Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:
|
|
- Stanisława Czarnecka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematya dysretna - wyład 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produtu artezjańsiego X Y, tórego elementami są pary uporządowane (x, y), taie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy: (x, x) R symetryczną, gdy: antyzwrotną, gdy: x,y X x X (x, y) R (y, x) R x X (x, x) / R słabo antysymetryczną, gdy: ((x, y) R (y, x) R) x = y) x,y X antysymetryczną, gdy: przechodnią, gdy: spójną, gdy: x,y,z X x,y X (x, y) R (y, x) / R ((x, y) R (y, z) R) (x, z) R) x,y X (x, y) R (y, x) R Niech X = {x 1,..., x n } oraz R X X. Wówczas relacji R możemy przyporządować macierz n n zdefiniowaną w następujący sposób: { 0, gdy (xi, x M R = [r ij ], gdzie r ij = j ) / R 1, gdy (x i, x j ) R
2 Definicja 1.2 Grafem sierowanym prostym nazywamy parę (V, D), gdzie V jest zbiorem sończonym (zbiór wierzchołów), a D jest podzbiorem V V (zbiór rawędzi sierowanych i łuów) Definicja 1.3 Grafem niesierowanym nazywamy parę (V, E), gdzie V jest zbiorem sończonym (zbiór wierzchołów), a E P 2 (V ) (zbiór rawędzi niesierowanych). P 2 (V ) - rodzina dwuelementowych podzbiorów zbioru V. Niech R, S będą relacjami w zbiorze X X. Wówczas sumą relacji R, S jest zbiór R S, iloczynem (przerójem) relacji R, S jest zbiór R S. Dopełnieniem relacji R jest zbiór X \ R. Relacją odwrotną do relacji R oreślamy zbiór: R 1 = {(x, y) X X: (y, x) R} Uwaga 1.2 Relacja R X X jest symetryczna, wtedy i tylo wtedy, gdy R = R 1. Lemat 1.1 Jeżeli (R t ) t T jest rodziną relacji przechodnich w zbiorze X, to przerój wszystich relacji z tej rodziny też jest relacją przechodnią. Definicja 1.4 Przechodnim domnięciem relacji R w zbiorze X nazywamy przerój wszystich relacji przechodnich zawierających relację R. Przechodnie domnięcie oznaczamy symbolem R Ponadto zdefiniujmy ciąg relacji: R (1) = R, R (2) = R R, R (n+1) = R R (n).
3 Lemat 1.2 R = n=1 R (n) Dowód: Niech Z = {S X X: S jest przechodnia R S}. Zauważmy, że: (x, y) R (x, y) S (x, y) Z R Z S Z Wówczas: (x, y) R (n) (x, y) R (m) n=1 m N A więc istnieją w zbiorze X elementy v 1,..., v m 1 taie, że: (x, v 1 ) R (v 1, v 2 ) R... (v m 1, y) R Ponieważ R jest zawarte w ażdej relacji S ze zbioru Z, to: (x, v 1 ) S (v 1, v 2 ) S... (v m 1, y) S S Z Ponieważ ażda relacja S jest przechodnia, to: (x, y) S (x, y) Z S Z Ostatecznie: R (n) Z n=1 Zauważmy, że: R = R (1) R (n) n=1 Poażemy, że R jest relacją przechodnią. Niech (x, y), (y, z) R. Wówczas: (x, y) R (m) (y, z) R (p) m,p N Więc istnieją w zbiorze X elementy v 1,..., v m 1, u 1,..., u p 1 taie, że: (x, v 1 ) R... (v m 1, y) R (y, u 1 ) R... (u p 1, z) R Niech y = v m. Wtedy powyższa oniuncja oznacza, że element (x, z) należy do (m + p)-rotnego złożenia relacji R. A więc: (x, z) R (m+p) (x, z) R (n) n=1 co oznacza przechodniość relacji R. Soro R jest relacją przechodnią i zawiera relację R, to R Z oraz Z R, sąd wynia dowodzona równość.
