a = (2.1.2) m a = (2.1.3) = (2.1.4) + (2.1.5) m 2 = A e (2.1.9)

Transkrypt

1 . DRGANIA Fundaentalną ideą drgań są drgania haroniczne proste. Słowo haroniczne podkreśla, że funkcja opisuje drgania typu sinus/cosinus, natoiast słowo proste że nie są one ani tłuione (rozdział.) ani z siłą wyuszającą (rozdział.3)..1. haroniczne proste Zagadnienie drgań haronicznych stanowi szczególny przypadek dynaiki. Chodzi tu o analizę prostoliniowego ruchu asy, na jaką działa siła proporcjonalna do współrzędnej, przeciwnie skierowana, co wyraża funkcja.1.1: gdzie k = współczynnik proporcjonalności. F = -k x (.1.1) Rys Ruch haroniczny. Siła F nazywana jest siłą kierującą, ponieważ kieruje asę do początku układu - położenia równowagi. Łatwo wykazać, że w taki przypadku asa porusza się ruche haroniczny. W ty celu uwzględniay prawo dynaiki newtonowskiej (że przyśpieszenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły, a współczynnikie proporcjonalności jest odwrotność asy tego ciała): oraz definicję przyśpieszenia Z połączenia.1. i.1.3 powstaje równanie różniczkowe.1.4: - k x a = (.1.) a = (.1.3) - k x = (.1.4) Można zapisać w postaci suy, której składniki - to wyrażenia przedstawiające siły.1.5: k x = 0 + (.1.5) Pierwszy składnik to siła bezwładnościowa (siłą pozorna wynikająca z ruchu ziennego asy ), drugi siła zewnętrzna (rzeczywista siła działająca na asę ). Równanie.1.4/.1.5 posiada kilka rozwiązań w postaci następujących funkcji czsu: x = A sin( ω t + ϕ) (.1.6) x = A cos( ω t + ϕ) (.1.7) kobinacja funkcji.1.6 i.1.7 x = A sin( ω t + ϕ) + A cos( ω t + ϕ) (.1.8) oraz funkcja zespolona: xˆ = A cos( ω t + ϕ ) + j A sin( ω t + ϕ ) (.1.9) Postać algebraiczną funkcji zespolonej.1.9 ożna przekształcić w postać wykładniczą.1.10 (za poocą tzw. wzorów Eulera): xˆ j( ω t+ϕ ) = A e (.1.9)

