Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

Transkrypt

1 Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici

2 Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi spełniających oreślone waruni.

3 Prawa przeliczania Fat: Zbiory sończone A i B mają tyle samo elementów istnieje pomiędzy nimi bijecja. Twierdzenie: (Prawo mnożenia) Moc iloczynu artezjańsiego jest równa iloczynowi mocy jego sładniów: #(A 1 A n ) = (#A 1 ) (#A n )

4 Zasada włączania i wyłączania Moc sumy zbiorów wynosi: #(A B) = #A + #B #(A B) Można tę obserwację uogólnić na więszą liczbę zbiorów: Wzór Sylvester a #(A 1 A n ) = Np. Dla n = 4 n ( 1) i= X {1,...,n}:#X = # i X #(A 1 A 2 A 3 A 4 ) = #A 1 + #A 2 + #A 3 + #A 4 #(A 1 A 2 ) #(A 2 A 3 ) #(A 3 A 4 ) #(A 1 A 3 ) #(A 1 A 4 ) #(A 2 A 3 ) +#(A 2 A 3 A 4 ) + #(A 1 A 3 A 4 ) + #(A 1 A 2 A 4 ) +#(A 1 A 2 A 3 ) #(A 1 A 2 A 3 A 4 ) A i

5 Zasada włączania i wyłączania Przyład: Ile jest liczb naturalnych mniejszych niż 1000 podzielnych przez 2, 3 lub 5? 1000/2 = 500 = 499 liczb podzielnych przez /3 = 333.(3) = 333 liczby podzielne przez /5 = 200 = 199 liczb podzielnych przez /6 = 166.(6) = 166 liczb podzielnych przez /10 = 100 = 99 liczb podzielnych przez /15 = 66.(6) = 66 liczb podzielnych przez /30 = 33.(3) = 33 liczb podzielnych przez 30 #(A 2 A 3 A 5 ) = #A 2 + #A 3 + #A 5 #(A 2 A 3 ) #(A 3 A 5 ) #(A 5 A 2 ) + #(A 2 A 3 A 5 ) = = 733

6 Zasada włączania i wyłączania Zasadę włączania i wyłaczania stosuję się dla dowolnej miary oreślonej na podzbiorach jaiejś przestrzeni (liczba elementów podzbiorów sończonych jest szczególnym przypadiem). Wzór ten wyorzystuje się również w teorii miary i prawdopodobieństwa.

7 Zasada szufladowa Dirichleta Fat: Jeżeli rozmieścimy n przedmiotów w m szufladach, gdzie n > m, wtedy przynajmniej w jednej szufladce będzie więcej niż przedmiotów. Przyład: Człowie ma nie więcej niż włosów. W mieście liczącym 1 mln mieszańców przynajmniej 3 osoby mają tyle samo włosów. Przyład: W turnieju piłarsim ażda drużyna gra z ażdą. W ażdym momencie istnieją dwie drużyny, tóre zagrały tyle samo meczów.

8 Wariacje z powtórzeniami Definicja: Wariacją z powtórzeniami długości ze zbioru n-elementowego nazywamy ciąg długości o wyrazach w tym zbiorze. (Wariacja z powtórzeniami to dowolna funcja z {1,..., ) o wartościach w danym zbiorze) Fat: Ilość wszystich wariacji długości z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi n. Dowód: (Z prawa mnożenia lub inducyjnie) Każdemu miejscu ciągu można przypisać jeden z n elementów zbioru A. Zbiór wszystich ciągów jest równy A A (-rotny iloczyn artezjańsi) i jao tai ma moc (#A) = n.

9 Permutacje Definicja: Permutacją nazywamy dowolną różnowartościową funcję odwzorowującą zbiór n-elementowy w siebie. Przyład: Wszystie permutacje zbioru {,, } to: {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, } Fat: Permutacje tworzą grupę przeształceń zbioru n-elementowego: Złożenie permutacji jest permutacją, sładanie jest łączne (ale nie przemienne!) Istnieje permutacja identycznościowa Każda permutacja posiada permutację odwrotną

10 Permutacje Fat: Ilość wszystich permutacji zbioru n-elementowego wynosi n!. Dowód: (Przez inducję) (P) Zbiór 1-elementowy ma doładnie 1 permutację. (I) Załóżmy że wszystich permutacji zbioru {a 1,..., a n } jest n!. Do ażdego ciągu reprezentującego wyni działania permutacji można wstawić element a n+1 na n + 1 sposobów, zatem można uzysać n! (n + 1) permutacji zbioru {a 1,..., a n+1 }.

