Metoda podziału zbioru obiektów na wielokryterialne klastry jakościowe

Transkrypt

1 BIULET ISTTUTU SSTEMÓW IFOMATCZCH (03) Metoda podziału zbioru obietów na wielorterialne lastr jaościowe A. AMELJAŃCZK Insttut Sstemów Informatcznch Wdział Cberneti WAT ul. S. Kalisiego, Warszawa W prac przedstawiono ogólną procedurę tworzenia raningów jaościowch elementów ustalonego zbioru obietów. Procedura polega na reurencjnm wznaczaniu elementów estremalnch zbioru na podstawie przjętej relacji preferencji. Efetem jej działania jest podział zbioru na lastr raningowe (ategorie). Przedstawione metod podziału zbioru na lastr mogą bć worzstwane w analizie jaościowej obietów w wielu pratcznch zastosowaniach. Słowa luczowe: raning, relacja preferencji, element estremalne, lastr raningowe, ategorie, punt idealn, funcje raningowe, raning liniow.. Wprowadzenie Zagadnienie tworzenia raningów zbioru obietów ocenianch wielorterialnie jest bardzo powszechne w wielu dziedzinach żcia. óżni się od lascznego zagadnienia optmalizacji tm, że oreśla jaość wszstich obietów od najlepszego do najgorszego, a nie włącznie element najlepsz, co jest domeną optmalizacji [,, ]. Tpowe raningi, onstruowane na potrzeb omercjne cz też społeczne, tworzone są na ogół w oparciu o tzw. funcje raningowe lub też heurstcznie, a nawet intuicjnie w oparciu o bardzo proste metod i narzędzia. ie mają one zatem wstarczającego waloru obietwizmu i często służą jednie celom maretingowm, a nawet swego rodzaju manipulacjom. W wielu obszarach żcia jest to jedna niedopuszczalne i bardzo szodliwe. Taimi przładami są procedur ustalania raningu ofert w zamówieniach publicznch (przetargach) i wszelich innch przedsięwzięciach, ja onurs projetów, grantów itp., w tórch wni raningu ma onsewencje finansowe, prestiżowe lub handlowe. Powszechnie stosowane metod polegające na tworzeniu tzw. ocen ważonch cz też ważonch deczji espertów są obarczone subietwizmem i możliwością amuflowanej manipulacji. Łatwo można poazać, że dobierając odpowiednie wartości współcznniów wagowch lub wartości progów, można istotnie zmieniać raning wniow. Celem niniejszej prac jest poazanie metod tworzenia raningów odpornch na możliwość manipulacji, obietwnie wniającch z przjętego modelu preferencji, zdefiniowanego w przestrzeni rteriów ocen poszczególnch obietów.. Ogólne zadanie tworzenia raningu elementów zbioru Do sformułowania zadania raningu zbioru można podchodzić na wiele sposobów [3,,, 8]. Formalnie raning elementów zbioru można rozumieć jao przeształcenie zbioru w pewien szczególn ciąg podzbiorów tego zbioru lub jego elementów. Jeśli liczność tego zbioru jest równa, to masmalnie możem otrzmać! różnch ciągów (! różnch raningów uporządowań). iech zatem niepust, sończon zbiór elementów (obietów), tór ma podlegać procedurze raningowej. relacja poprzedzania rozumiana następująco: para (, z) należ do relacji wted i tlo wted, gd element jest przed elementem z. Zdanie jest przed z (albo: poprzedza z ) może bć rozumiane bardzo szeroo. ajczęściej jedna jest rozumiane w onteście jaościowm jest lepsz od z [, 3]. elacja bwa nazwana relacją preferencji poprzedzenia, albo relacją raningowania. Parę (, ) nazwać będziem zbiorem z relacją [].

