poszczególne punkty układu aterialnego działają siły czynne P oraz siły bierne (opory ruchu) W ; siły te nadają poszczególny punkto aterialny o asach przyspieszenia a. Wprowadzając fikcyjne siły B= a, zwane siłai bezwładności, sprowadzay zagadnienie układu aterialnego będącego w ruchu do ststycznego zagadnienia równowagi sił. Stan ruchu układu aterialnego określay twierdzenie: W każdy położeniu poruszającego się układu aterialnego siły bezwładności równoważą się z siłai zewnętrznyi, o ile siły wewnętrzne nawzaje się znoszą. P B= 0 (2.) 2.3. Drgania własne układu o jedny stopniu swobody dynaicznej Rozpatrzy ruch asy o jedny stopniu swobody dynaicznej (rys. 2.), która jest zaocowana sprężyście (podpora o sztywności k). Zakładay ożliwość swobodnego ruchu tylko w jedny kierunku. Wartość przeieszczenia opisuje funkcja czasu q(t).

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 2 k [N/] (t) q(t) P(t) P(t) B(t) Rys. 2.. Układ o jedny stopniu swobody dynaicznej Zgodnie z zasadą d'aleberta ożey zapisać równanie równowagi: P t B t t =0 (2.2) gdzie siła bezwładności: B t = q t (2.3) a siła sprężystości: t =k q t (2.4) Po podstawieniu wyrażeń (2.3) i (2.4) do równania (2.2), otrzyujey: q t k q t =P t (2.5) Dla układu, na który nie działa zewnętrzna siła wyuszająca P t =0 otrzyujey równanie jednorodne. q t k q t =0 (2.6) Równanie (2.6) jest nazywane równanie różniczkowy zwyczajny ruchu. Dzieląc to równanie obustronnie przez asę i podstawiając wyrażenie na częstość kołową drgań własnych : 2 = k (2.7) otrzyujey: q t 2 q t =0 (2.8) Równanie różniczkowe (2.8) ożna wyliczyć przyjując funkcję rozwiązującą w postaci:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 3 lub w innej forie: q t =C sin t C 2 cos t (2.9) q t =A sin t (2.0) gdzie jest przesunięcie fazowy. Wykorzystując zależności trygonoetryczne ożey wyznaczyć relację poiędzy C i C 2, a stałyi A i. q t =A sin t = A [ sin t cos cos t sin ] Przyrównując do siebie wyrażenia (2.9) i (2.0) otrzyujey: A [ sin t cos cos t sin ]=C sin t C 2 cos t C =A cos (2.) C 2 =A sin (2.2) Znając warunki początkowe ożey wyznaczyć wartości stałych równania (2.0). Nie należy ylić warunków początkowych z warunkai brzegowyi, ponieważ te pierwsze dotyczą czasu, a drugie przestrzeni. Przykładowo dla chwili początkowej t=0 : ) przeieszczenie a wartość q 0 =a 2) prędkość jest równa q 0 =0 Z warunków tych otrzyujey: q 0 = A cos 0 =0 cos =0 = 2 (2.3) oraz: q 0 =A sin 0 =a A sin =a A sin 2 =a (2.4) A=a Zate dla powyższych warunków początkowych otrzyujey pełne rozwiązanie postaci: q t =a sin t 2 =A cos t (2.5)

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 4 Zgodnie z rozwiązanie (2.5) kulka o asie zaocowana sprężyście powróci do położenia początkowego po czasie odpowiadająceu kątowi 2. Podstawy zate tę wartość do równania (2.5). q t = A cos t 2 =A cos[ t 2 =A cos [ t T ] ] (2.6) Wprowadzone oznaczenie T = 2 rozpatrywanego ciała (rys. 2.2). jest okrese drgań, czyli czase dzielący dwa identyczne położenia q(t) A T k [N/] t A T Rys. 2.2. Położenie ciała w zależności od czasu Mając zdefiniowany okres drgań ożey na jego podstawie określić częstotliwość i częstotliwość techniczną.. Częstotliwość (częstość fizyczna) to ilość pełnych cykli wykonanych w jednostce czasu. f = T [ s =Hz ] (2.7) 2. Częstotliwość techniczna to ilość pełnych cykli wykonanych w ciągu jednej inuty. n= 60 T [ Hz ] (2.8) Powróćy jeszcze do wzoru (2.7) na częstość kołową drgań własnych: = k gdzie: k sztywność [kn/], jest to siła jaką należy przyłożyć, aby wywołać jednostkowe przeieszczenie, asa [kg]. Oznacza to, że jeśli chcey poznać częstość kołową drgań własnych konstrukcji, to przy prostych scheatach, przybliżonych jedną asą drgającą wystarczy, że wyznaczyy sztywność konstrukcji. Oówiy to zagadnienie na kilku przykładach.

