Zasada rozszerzania. A U A jest zbiorem rozmytym, B jest obrazem zbioru A Przeniesienie rozmytości A w odwzorowaniu f na zbiór B. sup.

Transkrypt

1 Zasada rozszerzania f U V U jest zbiorem rozmytym V = f( ), jest obrazem zbioru Przeniesienie rozmytości w odwzorowaniu f na zbiór v) = ( v)? ( f ( ) = sup ( u) gdy ( v) 0 1 = 1 u f ( v) f( ) ( v) 1 0 ( ) 0 gdy f f v =

2 Iloczyn kartezjański zbiorów Def. Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych ( x, takich, że x i y i oznaczamy. = : {( x, x i y } Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych F( X) i F( X) są zbiorami rozmytymi posiadającymi funkcje przynależności odpowiednio (x) i (x). (, ) F( X) F( X) ( a, b) = ( a) ( b) najczęściej wykorzystywane są operacje min( ) i (iloczyn) Notacja iloczynu kartezjańskiego dla większej liczby zbiorów: F i F( X) - pewne zbiory rozmyte, (x) - funkcje przynależności n F i 1 X n ( x1,..., xn) = F( xi) i= i X F i= 1 i F i n i= 1

3 Relacje rozmyte Def. Relacją rozmytą R między dwoma zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X Y. Relacja rozmyta jest zbiorem par: {(( x,, ( x, ): x X y Y} R = R, gdzie : X Y [ 0, 1] jest funkcją przynależności. R Funkcja ta każdej parze ( x,, x X, y Y przypisuje stopień przynależności R( x,, który ma interpretację siły powiązania między elementami x X i y Y. Przykład*: Rozważmy przestrzenie X = { x, x, x } = { 3, 4 5}, Y = { y, y, y } = { 4, 5 6} 1 2 3, 1 2 3, oraz relację R X Y jako y jest mniej więcej równe x. Relację tę może reprezentować macierz, gdzie wartość a ij oznacza stopień powiązania między elementami x i i y j : 1 jeżeli x = y jeżeli x y = 1 = [ a ij ] = lub relację R możemy zapisać: R( x, = jeżeli x y = 2 4 jeżeli x y = 3 * Wojciech Jędruch. Sztuczna inteligencja. Gdańsk, listopad Materiały do wykładu.

4 Def. (Złożenie relacji rozmytych) Złożeniem typu relację rozmytą sup T relacji rozmytych R X Y i S Y Z nazywamy R o S X Z o funkcji przynależności: [ ( x, ( y, )] sup ( x, z) = z R o S R y Y S Przykład*: Rozważmy przestrzenie X = { x1, x2, x3, x4} = { 12,, 3, 4}, Y = { y, y2, y3} = { a, b, c} Z { z, z, z, z, } = { α, β, γ, δ, ε} oraz relację R X Y Y = z5 1, ( x jest w relacji z y ), S Z ( y jest w relacji z z ) zdefiniowane odpowiednio przez macierze: = R ( x, S( y, z) = Obliczymy Ro S( 2, α). Korzystając z powyższych definicji i przyjmując za T-normę operator min otrzymujemy: [ ( 2,, (, α) ] = [ 10,. 2, 1] 0 2 ( 2, α) = max min y max =. Ro S y Y R S * Wojciech Jędruch. Sztuczna inteligencja. Gdańsk, listopad Materiały do wykładu.

5 Def. (Złożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej) Złożenie zbioru rozmytego X i relacji rozmytej R X Y oznaczamy o R i definiujemy jako zbiór rozmyty Y = o R o funkcji przynależności [ ( x) ( x, )] sup ( = y x X R. Konkretna postać tego wzoru zależy od przyjętej T-normy oraz od właściwości zbioru X. Jeżeli T( a, b) = min( a, b) oraz X jest zbiorem o skończonej liczbie elementów, otrzymujemy złożenie: [ ( x), ( x, )] x X R ( = max min y

6 Struktura rozmytego regulatora Inference mechanism maszyna wnioskująca (generator wywodu) Fuzzification rozmywanie (fazyfikacja) Defuzzification wyostrzanie (defazyfikacja) Rule base baza wiedzy * K. M. Passino, S. Yurkovich, Fuzzy Control, ddison Wesley Longman, Inc. 1998

