Sterowanie rozmyte. mgr inż. Piotr Fiertek p. 544

Transkrypt

1 Sterowanie rozmte mgr inż. Piotr iertek p. 544

2 Literatura do wkładu: D. Driankov H. Hellendoorn M. einfrank Wprowadzenie do sterowania ozmtego Wdawnictwo Naukowo-Techniczne Warszawa 996 Piegat A.: Modelowanie i sterowanie rozmte Akademicka Oficna Wdawnicza EIT Warszawa 999r. D. utkowska M. Piliński L. utkowski Sieci neuronowe algortm genetczne i sstem rozmte WN PWN 997 Yager onald.: Podstaw modelowania i sterowania rozmtego Warszawa: Wdawnictwo Naukowo-Techniczne 995

3 Co to jest logika rozmta? Ocenę stanów rzecz wkonuje się w pewnej skali stopniowania: mał duż wielki niski wsoki bardzo wsoki woln średnio woln szbki itd. Preczjne i istotne komunikat w rzeczwistm świecie

4 Logika klasczna kontra logika rozmta - Klasczna logika bazuje na dwóch wartościach reprezentowanch najczęściej przez i lub prawda i fałsz. ranica międz nimi jest jednoznacznie określona i niezmienna. Przkład: Krzsiek jest wsoki bo ma 85cm wzrostu. W pokoju jest ciepło bo temperatura wnosi 24 stopnie Celsjusza. - Logika rozmta stanowi rozszerzenie klascznego rozumowania na rozumowanie bliższe ludzkiemu rozumieniu pojęć. Tzn. Wprowadza ona wartości pomiędz standardowe i. rozmwa granice pomiędz nimi dając możliwość zaistnienia wartościom z pomiędz tego przedziału. wsokość wsokość nie wsoki. wsoki. raczej niezbt wsoki.2 raczej wsoki.75

5 Historia - Dwuwartościowa logika Arstotelesa: prawda fałsz. - Platon zauważł że istnieje coś pomiędz fałszem i prawdą. - Jan Łukasiewicz 93 r. pracował nad nieostrością stwierdzeń: wsoki star gorąc. Wprowadził zakres prawdziwości z przedziału od do. Wartości te prezentował prawdopodobieństwo prawdziwości danego stwierdzenia. Odkrł sstem logik wielowartościowch. - Ma Black 937 r. wprowadził pierwsz bardzo prost zbiór rozmt i zars wkonwanch na nich operacji. - Lotfi Zadeh 965 r. rozwinął teorie prawdopodobieństwa do informacji rozmtej w formaln sstem logiki matematcznej. Wprowadził zastosowanie dla terminów z jęzka naturalnego. Lotfi A. Zadeh 24

6 Definicje - relacje - elacja określona na zbiorze - elacja określona na zbiorach Y Y - elacja odwrotna na zbiorach i Y odwrotna do { } Y Y : - Złożenie relacji Y Z Y Złożenie relacji superpozcja z Z z Z Y : o

7 ozważm relację. elację nazwam: - relacja pusta - relacja totalna - relacja identczności - przekątna kwadratu { } : - relacja zwrotna - relacja smetrczna - relacja spójna

8 - relacja przechodnia tranztwna z z z o - relacja prawostronnie jednoznaczna z z z o - relacja lewostronnie jednoznaczna z z z o - relacja identtwna o

9 - Porządek liniow jest porządkiem liniowm jeśli jest relacją zwrotną identtwną przechodnią i spójną - relacja równoważności jest równoważnością jeśli jest relacją zwrotną smetrczną i przechodnią. elacja równoważności dzieli zbiór na klas Klasa jest to zbiór : Obraz Odwzorowanie zbioru w zbiór Y - dowolna relacja prawostronnie jednoznaczna Y Def. Obrazu niech A - odwzorowanie w Y A Y : A Przeciwobraz Def. Przeciwobrazu niech B Y - odwzorowanie w Y Y B : B