4 Niech M R = [r ij ] oraz M S = [s ij ] będą macierzami relacji R, S w zbiorze sończonym X. Wówczas definiujemy następujące macierze: (a) M R S = [ r ij s ij ] (b) M R S = [ r ij s ij ] (c) M R 1 = [ r ji ] (d) M R = [ r ij ] (e) M R S = [ c ij ] gdzie: c ij = (r i1 s 1j ) (r i2 s 2j )... (r in s nj ). Definicja 1.5 Relacja R jest porządiem w zbiorze P, gdy jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Jeżeli relacja R jest spójna, to mówimy, że porząde R jest liniowy. Zbiór P, w tórym oreślona jest relacja porządująca R oznaczamy symbolem (P, R) lub (P, ). Definicja 1.6 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządowanym. Przedziałem wyznaczonym przez elementy a, b P nazywamy podzbiór: [a, b] = {x P : a x b} Zauważmy następujące wyniania: [a, b] Ø x [a, b] a x b a b x P (a b) [a, b] = Ø (a b) a, b [a, b] Ponadto definiujemy jeszcze następujące przedziały: (a, b] = [a, b] \ {a} (, b] = {x P : x b} [a, ) = {x P : a x} Definicja 1.7 Niech a, b P i a b. Element a nazywamy poprzedniiem elementu b (element b nazywamy następniiem elementu a), jeśli [a, b] = 2, czyli gdy [a, b] = {a, b}. Definicja 1.8 Diagramem Hassego zbioru uporządowanego nazywamy graf relacji następnia.
5 Definicja 1.9 Niech (X, ) będzie zbiorem uporządowanym. Element a X nazywamy masymalnym jeśli nie poprzedza on żadnego elementu w zbiorze X: x X (a x a x) Element a X nazywamy najwięszym, jeśli spełniony jest warune: x X x a Element a X nazywamy minimalnym, jeśli nie poprzedza go żaden element zbioru X: (x a x a) x X Element a X nazywamy najmniejszym, jeśli spełniony jest warune: x X a x Definicja 1.10 Niech A X, będzie podzbiorem zbioru uporządowanego (X, ). Element a X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli zachodzi warune: x A x a Element a X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli zachodzi warune: a x x A Jeśli zbiór wszystich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy, to nazywamy go resem górnym zbioru A i oznaczamy sup A. Jeśli zbiór wszystich ograniczeń dolnych zbioru A ma element najwięszy, to nazywamy go resem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A. Definicja 1.11 Zbiór uporządowany (P, ) nazywamy ratą, jeśli ażdy dwuelementowy podzbiór zbioru P ma res górny i res dolny w zbiorze P. Definujemy działania oraz w następujący sposód: a b = c sup{a, b} = c oraz a b = c inf{a, b} = c
6 Uwaga 1.3 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządowanym i niech a, b, c P. Jeśli c jest resem dolnym zbioru {a, b}, to zachodzi warune: d P (d a d b) d c Jeśli c jest resem górnym zbioru {a, b}, to zachodzi warune: d P (a d b d) c d Twierdzenie 1.1 W zbiorze uporządowanym (P. ) działania oraz są przemienne, łączne i spełniają waruni pochłaniania, tzn.: a,b P (a b) a = a i a,b P (a b) b = b Twierdzenie 1.2 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządowanym i niech a, b P. Wówczas: a b ((a b = b) (a b = a)) Twierdzenie 1.3 Każda rata sończona ma element najwięszy i element najmniejszy. Definicja 1.13 Jeśli rata ma element najwięszy i element najmniejszy, to element b nazywamy uzupełnieniem elementu a, jeśli a b = 1 oraz a b = 0 Definicja 1.14 Mówimy, że rata jest rozdzielna jeśli dla ażdych elementów a, b, c prawdziwe są równości: (a) a (b c) = (a b) (a c) (b) a (b c) = (a b) (a c) Definicja 1.15 Algebrą Boole a nazywamy ratę rozdzielną zawierającą element najwięszy i element najmniejszy, w tórej ażdy element ma swoje uzupełnienie.
7 Definicja 1.16 Niech (P, 1 ) i (Q, 2 ) będą zbiorami uporządowanymi. Izomorfizmem zbiorów uporządowanych nazywamy ażde odwzorowanie odwracalne ψ: P Q taie, że: (a 1 b ψ(a) 2 ψ(b)) a,b P Definicja 1.17 Niech 1 i 2 będą porządami w zbiorze P. Mówimy, że 2 jest rozszerzeniem 1, gdy: (a 1 b a 2 b a,b P Przyład 1.1 Zwyły porząde w zbiorze liczb naturalnych jest rozszerzeniem porządu wyznaczonego przez relację podzielności. a,b N (a b a b) Definicja 1.18 Niech (P 1, 1 ),..., (P n, n ) będą zbiorami uporządowanymi. Utwórzmy zbiór P = P 1... P n i zdefiniujmy nowy porząde w zbiorze P. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) P, wówczas: (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) a 1 1 b 1... a n n b n Ta oreślony porząde nazywamy produtowym. Definicja 1.19 Niech (P 1, 1 ),..., (P n, n ) będą zbiorami liniowo uporządowanymi. Niech P = P 1... P n. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) P. Oreślmy następujący porząde: (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) { (a1,..., a n ) = (b 1,..., b n ) a i b i, gdzie: i = min{t: a t b t } Ta zdefiniowany porząde nazywamy lesyograficznym.
