Przestrzenie liniowe w zadaniach
|
|
|
- Aleksander Czyż
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0, 1 + z [1, 3, 5. Ale x [1, 1, 1 + [1, 0, 1 + z [1, 3, 5 [x + + z, x + 3z, x + 5z, iec z arunku róności ektoró otrzmujem, że szukane liczb x,, z spe lniaja uk lad rónań: x + + z 3 x + 3z 4. x + 5z 4 Stosujem metode eliminacji Gaussa: x z x Zatem nasz uk lad jest sprzeczn i obec tego ektor [3, 4, 4 nie jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5. Zadanie 2. W przestrzeni R 4 zbadać prost z definicji linioa [1, 2, 1, 2, [2, 3, 1, 0, [1, 2, 2, 3. Roziazanie. Weźm doolne liczb rzecziste a, b, c takie, że a [1, 2, 1, 2 + b [2, 3, 1, 0 + c [1, 2, 2, 3 [0, 0, 0, 0. (1) Wted [a + 2b + c, 2a + 3b + 2c, a + b + 2c, 2a 3c [0, 0, 0, 0, i ec otrzmujem uk lad rónań: któr roziażem metoda eliminacji Gaussa: , 3 1, ( 1) 2, 4+ 3 a + 2b + c 0 2a + 3b + 2c 0 a + b + 2c 0 2a 3c , (2) 3 2, Zatem uk lad (2) ma dok ladnie jedno roziazanie: a 0, b 0, c 0. Stad jeśli liczb rzecziste a, b, c spe lniaja róność (1), to a b c 0. Zatem ektor [1, 2, 1, 2, [2, 3, 1, 0, [1, 2, 2, 3 sa linioo niezależne. Zadanie 3. W przestrzeni R 3 zbadać linioa [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3. Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A
2 I Sposób. Ponieaż det(a) [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3 sa linioo zależne. II Sposób. Obliczam rzad macierz A: [ r(a) 2 31 r r r(a) < 3, iec ektor [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3 s ( ) 0, i ec ektor r [ 0 0 a linioo zależne. Zadanie 4. W przestrzeni R 5 zbadać linioa [5, 3, 2, 1, 10, [ 1, 8, 1, 4, 7, [2, 1, 9, 3, 6, [1, 3, 5, 9, 11. Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A rzad macierz A: r(a) r 1 54, 2+4, r Ponieaż Obliczam k3+k [ 1+172, r r r [ , bo macierz ma rzad , gdż posiada niezero minor > 0 stopnia 2. Zatem rzad macierz uk ladu czterech ektoró [5, 3, 2, 1, 10, [ 1, 8, 1, 4, 7, [2, 1, 9, 3, 6, [1, 3, 5, 9, 11 jest rón 4, czli te ektor sa linioo niezależne. Zadanie 5. W przestrzeni R 4 zbadać linioa [1, 4, 7, 10, [2, 5, 8, 11, [2, 6, 9, Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A Ale r(a) r [ r , 2 23 r r [ < 3, iec ektor [1, 4, 7, 10, [2, 5, 8, 11, [2, 6, 9, 12 sa linioo zależne. Zadanie 6. Dla jakich a R ektor [1, 1, 1, [1, a, 2, [2, 3, 4 torza baze przestrzeni R 3? Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A 1 a 2. Zatem 4 det(a) a a 4a a 6 4 2a 3. Stad det(a) 0 a 3 2 i ektor [1, 1, 1, [1, a, 2, [2, 3, 4 torza baze przestrzeni R 3 ted i tlko ted, gd a 3 2. Zadanie 7. Pokazać, że V {[x,, z R 3 : x + + z 0} jest podprzestrzenia przestrzeni R 3. Wznaczć baze i miar V. 2
3 Roziazanie. Zauażm, że V {[x,, x : x, R} {[x, 0, x + [0,, : x, R} {x [1, 0, 1 + [0, 1, 1 : x, R} L([1, 0, 1, [01, 1), iec V jest podprzestrzenia przestrzeni [ R 3. Ponadto ektor [1, 0, 1, [0, 1, 1 generuja V oraz sa linioo niezależne, bo r 2, iec ektor [1, 0, 1, [0, 1, 1 torza baze podprzestrzeni V i miar V jest rón 2. Zadanie 8. Wektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9 uzupe lnić do baz przestrzeni R 4. Roziazanie. Oznaczm przez V podprzestrzeń generoana przez ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9. Stosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz tego uk ladu ektoró znajdziem taka baze [ podprzestrzeni V, która [ lato bedzie uzupe lnić [ do baz ca lej przestrzeni [ R Stad baza V jest {[1, 1, 4, 4, [0, 1, 4, 3}. Zatem dim(v ) 2 i obec tego ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9 sa linioo niezależne. Ponadto ektor [1, 1, 4, 4, [0, 1, 4, 3, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1 torza baze przestrzeni R 4, bo r Zatem ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1 torz a szukana baze przestrzeni R 4. Zadanie 9. Znaleźć baze i miar podprzestrzeni V przestrzeni R 4 generoanej przez ektor: [ 1, 4, 3, 2, [3, 7, 5, 3, [3, 2, 1, 0, [ 4, 1, 0, 1. Roziazanie. Baze podprzestrzeni V znajdziem tosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz A danego uk ladu ektoró. Rónoażności dotcza teraz zachoania podprzestrzeni generoanch , 3+3 1, , [. Stad