Równania trygonometryczne z parametrem- inne spojrzenie

Transkrypt

1 Agnieszka Zielińska Nauczyciel ateatyki w III Liceu Ogólnokształcący w Zaościu Równania trygonoetryczne z paraetre- inne spojrzenie Cele tego reeratu jest zapoznanie państwa z oii etodai pracy z uczniai na lekcjach poświęconych równanio trygonoetryczny z paraetre Uważa, że ze wszystkich równań z paraetre z jakii spotyka się uczeń w szkole średniej te należą do najtrudniejszych Dlatego wyagają one od nas szczególnie dobrego przygotowania etodycznego Przykłade, od którego zaczyna pracę z ucznie nad ty zagadnienie, jest następujące zadanie: PRZYKŁAD Dla jakich wartości paraetru a równanie a a a a co najniej jedno rozwiązanie? Rozwiązanie Ponieważ unkcja y jest ciągła i jej zbiore wartości jest przedział, to rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania nierówności a a a a a Zbiore jej rozwiązań jest Jeżeli uczeń a dostęp na lekcji do koputera z oprograowanie badający unkcje oże rozwiązać to zadanie przy jego poocy, oże sprawdzić poprawność swego rozwiązania, oże rozwiązać dane równanie dla dowolnie wybranego przez siebie paraetru a W następnych przykładach, których rozwiązanie opiera się na określaniu zbioru wartości unkcji trygonoetrycznych koputer jest bardzo użyteczny Kolejny proble, który stawia przed ucznie jest następujący: PRZYKŁAD Dla jakich wartości paraetru równanie

2 cos cos π log 5 log a co najniej jedno rozwiązanie? Rozwiązanie 5 > 5 Określay dziedzinę równania:, i otrzyujey > Wówczas równanie jest równoważne równanio: cos π cos π log cos π log 5 5 Tutaj uczniowie zauważają, iż dalsze rozwiązanie przebiegnie analogicznie jak w 5 przykładzie Wystarczy zate rozwiązać nierówność log Stąd 5 Otrzyany zbiór zawiera się w dziedzinie równania, a zate dla 5 równanie a co najniej jeden pierwiastek Gdy uczniowie posiądą uiejętności rozwiązań tego typu równań jak w przykładzie i tzn takich, że jedna ze stron równania da się sprowadzić do jednej unkcji trygonoetrycznej, której łatwo da się określić zbiór wartości przechodzę do równań postaci: PRZYKŁAD Dla jakich wartości paraetru równanie cos a co najniej jedno rozwiązanie? Uczniowie zauważają, że równanie jest równoważne równaniu Większość z nich proponuje rozwiązać je wprowadzając poocniczą niewiadoą takie też rozwiązanie ożna znaleźć w wielu zbiorach Według nie jest to jednak sposób trudny, wyagający rozważenia kilku przypadków a to jest już uiejętność niebanalna

3 I sposób Po podstawieniu t przyjuje postać 5 t t Równanie 5 a pierwiastki, gdy, czyli dla - Załóży, że tak jest Wtedy t oraz t Z podstawienia t wnosiy, że równanie posiada pierwiastki, gdy t lub t May t,,, Stąd By rozwiązać nierówność t rozpatrzy dwa przypadki: I, tzn, II <, tzn W przypadku I ay t,, czyli 7 W przypadku II otrzyujey t,, czyli Reasuując: Równanie posiada pierwiastki, gdy 7 Ten sposób jest dość pracochłonny rachunkowo, dlatego zachęca uczniów do szukania innego rozwiązania analogicznego do przykładów lub II sposób Równanie jest równoważne równaniu unkcję Wprowadźy poocniczą, π Wystarczy wyznaczyć zbiór wartości tej unkcji, ponieważ zbiór ten, to szukany zbiór wartości paraetru Uczniowie po kursie rachunku pochodnych ogą wykorzystać te inoracje do wyznaczenia wartości największej i najniejszej unkcji w przedziale doknięty Badając pierwszą i drugą pochodną oraz wartości unkcji na krańcach przedziału łatwo obliczyć, że wartość najniejsza wynosi, zaś największa 7 Ponieważ jest unkcją ciągłą i różniczkowalną, zate jej zbiore wartości jest przedział 7

4 Czy ożna w inny sposób określić zbiór wartości unkcji? Okazuje się, że tak Ten sposób rozwiązania jest nowatorski Nie spotkała go w żadny zbiorze zadań a w opinii oich uczniów jest bardzo prosty Nawiązuje ponadto do ważnej uiejętności określania zbioru wartości unkcji trygonoetrycznych bez użycia rachunku pochodnych III sposób Funkcję ożey zapisać następująco: 9 Określay teraz jej zbiór wartości wykorzystujey ciągłość unkcji trygonoetrycznych / 5 * / 9 5 A ponieważ i więc otrzyujey odpowiedź Po tych przykładach proponuję rozwiązać ucznio następujące zadania: Zad 8 Dla jakich wartości paraetru dane równanie a co najniej jeden pierwiastek? a/ cos cos cos Odp

5 5 cos b/ Odp, cos c/ Odp Zad 9 Narysuj wykres unkcji g, która każdej rzeczywistej wartości przyporządkowuje liczbę iejsc zerowych unkcji określonej w przedziale π Wsk Przekształć równanie do postaci cos cos Odp g Ucząc łodzież równań z paraetre stara się wyposażyć ich w różne etody rozwiązań tego saego zadania Myślę, że sprzyja to rozwojowi ich wyobraźni ateatycznej, pozwala lepiej zrozuieć dane zagadnienie i zachęca uczniów do szukania jak najprostszej drogi dojścia do celu 5