Wstęp do Sztucznej Inteligencji: Laboratorium Sterowni rozmt Zbior rozmte pozwalają w sposób usstematzowan modelować pojęcia niepreczjne, jaimi ludzie posługują się na co dzień. Przładem może bć wrażenie wsoa temperatura, duża prędość cz młod człowie. Również podczas rozumowania i podejmowania deczji, ludzie worzstują taie rozmte pojęcia. Rozumujem na przład: jeśli droga jest bardzo ręta i widoczność jest bardzo słaba, należ jechać bardzo powoli. W lascznej matematce mam do cznienia z odmienną stuacją. W lascznej logice operujem na zdaniach logicznch, tóre mogą bć prawdziwe lub fałszwe i nie przjmują stanów pośrednich. Jedną z reguł wniosowania lascznej logii jest reguła modus ponens: Przesłana: Impliacja: Wniose: Z prawdziwości impliacji wiadomo, że zawsze ileroć zachodzi ( przjmuje wartość prawda ) to zachodzi również. Soro wiec w pewnej onretnej stuacji zachodzi, to możem bć pewni ze zachodzi również. W logice rozmtej zamiast zdaniami, przjmującmi wartość prawda lub fałsz, posługujem się zmiennmi lingwistcznmi, tóre przjmują jao wartości niepreczjne pojęcia jęza mówionego, taie ja mał, średni, duż. Przładowo, temperatura może bć zmienną lingwistczna i przjmować wartości niepreczjne mała, średnia, wsoa. Te niepreczjne pojęcia, ja wiadomo, można modelować za pomocą odpowiednich zbiorów rozmtch. Zbiór reguł wniosowania rozmtego przjmuje postać: Jeśli x jest i x jest i... i xn jest n to jest... Jeśli x jest i x jest i... i xn jest n to jest x i oraz to zmienne lingwistczne, i j oraz i to wartości tch zmiennch lingwistcznch oreślone przez odpowiednie zbior rozmte. Górn indes oznacza numer reguł, doln numer zmiennej lingwistcznej. Rodzaj funcji oreślającej funcje prznależności danego zbioru rozmtego ja również jej współcznnii, mają duż wpłw na działanie modelu. Odpowiedniiem rozumowania modus ponens w logice rozmtej będzie następująca reguła: Przesłana: x jest Impliacja: Jeśli x jest to jest Wniose: jest W tm przpadu x i to zmienne lingwistczne a,,, to zbor rozmte. Najważniejszą rzeczą, tórą warto zauważć w powższej regule to fat, że zbiór wstępując w przesłance wcale nie jest identczn ze zbiorem rozmtm wstępującm w rozmtej impliacji. Podobnie zbiór nie jest równ zbiorowi. Pozwala to na pewną
elastczność. Jeśli bowiem zbiór oreśla podobną stuację ja zbiór, to możem się spodziewać, że zbiór powinien bć zbliżon znaczeniowo (lingwistcznie) do zbioru. Ilustruje to następując przład: am regułę rozmtą: Jeśli prędość samochodu jest bardzo duża, to poziom hałasu jest wsoi. Przesłana mówi natomiast: Prędość samochodu jest duża. Widać zatem, że wartość lingwistczna bardzo duża nie jest tożsama z wartością duża. Jedna z ich podobieństwa wnia, że powinniśm oczeiwać podobnego wniosu ja w regule, przładowo: Poziom hałasu jest średnio wsoi. Soro więc ludzie posługując się niepreczjnmi pojęciami i regułami rozmtmi, potrafią radzić sobie z szeregiem sompliowanch zadań, istnieje pratczna potrzeba smulowania taiego rodzaju rozumowania. Umożliwia to zastosowanie teorii zbiorów i logii rozmtej. W ten sposób powstał sterownii rozmte. Realizacja rozmtej impliacji Reguła rozmta tpu ( ) gdzie oraz są zbiorami rozmtmi, to rozmta impliacja i może bć zrealizowana na wiele sposobów. Dwa z popularnch sposobów jej realizacji to reguła minimum oraz ilocznu. Jeśli zbior i mają funcje prznależności odpowiednio (x ) oraz ( ) to rozmta impliacja ( ) jest zbiorem rozmtm o funcji prznależności oreślonej przez jedną z reguł, przładowo:. reguła tpu minimum: ( x, ) ( x) ( ) min[ ( x), ( )]. reguła tpu iloczn: ( x, ) ( x)* ( ) Realizacja rozmtego wniosowania ( > ) ( > ) W logice rozmtej wniosowanie realizuje się przez złożenie rozmtego zbioru oraz rozmtej impliacji ( ). W wniu złożenia otrzmam zbiór rozmt, tór stanowi wniose. ' ' ( ) Złożenie to realizowane jest następująco; T ' ( ) sup{ ' ( x)* ( x X x, )} gdzie * T oznacza pewna T-normę. Jeśli przładowo T-norma jest tpu min, otrzmuje się:
