Obwody prądu przemiennego bez liczb zespolonych

Transkrypt

1 FOTON 94, Jesień 6 45 Obwody prądu przeiennego bez liczb zespolonych Jerzy Ginter Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego Kiedy prowadziłe zajęcia z elektroagnetyzu na Studiu Podyploowy, usiałe oówić obwody prądu przeiennego. Mogłe przy ty posłużyć się eleentai rachunku różniczkowego, ale większość słuchaczy nie znała liczb zespolonych. Po wielu próbach zastosowałe etodę opisu, która wydawała i się najprostsza z ożliwych i w gruncie rzeczy sprowadzała się do wykorzystania wzoru na sinus suy. Może zainteresuje ona Czytelników Fotonu? Dodawanie sinusa i kosinusa Zacznijy od przyponienia prostych właściwości funkcji trygonoetrycznych. May funkcję wyjściową f A (x) = Asinx, gdzie A jest liczba dodatnią, ustaloną na czas naszych rozważań. Do tej funkcji dodajey funkcję f B (x) = Bcosx, gdzie B jest liczbą dowolną. Interesuje nas sua f(x) = Asinx + Bcosx. () Wykres funkcji f(x) jest także sinusoidą. Ma ona aplitudę większą od A i jest w stosunku do f A (x) przesunięta: w lewo, jeżeli B > (rys. a); w prawo, jeżeli B < (rys. b). f(x) sinx cosx sinx cosx π π π π Rys.. Wykresy funkcji f(x): a. A =, B = ; b. A =, B = f(x)

2 46 FOTON 94, Jesień 6 Oznacza to, że funkcję f(x) ożey także przedstawić w postaci: f(x) = C sin(x + ) = Ccos sinx + Csin cosx. () Będziey zakładać, że C jest liczbą dodatnią, a przesunięcie jest zawarte w przedziale π < < π (wzór (7)). Obliczy C i. Porównując () z () widziy, że powinny być spełnione równości: A = Ccos ; (3) B = Csin. (4) Zauważy, że: A + B = (Ccos) + (Csin) = C (cos + sin ) = C ; (5) a stąd C = A + B. (6) Ponadto B sin = = tg. (7) A cos Równanie (7) a nieskończenie wiele rozwiązań, bo tangens jest funkcją periodyczną. Nas będą interesować tylko te, które są zawarte w przedziale π < < π. Zależność C i od B przy ustalony A przedstawia rysunek. Widać, że: dla B aplituda C A (dla ałych B jest to zależność kwadratowa), a (dla ałych B jest to zależność liniowa); dla B + aplituda C B, a π ; dla B aplituda C B, a π. 3A A A π/ C C = B π/ 3A A A A A 3A Rys.. Zależność C i od B B

3 FOTON 94, Jesień 6 47 Wzory (6) i (7) ają prostą interpretację geoetryczną: Rozważy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych A i B (rys. 3). Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że przeciwprostokątna jest równa A + B, czyli C. Na rysunku zaznaczony został także kąt, którego tangens jest równy A B. C = A + B B A Rys. 3. Geoetryczna interpretacja wielkości C i Zieniay układ współrzędnych W dotychczasowy układzie współrzędnych funkcja f A (x) = Asinx znikała dla x =, a funkcja f(x) = C sin(x + ) była równa zeru dla x =. Dla dodatnich funkcja f(x) była przesunięta w lewo w stosunku do wyjściowej funkcji f A (x). Możey wprowadzić nowy układ współrzędnych (rys. 4): Asinx Csin(x +) π x Asin(x ) Csinx π x Rys. 4. Wprowadzay nowy układ współrzędnych

4 48 FOTON 94, Jesień 6 x = x +. (8) Początek układu priowanego jest przesunięty w lewo względe początku okładu niepriowanego o. W nowy układzie funkcja f a postać i znika dla x =. Natoiast funkcja f A przybiera postać f(x ) = Csinx (9) f A (x ) = Asin(x ). () Jest więc w stosunku do początku nowego układu współrzędnych przesunięta w prawo o. Obwód RLC, wyrażenie siły elektrootorycznej źródła przez natężenie prądu Zastosujy uzyskane wzory do obwodu prądu przeiennego RLC. W obwodzie taki połączone są szeregowo: źródło siły elektrootorycznej U, saoindukcja L, pojeność C i opór R (rys. 5). Sybol t oznaczać będzie czas. W obwodzie ay trzy siły elektrootoryczne: R U(t) L. źródła U(t). saoindukcji C Rys. 5. Obwód RLC gdzie I(t) oznacza natężenie prądu elektrycznego. 3. pojeności di ( t) U L ( t) = L ; () dt Q( t) U C ( t) = = I ( t) dt. () C C