10 Zbior rozmte Zbiór rozmt jest uporządkowaną trójką [ ] gdzie: - dziedzina domena zbiór odniesienia zbiór rozważań - funkcja prznależności przepis funkcjn dla elementów z [ ] : [ ] - przedział od do domknięt przedział jednostkow w przkład Zbiór ludzi wsokich W [] W W przkład 2 Dla zbioru przeliczalnego N można zapisać i i nie jest to dodawanie artmetczne!!! jeśli nie dodaje się jej i i raczej niezbt wsoki.2 raczej wsoki.75 Przkład zbioru dobra ocena {23456} dobra ocena dobra ocena

11 Def. Wsokość zbioru rozmtego gdzie jest rodziną zbiorów rozmtch na. hgh sup kres górn dla skończonego zbioru hgh ma Def. Zbiór rozmt nazwam normalnm gd hgh Def. Def. jest pustm zbiorem rozmtm gd : Normalizacja niepustego zbioru N N hgh

12 - Nośnik zbioru rozmtego baza zbioru rozmtego suport { : } sup sup > - Jądro zbioru rozmtego core { : } core core - α -przekrój zbioru rozmtego α -cięcie α -cut { : α} α α α jądro core α -przekrój α baza sup

13 Def. Inkluzja zbiorów rozmtch jest podzbiorem co zapisujem są równe jeśli Tw. º χ χ 2º

14 Def. Przestrzeń jest niespójna jeśli jest sumą dwóch niespójnch rozłącznch zbiorów otwartch i 2 są otwarte w W przeciwnm wpadku jest przestrzenią spójną. Def. Zbioru wpukłego A jest zbiorem wpukłm : A [ ] A gdzie [ ] oznacza odcinek łącząc punkt i Tw. A : A jest wpukł A jests pójn sunki: wikipedia.org

15 Def. jest zbiorem wpukłm jeśli lub λ [ ] λ + λ min { } min { } 2 3 Tw. jest zbiorem wpukłm wszstkie α - przekroje są zbiorami wpukłmi w

16 Podstawowe działania na zbiorach rozmtch Def. działania dwuargumentowe g : skrót notacjn: g [ ] 2 [ ] : Def. Zbiorem identcznościowm danego działania g : nazwam taki zbiór rozmt A dla którego zachodzi g A g A Def. Działanie : [ ] [ ] [ ] g jest działaniem idempotentnm jeżeli a [ ] g a a a

17 Def. Odwzorowanie : [ ] [ ] [ ] T jest t-normą jeżeli posiada następujące własności: a [ ] T a a jest elementem jednostkowm T 2 [ ] a b c ; a b T a c T b c monotoniczność T 3 4 [ ] a b [ ] a b c T a b T b a T a T b c T T a b c przemienność T łączność T Dla dowolnego T zachodzi: T T T T

18 Def. Odwzorowanie : [ ] [ ] [ ] S jest s-normą t -konormą jeżeli posiada następujące własności: a [ ] S a a jest elementem jednostkowm S [ ] a b c ; a b a b [ ] a b c S a c S b c monotoniczność S S a b S b a przemienność S [ ] S a S b c S S a b c łączność S Dla dowolnego S zachodzi S T S S

19 Komentarz: Dowolna t-norma T oraz dowolna s-norma S są niemalejącmi monotonicznmi odwzorowaniami ze względu na argument: [ ] [ ] d b S c a S d b T c a T d c b a d c b a d c b a d c b a prz b a oraz d c zachodzi bowiem: d b S c b S c a S d b T c b T c a T Zbiorem identcznościowm dla t-norm jest zbiór rozmt χ χ zaś zbiorem identcznościowm dla s-norm jest zbiór rozmt χ χ.