2 EULER Leonhard ( ), uczeń Johana Bernoulliego, ateatyk, fizyk i filozof szwajcarski, profesor uniwersytetu w Petersburgu (na zaproszenie Katarzyny I, gdzie spędził większość życia) i Akadeii Nauk w Berlinie, autor ponad około 1000 prac z dziedziny ateatyki i zastosowań ateatyki w fizyce, balistyce, arynistyce, a nawet uzyce. Pozostał niezwykle aktywny naukowo do końca życia, poio zupełnej ślepoty, jaka dotknęła go 17 lat przed śiercią. Wprowadził do analizy ateatycznej funkcje zespolone ziennej zespolonej i podał związek iędzy funkcjai trygonoetrycznyi i funkcją wykładniczą (np.: e ix = cosx + isinx). Z pośród setek ciekawych zagadnień, jakie rozwiązał Euler, oże być tzw. zagadnienie ostów królewieckich ianowicie: Przez dawny Królewiec (obecnie Kaliningrad) przepływała rzeka, w której rozwidleniach znajdowały się dwie wyspy. Ponad rozwidleniai rzeki przerzucono siede ostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe osty łączyły wyspy z brzegai rzeki. Proble, który zainteresował się Euler, był następujący: czy ożna przejść kolejno przez wszystkie osty tak, żeby każdy przekroczyć tylko raz. Euler wykazał, że jest to nieożliwe, a decyduje o ty nieparzysta liczba wylotów ostów zarówno na każdą z wysp, jak i na oba brzegi rzeki. Rozważał przy ty ogólniejszy proble, starając się ustalić warunki, które uszą być spełnione, żeby dany graf zaknięty ożna było opisać linią ciągłą w taki sposób, by każda krawędź tego grafu była obwiedziona tylko raz. Euler pokazał, że jest to ożliwe wtedy i tylko wtedy, gdy w każdy punkcie węzłowy tego grafu spotyka się parzysta liczba jego krawędzi. Funkcje.1.6 i.1.7 w bezpośredni sposób odzwierciedlają idee drgań haronicznych prostych. Paraetro tych funkcji należy przypisać następujące znaczenia: A - aplituda drgań ωt+ϕ - faza drgań ω - częstość ϕ - faza początkowa drgań Użyjy funkcję.1.6 do opisu drgań haronicznych prostych. Należy sprawdzić, czy funkcja ta na pewno spełnia równanie.1.5. W ty celu trzeba wyznaczyć drugą pochodną sprawdzanej funkcji i uieścić ją raze z funkcją pierwotną w równaniu.1.5: - A ω sin( ω t + ϕ) + k sin( ω t + ϕ) = 0 (.1.10) Łatwo zauważyć, że powyższe równanie jest spełnione gdy = k ω (.1.11) Zate funkcja.1.6 opisuje w pełni drgania haroniczne o częstości ω. Działając w podobny sposób dochodzi się do wniosku, że funkcje.1.7,.1.8 i.1.9 także opisują drgania haroniczne. Jednak o funkcjach zespolonych.1.8 i.1.9 należy ówić, że nie opisują lecz reprezentują drgania haroniczne proste. Przykłade przedstawionej idei drgań haronicznych prostych oże być ciężarek zawieszony na sprężynie.

3 Rys..1.. Ciężarek na sprężynie wykonujący ruch haroniczny prosty. Sprężyna pełni w ty oscylatorze funkcję czynnika wytwarzającego siłę działającą na asę. Zależność siły sprężyny od jej wydłużenia usi ieć liniowy przebieg, to znaczy sprężyna usi być doskonale sprężysta przynajniej w zakresie wydłużeń nie większych od aplitudy. W przeciwny razie ciężarek nie wykonywałby ruchu haronicznego. W zagadnieniu drgań haronicznych ukształtowało się autonoiczne nazewnictwo: siła F działająca na asę - siłą kierująca (układ do położenia równoawagi) współrzędna x(t) - wychylenie początek współrzędnej (x = 0) - położenie równowagi aksyalna wartość współrzędnej - aplituda A arguent sinusa/cosinusa (ωt +ϕ) - faza ω - częstość f - częstotliwość f = ω/π ϕ - faza początkowa T - okres drgań T = π/ω = 1/f Przydatność funkcji zespolonej (jako reprezentacji drgań) ujawnia się najbardziej wówczas, gdy przedstawiay ją za poocą wskazu w układzie nieruchoy (rys..1.3a) lub w układzie wirujący z szybkością kątową ω (rys..1.3b). xˆ = A cos( ω t + ϕ) + j A sin( ω t + ϕ) = A e j( ωt+ ϕ ) Rys Graficzne przedstawienie reprezentacji drgań haronicznych prostych funkcją zespoloną w układzie nieruchoy (a) i w układzie wirujący (b).