8 2. Rozmieszczanie przedmiotów w pudełach Niech danych będzie n pudełe i przedmiotów. Załóżmy, że w ażdym pudełu mieści się co najwyżej jeden przedmiot. 1 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest funcja różnowartościowa ze zbioru przedmiotów w zbiór pudełe (wariacja bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi: n! (n )! 2 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wówczas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie. 3 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest -elementowy podzbiór zbioru pudełe (ombinacje bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi: n!!(n )! 4 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie. Niech teraz w ażdym pudełu można umieścić dowolną ilość przedmiotów. 1 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas jest to wariacja z powtórzeniami. Ilość rozmieszczeń wynosi: n. 2 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest podział zbioru pudełe. 3 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest multizbiór pudełe. 4 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest podział liczby na co najwyżej n sładniów. Taie podziały nazywamy partycjami liczby.
9 3. Kombinacje Definicja 3.1 Niech dany będzie zbiór X, tai że X = n. Każdy -elementowy podzbiór zbioru X nazywamy -elementową ombinacją zbioru X. Liczbę -elementowych ombinacji zbioru n-elementowego oznaczamy: ( ) n Twierdzenie 3.1 Prawdziwe są następujące równości: (c) (a) ( ) n = n =0 ( ) n = 2 n (b) ( ) n ( ) n 1 (d) ( ) ( ) n n = n ( ) n = n ( ) n 1 1 Dowód: (b) Niech P (X) oznacza rodzinę wszystich -elementowych podzbiorów zbioru X, a P n (X) - rodzinę wszystich (n )-elementowych podzbiorów zbioru X. Zdefinujemy bijecję P (X) P n (X) w ten sposób, że jeśli A P (X) to podzbiorowi A przyporządujemy zbiór X \ A P n (X). Ta zdefiniowana funcja jest różnowartościowa i przeształca zbiór P (X) na zbiór P n (X). A więc P (X) = P n (X). Ponieważ P (X) = ( ) n oraz P n (X) = ( ( ) ( ) n n ), stąd n = n n. (c) Niech X = {1,..., n} i niech P (X) będzie rodziną -elementowych podzbiorów zbioru X. Przedstawmy zbiór P (X) w postaci sumy rozłącznych zbiorów A i B. Niech A będzie rodziną wszystich -elementowych podzbiorów zawierających element n i niech B = P (X) \ A. Utwórzmy bijecję A P 1 (Y ), gdzie Y = {1,..., n 1}, w ten sposób, że dowolnemu zbiorowi Z A przyporządujemy zbiór Z \ {n}. Taa funcja jest 1 1 i na co oznacza, że rodzina A jest równoliczna ze zbiorem P 1 (Y ). Rozpatrzmy teraz zbiór B = P (Y ) (bo podzbiory zbioru B są -elementowe i nie zawierają elementu n). Mamy więc: ( ) n = P (X) = A + B = P 1 (Y ) + P (Y ) = ( ) n ( ) n 1
10 (d) Rozpatrzmy zbiór par Z = {(A, x): A P (X) x A}. Elementy zbioru Z mogą być dobrane na dwa sposoby. Możemy najpierw wybrać -elementowy podzbiór A X i potem ze zbioru A wybrać element x A. Otrzymujemy, że: Z = ( ) n. Możemy odwrócić ten proces i najpierw wybrać element x X i do niego dobrać tai podzbiór A X, że x A. Otrzymujemy: Z = n (n 1 ) 1, gdyż podzbiór A możemy tratować jao ( 1)-elementowy podzbiór zbioru (n 1)-elementowego. Z powyższych rozważań wynia równość (d). Uwaga 3.1 ( ) n = n!!(n )! Definicja 3.2 Silnią dolną nazywamy wielomian: [x] = x(x 1)... (x + 1) Silnią górną nazywamy wielomian: [x] = x(x + 1)... (x + 1) 4. Multizbiory (ombinacje z powtórzeniami) 1 Niech ϕ n (X) będzie rodziną wszystich n-elementowych ciągów elementów zbioru X. Zdefiniujmy w tym zbiorze relację róznoważności w następujący sposób: (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ), gdy istnieje permutacja σ zbioru wszystich wsaźniów {1,..., n}, taa że y i = x σ(i), i = 1,..., n Ta zdefiniowana relacja dzieli zbiór ϕ n (X) na lasy abstracji. Każdą taą lasę abstracji nazywamy multizbiorem. 2 Niech dana będzie funcja charaterystyczna χ: X N 0, taa że jeśli x X, to χ(x) oznacza liczbę wystąpień elementu x w multizbiorze wyznaczonym przez funcję χ. Liczba wszystich elementów wyznaczonych przez χ wynosi: x X χ(x) 3 Niech X = {1,..., n}. Wówczas ażdy -elementowy podzbiór zbioru X można utożsamiać z ciągiem silnie rosnącym elementów tego zbioru. Każdy - elementowy multizbiór można utożsamiać z ciągiem niemalejącym o długości utworzonym z elementów zbioru X.