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 5 Przykład Znaleźć częstość kołową drgań własnych dla wspornika przedstawionego na rysunku 2.3. EJ l Rys. 2.3. Model belki z jedną asą na końcu Zadanie rozwiążey korzystając z twierdzenia o pracy wirtualnej. Określiy współczynnik podatności, który jest odwrotnością sztywności. l = 0 M P EJ M ds Narysujy najpierw wykresy oentów od siły rzeczywistej P i wirtualnej. P =? Pl P l δ= M P M Rys. 2.4. a) Linia ugięcia belki, b) Wykres oentów od siły P, c) Wykres oentów od Przeieszczenie wyznaczay z twierdzenia Wereszczegina-Mohra, czyli wynażając wykresy MP i M. Po przekształceniach i uproszczeniu przez jedynkę wirtualną otrzyujey: = EJ 2 P l l 2 3 l = Pl3 3 EJ Wiey, że sztywność [kn/] to siła jaką należy przyłożyć, aby wywołać jednostkowe przeieszczenie. Zate wyznaczone przeieszczenie przyrównujey do jedynki. = Pl3 3 EJ = Z tego ożey wyznaczyć siłę P powodującą przeieszczenie δ =, inaczej sztywność. P= 3 EJ l 3 =k Po podstawieniu otrzyanej sztywności do wzoru (2.7) otrzyujey częstość kołową drgań własnych belki. = 3 EJ l 3

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 6 Przykład 2 Znaleźć częstość kołową drgań własnych dla belki wolnopodpartej (rys. 2.5). EJ l Rys. 2.5. Belka wolnopodparta z asą w środku rozpiętości Zadanie rozwiążey analogicznie jak poprzednie, również korzystając z twierdzenia o pracy wirtualnej. l = 0 M P EJ M ds Po narysowaniu wykresów oentów od siły rzeczywistej P i wirtualnej. P =? P δ = M Pl l P M 4 4 Rys. 2.6. a) Linia ugięcia belki, b) Wykres oentów od siły P, c) Wykres oentów od wyznaczy przeieszczenie δ = EJ 3 2 Pl 4 l 2 2 3 4 l Pl 2 = 48 EJ Skoro sztywność to siła jaką należy przyłożyć, aby wywołać jednostkowe przeieszczenie, to ożey zapisać = Pl 3 48 EJ = Z tego wyznaczay siłę P równą sztywności układu 48 EJ P= =k l 3 a następnie częstość kołową drgań własnych belki ze wzoru (2.7) 48 EJ = l 3

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 7 Aby poznać wartość liczbową częstości drgań własnych usiy określić sztywność giętną belki EJ, znać wartość asy przyłożonej w środku rozpiętości i długość belki. Przykład 3 Znaleźć częstość kołową drgań własnych dla belki obustronnie utwierdzonej (rys. 2.7). EJ l Rys. 2.7. Belka obustronnie utwierdzona przybliżona asą w środku rozpiętości Ponieważ jest to układ statycznie niewyznaczalny, dlatego należy rozwiązać go korzystając z twierdzenia redukcyjnego. gdzie: l = 0 M P M o ds EJ M P - wykres oentów od siły P w układzie statycznie niewyznaczalny, M o - wykres oentów od siły w układzie podstawowy. P =? Pl 8 P Pl l 8 2 δ = Pl M P 8 M Rys. 2.8. a) Linia ugięcia belki, b) Wykres oentów od siły P, c) Wykres oentów od Wyznaczy przeieszczenie od siły P: i przyrównajy je do jedynki = EJ 2 Pl 8 l 2 2 3 l 2 2 Pl 8 l 2 3 l 2 = Pl3 92 EJ = Pl3 92 EJ = Następnie wyznaczay sztywność (siłę P dla której δ = )

