Definicja. Złożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej. Rozważmy. zbiór rozmyty A X z funkcją przynależności

Transkrypt

1 Zagadnienia I

2 Złożenie zbioru rozmtego i relacji rozmtej Rozważm zbiór rozmt X z funcją prznależności relację rozmtą RX Y z funcją prznależności Definicja R Złożenie zbioru rozmtego i relacji rozmtej R definiujem jao zbiór rozmt =RY oreślon następująco sup{ } X T R gdzie T jest operatorem t norm.

3 Złożenie zbioru rozmtego i relacji rozmtej cd Jeżeli Ta b=min{a b} wówczas otrzmujem sup{min{ }} X tzw. złożenie tpu sup-min R Jeżeli Ta b= ab wówczas otrzmujem sup{ } X tzw. złożenie tpu sup-product R

4 Przład Niech X={ 3 } Y={ }. Rozważm zbiór rozmt oraz relację rozmtą R oreśloną macierzą

5 Przład Rozważm złożenie R tpu sup-min. Rezultatem taiego złożenia jest zbiór rozmt postaci gdzie: ma{min{ 0;0};min{04;};min{06;07}} ma{min{ 0;0};min{04;03};min{06;}} Zatem 06 06

6 Wniosowanie Logia dwuwartościowa Reguła modus ponens reguła odrwania przesłana impliacja wniose Jeżeli prawdziwe jest zdanie i prawdziwa jest impliacja wówczas prawdziwe jest zdanie. Przład Mare jest ierowcą Mare ma prawo jazd Jeżeli Mare jest ierowcą i z tego że Mare jest ierowcą wnia że Mare ma prawo jazd to Mare ma prawo jazd.

7 Logia dwuwartościowa Reguła modus tollens przesłana 0 impliacja 0 0 wniose Jeżeli fałszwe jest zdanie i prawdziwa jest impliacja wówczas fałszwe jest zdanie. Przład Mare jest ierowcą Mare ma prawo jazd Mare nie jest ierowcą Mare nie ma prawa jazd Jeżeli Mare nie ma prawa jazd i z tego że Mare jest ierowcą wnia że ma prawo jazd to Mare nie jest ierowcą.

8 Zmienna lingwistczna Zmienną lingwistczną nazwam zmienną tórej wartościami są słowa lub zdania w jęzu naturalnm lub sztucznm. Powższe słowa lub zdania nazwam wartościami lingwistcznmi zmiennej lingwistcznej. Przład Niech będzie zmienną lingwistczną oznaczającą wie. Wartości zmiennej lingwistcznej należą do zbioru T={ star bardzo star nie ta star zupełnie młod młod bardzo młod } Do ażdego z elementów zbioru T można przporządować pewien zbiór rozmt.

9 Wniosowanie przbliżone Przjmijm że zdania wstępujące w regułach modus ponens oraz modus tollens zawierają niepreczjne oreślenia. Oznacza to że zdaniom tm odpowiadają pewne zbior rozmte. Rozmta reguła modus ponens jest JEŻELI jest TO jest jest przesłana impliacja wniose gdzie: X i Y są zbiorami rozmtmi są zmiennmi lingwistcznmi

10 Przład Prędość samochodu jest duża Jeżeli prędość samochodu jest bardzo duża to poziom hałasu jest wsoi przesłana impliacja Poziom hałasu w samochodzie jest średniowsoi wniose Zmienne lingwistczne prędość samochodu Zbiór wartości: T ={mała średnia duża bardzo duża} poziom hałasu Zbiór wartości: T ={mał średni średniowsoi wsoi}

11 Przład cd Zbior rozmte: = bardzo duża prędość samochodu = duża prędość samochodu = wsoi poziom hałasu = średniowsoi poziom hałasu Jaa jest różnica międz nierozmtą i rozmtą regułą modus ponens? jest JEŻELI jest TO jest przesłana impliacja jest wniose To samo zdanie To samo zdanie Zbior różne zbliżone Zbior różne zbliżone

12 Zbiór rozmt jest złożeniem zbioru rozmtego i rozmtej impliacji tóra jest równoważna pewnej relacji rozmtej RXY czli Zatem sup{ } X T gdzie jest funcją prznależności relacji R. Jeżeli Tab=min{ab} wówczas sup{min{ }} X

13 Rozmta reguła modus tollens jest JEŻELI jest TO jest jest przesłana impliacja wniose gdzie: X i Y są zbiorami rozmtmi Przład są zmiennmi lingwistcznmi Poziom hałasu w samochodzie jest średniowsoi Jeżeli prędość samochodu jest bardzo duża to poziom hałasu jest wsoi przesłana impliacja Prędość samochodu jest duża wniose

14 Zbiór rozmt jest złożeniem rozmtej impliacji i zbioru rozmtego impliacja jest równoważna pewnej relacji rozmtej RXY czli Zatem Y sup{ } gdzie jest funcją prznależności relacji R. Jeżeli Tab=min{ab} wówczas sup{min{ }} Y T

15 Model Mamdaniego T gdzie T jest dowolną t-normą. Przład Reguła tpu minimum } min{ Reguła tpu iloczn Larsena

16 Zauważm że min{ } Wniose Reguł tpu Mamdaniego nie są impliacjami w sensie logicznm.

17 Model logiczn Definicja Funcję I: [0] [0] spełniającą następujące waruni: a a3 Ia a Ia3 a dla a a a3 [0 ] a a3 Ia a Ia a3 dla a a a3 [0 ] 3 I a dla a [0 ] Ia dla a [0 ] I0 0 nazwam impliacją rozmtą.

18 Przład Impliacja binarna Impliacja Łuasiewicza I ab=ma{- ab} I ab=min{- a+b} Impliacja Reichenbacha I ab=min{- a+ab} Impliacja Gödela I a b b dla dla a a b b Funcja I impliacji pozwala nam definiować funcję prznależności dla I impliacja jest relacją rozmtą RXY

19 Impliacja binarna - ma{- } Impliacja Gödela

20 Impliacja binarna - + min{- + }

21 Rozmte sstem wniosujące b móc sterować pewnm procesem technologicznm lub tez pracą urządzeń onieczne jest zbudowanie modelu na podstawie tórego można będzie podejmować deczje związane ze sterowaniem. W wielu przpadach znalezienie odpowiedniego modelu jest problemem trudnm nieied wmagającm przjęcia różnego tpu założeń upraszczającch. Zastosowanie sstemów rozmtch do sterowania procesami technologicznmi nie wmaga od nas znajomości tch procesów. Konstruujem po prostu rozmte reguł postępowania w postaci zdań warunowch: IF... THEN...

22 Schemat rozmtego sstemu wniosującego aza reguł lo rozmwania X lo wniosowania... N lo wostrzania

23 aza reguł aza reguł model lingwistczn stanowi reprezentacje wiedz esperta o możliwch wartościach zmiennch stanu o pożądanm stanie urządzenia itp. Przjmuje się dla potrzeb sterowania ze przesłana ja i wniose są oniuncjami prostch fatów rozmtch. Na bazę reguł słada się wiec zbiór pewnch rozmtch reguł postaci JEŻELI jest I... I n jest n TO jest I... I m jest m gdzie i j są zbiorami rozmtmi i są zmiennmi wejściowmi a j są zmiennmi wjściowmi modelu lingwistcznego.

24 Preczjniej dla N reguł: R : JEŻELI jest I jest I I n jest n K TO gdzie: = N. jest I jest I I m jest m K i X i R i= n - zbior rozmte j Y j R j= n - zbior rozmte [ n ] T =X X n [ m ] T =Y Y m n - zmienne wejściowe i m zmienne wjściowe

25 Założenia: poszczególne reguł R = N są powiązane ze sobą za pomocą operatora lub. wjścia m są od siebie niezależne. Oznacza to że reguł mają salarne wjście: R : JEŻELI jest I jest I I n jest n TO gdzie Y R. jest Zmienne n oraz mogą przjmować zarówno wartości niepreczjne oreślone słownie np. małe średnie duże jai i wartości liczbowe.

26 Oznaczm: X =X X X n = n Powższą regułę możem przedstawić jao rozmtą impliację: R : = N Regułę R możem też interpretować jao relację rozmtą oreśloną na zbiorze X Y tzn: R X X jest zbiorem rozmtm o funcji prznależności R

27 lo rozmwania Sstem sterowania z logią rozmtą operują na zbiorach rozmtch. Zatem onretna wartość... n] [ X sgnału wejściowego sterownia rozmtego podlega operacji rozmwania ang. fuzzfiacation w wniu tórej zostaje odwzorowana w zbiór rozmt X = X X X n. Zwle stosuje się rozmwanie tpu singleton ' 0 Zbiór jest wejściem blou wniosowania.

28 lo wniosowania Przjmijm że na wejściu blou wniosowania mam zbiór rozmt X = X X X n. Znajdziem odpowiedni zbiór rozmt na wjściu z blou wniosowania Przpade Na wjściu otrzmujem N zbiorów rozmtch uogólnioną regułą modus ponens. Y zgodnie z Wówczas: '... N Funcja prznależności zbioru ma postać sup{ ' } X T

29 Przład Przjmijm n= t-norma jest tpu min rozmte wniosowanie definiuje reguła min oraz iloczn artezjańsi zbiorów oreślon jest przez min. Wówczas: } sup{ ' T X }} {min{ sup ' X }}} min{ {min{ sup ' X Ponieważ: } min{ ' ' ' ' ' } min{

30 Przład cd Ostatecznie }} {min{ sup ' ' X X Przład Przjmijm n= t-norma jest tpu iloczn rozmte wniosowanie definiuje reguła iloczn oraz iloczn artezjańsi zbiorów oreślon jest przez iloczn. Wówczas: } sup{ ' X } { sup ' X } { sup ' ' X X

31 Przpade Na wjściu blou wniosowania otrzmujem jeden zbiór rozmt Y oreślon wzorem: ' ' N N Funcja prznależności zbioru ma postać '... ' N S S S gdzie S jest dowolną s normą i } sup{ ' T X

32 Przład 3 Rozważm rozmt sstem wniosując z bazą reguł: R : JEŻELI jest I jest TO jest R : JEŻELI jest I jest TO jest Na wejście sterownia podano sgnał X ] [ W wniu rozmwania tpu singleton otrzmujem zbior rozmte o funcjach prznależności ' '

33 Przład 3 cd Wznaczm sgnał wjściow sterownia rozmtego. Otrzmujem wówczas: }} {min{ sup ' ' X X Jao t -normę przjmijm minimum. Ponadto załóżm że } min{ } min{ ' ' ' ' Zatem: }} {min{ sup X X

34 Przład 3 cd } min{ } min{ prz czm Ostatecznie otrzmujem } min{ } } min{min{ oraz }} ma{min{ ' Worzstując regułę tpu minimum

35 min ' ' ma{min{ }} '

36 Powtórzm rozumowanie z przładu 3 ale dla reguł tpu iloczn. Przład 4 Wówczas: Ostatecznie otrzmujem } } ma{min{ '

37 min ' ' ma{min{ } } '

38 lo wostrzania Ja już wiem na wjściu blou wniosowania otrzmujem: N zbiorów rozmtch z funcjami prznależności lub Jeden zbiór rozmt ' z funcją prznależności ' Pojawia się problem ja ze zbiorów Y będącą tzw. wartością sterowania. uzsać jedną wartość Procedurę uzsania nazwam wostrzaniem ang. defuzzification.

39 . Metoda center average defuzzification Wartość uzsujem za pomocą wzoru N N gdzie jest puntem w tórm funcja ma wartość masmalną.

40 . Metoda center of sums defuzzification Wartość uzsujem za pomocą wzoru Y Y N N d d Jeżeli na wjściu blou wniosowania mam jeden zbiór wznaczam następująco 3. Metoda center of gravit ' wówczas Y Y d ' d '

41 W przpadu dsretnm otrzmujem N ' N ' Interpretacja geometrczna '

42 Napełnianie wiadra Napełniam wiadro wodą. Chcem zbudować sterowni rozmt tór dla otrzmanej na wejściu wsoości wod h w wiadrze wznacz nam ąt a na zaworze. Im więsz ąt tm szbsze napełnianie wiadra. aza reguł: JEŻELI wiadro jest pełne TO wstrzmaj napełnianie JEŻELI wiadro jest wpełnione w połowie TO napełniaj wolno JEŻELI wiadro jest puste TO napełniaj szbo