ektor [ 1, 4, 3, 2, [0, 5, 4, 3 generuja podprzestrzeń V i sa linioo niezależne (bo macierz z nich utorzona ma rzad 2). Zatem baza V jest {[ 1, 4, 3, 2, [0, 5, 4, 3} oraz dim(v ) 2. Zadanie 10. Znajdź baze i miar podprzestrzeni V przestrzeni R 5 generoanej przez ektor: [ 3, 1, 5, 3, 2, [2, 3, 0, 1, 0, [1, 2, 3, 2, 1, [3, 5, 1, 3, 1, [3, 0, 1, 0, 0. Uzupe lnij znaleziona baze podprzestrzeni V do baz ca lej przestrzeni R 5. Roziazanie. Baze podprzestrzeni V znajdziem tosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz A danego uk ladu ektoró. Rónoażności dotcza teraz zachoania podprzestrzeni generoanch , , 3 2 2, , 4 2 5,
4 [0, 0,, 12, 9, skad dim(v ) Zatem baze podprzestrzeni V torza ektor [ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, Ponieaż r , iec szukana baza przestrzeni R 5 jest {[ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, [0, 0,, 12, 9, [0, 0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 0, 1}. Zadanie 11. Znajdź uk lad jednorodn rónań linioch, którego zbiorem roziazań jest podprzestrzeń V przestrzeni R 5 generoana przez ektor: [ 3, 1, 5, 3, 2, [2, 3, 0, 1, 0, [1, 2, 3, 2, 1, [3, 5, 1, 3, 1, [3, 0, 1, 0, 0. Roziazanie. Z roziazania zadania 10 mam, że ektor [ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, [0, 0,, 12, 9 torza beze V oraz ektor [ 1, 3, 1, 1, 0,[0, 1, 6, 3, 2,[0, 0,, 12, 9,[0, 0, 0, 1, 0,[0, 0, 0, 0, 1 torza baze przestrzeni R 5. Istnieje zatem przekszta lcenie linioe f : R 5 R 2 takie, że f([ 1, 3, 1, 1, 0) [0, 0, (3) f([0, 1, 6, 3, 2) [0, 0, (4) f([0, 0,, 12, 9) [0, 0, (5) f([0, 0, 0, 1, 0) [1, 0, (6) f([0, 0, 0, 0, 1) [0, 1. (7) Wted f(r 5 ) L([1, 0, [0, 1) R 2, iec dim f(r 5 ) 2. Ale dim Ker(f) + dim f(r 5 ) dim R 5, iec dim Ker(f) Ponadto V Ker(f) i dim V 3, iec V Ker(f). Pozostaje zatem znaleźć zór analitczn na przekszta lcenie f. W tm celu zaś starcz znaczć f(ɛ k ) dla k 1, 2, 3, 4, 5, gdzie ɛ 1 [1, 0, 0, 0, 0, ɛ 2 [0, 1, 0, 0, 0, ɛ 3 [0, 0, 1, 0, 0, ɛ 4 [0, 0, 0, 1, 0, ɛ 5 [0, 0, 0, 0, 1. Ze zoró (6) i (7) mam od razu, że f(ɛ 4 [1, 0 oraz f(ɛ 5 [0, 1. Z linioości przekszta lcenia f oraz ze zoru (5) otrzmujem, że f(ɛ 3 ) + 12 f(ɛ 4 ) + 9 f(ɛ 5 ) [0, 0, czli f(ɛ 3 ) + 12 [1, [0, 1 [0, 0, skad f(ɛ 3 ) [ 12, 9, iec f(ɛ 3 ) [ 12, 9. Z linioości f i ze zoru (4) mam, że f(ɛ 2 )+6 f(ɛ 3 )+3 f(ɛ 4 )+2 f(ɛ 5 ) [0, 0. Zatem f(ɛ 2 )+6 [ 12, 9 +3 [1, 0+2 [0, 1 [0, 0, czli f(ɛ 2 )+[ 72, 54 +[84 56, 0+[0, [0, 0, iec f(ɛ 2) [ 12, 2. Z linioości f i ze zoru (3) mam, że f(ɛ 1 ) + 3 f(ɛ 2 ) f(ɛ 3 ) + f(ɛ 4 ) [0, 0. Zatem f(ɛ 1 ) + 3 [ 12, 2 12 [, 9 + [1, 0 [0, 0, czli f(ɛ 1 ) [ 36, 6 + [ 12, 9 + [, 0, sk ad f(ɛ 1 ) [ 4, 3. Ale f([x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) f(x 1 ɛ 1 + x 2 ɛ 2 + x 3 ɛ 3 + x 4 ɛ 4 + x 5 ɛ 5 ) x 1 f(ɛ 1 ) + x 2 f(ɛ 2 ) + x 3 f(ɛ 3 ) + x 4 f(ɛ 4 ) + x 5 f(ɛ 5 ) x 1 [ 4, 3 + x 2 [ 12, 2 + x 3 [ 12, 9 + x 4 [, 0 + x 5 [0, [ 1 7 x x x 3 + x 4, 3 x 1 2 x 2 9 x 3 + x 5. Zatem V Ker(f) jest zbiorem roziazań uk ladu rónań: { 1 7 x x x 3 + x x 1 2 x 2 9 x x 5 0, 4
5 któr możem też zapisać postaci: { x1 3x 2 3x 3 + 7x 4 0 3x 1 2x 2 9x x 5 0. Zadanie 12. Niech przestrzeni linioej R 4 : V L([1, 1, 1, 1, [1, 1, 1, 1, [1, 1, 1, 1) oraz W L([1, 1, 1, 1, [2, 2, 0, 0, [3, 1, 1, 1). Wznaczć baze i miar podprzestrzeni: V, W, V +W, V W. Roziazanie. Znajdujem baze podprzestrzeni V : 2 1, ( 1 2 )2, ( 1 2 ) dim V Znajdujem baze podprzestrzeni W : Zatem baza V jest {[1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1}, skad , , ( 1)3 1+2 Zatem baza W jest {[1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1}, skad dim W 3. Ponadto V + W L([1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1, [1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1) L([1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1, [1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0) L([1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1) L([1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1) R 4, iec baza V +W jest {[1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1} oraz dim(v + W ) 4. Ze zoru dim(v + W ) dim V + dim W dim(v W ) liczam dim(v W ) , czli dim(v W ) 2. Ponadto [0, 0, 1, 1 V W, [1, 1, 0, 0 [1, 0, 0, 0+[0, 1, 0, 0 W i [1, 1, 0, 0 V, iec [1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1 V W. Ale ektor [1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1 sa linioo niezależne i dim(v W ) 2, iec baza V W jest {[1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1}. 5
Egzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Wartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Wyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra linioa semestr letni 208 Teoria oraz iększość zadań niniejszym skrypcie zostały opracoane na podstaie książek:. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry linioej cz. I, Wydanicto Naukoo-Techniczne,
Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Warunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) daja podobnie do wektorów: strza lki, si la, pre
PRZESTRZENIE LINIOWE V = V, +,,, 0, K Warunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) c) d) e) f) g) h) v V v V u V u V (v + u = u + v) w V v V (v + 0 = v) (v + v V v = 0) (1 v = v)
Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas
Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Niech W = {(x 1, x 2, x 3 ) K 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 }. Czy W jest podprzestrzeni a gdy
Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Wyk lad z Algebry Liniowej dla studentów WNE UW. Rok akademicki 2017/2018. Przyk lady zadań na ćwiczenia. 1. Które z cia
Wyk lad z Algebry Liniowej dla studentów WNE UW. Rok akademicki 2017/2018. Przyk lady zadań na ćwiczenia. 1. Które z cia gów: ( 1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 4), (4, 3, 2, 1), (4, 0, 3, 1) sa rozwia 2 zaniami
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
sa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
1.11. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ
.. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ od płem obciążenia prostolinioa oś podłużna belki staje się krzolinioa. Zakrzioną oś belki nazam linią ugięcia (osią ugiętą), przemieszczenie pionoe ( x) tej osi nazam
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Wyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Zadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Zadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 4 kwietnia 2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie
Praca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Normy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
GAL z aweber/zadania/gal2017gw/ Wersja
Przestrzenie rzutowe GAL z 27 http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/ Wersja 2627 Patrz osobny plik http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach:
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
2. Równania nieliniowe i ich uk lady
Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?
6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Zadania do rozdziału 10.
Zadania do rozdziału 0. Zad.0.. Jaką wsokość musi mieć pionowe zwierciadło ab osoba o wzroście.80 m mogła się w nim zobaczć cała. Załóżm, że ocz znajdują się 0 cm poniżej czubka głow. Ab prawidłowo rozwiązać
1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Pierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów. Etap II
X rocławski Konkurs Matematczn dla uczniów klas I-III gimnazjów rok szkoln 04/05 Etap II Zadanie Uczniowie otrzmali z prac klasowej ocen,, 4 i 5. Ocen, i 5 ło tle samo, a czwórek ło więcej niż wszstkich
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Obliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x
Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
K ażde zadanie powinno być rozwiązane na oddzielnej kartce. N a'każdej kartce z rozw iązaniem
K ażde zadanie powinno być rozwiązane na oddzielnej kartce. N a'każdej kartce z rozw iązaniem powinno być: imię i nazwisko osoby zdającej oraz jej num er indeksu, num er grupy ćwiczeniowej do której osoba
Matematyka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowych
Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )),