ELEMENTY TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH

Transkrypt

1 ELEMENTY TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH OPRACOWAŁ: M. KWIESIELEWICZ POJĘCIA NIEPRECYZYJNE ODDZIAŁYWANIA CZŁOWIEK-OBIEKT TECHNICZNY OTOCZENIE (Hoang 990: człowieka na otoczenie, np.: ergonomiczna konstrukcja otoczenia, otoczenia na człowieka, np.: temperatura, skład powietrza, człowieka na obiekt, np.: doświadczenie w obsłudze, obiektu na człowieka, np.: złożoność obiektu, wposażenie techniczne, otoczenia na obiekt, np.: warunki klimatczne, obiektu na otoczenie, np.: chałas, emisja substancji szkodliwch. KATEGORIE SUBIEKTYWNE Przkład zmiennch lingwistcznch: niska temperatura, wsoka temperatura, wsoki poziom chałasu, niski poziom chałasu. Cznnik ludzki rzko, zmęczenie, poziom stresu, itd.

2 Podstaw teoretczne modelowania człowiek - obiekt techniczn z zastosowaniem teorii zbiorów rozmtch Podstawowe pojęcia z zakresu teorii zbiorów rozmtch Niech X będzie zbiorem obiektów, zwanm przestrzenią rozważań. Dowoln element ze zbioru X oznaczm przez x. Załóżm ponadto że prznależność elementu x do podzbioru A zbioru X określona jest za pomocą funkcji prznależności A : X [ 0, ]. Zbiór rozmt A zdefiniowan jest następująco (Zadeh 965: Notacja: {(, A(, } A = x x x X A( / A = x x x X n ( / A = x x i= A i i Przkład: Zbiór rozmt mała liczba naturalna określon w przestrzeni X =,,,,,,,,, : rozważań { } mała liczba naturalna = / / / / 4 + / /6 Interpretacja graficzna: (x (x temperatura temperatura niska wsoka temperatura temperatura niska wsoka 0 50 t [ C] Rs.2. Funkcje charakterstczne zbiorów "temperatura niska" i "temperatura wsoka" w sensie logiki klascznej t [ C] Rs.3.Funkcje charakterstczne zbiorów "temperatura niska" i "temperatura wsoka" w sensie logiki rozmtej.

3 Podstawowe operacje na zbiorach rozmtch zdefiniowane są następująco (Zadeh 965, Kacprzk 986 suma zbiorów rozmtch A i B: A B( x = max { A( x, B( x }, przecięcie zbiorów rozmtch A i B: A B( x = min { A( x, B( x } negacja zbioru rozmtego A: A( x = A( x, iloczn kartezjański zbiorów rozmtch A i B (są one zdefiniowane na różnch przestrzeniach rozważań: { } ( x, min ( x, ( C= A B = A B (x (x temperatura temperatura niska wsoka temperatura temperatura niska wsoka 0 50 t [ C] Rs.4. Interpretacja graficzna sum zbiorów rozmtch "temperatura niska" lub "temperatura wsoka" 0 50 Przkład: A = t [ C] Rs.5. Interpretacja graficzna ilocznu zbiorów rozmtch "temperatura niska" i "temperatura wsoka". /. /. /. /. / / X = {,,,,, 23456}. /. / / /. /. / Y = {,,,,, 23456}. B = Iloczn kartezjański: A B= X Y /

4 Definicja. α - przekrojem zbioru rozmtego A ~ X, oznaczonm Aα, nazwam następując zbiór nierozmt: A α = { x X : A ( x α }, α [0, ] Interpretacja graficzna α - przekroju została przedstawiona na rsunku 4: Rs.6. Interpretacja graficzna α - przekroju Twierdzenie o dekompozcji Każd zbiór rozmt A ~ przedstawić w postaci: A = α [ 0, ] αa α, X, można prz czm αa α oznacza zbiór rozmt, którego elementom przpisano następujące stopnie prznależności: α A α (x = α 0 dla x A dla x A α α Definicja Nośnikiem zbioru rozmtego A ~ X, oznaczanm S A nazwam następując zbiór nierozmt: S A = { x X : A ( x > 0 }

5 Rozmt sstem ekspertow Uogólnioną rozmtą regułę wnioskowania modus ponens, można przedstawić prz pomoc następującego schematu (Dubois and Prade 988, Kacprzk 986: IP : Q PP :, WP :!( P Q gdzie: "!" jest złożeniem tpu max-min, I jest implikacją lingwistczną, P przesłanką lingwistczną, W wnioskiem z rozumowania rozmtego. Implikacja rozmta może bć zdefiniowana na różne sposob (Kacprzk 986, Mizumoto 988. W niniejszej prac przjęto iloczn kartezjański (7 (metoda Zadeha i Mamdaniego (Zadeh 973,992. u u 2 Rozmt Sstem Ekspercki Rs.7. Schemat blokow sstemu eksperckiego. W trakcie sntez sstemu eksperckiego wstępują następujące zadania do wkonania: wbór wielkości wejściowch i wjściowch sstemu, dskretzacja przestrzeni rozważań dla wielkości wejściowch i wjściowch, ustalenie reguł wnioskowania, wbór odpowiedniej metod wnioskowania, zastosowanie odpowiedniej metod wostrzania w przpadku, kied oczekujem zmiennej deczjnej rzeczwistej, realizacja sstemu eksperckiego w wbranm środowisku programowm.