11 Twierdzenie 4.1 Liczba -elementowych multizbiorów utworzonych ze zbioru n-elementowego jest równa ( ) n+ 1 Dowód: Niech X = {1,..., n} i niech M (X) oznacza rodzinę wszystich -elementowych multizbiorów utworzonych ze zbioru X. Załóżmy, że {x 1,..., x } M (X), przy czym x 1... x. Utwórzmy z tego ciągu nowy ciąg {x 1, x , x + 1} = {y 1,..., y }, gdzie y i = x i + i 1. Zauważmy, że ciąg {y 1,..., y } jest ciągiem rosnącym: y i+1 y i = (x i+1 + i) (x i + i 1) = x i+1 x i + 1 > 0 Ponadto gdyby x = n, to y = n+ 1, niech zatem Y = {1,..., n+ 1}. Zatem ażdy ciąg niemalejący {x 1,..., x } można rozszerzyć do ciągu rosnącego {y 1,..., y }, gdzie y 1 <... < y. Postępowanie odwrotne jest taże możliwe. Z ażdego ciągu {y 1,..., y } można utworzyć ciąg niemalejący {y 1, y 2 1,..., y + 1} = {x 1,..., x }, gdzie x i = y i i + 1. Zdefiniowaliśmy więc bijecję M (X) P (Y ), a więc oba te zbiory są równoliczne, czyli: M (X) = P (Y ) = ( ) n+ 1 Uwaga 4.1 ( ) n + 1 = [n]! 5. Liczby Stirlinga I rodzaju Definicja 5.1 Liczby Stirlinga I rodzaju to współczynnii wielomianu, tóry powstaje przez rozwinięcie silni dolnej: n [x] n = x(x 1)... (x n+1) = s(n, 0)+s(n, 1)x+...+s(n, n)x n = s(n, )x =0
12 Twierdzenie 5.1 Liczby Stirlinga I rodzaju spełniają następujące własności: (a) s(n, n) = 1, n 0 (b) s(n, 0) = s(0, ) = 0, n, > 0 (c) s(n, ) = s(n 1, 1) (n 1)s(n 1, ) Dowód: (c) n s(n, )x = x(x 1)... (x n + 2)(x n + 1) = [x] n 1 (x n + 1) = =0 = = n 1 =0 n =1 = ( n 1 =0 s(n 1, )x ) (x (n 1)) = s(n 1, )x +1 s(n 1, 1)x = s(n 1, n 1)x n + n 1 =0 n 1 =0 n 1 =1 (n 1)s(n 1, )x ) = (n 1)s(n 1, )x ) = s(n 1, 1)x n 1 (n 1)s(n 1, )x ) (n 1)s(n 1, 0)x 0 = =1 = s(n, n)x n + n 1 =1 Ostatecznie otrzymujemy, że: (s(n 1, 1) (n 1)s(n 1, ))x s(n, ) = s(n 1, 1) (n 1)s(n 1, ), 1 n 1 (0 < < n) gdyż równość wielomianów jest równoważna równości ciągów ich współczynniów. 6. Podziały zbioru Definicja 6.1 Podziałem zbioru X nazywamy rodzinę podzbiorów π = {B 1,..., B } tego zbioru spełniającą waruni: (a) B i Ø, i = 1,..., (b) B i B j = Ø, gdy i j (c) B 1... B = X Zbiory B i, i = 1,..., nazywamy bloami podziału.