5 FOTON 94, Jesień 6 49 Znak we wzorze () wyaga koentarza. W obwodzie złożony jedynie ze źródła siły elektrootorycznej i pojeności kondensator zachowuje się jak źródło napięcia włączone odwrotnie niż źródło prawdziwe. Stąd znak ujeny we wzorze (). Oprócz sił elektrootorycznych w obwodzie jest jeszcze opór R. Zastosujy do obwodu RLC drugie prawo Kirchhoffa i napiszy: czyli U(t) + U L (t) + U C (t) = RI(t); (3) di ( t) U ( t) L I ( t) dt = RI ( t) dt C. (4) Wygodnie będzie zebrać po prawej stronie wszystkie człony zawierające I(t): di ( t) U ( t) = RI ( t) + L + I ( t) dt. (5) dt C Przypuśćy, że w obwodzie płynie prąd przeienny o sinusoidalnej zależności natężenia I od czasu: I(t) = I sin(ωt). (6) Podstawy to wyrażenie do wzoru (5). Wyraziy w ten sposób siłę elektrootoryczną źródła U(t) przez natężenie prądu płynącego w obwodzie I(t): U ( t) = RI sin( ) d sin( ) ω t + L I ω t + I dt C = RI sin( t) L I cos( t) ω + ω ω I ω C = RI sin( ) ω t + ω L I cos( ω t). sin( ω t) dt cos( ω t) = Wyrażenie to a identyczny kształt jak funkcja f(x) we wzorze (). Należy podstawić: x = ωt, A = RI, oraz B = L ω I. Możey więc przedstawić funkcję U(t) w postaci: U(t) = U sin(ωt + ) (8) gdzie U a sens stałej C. Wielkości U i obliczyy, korzystając ze wzorów (6) i (7): (7) U = C = A + B = R I + L I = I R + L ω ω ; (9)

6 5 FOTON 94, Jesień 6 ωl tg = B = ωc. () A R Podsuujy: wzór (9) pozwala obliczyć aplitudę siły elektrootorycznej źródła U, jeżeli znay aplitudę natężenia prądu elektrycznego I ; sinusoida zależności U(t) jest przesunięta w stosunku do sinusoidy opisującej zależność I(t) o wartość, określoną wzore (). Wyrażenie natężenia prądu w obwodzie RLC przez siłę elektrootoryczną źródła W praktyce interesuje nas najczęściej zagadnienie odwrotne do oówionego powyżej: znay siłę elektrootoryczną źródła U(t), a chcey obliczyć natężenie płynącego prądu I(t). Aplitudę natężenia prądu elektrycznego I wyraziy przez aplitudę siły elektrootorycznej źródła U, przekształcając wzór (9) do postaci: I = U R + ωl ωc. () Aby opisać przesunięcie natężenia prądu względe siły elektrootorycznej wprowadziy nowy czas t, określony wzore (por. wzór (8)): ωt = ωt +. () Zależność siły elektrootorycznej od czasu t opisana jest funkcją (por. wzór (9)): U(t ) = U sin(ωt ). (3) Natoiast natężenie prądu jest przesunięte w fazie w stosunku do siły elektrootorycznej o, czyli jest opisane wzore (por. wzór ()): I(t ) = I sin(ωt ). (4) Przesunięcie fazowe jest określone wzore (). Jeżeli > przebieg natężenia prądu jest opóźniony względe przebiegu siły elektrootorycznej. Jeżeli < przebieg natężenia prądu wyprzedza przebieg siły elektrootorycznej. Posługując się wzorai (3) i (4) będziey ogli opuszczać znak pri przy sybolu czasu.

7 FOTON 94, Jesień 6 5 Zależność I (ω) i (ω) dla wybranych paraetrów R =,5, L = i C = przypoina rysunek 6. I U R I (ω) U π π ωc ωl (ω) ω Rys. 6. Zależność I (ω) i (ω) dla dowolnie wybranych paraetrów R =,5, L = i C = Podsuujy Ogólnie znane wzory, wyrażające natężenie prądu elektrycznego przez paraetry obwodu RLC i siłę elektrootoryczną źródła uzyskaliśy na drodze dość prostego rozuowania i bez użycia liczb zespolonych. Od Redakcji: W następny zeszycie Fotonu Redakcja zaieści artykuł J. Karczarczuka, w który będzie przedstawione podejście z użycie liczb zespolonych.