2 Andrzej Ameljańcz, Metoda podziału zbioru obietów na wielorterialne lastr jaościowe Smbolem oznaczać będziem zbiór wszstich relacji generowanch przez zbiór. Oczwiście nie wszstie relacje preferencji jaościowch prowadzą do raningu jednoznacznego (liniowego) []. Szczególne znaczenie mają jedna taie relacje preferencji, tóre wprowadzają porząde, a szczególnie ta zwan porząde liniow []. Podstawą tworzenia ażdego algortmu raningowego są ta zwane element estremalne zbioru w przestrzeni ze zdefiniowaną relacją poprzedzania (jaości) []. Element estremalne zbioru worzstwane w raningowaniu to element najmniejsze i imalne lub najwięsze i masmalne. a użte niniejszch rozważań orzstać będziem z pojęć: zbiór elementów najmniejszch zbiór elementów imalnch, tóre w ogólności można (bez żądania własności porządowch [] relacji) zdefiniować następująco []: { (,z) dla ażdego z \{ }} (.) { { } } nie istnieje z \, że z, (.) Element najmniejsz zbioru to tai, tór poprzedza wszstie pozostałe element ze zbioru. Element imaln zbioru to tai element, tór nie jest poprzedzan przez żaden z pozostałch elementów zbioru. Do utworzenia raningu elementów zbioru (w srócie będziem mówili do utworzenia raningu zbioru ) możem worzstać zbior elementów estremalnch w zależności od potrzeb: zbiór elementów najmniejszch (lub zbiór elementów imalnch) w następując sposób: ze zbioru wbieram element, tóre poprzedzają wszstie pozostałe element. astępnie ze zbioru pozostałch elementów wbieram olejne element, tóre poprzedzają wszstie pozostałe, i ta aż zbiór pozostałch elementów stanie się pust. Zapiszem to następująco:. Wznacz () (.3) \ itd. 3. Ogólnie zapiszem:. Wznacz ( ) \ ( ),,, 3,... - i 0 0 U (.) przjmując, że Algortm ończ się w rou K taim, że K U () i (.) i Podobną procedurę możem zastosować, orzstając z zależności (.). Otrzmam 0 ): - \ U i, i 0 wted ( przjmując, że,, 3,... (.) Oreślenie. Klastrem jaościowm (ategorią) -tego stopnia nazwać będziem zbiór,,, 3,... ajszczęśliwszm przpadiem jest oczwiście przpade, gd wszstie zbior lub są jednoelementowe, czli przpade, gd dla,, K lub (.) Mam wted tzw. raning jednoznaczn (liniow). Taą stuację mam międz innmi wted, gd relacja jaości (raningowania) jest relacją liniowego porządu (zwrotna, antsmetrczna, przechodnia i spójna []). W przpadu gd relacja jest relacją lub liniowego porządu, smbolem ( ) oznaczać będziem raning zbioru (ciąg podzbiorów (lastrów) jednoelementowch) uzsan prz relacji preferencji. Ciąg zbiorów, lub analogicznie [ ], dla,,... tworz w ogólności raning las równoważności (lastrów) elementów najmniejszch lub imalnch. W ogólnm przpadu ażdemu można przporządować lastrowi liczbę raningową jao pewną ogólną charaterstę jaościową tego lastra. Oreślenie. Liczbą raningową L lastra stopnia zbioru nazwać będziem odległość tego lastra od resu dolnego zbioru L,,,... (.8) ( ) Dodatową charaterstą lastrów są ich res dolne (górne) [, ]:,,,... (.9) Liczb raningowe lastrów, ja też ich res dolne, można worzstać do porządowania lastrów oraz ich ocen jaościowej [3, 8].

3 BIULET ISTTUTU SSTEMÓW IFOMATCZCH (03) Analogicznie, ażdemu lastrowi (elementów najmniejszch) można przporządować liczbę raningową jao pewną ogólną charaterstę jaościową tego lastra. Zbior (.) i (.) mają dużo bardzo interesującch własności raningowch. W pratcznch zastosowaniach raningi elementów zbioru dotczą głównie szeroo rozumianej jaości tch elementów i są tworzone w ta zwanej przestrzeni jaości. a rsunu został przedstawion ogóln schemat podziału zbioru na lastr raningowe z worzstaniem elementów imalnch zbioru. Schemat procedur raningowej przedstawion na rsunu nie gwarantuje oczwiście raningu liniowego. W stuacji gd nietóre zbior nie są jednoelementowe, potrzebna jest dodatowa ormacja preferencjna dotcząca poprzedzania w sensie jaości w ramach elementów tego samego lastra. W taim przpadu mogą bć stosowane różne sposob wewnętrznego raningu (np. dodatowe funcje raningowe). Bardzo często jedna decdent jest ptan o hierarchię ważności (lesografię) poszczególnch