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 8 92 EJ P= =k l 3 Po podstawieniu otrzyanej sztywności do wzoru (2.7) otrzyujey częstość kołową drgań własnych belki. 92 EJ = l 3 Przykład 4 Znaleźć częstość kołową drgań własnych dla scheatu jak na poniższy rysunku (rys. 2.9). EJ l Rys. 2.9. Pręt pionowy zaocowany przegubowo Zgodnie z prawe Hooke'a odkształcenie jest wprost proporcjonalne do naprężenia, które je spowodowało: = E Poza ty odkształcenie pręta jest równe wydłużeniu względneu (przyrost długości Δl do długości l): Wiedząc, że = l l N = N A na podstawie powyższych zależności ożey zapisać l= N EA l Szukay siły N, która wywoła jednostkowe wydłużenie pręta, zate przyrównajy Δl do jedynki:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 9 l= N EA l= Jest to inaczej sztywność podłużna tego pręta, k=n = EA l na podstawie której ożey wyliczyć częstość kołową drgań własnych konstrukcji (2.27) = EA l Należy zwrócić uwagę na fakt, że drgania (przeieszczenia) odbywają się wzdłuż osi pręta. 2.4. Drgania własne tłuione Tłuienie drgań jest wynikie działania na ciało sił oporu oznaczanych jako R. W tłuieniu lepki (wiskotyczny), siły te są proporcjonalne do prędkości ruchu ciała. R c q t (2.9) Na rys. 2.0 przedstawiono drgające ciało o asie i jedny stopniu swobody, którego ruch jest tłuiony wiskotycznie. Przeieszczenia (drgania) opisuje funkcja q(t). k [N/] c tłuik R(t) (t) q(t) P(t) P(t) B(t) Rys. 2.0. Model układu drgającego z tłuienie Zgodnie z zasadą d' Aleberta ożey zapisać równanie drgań własnych tłuionych jako równowagę sił: P t B t t R t =0 Dla układu nieobciążonego P t =0 ożna zapisać:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 0 q t c q t k q t =0 (2.20) W równaniu (2.20) wielkość c jest stałą tłuienia. Dzieląc obustronnie równanie (2.20) przez asę drgającego ciała otrzyujey równanie: w który = c 2, to współczynnik tłuienia drgań, 2 = k q t 2 q t 2 q t =0 (2.2) to częstość drgań własnych. Rozwiązanie, całką ogólną równania ruchu (2.2) jest funkcja wykładnicza: której pochodne wynoszą: q t = A e rt (2.22) q t =A r e rt q t =A r 2 e rt Podstawiay funkcję (2.22) i jej pochodne do równania ruchu (2.2). Po przekształceniach otrzyujey równanie charakterystyczne postaci: r 2 2 r 2 =0 (2.23) W zależności od wielkości tłuienia (paraetr c) ay trzy ożliwe, różne rozwiązania równania charakterystycznego:. Małe tłuienia 0 rozwiązanie są dwa pierwiastki zespolone, sprzężone, 2. Duże tłuienia 0 rozwiązanie są dwa pierwiastki rzeczywiste, 3. =0 rozwiązanie są dwa pierwiastki podwójne, gdzie: = 2 2 4 2 =4 2 4 2 =4 2 2 Znak wyrażenia zależy od stosunku do, dla ay 0. Przeanalizujy rozwiązania: Ad. Zajijy się teraz przypadkie, gdy tłuienia są ałe (tłuienie podkrytyczne). Możliwe są dwa rozwiązania (pierwiastki zespolone, bo 0 ): r = i 2 2 Ostatecznie funkcję rozwiązującą ożna zapisać w postaci: r 2 = i 2 2 (2.24)