' ( ' x X ) sup{min[ ( x), ( x, )]} Klasczn sterowni rozmt: Klasczn sterowni rozmt słada się z trzech części:. lou rozmwania (fuzfiacji). lou wniosowania (inferencji) wraz z baza reguł 3. lou wostrzania Schemat sterownia rozmtego przedstawiono na rsunu: lo rozmwania lo rozmwania ma za zadanie zamienić ostre wartości x, przeważnie otrzmane z pomiarów, na zbior rozmte. Jednm z popularnch sposobów rozmwania to operacja rozmwania tpu singleton. Dla onretnej wartości x _ funcji prznależności oreślonej wzorem ' ( x) _ δ ( x x) 0 x _ x _ x x lo wniosowania lo ten przeprowadza wniosowanie rozmte orzstając z baz reguł tpu: tworz ona zbiór rozmt o Jeśli x jest i x jest i... i xn jest n to jest... Jeśli x jest i x jest i... i xn jest n to jest Zadaniem tego blou jest sprawdzenie stopnia spełnienia przesłani ażdej z reguł i oreślić odpowiedzi ażdej z reguł, czli zbior rozmte i. Jeśli przesłana jest tpu prostego tzn. Jeśli xi jest i to... 3
i zastosowano operacje rozmwania tpu singleton, to stopień spełnienia przesłani łatwo oreślić wznaczając wartość ( x _ ). W przpadu przesłani złożonej tpu: i Jeśli x jest i x jest i... i xn jest n to jest czli Jeśli x(x, x,..., xn) jest to jest gdzie x x... n, jest ilocznem artezjańsim zbiorów rozmtch i, należ oreślić funcję prznależności ilocznu artezjańsiego zbiorów rozmtch i. Ja wiadomo funcję prznależności ilocznu artezjańsiego można oreślić jao: x, x,..., x ) min[ ( x ), ( x ),..., x x... xn ( n n ( xn lub jao iloczn x x... xn( x, x,..., xn) ( x) ( x)... n( xn W czasie wniosowania rozmtego worzstuje się złożenie zbioru rozmtego otrzmanego z operacji rozmwania z relacją rozmtą ilocznu artezjańsiego x x... n i zbioru, ja poazano to wcześniej. Dla ażdej -tej reguł otrzmujem zatem ) )] ' ' ( x x... x n ) Zatem otrzmane zbior zalezą od: - przjętej T-norm w definicji rozmtej impliacji - sposobu zdefiniowania ilocznu artezjańsiego zbiorów rozmtch - przjętego sposobu rozmwania (najczęściej singleton) Na wjściu blou wniosowania otrzmam zatem: - zbior rozmte, w liczbie równej liczbie reguł rozmtch - jeden zbiór rozmt, jeśli przjmiem uogólniona postać rozmtego wniosowania modus ponens, gdzie złożenie zbioru odbwa się nie z ażda z relacji (reguł) z osobna, lecz ze wszstimi razem: ' ' R ( ) Korzstając z definicji sum zbiorów rozmtch otrzmam: ' ( ) sup{ ( x)*max x X ' T ( x, )} 4
Wbierana jest zatem reguła, tóra najlepiej odpowiada danej stuacji, zgodnie z przjętmi definicjami ilocznu artezjańsiego, rozmtej impliacji oraz sum zbiorów rozmtch (w tm przpadu operacji max). lo wostrzania Na wjściu blou wniosowania otrzmam jeden lub wiele zbiorów rozmtch. Do sterowania onretnm obietem potrzebne są jedna onretne ostre wartości. To ta, ja gdb człowie wiedząc ze musi jechać wolno, zwolnił w ońcu do onretnej wartości 5 m/h. W lascznm sterowniu rozmtm za ten ostatni etap odpowiada blo wostrzania. oże on bć zrealizowan również na wiele sposobów. Jednm z możliwch rozwiązań jest metoda center avarage defuzzification0, stosowana, gd na wjściu blou wniosowania otrzmuje się zbiór zbiorów rozmtch. Konretna ostra wartość wznaczana jest ze wzoru ( ) _ ' ( ) ' gdzie jest puntem w tórm funcja () (z -tej reguł) przjmuje wartość masmalną, a to liczba reguł rozmtch. (Uwaga: W sumie wstępują zbior rozmte a nie ) Rodzaje modeli rozmtch Najbardziej popularnmi rodzajami modeli rozmtch są:. odel amdaniego, gdzie reguł rozmte maja postać Jeśli x jest to jest, gdzie i to zbior rozmte. odel Taagi Sugeno, gdzie reguł rozmte maja postać: Jeśli x jest to f(x), gdzie tlo jest zbiorem rozmtm, natomiast jest oreślan za pomocą pewnej funcji. Przład. odel Taagi-Sugeno z dwoma regułami rozmtmi odel posiada dwie reguł rozmte postaci Jeśli (x jest DUŻE I x jest ŚREDNIE) TO + 7x - 3x Jeśli (x jest ŁE I x jest ŁE) TO -x +5x Wznaczm sgnał wjściow sterownia dla sgnałów wejściowch równch x oraz x 3. Korzstając z rsunu odcztujem wartości ażdego ze zbiorów rozmtch reguł dla danch wejściowch sterownia (w domśle stosujem rozmwanie tpu singleton): 5
() 0.3 (3) 0. 7 () 0.75 (3) 0. Stopień spełnienia przesłani złożonej ażdej z reguł obliczam orzstając z operacji min: w w min(0.3,0.7) 0.3 min(0.75,0.) 0. Dodatowo w modelu Taagi Sugeno odpowiedzi ażdej reguł wnoszą odpowiednio: f(,3) 7 f (,3) Końcowa odpowiedź całego sterownia wnosi: w + w w + w 8.6 Zalecana letura Rutowsa D., Pilińsi., Rutowsi L., Sieci neuronowe, algortm genetczne i sstem rozmte Piegat., odelowanie i sterowanie rozmte 6