rteriów cząstowch (cech jaościowch analizowanch obietów). Pratczne esperment deczjne na ogół potwierdzają dużą podatność decdentów na taie uzupełnienie preferencji raningowch. Ta ustalone preferencje lesograficzne w ramach wewnętrznch raningów oznaczać będziem L. (, ) : WZACZ ( ) SKŁADOWAIE CZ U () i :+ i SKŁADOWAIE s. a. Ogóln schemat procedur raningowej Smbolem i L, i,..., oznaczać i (, ), U : będziem raning lesograficzn lastra numer i. Idea ogólnego schematu procedur raningowej zbioru prz relacji preferencji wspomaganej lesografią L przedstawiona jest na rsunu. W schemacie tm wstępuje obo głównej (zasadniczej) relacji raningowania, relacja pomocnicza L, tóra reaguje w stuacji, gd zbiór ma liczność więszą od. 3. Przestrzenie jaości raningi jaościowe T L WZACZ WZACZ ( L) CZ () i STOP AKIG ( i )( L ), i,..., :+ T STOP AKIG () i, i,..., s.. Podział zbioru na lastr raningowe Procedur raningowe w zastosowaniach pratcznch najczęściej oparte są na modelach jaościowch raningowanch obietów. Stąd też pierwszm etapem jest ustalenie modelu jaościowego obietów. Sprowadza się to oczwiście do zdefiniowania odpowiednich wsaźniów jaości obietów (cech jaościowch obietów) [3]. Ich liczba i on- 3

4 Andrzej Ameljańcz, Metoda podziału zbioru obietów na wielorterialne lastr jaościowe retna postać zależą oczwiście od potrzeb (celu) raningu. W ten sposób obietami porównań raningowch stają się nie bezpośrednio obiet, lecz ich modele jaościowe w przestrzeni jaości [, ]. Kolejnm etapem jest zazwczaj ustalenie modelu preferencji jaościowch decdenta, najczęściej w postaci odpowiedniej relacji zdefiniowanej w przestrzeni jaości. Jest to podejście o wiele bardziej ogólne, bezpieczniejsze i bardziej obietwne niż podejście polegające na przjęciu salarnej funcji ocen (raningu) np. w postaci sum ważonej []. Definiowanie modelu preferencji w postaci relacji bwa najczęściej o wiele prostsze i nie wmagapodawania liczbowch wartości współczn-niów, progów itp. Pratczne zadanie tworzenia raningów jaościowch można zatem przedstawić następująco: iech: X A zbiór rozważanch obietów (elementów) w pewnej przestrzeni obietów A; {,...,n,..., } zbiór numerów wsaźniów cząstowch ocen obietów; B przestrzeń ocen jaościowch obietów (najczęściej B ); F : A funcja ocen obietów; F( x) ocena (model jaościow) obietu x A mająca postać: ( n ) ( x) x w sensie F x F x,..., F x,...,f x F n ocena obietu X wsaźnia nr n (3.) F( X) { F( x) x X} obraz jaościow zbioru obietów X (3.) Model preferencji jaościowch (podstawa raningu) możem zdefiniować w postaci relacji preferencji {(,z) jest lepsz od z} (3.3) Jest to model preferencji zbudowan w przestrzeni B modeli jaościowch obietów (elementów) ze zbioru X. Funcję zdaniową ϕ(, z) jest lepsze od z można definiować na bardzo wiele sposobów [, 3]. a etapie ustalania modelu jaościowego F x obietów x X ważne jest, ab ({ }) F F x dla ażdego x X (3.) Gwarantuje to jednoznaczność raningu w zbiorze X, o ile wstępuje ona w zbiorze. W dalszej części prac rozważania związane z procedurami raningowmi będą ilustrowane pewnm przładem dotczącm raningu zbioru dwudziestu obietów. Jaość tch obietów jest oceniana wartościami dwóch cech. Poniższa tabela przedstawia zbiór tch obietów (ponumerowanch indesem,, 0) oraz odpowiadające im wartości liczbowe cech jaościowch. Tab.. Lista obietów podlegającch raningowi W przładzie przjęto założenie, że im więsze są wartości rozpatrwanch cech, tm wższa jest ogólna jaość obietu. Modelem jaościowm obietu nr będzie zatem element: (, ), K {,..., 0} (3.) Zbiorem modeli jaościowch rozpatrwanch obietów jest zbiór: { K } (3.) a rsunu dodatowo został za- znaczon element idealn, zdefiniowan następująco []: (3.) Element idealn odgrwa bardzo ważną rolę w wielu procedurach raningowch jao ta zwan obietwn punt odniesienia jaościowego [,, 9] s.. Zbiór obietów w procedurze raningowej oraz punt odniesienia