4 .1.1. Składanie drgań prostopadłych Zagadnienie składania drgań prostopadłych - to przykład z kineatyki; polega na określaniu toru ruchu określonego przez położenie: r (t) = A1cos( ω 1 t + ϕ1) i + A cos( ω t + ϕ ) j (..1) Tor jest jednoznacznie określony przez układ równań paraetrycznych..: x = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) (..) y = A cos(ω t + ϕ ) Obraz tak przedstawionego toru wytwarzany jest na wykresie y(x) poprzez zaznaczanie punktów o współrzędnych obliczanych dla kolejnych wartości paraetru t. Obraz ten ożna uzyskać także na ekranie oscyloskopu, jeżeli przebiegi x(t) i y(t) z generatorów podłączyy odpowiednio do zacisków odchylania pionowego i odchylania pozioego (rys ). Trudności pojawiają się gdy poszukujey wyrażenia y = f(x). Można próbować je pokonać poprzez wyrugowanie paraetru t. Otrzyay wówczas funkcję y(x), której kształtu nie jesteśy w stanie się doyśleć. Zależy on od wartości aż 6 paraetrów: A 1, A, ω 1, ω, ϕ 1, ϕ. ω1 ω1 y( x) = A cos arc cos x ϕ + ϕ ) (..3) ( ω A1 ω 1 Rys Zasada wytwarzania krzywych Lissajous na ekranie oscyloskopu. Praktyczna przydatność powyższej funkcji jest niewielka. Można jedynie wykazać, że w sytuacji gdy A 1 = A, ω 1 = ω i ϕ 1 = ϕ, otrzyuje się przebieg prostoliniowy. Analizę kształtów toru wynikających z prostopadłego złożenia ruchów sinusoidalnych przeprowadził Lissajous. Wykazał on, że tor w postaci krzywej zakniętej wykształca się wtedy, gdy stosunek częstości ω 1 /ω drgań składowych stanowi ułaek zwykły (stosunek liczb naturalnych). Jak wsponiano, obrazy krzywych Lissajous ożna otrzyać na ekranie oscyloskopu, a także na ekranie koputera posługując się chociażby pakiete obliczeniowy Excel. Na rysunkach od.1.1. do przedstawiono kilka przykładów krzywych Lissajous. Rys Krzywe Lissajous uzyskiwane przy tych saych częstościach drgań składowych ale o innych różnicach faz.

5 Rys Krzywe Lissajous uzyskiwane przy ty say stosunku częstości drgań składowych ale o innych różnicach faz. LISSAJOUS, Jules Antoine ( ) Fizyk franscuski, doktorat w 1855, professor fizyki w Lycée Saint- Louis, rector Acadeii w Chabéry (1874) oraz Acadeii w Besançon (1875). Członek Paryskiej Akadeii od Snany z zastosowania technik optycznych do obserwacji drgań. Zarł w Plobières. Rys Krzywe Lissajous uzyskiwane przy różnych częstościach drgań składowych o różnicy faz 0,5 π..1.. Składania drgań równoległych Zagadnienie składania drgań równoległych sprowadza się do probleu zsuowania dwóch funkcji opisujących drgania: x 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) (.1..1) + x (t) = A cos(ω t + ϕ ) x (t) =? Rozwiązanie powyższego przypadku oże być łatwe w przypadku gdy rozwiązania poszukuje się w sposób nueryczny. Natoiast względnie łatwe analityczne rozwiązanie staje się ożliwe tylko w szczególnych przypadkach. Pierwszy przypadek odpowiada sytuacji, gdy częstości drgań składowych są takie sae (.1..). x 1 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) (.1..) + x (t) = A cos(ωt + ϕ ) x (t) = A cos(ωt + ϕ) Należy jedynie określić A oraz ϕ. Przydatną staje się wtedy reprezentacja zespolona drgań, a w szczególności wskazy w układzie wirujący z częstością drgań składowych. Na rysunku.1..1 przedstawiono ów graficzny sposób suowania drgań.