13 Definicja 6.2 Jeżeli π = {B 1,..., B } oraz π = {B 1,..., B m} są podziałami zbioru X, to mówimy, że podział π jest drobniejszy od podziału π (co zapisujemy π π ), gdy B i B j i {1,...,} j {1,...,m} Relacja zdefiniowana w zbiorze podziałów zbioru X jest relacją porządującą. Zbiór wszystich podziałów zbioru X oznaczamy symbolem Π(X). A więc zbiór (Π(X), ) jest zbiorem uporządowanym. Uwaga 6.1 Niech X = {x 1,..., x n }. Podziałem najdrobniejszym zbioru X jest podział π = {{x 1 },..., {x n }}. Podziałem najgrubszym jest podział π = {X}. Niech dana będzie relacja równoważności. Wówczas zbiór wszystich las abstracji oznaczamy symbolem X/. Zauważmy, że dla las abstracji zachodzą waruni: (a) dla ażdego x X: x [x] (b) ([x] [y] Ø) ([x] = [y]) a więc zbiór las abstracji relacji jest podziałem zbioru X. Uwaga 6.2 Podział π = {B 1,..., B } zbioru X wyznacza relację równoważności. Relację tę definiujemy: x y i {1,...,} x, y B i
14 Twierdzenie 6.1 Jeśli R, R są relacjami równoważności wyznaczonymi przez podziały π, π, to π π R R. Dowód: ( ) Załóżmy, że π π, π = {B 1,..., B }, π = {B 1,..., B m }. Należy poazać, że R R. (x, y) R i {1,...,} x, y B i j {1,...,m} Dowód impliacji w przeciwną stronę przebiega podobnie. x, y B i B j (x, y) R Uwaga 6.3 Niech π, π będą podziałami zbioru X. Zdefiniujmy podział π następująco: π = {B i B j: B i π B j π } \ {Ø} Ta zdefiniowany podział jest drobniejszy od podziałów π i π. Ponadto π jest resem dolnym pary (π, π ). Niech teraz relacje R, R będą relacjami równoważności wyznaczonymi przez podziały π, π i niech R będzie przechodnim domnięciem relacji R R. Wówczas resem górnym pary (π, π ) jest podział odpowiadający relacji R. 7. Liczby Stirlinga II rodzaju Definicja 7.1 Liczby podziałów zbioru n-elementowego na bloów nazywamy liczbami Stirlinga II rodzaju i oznaczamy symbole S(n, ) Defincja 7.2 Niech dany będzie zbiór uporządowany (P, ). Rangą elementu a P nazywamy najwięszą długość łańcucha zawartego w zbiorze {x P : x a} Uwaga 7.1 Niech Π(X) oznacza zbiór wszystich podziałów zbioru X. Wówczas S(n, ) jest liczbą elementów rangi n w zbiorze Π(X).
15 Twierdzenie 7.1 Liczby Stirlinga drugiego rodzaju spełniają następujące zależności: (a) S(n, n) = 1, dla n 0 (b) S(n, 0) = S(0, ) = 0, dla n, > 0 (c) S(n, ) = S(n 1, 1) + S(n 1, ), dla 0 < < n Dowód: Niech X = {x 1,..., x n }. (a) S(n, n) oznacza podział n-elementowego zbioru X na n bloów. Jest jeden tai podział: π = {{x 1 },..., {x n }}. (b) S(n, 0) oznacza liczbę podziałów zbioru n-elemetowego na 0 bloów, zaś S(0, ) - liczbę podziałów zbioru pustego na bloów. (c) Niech Π (X) będzie rodziną podziałów zbioru X na bloów oraz niech X = {1,..., n} oraz Y = {1,..., n 1}. Przedstawmy zbiór Π (X) w postaci sumy zbiorów A B. Niech A będzie rodziną wszystich podziałów na bloów, taich że liczba n tworzy oddzielny blo i niech B = Π (X) \ A. Jeśli podział π = {B 1,..., B 1, n} A to przyporządujemy mu podział π = {B 1,..., B 1 } Π 1 (Y ). Ten proces jest odwracalny, gdyż jeśli π = {B 1,..., B 1 } Π 1 (Y ), to podziałowi π przyporządujemy podział π = {B 1,..., B 1, n} A. Stąd A = Π 1 (Y ). Rozpatrzmy teraz zbiór B. Załóżmy, że π B, a więc π = {B 1,..., B }. Załóżmy, że n B. Podziałowi π przyporządujemy podział π = {B 1,..., B 1, B \ {n}}. A więc π jest podziałem na bloów zbioru (n 1)-elementowego, czyli π Π (Y ). Spróbujmy odrócić to postępowanie. Niech π Π (Y ). Podziałowi π przyporządujemy podział postaci π i = {B 1,..., B i {n},..., B }. Taiego przyporządowania można doonać na sposobów. A więc B = Π (Y ). Ostatecznie S(n, ) = Π (X) = A + B = Π 1 (Y ) + Π (Y ) = = S(n 1, 1) + S(n 1, )