5 BIULET ISTTUTU SSTEMÓW IFOMATCZCH (03) a rsunu przedstawion został zbiór elementów podlegającch procedurze raningowania. aningi jaościowe zbioru mogą bć tworzone w oparciu o zależności (.) lub (.). O jednoznaczności (liniowości) raningów decdują głównie własności modelu preferencji. Może się jedna zdarzć, że przeciwobraz jednoznacznego raningu zbioru nie będzie jednoznaczn w zbiorze X (patrz (3.)). Oznaczać to będzie, że co najmniej dwa różne obiet mają identczn obraz w przestrzeni jaości (te same wartości wszstich cech uwzględnianch w procesie modelowania [3].. aning lesograficzn W procedurach tworzenia raningów bardzo ważną rolę odgrwają relacje porządu liniowego (zwrotne, antsmetrczne, przechodnie i spójne). Taą relacją preferencji jest relacja porządu lesograficznego. elacją preferencji lesograficznego raningowania nazwać będziem relację L zdefiniowaną następująco: L {(,z) istnieje i, że i > z i oraz z dla < i lub z} (.) Ten model preferencji odpowiada stuacji, gd znana jest jednie hierarchia ważności rteriów cząstowch (w tm przpadu zgodna z porządiem naturalnm rteriów). a rsunu 3 przedstawiono wnii działania algortmu raningowego (.) oraz stoże Λ( L ), tór generuje relację (.) w dla []. Zgodnie z zależnościami (.3) i (.) otrzmujem: L L () {} L {} L ( ) \ ( ) ( 0) { } L itd. L elacja L jest relacją liniowego porządu, stąd raning jest jednoznaczn. Otrzman raning ( L ) ma postać: ( L ) (,,, 3,,,,,, 9, 0,, 8,, 3, 8, 9,, 0,. Przładowo, element nr 8 poprzedza element o numerach: 9, 0,,, 8. Oznacza to, że element ten jest lepsz od tch elementów (formalnie jest też lepsz od samego siebie, gdż relacja jest zwrotna). ajlepszm elementem jest zatem element o numerze, potem itd., ) a najgorszm elementem jest element o numerze. Zaznaczono to na rsunu 3. s. 3. aning lesograficzn zbioru L jest identczn z raningiem L ponieważ L L dla zadań z relacją L []. aning ( ) ( ). aning paretowsi Paretowsa relacja jaości, będąca podstawą raningu paretowsiego, jest najczęściej stosowaną w pratce relacją preferencji [0]. elację paretowsą oznaczać będziem smbolem. elacja ta prowadzi do uzsania rozwiązań optmalnch w zadaniu wielorterialnej masmalizacji. {(,z) n zn dla ażdego n } (.) Analiz jaościowe w przpadu relacji co najmniej zwrotnch i przechodnich w procedurach raningowch wgodnie jest prowadzić, orzstając z pojęcia stoża Λ związanego z rozpatrwaną relacją. Związe Λ i jest następując [0]: Λ(L) {(,z) z { } + Λ } (.) Wgodnm pojęciem jest również tzw. funcja poprzedzania d :, zdefiniowana następująco: d z,z, (.3) { } Zależność (.3) możem też zapisać następująco: d( ) { } + Λ (.) a rsunu zaznaczono międz innmi d0 { 0} + Λ 0,, 8, 8, 0,, 9 { } 8

6 Andrzej Ameljańcz, Metoda podziału zbioru obietów na wielorterialne lastr jaościowe a rsunu przedstawion został raning paretowsi (podział zbioru na lastr Pareto) wniając z paretowsiej relacji preferencji jaości. s.. Podział zbioru na lastr Pareto Z uwagi na to, że zbiór elementów najmniejszch dla relacji najczęściej jest pust, tworząc raning zbioru sorzstam z zależności (.). Otrzmam więc: () {, 3, } ( ) \ ( ),,, Λ() ( ) { } ( ) { } 3 \, 3,, 9 \ 3 { },, 0, itd. \ U ( i) { 9}. i Ja widać, zastosowanie paretowsiej relacji preferencji nie prowadzi w tm przpadu do raningu jednoznacznego. Otrzmaliśm las (lastr) równoważności,,..., w więszości o liczności więszej od. ajwższ w raningu jest laster ( ), potem ( ), aż do. Do ocen jaościowej poszczególnch lastrów można worzstać dodatowe charatersti w postaci liczb raningowch lastrów oraz ich resów dolnch, tóre łatwo wznaczć (.8), (.9). Zachodzi prz tm: L L... L... (.) oraz (.) Gdb przjęte preferencje jaościowe uzupełnić o preferencje lesograficzne o liczności (w przpadu zbiorów więszej od ), można błob doonać ich cząstowch raningów wewnętrznch (patrz schemat na rsunu ). Dla lesografii naturalnej otrzmalibśm następujące raningi częściowe: L, 3, ( ) ( ) ( )( L ) (,,,) ( 3) ( 3)( L ) (,,9,3) (, 0,) L itd. oraz w onsewencji jednoznaczn, jaościow raning ońcow (od obietu najlepszego, tórm jest obiet o numerze do obietu najgorszego, tórm jest obiet numer 9): ( L ) (,, 3,,,,,,,, 9, 3,, 0,,, 8, 8, 0,, 9. Uzsane