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI q t =A e t sin t (2.25) która jest równoważna (przez analogię do poprzednich rozważań) wyrażeniu: q t =e t C cos t C 2 sin t (2.26) Na rys. 2. przedstawiono wykres funkcji rozwiązującej (2.26). q(t) e -ρt t Rys. 2.. Funkcja rozwiązująca (tłuienie podkrytyczne) Na rysunku 2. widziy, że drgania oscylują, następuje redukcja aplitudy przeieszczenia (zniejsza się do zera). Okres drgań T jest większy w ty przypadku, ponieważ częstość kołowa drgań tłuionych jest niejsza w porównaniu z drganiai nietłuionyi -. = 2 2 (2.27) Miarą tłuienia jest logaryticzny dekreent tłuienia λ, który oblicza się ze stosunku aplitud kolejnych przeieszczeń: q n = A e t T =e T q n A e t czyli: =ln q n q n =ln e T = T (2.28) Na podstawie wyrażenia (2.28) ożna powiedzieć, że logaryticzny dekreent tłuienia to logaryt naturalny ze stosunku dwóch aplitud oddalonych od siebie o okres. Jest on wprost proporcjonalny do współczynnika tłuienia. = T

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 2 Zadanie Kolejne aplitudy drgań własnych aleją dwukrotnie, znaleźć relacje poiędzy ω a ω oraz określić logaryticzny dekreent tłuienia λ. gdzie: Ae t - aplituda po czasie t, A e t T - kolejna aplituda po czasie t + T. =ln A e t T A e t Ponieważ kolejne aplitudy drgań aleją dwukrotnie, to: A e t T A e t = 2 A zate logaryticzny dekreent tłuienia wynosi: =ln 2 Ze wzoru (2.28) wiey, że = T =ln 2 Skoro T = 2 to 2 =ln 2 2 ln 2 = Na podstawie wzoru (2.27) ożey wyznaczyć relację iędzy ω a ω: 2 = 2 2 ln 2 2