7 Rozmyta baza wiedzy Wiedza reprezentowana jest w postaci reguł k-ta reguła (k) R : IF ( x 1 IS 1 ( x 2 IS ( x n IS (k) (k) 2 (k) n ) ND/OR ) ND/OR ) THEN ( y IS (k) ) ( U, ( k) V - zbiory rozmyte k ) i i Pojawiają się dwa nowe pojęcia: zmienna rozmyta to samo co zbiór rozmyty (wartość rozmyta) zmienna lingwistyczna jest to taka zmienna, która jako wartość może przyjmować zmienną rozmytą

8 Przez zmienną lingwistyczną rozumiemy zmienną, której wartościami są słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym. Dla przykładu Wiek jest zmienną lingwistyczną, jeśli jej wartości są wyrażone słowami, a nie liczbami, to znaczy młody, niemłody, bardzo młody, całkiem młody, stary, nie bardzo stary i nie bardzo młody itd. Zamiast 21, 21, 22, 23, * Szablon związany z pojęciem zmiennej lingwistycznej gdzie: x, L x, X, M x x - symboliczna nazwa zmiennej lingwistycznej, np. wiek, wzrost, szybkość, temperatura, uchyb itd. L x - zbiór wartości lingwistycznych, które może przyjąć x dla zmiennej lingwistycznej temperatura mamy L x = { zimny, chłodny, komfortowy, ciepły, gorący} Lx - element zbioru L x X - rzeczywista dziedzina fizyczna, nad którą zmienna lingwistyczna x przyjmuje swoje wartości ostre, np. przedział [-10ºC, -35ºC] M x - jest funkcją semantyczną, która nadaje znaczenie (interpretację) wartości lingwistycznej w przeliczeniu na elementy ilościowe X (zwraca zbiór rozmyty, odpowiadający danej wartości lingwistycznej (zmiennej rozmytej)). M x : Lx F( X) * D. Driankov, H. Hellendoorn, M. Reinfrank, Wprowadzenie do sterowania Rozmytego, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996

9 Implikacja jest relacją mającą postać reguły stosowanej we wnioskowaniu. Implikacja klasyczna: JEŚLI p TO q p q gdzie: p - zdanie zwane poprzednikiem (przesłanką) q - zdanie zwane następnikiem (konkluzją, wnioskiem) Dla implikacji klasycznej, wszystkie funkcje przynależności przyjmują tylko dwie wartości: 0 i 1. p q p q Funkcja przynależności implikacji klasycznej p q. Przykład: JEŚLI (wiek samochodu x = now TO (spalanie y = mał Operator implikacji klasycznej posiada cechy, które utrudniają jego stosowanie w modelowaniu i sterowaniu rozmytym.

10 Operator I (implikacji) może być: - implikacją rozmytą w sensie klasycznym - implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) Implikacja rozmyta w sensie klasycznym: - jeżeli przesłanka zachodzi to konkluzja musi zachodzić - jeżeli przesłanka nie zachodzi nie potrafimy nic powiedzieć o zachodzeniu konkluzji - relacja nie może być odwrócona (nie jest symetryczna) Implikacja rozmyta w sensie inżynierskim: - implikacja zachodzi jeżeli zachodzi przesłanka i konkluzja - relacja może być odwrócona (jest symetryczna)

11 Def. (Reguły rozmytej implikacji) Niech i będą zbiorami rozmytymi, X oraz Y. Rozmytą implikacją nazywamy relację R określoną w X Y i zdefiniowaną, na przykład, za pomocą jednej z reguł: I1. rozmyta koniunkcja I2. rozmyta dysjunkcja I3. ( x, = ( x) ( ( x, = ( x) ( ( x, = ( x) (, gdzie ( x) = ( 1 ( x) ) I4. ( x, = ( x) (, gdzie ( x) = ( 1 ( x) ) I5. Uogólnienie zasady modus popendo ponens (sposób potwierdzający przez potwierdzenie) { z [ ]: ( x) z ( )} ( x, = sup 0,1 y I6. Uogólnienie zasady modus tollendo tollens (sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia) { z [ ]: ( z ( )} ( x, = inf 0,1 x

12 Przykłady implikacji rozmytej klasycznej: odpowiedniki klasycznej implikacji: ( p q) ( ~ p q) - implikacja Łukasiewicza [ 1,1- ( x) ( )] ( x, = min y -implikacja Kleene-Diene (Kleene-Dienesa) [ ( x), ( )] ( x, = max 1- y