lastr o numerach od do tworzą natomiast podział zbioru na pewne warstw (ategorie) elementów równoważnch w sensie jaościowm. ajlepszm lastrem jest laster o numerze, a najgorszm laster numer.. Podsumowanie W prac przedstawiono ogólne podejście do problemati raningu elementów analizowanego zbioru. Jest to podejście znacznie bardziej ogólne niż podejście oparte włącznie na funcjach raningowch. Podstawą raningu może bć dowoln model preferencji. ajczęściej jest on przedstawion w postaci relacji. Suteczność procedur raningowej zależ oczwiście od własności relacji preferencji. Do definiowania relacji preferencji można użć również dowolnej funcji raningowej. Definiowanie preferencji raningowch w postaci relacji jest jedna postępowaniem o wiele bardziej obietwnm i pratcznm niż definiowanie funcji raningowej. W prac rozważono relacje preferencji tpu Pareto [, 0] oraz preferencje hierarchiczne. Ogólna procedura raningowa oparta na relacji preferencji oreśla podział zbioru na lastr jaościowe (ategorie), tworzące pewien ciąg raningow lastrów. Klastr te można opatrzć odpowiadającą im liczbą raningową świadczącą o ich jaości. Liczność lastrów zależ oczwiście od własności relacji preferencji i natur zbioru. W prac przedstawiono uniwersaln algortm raningow pozwalając otrzmać raning liniow niezależnie od własności podstawowej relacji preferencji. W algortmie tm worzstwana jest pomocniczo relacja lesograficzna w zaresie lastrów o liczności )

7 BIULET ISTTUTU SSTEMÓW IFOMATCZCH (03) więszej niż. Prata deczjna poazuje, że decdenci bardzo łatwo aceptują worzstwanie pomocniczej relacji lesograficznej w stuacji pojawiania się lastrów o liczności więszej niż. Podejście taie eliuje onieczność oreślania jaicholwie wag, cz też progów. Więszość stosowanch w pratce relacji raningowch to relacje quasi-porządu lub porządu. elacje te pozwalają tworzć bardzo interesujące raningi lastrów jaościowch. Znalazł one międz innmi zastosowanie w analizach scientometrcznch dotczącch wpłwu poszczególnch nauowców, źródeł bibliograficznch, insttucji nauowch cz też państw na rozwój naui w różnch dscplinach. Mogą bć też z powodzeniem worzstwane w wielu raningach dotczącch jaości ważnch obietów, w tm jaości wrobów na rnu.. Bibliografia [] A. Ameljańcz, Optmalizacja wielorterialna, WAT, Warszawa, 98. [] A. Ameljańcz, Optmalizacja wielorterialna w problemach sterowania i zarządzania, Ossolineum, Wrocław, 98. [3] A. Ameljańcz, Matematczne aspet modelowania pajęcznowego obietów, Biuletn Insttutu Sstemów Informatcznch, r, 9 (009). [] D. Boussou, T. Marchant, An axiomatic approach to noncompensator sorting methods in MCDM, I: The case of two categories, EJO (00). [] J.P. Brans, Ph. Vince, A preference raning organization method: The POMETHEE method, Management Science, Vol. 3, o. (98). [] H. asiowa, Wstęp do matemati współczesnej, PW, Warszawa, 00. [] T.L. Saat, an from comparisons and from ratings in the analtic hierarch/networprocesses, EJO (00). [8] F. Seo, M. Saawa, Multiple Criteria Decision Analsis in egional Planning: Concept, Methods and Applications, D. eidel Publishing Compan, Dordrecht, Boston, Lancaster, Too, 988. [9] P.L. u, G. Leitmann, Compromise solutions, doation structures and Saluwadze s solution, JOTA, Vol. 3 (9). [0] P.L. u, G. Leitmann, ondoated decision and cone convexit in dnamic multicriteria decision problems, JOTA, Vol. (9). The method of distribution of a set of objects into multi-criteria qualit clusters A. AMELJAŃCZK The paper presents a general procedure for creating qualit ranings of objects. aning procedure fixed set of elements b recurrent detering the extreme elements of the set on the basis of its preference relation. The result of the procedure is to divide the set into raning clusters (categories). The method splits the set of the clusters can be used in qualitative analsis of objects in man practical applications. Kewords: raning, preference relation, extreme elements, raning clusters, categories, ideal point, raning functions, linear raning.