20 t-normę T : [ ] [ ] [ ] interpretować można jako uogólnienie działania ilocznu przekroju - smbol t-norm T a b a b przekrój zbiorów rozmtch smbole: A { a b} T a b min min { } B min A B A B A B algebraiczn iloczn zbiorów rozmtch oznaczenie: ~ A T prod a b a b B A B A B A B ograniczon iloczn Łukasiewicza oznaczenie: T a b ma{ a b -} A B Łuk + { + } ma A B s-normę S : [ ] [ ] [ ] interpretować można jako uogólnienie działania sum unii - smbol s-norm S a b a b unia zbiorów rozmtch smbole: + A { a b} S a b ma ma { } B ma A B A B A B algebraiczna suma zbiorów rozmtch oznaczenie: + ~ S sum a b a + b ab + A B A B A ograniczona suma suma Łukasiewicza oznaczenie: + S a b min Łuk + A B { a b} { } min A + B B

21 Podstawowe działania na zbiorach rozmtch - kontnuacja Def. Negacją uzupełnieniem g : [ ] [ ] : nazwam odwzorowanie które posiada następujące własności: 2 3 a b[ a b a[ ] a b ] a a a Uzupełnienie nazwam ścisłm gd [ ] [ ] silnie monotonicznm oraz ciągłm. : jest odwzorowaniem Def. Uzupełnieniem zbioru rozmtego jest taki zbiór rozmt dla którego zachodzi Def. Uzupełnieniem naturalnm zbioru rozmtego jest zbiór rozmt dla którego zachodzi

22 Prawa De Morgana dla zbiorów rozmtch Def. t-norma T oraz s-norma S stanowią parę dualną sprzężoną T S względem uzupełnienia : [ ] [ ] jeżeli a b 2 [ ] S a b T a b S a b T a b Tw. Dla par dualnej T S zachodzą prawa De Morgana dla zbiorów rozmtch T 2 2 Tw. Niech [ ] [ ] S 2 S T 2 2 : będzie naturalnm uzupełnieniem zdefiniowanm jako a a a[ ] Jeżeli T : [ ] [ ] [ ] jest t-normą to działanie S : [ ] [ ] [ ] zdefiniowane jako S a b T a b a b[ ] jest s-normą dualną wobec T względem naturalnego. 2 Jeżeli S : [ ] [ ] [ ] jest s-normą to działanie T : [ ] [ ] [ ] zdefiniowane jako T a b S a b a b[ ] jest t-normą dualną wobec S względem naturalnego.

23 Przegląd różnch par dualnch Def. Sparametrzowaną rodziną działań T W S W λ λ λ zdefiniowanch dla a b [ ] [ ] w następując sposób T W λ S W λ a + b -+ λab a b ma + λ λab a b min a + b + λ nazwam rodziną t-norm Webera dla parametru λ. Para operatorów Webera T W S W W T λ oraz s-norm W S λ λ λ jest parą operatorów dualnch ze względu na naturalne uzupełnienie. Jest to uogólnienie operatorów Łukasiewicza zauważm że: - dla λ otrzmujem W W S T S + T Łuk Łuk - dla λ otrzmujem - dla W W T S T S ~ ~ + prod sum T λ otrzmujem parę W S W oznaczaną także jako ˆ + ˆ drastic ilocznu ˆ : [ ] [ ] [ ] a a ˆ b b gd gd gd ˆ złożonego z ostrego b a a < b < oraz ostrej sum + : [ ] [ ] [ ] a a + ˆ b b gd gd gd b a a > b >

24 Def. odzina operatorów Hamachera Sparametrzowaną rodzinę działań dwuargumentowch T H S H γ γ γ > zdefiniowanm dla a b [ ] [ ] w następując sposób T H γ S H γ ab a b γ + γ a + b ab a + b ab γ ab a b γ ab nazwam rodziną t-norm H T γ oraz s-norm H S γ Hamachera dla parametru γ. Def. odzina operatorów Yagera Y Y Sparametrzowaną rodzinę działań dwuargumentowch S T p p p > zdefiniowanm dla a b [ ] [ ] w następując sposób T S Y p Y p a b min a b min p p P {[ a + b ] } p p p a + b { } nazwam rodziną t-norm Komentarz: Dla H T γ oraz s-norm Y Y W W p S T S ˆ + ˆ Tp p p H S γ Hamachera dla parametru γ.

25 Def. odzina operatorów Sugeno Sparametrzowaną rodzinę działań dwuargumentowch T S S S λ λ λ > zdefiniowanm dla a b [ ] [ ] w następując sposób T S S λ S λ a b a b ma min { a + b + λ λab } { a + b + λab } nazwam rodziną t-norm S T λ oraz s-norm S S λ Sugeno dla parametru λ. Komentarz: Dla S S λ S T S + T prod sum ~ ~ Tw. Niech T : [ ] [ ] [ ] oznacza t-normę zaś S : [ ] [ ] [ ] oznacza s-normę wówczas dla a b [ ] [ ] zachodzi T S W ma a b T a b T min a b S a b S W a b a b

26 Def. t-norma T nazwana jest archimedesową t-normą jeżeli: : [ ] [ ] [ ] T jest odwzorowaniem ciągłm 2 T a a < a a Tw. O reprezentacji część Odwzorowanie : [ ] [ ] [ ] T jest archimedesową t-normą wted i tlko wted gd istnieje taka ściśle malejąca funkcja ciągła f : [ ] [ ] dla której zachodzi: prz czm a b [ ] 2 f T a b f f f a + f b f oznacza następująco zdefiniowaną funkcję pseudoodwrotną do f [ ] : f dla dla [ f ] [ f ] [ f ] f Jeśli f wówczas T a b jest ściśle malejącm odwzorowaniem dla obu argumentów. [ f ]

27 Def. s-norma S nazwana jest archimedesową s-normą jeżeli: : [ ] [ ] [ ] S jest odwzorowaniem ciągłm 2 T a a > a a Tw. O reprezentacji część 2 Odwzorowanie : [ ] [ ] [ ] S jest archimedesową s-normą wted i tlko wted gd istnieje taka ściśle malejąca funkcja ciągła g : [ ] [ ] dla której zachodzi: prz czm g a b [ ] 2 g S a b g g a + g b g oznacza następująco zdefiniowaną funkcję pseudoodwrotną do g [ ] : g dla dla [ g ] [ g ] g Jeśli g wówczas S a b jest ściśle rosnącm odwzorowaniem dla obu argumentów.

28 Przkładowe działania na zbiorach rozmtch Działania jednoargumentowe na zbiorze opisanm funkcją prznależności : - k-ta potęga k zbioru rozmtego k k.8 - koncentracja zbioru rozmtego con con 2 - rozcieńczenie zbioru rozmtego dil dil 2 / 2 / 2 Wnik wkonania operacji koncentracji zbiorów rozmtch unkcje prznależności przkładowch zbiorów rozmtch Wnik wkonania operacji rozcieńczenia zbiorów rozmtch dil con

29 - intensfikacja kontrastu zbioru rozmtego int int 2 / 2 dla dla [ ] [ ] : < 5 : lub int dla dla [ ] [ ] : < 5 : A. Piegat Modelowanie i sterowanie rozmte

30 - zmniejszenie kontrastu zbioru rozmtego blr blr / 2 2 dla dla [ ] [ ] : : < 5 5 lub blr / 2 / 2 / 2 / 2 dla dla [ ] [ ] : < 5 : 5 A. Piegat Modelowanie i sterowanie rozmte

31 - unia + zbiorów rozmtch ma { } przekrój zbiorów rozmtch min { }

32 - algebraiczna suma ~ + zbiorów rozmtch + ~ algebraiczn iloczn ~ zbiorów rozmtch ~

33 - ograniczona suma + zbiorów rozmtch + min + + { } ograniczon iloczn zbiorów rozmtch + ma { }

34 - rozłączna suma zbiorów rozmtch + ma + [ ] [ ] { min{ } min{ } różnica zbiorów rozmtch min { }

35 - smetrczna różnica zbiorów rozmtch ograniczona różnica ˆ zbiorów rozmtch ma { } ˆ