11 Wariacje bez powtórzeń Definicja: Wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego długości Nazywamy dowolny ciąg długości o elementach ze zbioru, w tórym ażdy element nie występuje więcej niż raz. (Wariacja bez powtórzeń to dowolna funcja różnowartościowa z {1,..., } o wartościach w danym zbiorze) Fat: Ilość -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi n! (n )! Dowód: Pierwszy element wariacji możemy wybrać na n sposobów, drugi na n 1 sposobów, -ty na n + 1 sposobów. Ilość wszystich możliwych wariacji wynosi zatem n (n 1) (n + 1) = n! (n )!

12 Kombinacje Definicja: -elementową ombinacją ze zbioru n-elementowego nazywamy dowolny podzbiór mocy tego zbioru. Fat: Ilość -elementowych ombinacji ze zbioru n-elementowego wynosi ( ) n df = n! (n )!! Dowód: Permutując wyrazy w ombinacji można otrzymać! wariacji bez powtórzeń z wyjściowego zbioru, zatem liczba ombinacji jest to liczba wariacji bez powtórzeń podzielona przez!

13 Kombinacje Wzór dwumianowy: (a + b) n = n =0 ( ) n a b n Trójąt Pascala:

14 Kombinacje Przyład: Na ile sposobów można wybrać 13 art z 52 (olejność na ręce nie jest istotna)? Odpowiedź ( 52) 13 Przyład: Na ile sposobów można wybrać 13 art z 52, by dostać tylo czarne arty (olejność na ręce nie jest istotna)? Odpowiedź ) ( Przyład: Ile jest prostoątów na racie {1,..., n} {1,..., m} o boach leżących na liniach raty? Położenie dwóch poziomych boów można wybrać na ( n) 2 sposobów, a pionowych na ( m) 2. Zatem liczba wszystich taich prostoątów wynosi ( n m ) 2)( 2.

15 Kombinacje Przyład: Na ile sposobów można włożyć nierozróżnialnych ule do n omóre ta, by w ażdej omórce była co najwyżej jedna ula? Każde taie włożenie zadane jest jednoznacznie przez podzbiór zajętych omóre, zatem jest ich tyle ile -elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, czyli ( n ). Na tyle sposobów fermionów może obsadzić pasmo energetyczne złożone z n stanów.

16 Kombinacje z powtórzeniami Definicja: Kombinacja -elementowa z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego, to wariacja z powtórzeniami, w tórej nie jest istotna olejność. Przyład: Kombinacje trzyelementowe ze zbioru {1, 2} to: {1, 1, 1}, {1, 1, 2}, {1, 2, 2}, {2, 2, 2} Każda taa ombinacja jest równoważna ciągowi typu, gdzie ściane między olejnymi wartościami jest n 1, a wyrazów ombinacji. Tai ciąg jest jednoznacznie wyznaczony przez podzbiór miejsc w tórych stoi. Liczba taich ciągów jest równa ( ) + n 1

17 Kombinacje z powtórzeniami Przyład: Na ile sposobów bozonów może obsadzić pasmo złożone z n stanów energetycznych? Na ( +n 1) sposobów - ażdemu bozonowi przypisujemy stan energetyczny, przy czym ilu bozonom można przypisać ten sam stan. Ponieważ bozony są nierozróżnialne, olejność w otrzymanym ciągu nie gra roli. Każde przypisanie jest zatem -elementową ombinacją z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego Zadanie: Ile jest obsadzeń, dla tórych ażdy stan jest obsadzony?