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 3 2[ ln 2 2 ]= 2 2 = ln 2 2 2 Ad 2. Rozpatrzy teraz przypadek, gdy tłuienia są duże (tłuienie nadkrytyczne). Wówczas również otrzyujey dwa rozwiązania (ty raze rzeczywiste) równania charakterystycznego: r = 2 2 r 2 = 2 2 (2.29) Funkcja rozwiązująca dla tego przypadku a następującą postać: q t =e t C sinh t C 2 cosh t (2.30) Na rys. 2.2 przedstawiono wykres funkcji rozwiązującej (2.30). q(t) t Rys. 2.2. Funkcja rozwiązująca (tłuienie nadkrytyczne) Z rys. 2.2 wynika, że drgania z tłuienie nadkrytyczny szybko zanikają i nie ają charakteru oscylacyjnego. Częstość kołowa drgań własnych wynosi: = 2 2 (2.3) Ad 3. W przypadku tłuienia krytycznego, tzn. gdy =, rozwiązanie przyjuje postać funkcji:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 4 q t =e t C t C 2 (2.32) której przebieg drgań jest bardzo podobny do drgań nadkrytycznych. 2.5. Drgania wyuszone nietłuione Rozpatrzy układ o jedny stopniu swobody dynaicznej, zaocowany sprężyście, w który siła wyuszająca jest haronicznie zienna w czasie (rys. 2.3). k [N/] (t) q(t) P(t) P(t) B(t) Rys. 2.3. Model układu o jedny stopniu swobody Zgodnie z zasadą d'aleberta ożey zapisać równanie równowagi: P t B t t =0 Po podstawieniu zależności (2.3) i (2.4) ay: q t k q t =P t (2.33) gdzie P t jest siłą wyuszającą zienną w czasie, której wartość w przypadku drgań haronicznych ożna zapisać jako suę: P t =P sin pt P 2 cos pt=p sin pt (2.34) gdzie: p częstość kołowa drgań wyuszonych, P aplituda siły wyuszającej, kąt przesunięcia fazowego. Wprowadzając do równania równowagi (2.33) wyrażenie opisujące częstość kołową drgań własnych (2.7) otrzyujey po przekształceniach:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 5 q t 2 q t = P sin pt (2.35) Dalej stosunek aplitudy siły wyuszającej do asy oznaczay sybole : = P (2.36) Rozwiązanie równania różniczkowego (2.35) jest funkcja, będąca suą całki ogólnej i całki szczególnej: q t =C sin t C 2 cos t 2 p 2 sin pt (2.37) gdzie wyrażenia: C sin t C 2 cos t - to całka ogólna równania różniczkowego, którą otrzyujey poprzez rozwiązanie równania różniczkowego jednorodnego q t 2 q t =0, 2 p 2 sin pt - to całka szczególna równania różniczkowego, wyznaczyć ją ożey w prosty sposób stosując etodę przewidywań. Jeżeli przyjiey przesunięcie fazowe =0 oraz dobierzey takie warunki początkowe, aby wartości stałych całkowania C =C 2 =0, to funkcja rozwiązująca będzie iała postać: q t = 2 p 2 sin pt= 2 p2 2 sin pt (2.38) W wyrażeniu (2.38) stosunek = P 2 = P 2 k = P k =A stat (2.39) jest wartością (aplitudą) przeieszczenia statycznego. Jeżeli stosunek częstości wyuszenia do częstości drgań własnych opiszey współczynnikie = p (2.40) to ianownik wyrażenia (2.38) ożna wydzielić jako:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 6 d = 2 (2.4) Ostatecznie, więc funkcja rozwiązująca przyjuje postać: q t =A stat d sin pt (2.42) gdzie: A stat aplituda statyczna (przeieszczenie punktu drgającego wywołane statyczną siłą P ), d współczynnik dynaiczny drgań wyuszonych. Współczynnik dynaiczny d zwiększa aplitudę przeieszczeń statycznych układu. Gdy częstość kołowa drgań wyuszonych p jest bliska częstości drgań własnych układu, ugięcie (aplituda przeieszczenia) wobec braku tłuienia wzrasta do nieskończoności przy nieziennej wartości działającej siły. Opisane zjawisko nazyway rezonanse. Strefy rezonansowe (obszar wzrostu aplitudy) ożey określić tworząc wykres wartości współczynnika dynaicznego d w zależności od współczynnika (stosunek częstości wyuszenia p do częstości drgań własnych ). ν d ν d η = p ω 0,75,25 η = p ω Rys. 2.4. Wykres współczynnika dynaicznego ν d (η) Strefą rezonansową określa się jako przedział, w który stosunek częstości p waha się w granicach od 0,75 do,25. Aby uchronić konstrukcję przed zniszczenie należy unikać stosowania częstości wyuszenia w granicach stref rezonansowych. 2.6. Drgania wyuszone tłuione W rozważaniach zakładay tłuienie wiskotyczne oraz haroniczną siłę wyuszającą. Postępując analogicznie jak w przypadku drgań własnych tłuionych (bez wyuszenia) ożey zapisać równanie równowagi (rys. 2.0).