6 Rys Graficzne składanie drgań równoległych. W ty oencie określanie A i ϕ sprowadza się do czynności trygonoetrycznych. Jeżeli częstości drgań są różne, wtedy również istnieje ożliwość analitycznego zsuowania tych drgań, ale pod warunkie, że ają tę saą aplitudę. Po prostu ożna zastosować wzór na suę sinusów: A sinω 1 t + A sinω t = A sin ω1+ ω ω1 ω t cos t (.1..3) ω1 ω W wyrażeniu.1..3 cos t " Rys Składanie drgań o różnych częstościach. " to tzw. czynnik fazowy inforujący, że są to drgania ω1 ω haroniczne. Pozostała część, czyli A cos t ", wyraża aplitudę tych drgań. Stąd " wniosek, że złożenie drgań haronicznych o różnych częstościach skutkuje powstanie drgań haronicznych o częstości równej połowie suy częstości drgań składowych z aplitudą zieniającą się z częstością równą połowie różnicy częstości drgań składowych. Jeżeli aplitudy są różne, efekt jest podobny co ożna wykazać suując te drgania w sposób nueryczny (rys..1..3)... tłuione Jeżeli na asę oprócz siły kierującej działa siła haująca, wtedy aplituda drgań zniejsza się z upływe czasu. Przyjuje się, iż wartość siły haującej jest proporcjonalna do szybkości ruchu i jest skierowana w kierunku przeciwny do kierunku ruchu. Wtedy równanie.1.4, po uzupełnieniu o wyrażenie przedstawiające siłę haującą przyjuje postać (..1).

7 - k x - k' dx = (..1) Powyższe równanie ożna przedstawić w postaci bilansu sił (..): dx kx + k' = 0 + (..) Równanie różniczkowe.. posiada przybliżone rozwiązania zależne od wartości k. Jeżeli współczynnik haowania k jest dostatecznie ały, wtedy rozwiązanie przyjuje następującą postać (..3): βt x(t) = A o e cosω t (..3) gdzie β - to współczynnik tłuienia drgań związany ze współczynnikie haowania zależnością..3. k' β = (..3) Przedstawiona idea drgań słabo-tłuionych znajduje zastosowanie np. w przykładzie zanurzonego w cieczy ciężarka na sprężynie (rys..9). Rys...1. haroniczne tłuione. Po włączeniu tłuienia częstość ulega zniejszeniu, a wyraża to zależność..3: ω = ωo β (..3) W przypadku gdy tłuienie jest silne, drgania tracą charakter haroniczny. Ich ewentualne przebiegi - dla różnych intensywności tłuienia - pokazano na rys... Jeżeli tłuienie jest krytyczne, to znaczy ω o = β, układ równowagi powraca do stanu równowagi w czasie najkrótszy. Wychylenie w taki ruchu opisuje zależność..4: ωo t x( t) = A(1 + ω t) e (..4) o Rys... silnie tłuione (drgania anharoniczne). Przypadek a drgania bardzo silnie

8 tłuione (ruch pełzający), przypadek b drgania silnie tłuione, przypadek c drgania tłuione krytycznie (układ powraca do stanu równowagi w czasie najszybszy)..3. z siłą wyuszającą Idea tego rodzaju drgań oże być zapisana podobnie jak drgania haroniczne proste oraz drgania haroniczne tłuione, czyli w postaci równania - bilansu sił: - k x - k' dx + Fo cosωt = (.3.1) dx + kx + k' = Fo cosωt (.3.) Ideę tę ożna przedstawić na praktyczny przykładzie analogiczny jak dla drgań tłuionych. Dodatkowy eleent stanowi siła wyuszająca przyłożona do oscylatora (rys..3.1) - odpowiednik prawej strony w równaniu.3.. Rys Przykład oscylatora haronicznego tłuionego z siłą wyuszającą. Równanie różniczkowe.3. a następujące ogólne rozwiązanie: x(t) = A(ω) cosωt (.3.3) Kształt zależności aplitudy tych drgań od częstości drgań wyuszających zależy od współczynnika tłuienia. Przedstawia to rysunek.3.. Rys..3.. Zależność aplitudy od częstości siły wyuszającej. Rozwiązanie równania.3. dla stanu ustalonego, czyli po długi czasie od oentu przyłożenia siły wyuszającej, znajduje się w rozdziale 7 (wyrażenie 7.4.5).