16 Twierdzenie 7.2 Niech X = n, Y = m, n m. Liczba wszystich funcji odwzorowujących zbiór X na zbiór Y jest równa m!s(n, m). Dowód: Rozważmy dowolną funcję f: X Y. Zdefinujmy zbiory D y = f 1 ({y}) = {x X: f(x) = y}. Ponieważ funcja f jest na, to ażdy zbiór D y jest niepusty. Ponadto: (D y D z Ø) D y = D z czyli D y = X Dochodzimy do wniosu, że zbiory D y są podziałem zbioru X na m bloów. Niech teraz X = {B 1,..., B m } i Y = {y 1,..., y m }. Zdefiniujmy funcję g: X Y w następujący sposób: jeśli istnieje taie i {1,..., m}, że x B i, to g(x) = y i. Konstrucja funcji g pozwala wniosować, że wszystich funcji odwzorowujących zbiór X na zbiór Y jest m!s(n, m). Definicja 7.2 Liczbą Bella nazywamy liczbę wszystich podziałów zbioru n-elementowego: B(n) = n =0 S(n, ) y Y 8. Podziały liczb Definicja 8.1 Podziałem liczby naturalnej n nazywamy uład n 1,..., n, tai że: n = n n. Podział liczby nazywamy partycją. Twierdzenie 8.1 Ilość podziałów liczby n na sładnii nie przeraczające r jest równa ilości podziałów tej liczby na co najwyżej r sładniów. Twierdzenie 8.2 Niech P (n) oznacza ilość wszystich podziałów liczby n. Wówczas: P (n) = ( ) Θ(1) exp(π 2n/3) n gdzie Θ(1) oznacza ciąg zbieżny do zera, gdy n.
Matematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoA i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy
3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna - zagadnienia
Matematya Dysretna - zagadnienia dr hab. Szymon Żebersi opracował: Miołaj Pietre Semestr letni 206/207 - strona internetowa Zasada inducji matematycznej. Zbiory sończone, podstawowe tożsamości 2. Zasada
Bardziej szczegółowoP k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =
Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoi = n = n 1 + n 2 1 i 2 n 1. n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) =
Druga zasada inducji matematycznej Niech m będzie liczbą całowitą, niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na zbiorze {n Z: n m} oraz niech l będzie nieujemną liczbą całowitą. Jeśli (P) wszystie
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoAnaliza B. Paweł Głowacki
Analiza B Paweł Głowaci Pojęcie liczby rzeczywistej uważać będziemy za intuicyjnie oczywiste. Tym niemniej celowe wydaje się przypomnienie i ugruntowanie nietórych fundamentalnych własności liczb rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWojciech Kordecki. Matematyka dyskretna. dla informatyków
Wojciech Kordeci Matematya dysretna dla informatyów Wrocław 2005 Spis treści 1. Relacje, funcje i rozmieszczenia 1 1.1. Zbiory częściowo uporządowane 1 1.2. Funcje i rozmieszczenia 2 1.3. Zadania 4 2.
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zadania
Matematya Dysretna Zadania Jace Cichoń Politechnia Wrocławsa, WPPT Wrocław 015 1 Wstęp 11 Oznaczenia [n] = {1,, n} [] = {X P ( : X = } (x = 1 j=0 (x j, (x = 1 (x + j Zadanie 1 j=0 Poaż za pomocą inducji
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowo3 k a 2k + 3 k b 2k = φ((a k ) k=1 ) + φ((b k) k=1 ). a 2k p 3 q (1 3 q ) 1 (a k ) k=1 p,
Zadanie 1. Sprawdzić, czy formuła φa ) ) = 3 a 2 zadaje funcjonał liniowy na l p dla p [1, ] i na c, jeśli ta, to czy zadaje funcjonał ciągły, i jeśli ta, policzyć normę. Dowód. Sprawdzam liniowość: φλa
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoRelacje i relacje równoważności. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Relacje i relacje równoważności Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Zbiór i iloczyn kartezjański Pojęcie zbioru Zbiór jest
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoFUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowoDefinicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].
1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoCzęść wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoZbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
Bardziej szczegółowo