6 REGUŁY. If u is low and u is low then is low 2 2. If u is low and u is then is low 3. 2 If u is and u is low then is 2 4. If u is and u is then is, 2 DYSKRETYZACJA ( u ( u 2 ( low low low 0 0 u 0 0 u Rs.8. Dskretzacja przestrzeni rozważań dla zmiennch wejściowch i zmiennej wjściowej.

7 ( u low 0.7 ( u 2 low ( low u u =min(0.7, Rs.9. Rozmte wnioskowanie dla reguł. ( u ( u 2 ( low 0.7 low u u =min(0.7, Rs.0. Rozmte wnioskowanie dla reguł 2. ( u ( u 2 ( low u u =min(0.3, Rs.. Rozmte wnioskowanie dla reguł 3. ( u ( u 2 ( u u =min(0.3, Rs.2. Rozmte wnioskowanie dla reguł 4. ( max w 0 Rs.3. Składanie wniku.

8 Operacje na liczbach rozmtch Wprowadźm definicję liczb rozmtej (Zadeh 965. Definicja. Liczbą rozmtą A nazwam zbiór rozmt określon na zbiorze liczb rzeczwistch R co zapisujem: A ~ R., A : R [0,] Podstawowe operacje na liczbach rozmtch można zdefiniować stosując zasadę rozszerzania (Zadeh 965: Definicja. Niech dana będzie pewna operacja dwuargumentowa na liczbach rzeczwistch: *: R R R Ponadto, niech A i B będą liczbami rozmtmi A, B ~ R, wted operację * można rozszerzć na argument rozmte A i B w następując sposób: C ( z = { A( x B( } sup min, x* = z Dla operacji jednoargumentowch zasada rozszerzania sprowadza się do postaci: Dodawanie: C ( z C ( z = max z = f x ( A ( x { A( x B( } sup min, = x + = z sup min { A( x, B( z x }. = x Jest to szczególn przpadek splotu.

9 LICZBY ROZMYTE W REPREZENTACJI LR Spłaszczona liczba rozmta (ogólnienie przedziału rozmtego ( M = m, m, α, β, LR gdzie m i m są odpowiednio dolną i górną wartością modalną liczb rozmtej M, natomiast α β są odpowiednio jej dolnm i górnm rozrzutem. Funkcja prznależności zdefiniowana jest następująco: M ( x Przpadki szczególne: (( α L m x dla x m, α > 0 dla m < x < m = R( ( x m β dlax m, β > 0 0 w pozostałch przpadkach 00, liczba rzeczwistą m jeśli M = ( m, m,, LR przedział liczbow [a,b] jeśli = (,,, liczbę rozmtą = (,, α, β, M a b00, LR M m m LR formę trapezoidalną i trójkątną liczbę rozmtą jeśli zastosujem następującą funkcję Lu ( = Ru ( = max ( 0, u odpowiednio dla przedziału rozmtego M i dla liczb rozmtej M.

10 Podstawowe operacje algebraiczne dotczące przedziałów rozmtch opisane są w pracach (Dubois and Prade 979a, 979b, 980, 988: Dodawanie ( ab,, α, β ( cd,, γ, δ ( a cb, d, α γ, β δ Odejmowanie = LR LR LR ( ab,, α, β ( cd,, γ, δ ( a db, c, α δ, β γ LR RL = + +. Mnożenie (dla dodatnich przedziałów rozmtch ( a, b, α, β ( c, d, γ, δ ( ac, bd, cα aγ, dβ bδ = + +. LR LR LR LR

11 Laarhoven and Pedrcz (983 proponują inną notację dla trójkątnej liczb rozmtej. Z powodzeniem można ją zastosować dla form trapezoidalnej: M = l, m, m, u ( gdzie m i m są odpowiednio dolną i górną wartośćią modalną form trapezoidalnej M, natomiast l oraz u są odpowiednio jej dolną i górną wartością. Funkcja prznależności zdefiniowana jest następująco: M ( x m l x l dla l x m m l = dla m < x < m, m u x u dla m x u m u 0 w pozostałch przpadkach Podstawowe opearcje algebraiczne będą zdefiniowane następująco: Dodawanie ( la, ma, ma, ua ( lb, mb, mb, ub ( la lb, ma mb, ma mb, ua ub Odejmowanie = ( la, ma, ma, ua ( la, ma, ma, ua ( la ub, ma mb, ma mb, ua lb Mnożenie (dla dodatnich form trapezoidalnch =. ( l, m, m, u ( l, m, m, u = ( ll, mm, mm, uu a a a a b b b b a b a b a b a b

12 Podstawowe operacje algebraiczne dla przedziałów liczbowch zdefiniowane są następująco (Moore 966: Dodawanie l, u l, u = l + l, u + u. Odejmowanie [ a a] [ b b] [ a b a b] [ la, ua] [ la, ua] [ la ub, ua lb] =. Mnożenie (dla dodatnich przedziałów liczbowch [ la, ua] [ lb, ub] = [ lalb, uaub] Nguen (978 udowodnił, że dla podstawowch operacji algebraicznch na liczbach rozmtch tzn. dla dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia równoważnm z zasadą rozszerzania jest następując algortm: rozłożć dane liczb rozmte na skończoną liczbę α - przekrojów w wniku dla każdej liczb rozmtej otrzmam taką samą skończoną liczbę przedziałow liczbowch, wkonać operacje algebraiczne dla każdego α - przekroju oddzielnie korzstając z artmetki przedziałowej złożć wnik. Twierdzenie Jeśli funkcja f :R R R jest ciągła, funkcje charakterstczne liczb rozmtch A i B są kawałkami ciągłe oraz ich nośniki są zwarte, wówczas: f A, B = f A, B. [ ( ] ( α α α