13 Inne używane operatory implikacji rozmytej ( x, (odpowiadające operatorom klasycznym implikacji) - implikacja Kleene-Dienes-Łukasiewicza ( x, = ( x) + ( x) ( 1 - implikacja Gödela ( x, = 1 ( dla dla ( x) ( x) < ( ( - implikacja Yagera ( x, = ( ( ( x) ) - implikacja Zadeha [ ( x), [ ( x), ( ) ] ( x, = max min y 1

14 Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani ego (t-norma MIN) [ ( x), ( )] ( x, = min y - implikacja Larsena (t-norma PROD) ( x, = ( x) (

15 Wnioskowanie Wnioskowanie rozmyte jest procedurą wnioskowania, wyprowadzającą konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty. Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia. Mechanizm wnioskowania oparty jest na uogólnionej regule modus ponens JEŚLI x jest TO y jest IF x is THEN y is Mając regułę if-then oraz fakt x jest ' zbiór wyjściowy w oparciu o relacyjną regułę zbliżeniową ' jest wyliczany = o R

16 Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh a 1973) Jeżeli jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną a iloczynie kartezjańskim przestrzeni X Y, to złożenie i R oznaczone jako o R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności ( wyrażony wzorem: x X R = x X R sup sup ( = min[ *( x,, ( x, ] min[ ( x), ( x, ] gdzie * jest rozszerzeniem cylindrycznym na przestrzeni X Y,

17 Wnioskowanie klasyczne reguła Modus Ponens Reguła Modus Ponens (klasyczna): Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = TO y = Wniosek/conclusion y = gdzie:, - zbiory rozmyte x, y - zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest czerwony ( x = Pomidor = czerwon Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały JEŚLI ( ) TO ( ) Wniosek: Pomidor jest dojrzały ( y = Pomidor = dojrzał

18 Podstawą wnioskowania w rozmytej logice jest tautologia Uogólniony Modus Ponens: Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = ' Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = TO y = Wniosek/conclusion y = ' gdzie: ', ' oznacza odpowiednio bliski, bliski, ',, ' - zbiory rozmyte x, y - zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest prawie czerwony ( x = ' Pomidor = prawie czerwony ) Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały JEŚLI x = TO y = Wniosek: Pomidor jest prawie dojrzały ( y = ' Pomidor = prawie dojrzały ) Skróty: Uogólniony Modus Ponens UMP Generalised Modus Ponens GMP

19 1. Oblicz relację implikacji Wnioskowanie z jedną regułą ( ( x), ( )) ( x, = I y R 2. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia ' z ' = ' o R = ' o( ) ' Przykład graficzny: ( x, = min [ ( x), ( ] ( x, = max[ min[ ( x), ( x, ] R ' ' R x Dr hab.. Inż.. Kazimierz Duzinkiewicz, prezentacja: Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania

20 Wnioskowanie z jedną regułą interpretacja graficzna reguła: JEŚLI x = TO y = fakt: x = ' wniosek: y = ' 1. Zbiory rozmyte i (x) ( y ) 2. Graficzna interpretacja zbioru ' (x) ' ( x) ' ( x)

21 Wnioskowanie z jedną regułą interpretacja graficzna reguły: IF ( x 1 is 1) ND ( x 2 is 2 ) THEN ( y is ) IF ( x 1 is 1) OR ( x 2 is 2 ) THEN ( y is ) fakty: x 1 = 1' i x 2 = ' 2 wniosek: y = ' 1. Operator ND 2. Operator OR

22 Połączenie wyników przetworzenia kilku reguł (1) R : IF [( x 1 is (2) R : IF [( x 1 is (1) 1 ) ND ( x 2 is (2) 1 ) ND ( x 2 is )] THEN ( y is (1) 2 (2) 2 )] THEN ( y is (1) ) (2) ) Stosując implikację Mamdaniego otrzymujemy: agregacja aktywacja ostateczna akumulacja

23 (1) R : IF [( x 1 is (1) 1 ) ND ( x 2 is (1) 2 )] THEN ( y is (1) ) (2) R : IF [( x 1 is (2) 1 ) ND ( x 2 is (2) 2 )] THEN ( y is (2) ) Wynik przetworzenia dwóch reguł:

24 Załóżmy, że implikację definiujemy za pomocą iloczynu, a definicje t-normy i s-normy nie ulegają zmianie: Jeśli t-norma i implikacja zdefiniowane są za pomocą iloczynu (definicja s-normy nie ulega zmianie) otrzymujemy: Taki sposób agregacji jest najczęściej stosowany w praktyce. Wyznaczenie kształtu ostatecznego wyjścia zbioru rozmytego odbywa się jak w poprzednim przykładzie.