43 Napełnianie wiadra cd Niepreczjne oreślenia wstępujące w bazie reguł oreślam następującmi zbiorami rozmtmi: = = =3

44 Napełnianie wiadra cd W rozważanm przpadu zmienne: wsoość h ąt a Ponadto: n= N=3 bo 3 reguł

45 Napełnianie wiadra cd - blo rozmwania Na wejściu sterowni rozmt otrzmuje atualną wsoość wod w wiadrze sgnał wejściow: Sgnał ten poddajem operacji rozmwania czli oreślam dla niego zbiór rozmt: ' 0 Zbiór ten będzie wejściem blou wniosowania.

46 Napełnianie wiadra cd - blo wniosowania aza reguł: JEŻELI wiadro jest pełne TO wstrzmaj napełnianie JEŻELI wiadro jest wpełnione w połowie TO napełniaj wolno JEŻELI wiadro jest puste TO napełniaj szbo

47 Napełnianie wiadra cd - blo wniosowania } sup{ ' T X Musim znaleźć następujące funcje prznależności: } sup{ ' T X } sup{ ' T X

48 Napełnianie wiadra cd - blo wniosowania Przjmijm że impliacja jest oreślona ta ja w modelu Mamdaniego tzn: min{ } Ponadto załóżm że: a T b min{ a b}

49 Napełnianie wiadra cd - blo wniosowania } min{ }} sup{min{ } sup{ X T X Otrzmujem wówczas:

50 Napełnianie wiadra cd - blo wniosowania = = =3

51 Napełnianie wiadra cd - blo wostrzania Znaleźliśm już zbior rozmte będące wjściem blou wniosowania. Musim teraz znaleźć wartość numerczną ąta wsoości wod w wiadrze wejście sterownia. dla Możem to zrobić na przład ta: 0 75 a a 075

52 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener Za pomocą suwnic musim przenieść ontener z ładuniem z jednego miejsca na drugie. Jedna w momencie odładania go na miejsce mogą wstąpić zbt duże ołsania. Celem naszm jest taie poierowanie suwnica b nie został zniszczon nasz ładune.

53 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener cd Naszmi danmi są: odległość wóza dstans z ontenerem od pozcji docelowej oraz ąt wchlenia. Jeżeli wóze z ontenerem jest w dużej odległości od położenia docelowego suwnica może poruszać się z dużą szbością. Jedna gd zbliża się ona do ońca drogi musim zadbać o tłumienie ołsania ontenera na linie. W momencie gd jesteśm juz bardzo bliso onieczne jest łagodne pozbawione ołsań doprowadzenie ontenera do miejsca docelowego.

54 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener cd - +

55 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener cd aza reguł: JEŻELI ąt = dodatni mał I d = zero TO p = ujemna średnia JEŻELI ąt = zero I d = zero TO p = zero JEŻELI ąt = dodatni mał I d = blisi TO p = ujemna średnia JEŻELI ąt = zero I d = blisi TO p = zero JEŻELI ąt = ujemn mał I d = blisi TO p = dodatnia średnia JEŻELI ąt = ujemn mał I d = średni TO p = dodatnia duża JEŻELI ąt = ujemn duż I d = średni TO p = dodatnia średnia JEŻELI ąt = zero I d = duż TO p = dodatnia średnia JEŻELI ąt = ujemn I d = duż TO p = dodatnia duża

56 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener cd Zmienne lingwistczne: KĄT możliwe wartości: ujemn duż ujemn mał zero dodatni mał dodatni duż DYSTNS możliwe wartości: zero blisi średni duż MOC możliwe wartości: ujemna duża ujemna mała zero dodatnia mała dodatnia duża

57 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener cd Zbior rozmte ąt

58 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener cd Zbior rozmte dstans

59 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener cd Zbior rozmte moc

60 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener pliacja: mbfuzzit Strona www:

61 Sterowanie suwnicą przenosząca ontener aza reguł Lin: mbfuzzit