18 Permutacje z powtórzeniami Problem: Mamy zbiór n elementów, tóre są podzielone na las po n elementów. Ile rozróżnialnych ciągów można uzysać permutując te elementy? Elementy z tej samej lasy tratujemy jao nierozróżnialne. n! ozn Odpowiedź: n 1!...n! = ( n ) n 1,...,n rozróżnialnych ciągów. Uogólnienie wzoru dwumianowego: (x x ) n = n 1,..., n 0 n n = n ( n n 1,..., n ) x n 1 1 x n

19 Przestawienia Definicja: Przestawieniem nazywamy permutację bez puntów stałych Twierdzenie: Ilość przestawień zbioru n-elementowego wynosi: n! n ( 1) i i=0 i! Dowód: (Zasada włączania i wyłączania) Niech A i1,...,i oznacza zbiór permutacji zbioru {1,... n} o puntach stałych i 1,..., i. Ilość permutacji posiadających punty stałe jest równa:

20 Przestawienia #(A 1 A n ) = #A i1 #A i1,i 2 + #A i1,i 2,i 3 ( 1) n #A 1,...,n (1) i 1,i 2 i 1,i 2,i 3 i 1 Zasadę włączeń/wyłączeń stosujemy, ponieważ zbiory A i i A j nie są rozłączne (ich część wspólna to A ij ) i podobnie dla więszej liczby indesów. Zbiór A i1,...,i ma (n )! elementów (bo permutujemy tylo pozostałe elementy). Liczba taich zbiorów wynosi ( n ), bo na tyle sposobów można wybrać elementy i 1,..., i ze zbioru {1,... n}. Wstawmy te liczby do wzoru (1):

21 Przestawienia n (n 1)! = n i=1 ( 1) i n! i! ( ) n (n 2)! + 2 ( ) ( ) n n (n 3)! ( 1) n (n n)! 3 n Natomiast permutacji bez puntów stałych będzie n! minus ta liczba, czyli n n! + ( 1) i n! i! i=1 n! n = ( 1)0 0! + ( 1) i n! n i! = ( 1) i n! i! i=1 i=0

22 Liczba surjecji Twierdzenie: Liczba surjecji ze zbioru n-elementowego na m-elementowy jest równa ( ) m ( 1) i (m ) n =0 Dowód: Szuamy liczbę funcji ze zbioru {1,... n} w zbiór {1,... m}, tóre nie są surjecjami. Oznaczmy przez A i1,...i zbiór funcji nie przyjmujących wartości i 1,..., i {1,... m}. Moc zbioru A i1,...i jest równa (m ) n, natomiast dla ustalonego zbiorów tych jest ( m). Ilość funcji nie będących surjecjami obliczamy z zasady włączeń/wyłączeń:

23 Liczba surjecji #(A 1 A n ) = #A i1 #A i1,i 2 + #A i1,i 2,i 3 ( 1) n #A 1,...,n i 1 i 1,i 2 i 1,i 2,i 3 ( ) ( ) m m = (m 1) n ( 1) m 1 1 n 1 m 1 ) = m 1 =1 ( 1) ( m (m ) n Żeby dostać liczbę surjecji, od liczby wszystich funcji m n trzeba odjąć powyższy wyni. Liczba surjecji jest równa: ( ) ( ) m 1 m m m ( 1) (m ) n = ( 1) (m ) n =0 =0

24 Rozbicia na podzbiory Definicja: Liczbę rozbić zbioru n-elementowego na sumę rozłącznych niepustych podzbiorów oznaczamy symbolem: { } n Problem: Na ile sposobów można rozbić zbiór n-elementowy na sumę rozłącznych niepustych podzbiorów? { } n 1 Jeżeli zbiór n 1 elementowy można rozbić na { } n 2 niepustych podzbiorów, a n 2 elementowy na, to

25 Rozbicia na podzbiory { n } = { n 1 } + { n 1 1 } (Jeżeli w n 1 pierwszych elementów było podzielonych na 1 podzbiorów, to z n-tego elementu robimy braujący podzbiór. Natomiast jeżeli już n 1 pierwszych elementów było podzielonych na podzbiorów, to doładamy następny element do jednego z podzbiorów) Liczby zdefiniowane taą zależnością reurencyjną nazywają się liczbami Stirlinga II rodzaju. Tworzą one trójąt podobny do trójąta Pascala.

26 Rozbicia na podzbiory n \ Suma liczb w wierszu odpowiada liczbie wszystich rozbić na niepuste podzbiory zbioru n-elementowego. Liczba ta nazywa się n-tą liczbą Bella: { } n n B n = =1

27 Rozbicia na podzbiory Liczby Bella spełniają zależność reurencyjną: ( ) n 1 n 1 B n = =0 B