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 7 P t B t t R t =0 i dalej na podstawie (2.34): q t c q t k q t =P sin pt P 2 cos pt=p sin pt (2.43) Po przekształceniach otrzyujey równanie różniczkowe ruchu: q t 2 q t 2 q t = P sin pt a po uwzględnieniu (2.36): q t 2 q t 2 q t = sin pt (2.44) Rozwiązanie tego równania różniczkowego będzie składało się tak jak poprzednio z suy dwóch całek - ogólnej i szczególnej. Przy założeniu, że całka ogólna obrazuje drgania szybko zanikając, jest ona ało znacząca w przypadku wystąpienia tłuienia. Zajijy się zate wyłącznie rozwiązanie szczególny równania różniczkowego. Rozwiązanie szczególny tego równania oże być funkcja: q t =A sin pt (2.45) Różniczkując dwukrotnie powyższe rozwiązanie i podstawiając funkcje q t, q t, q t do równania (2.44) otrzyujey układ dwóch równań, w który niewiadoyi są aplituda A oraz przesunięcie fazowe φ: q t 2 q t 2 q t = sin pt q t =A sin pt =A sin pt =A sin[ pt ] q t = pa cos pt = pa cos pt = pa cos [ pt ] q t = p 2 A sin pt = p 2 A sin pt = p 2 A sin[ pt ] Podstawiay q t, q t, q t do równania (2.44) p 2 A sin[ pt ] 2 pa cos [ pt ] 2 A sin[ pt ]= sin pt Po rozpisaniu p 2 A[ sin pt cos cos pt sin ] 2 pa[cos pt cos sin pt sin ] 2 A[ sin pt cos cos pt sin ]= sin pt wyłączay części:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 8 -dla sin (pt+ε) p 2 A sin pt cos 2 pa sin pt sin 2 A sin pt cos = sin pt p 2 A cos 2 pa sin 2 A cos = -dla cos (pt+ε) p 2 A cos pt sin 2 pa cos pt cos 2 A cos pt sin =0 p 2 A sin 2 pa cos 2 A sin =0 Powstał układ równań: { p 2 A cos 2 pa sin 2 A cos = p 2 A sin 2 pa cos 2 A sin =0 (2.46) Przekształcay równanie 2 A[ 2 p 2 sin 2 p cos ]=0 Ponieważ aplituda drgań A nie oże być równa zeru, to przyrównajy wyrażenie w nawiasie do zera: Z niego otrzyujey zależność: Następnie z równania wyznaczay: 2 p 2 sin 2 p cos =0 2 p 2 sin = 2 p cos sin cos = 2 p 2 p 2 tg = 2 p 2 p 2 tg = 2 p 2 p 2 (2.47) A[ 2 p 2 cos 2 p sin ]= A= 2 p 2 cos 2 p sin = cos 2 p 2 2 p sin cos A= cos 2 p 2 2 p tg Wiedząc, że

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 9 cos = tg 2 (2.48) oraz cos =cos sin = sin tg = tg ożey zapisać: A= tg 2 2 p 2 2 p tg (2.49) Do wzoru (2.49) opisującego aplitudę podstawiay rozwiązanie (2.47) 2 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 p 2 A= 2 p = 2 p 2 2 4 2 p 2 2 p 2 2 p 2 2 4 2 p 2 2 p 2 A= 2 p 2 2 4 2 p 2 2 p 2 2 4 2 p 2 Ostatecznie otrzyujey: A= 2 p 2 2 (2.50) 4 2 p 2 Rozwiązanie to ożna zapisać inaczej: gdzie: A= [ 2 p 2 2 ] = 4 2 p 2 2 2 p2 2 4 2 p2 2 2 2 = P Dzieląc licznik i ianownik przez 2 otrzyujey wyrażenie, które ożna zastąpić iloraze:

Część 2 2. WPROWADZENIE DO DYNAMIKI BUDOWLI 20 = P 2 = P 2 k i dalej, aplitudę przeieszczenia dynaicznego wyrażay przez przeieszczenie statyczne i współczynnik dynaiczny: Przyjęcie oznaczeń: A= P k 2 =A stat d p 2 2 4 2 (2.5) p2 2 2 = p = prowadzi do prostszej fory współczynnika dynaicznego. d = 2 2 (2.52) 4 2 2 Wykresy funkcji d w zależności od ilorazu dla różnych współczynników tłuienia przedstawiono na rys. 2.5. ν d 4 3 2 ρ=0 ρ=0,5 ρ=0,25 ρ=0,5 ρ= η = p ω Rys. 2.5. Wykres współczynnika dynaicznego ν d (η) dla układów tłuionych Wartość aplitudy przeieszczenia (2.5) jest uzależniona od współczynnika dynaicznego d. Zjawisko czystego rezonansu nie zajdzie, gdyż aplituda przeieszczenia w układach z tłuienie nie wzrasta do nieskończoności. Jednak osiąga największe wartości dla =. Ponadto, w zależności od wartości ilorazu drgań ówiy o: niski strojeniu konstrukcji, wysoki strojeniu konstrukcji.