Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Logika rozmyta. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska

Transkrypt

1 Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Logika rozmyta dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1

2 Wyostrzanie Ostateczna, ostra wartość z Zbiór rozmyty C z jest C1 (0.1) z jest C2 (0.2) z jest C3 (0.6) Metoda Środka Ciężkości (Center of Gravity, Center of Area) 2

3 Wyostrzanie 1 Ostateczna, ostra wartość z 0 a b z Zbiór rozmyty C spełnia Metoda maksimum funkcji przynależności 3

4 Wyostrzanie 1 jest nazywany środkiem (ang. Center) zbioru rozmytego 0 a b z N liczba reguł k numer reguły spełnia zależność Metoda Center Average Defuzzification 4

5 Wyostrzanie 1 jest nazywany środkiem (ang. Center) zbioru rozmytego 0 a b z Metoda Center of Sums Defuzzification 5

6 Wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie w stylu Mamdaniego. Wnioskowanie w stylu Takagi - Sugeno. 6

7 Wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie w stylu Mamdaniego. IF x jest A1 AND y jest B2 THEN z jest Z1 A1, B2 oraz Z1 są wartościami lingwistycznymi opisywanymi za pomocą zbiorów rozmytych. 7

8 Wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie w stylu Takagi - Sugeno. IF x jest A1 AND y jest B2 THEN z = f(x, y) A1 oraz B2 są wartościami lingwistycznymi opisywanymi za pomocą zbiorów rozmytych. z przyjmuje wartość zależną od x oraz y, np. wielomian pierwszego stopnia: z = a*x + b*y + c lub stała: z = 13 Tutaj w konkluzji reguły nie ma zbioru rozmytego! 8

9 Wnioskowanie rozmyte x1, x2 wartości ostre Główne etapy wnioskowani a rozmytego: Rozmywanie (Fuzzyfication) Sprawdzenie reguł rozmytych (Rule evaluaion) Agregacja odpowiedzi reguł rozmytych (Aggregation of the rule outputs) Wyostrzanie (Defuzzyfication) y wartość ostra 9

10 Wnioskowanie rozmyte Reguła 1: IF x jest A3 OR y jest B1 THEN z jest C1 Reguła 2: IF x jest A2 AND y jest B2 THEN z jest C2 Reguła 3: IF x jest A1 THEN z jest C3 10

11 Sterownik Takagi-Sugeno... Ogólna postać reguł Numer reguły Numer zmiennej wejściowej 11

12 Sterownik Takagi-Sugeno Krok 1: Obliczanie stopnia aktywacji reguł dla sygnału wejściowego (wektor stanu obiektu): 12

13 Sterownik Takagi-Sugeno Dla reguły 1 obliczamy: oraz stopień aktywacji reguły 1: 13

14 Sterownik Takagi-Sugeno Krok 2: Obliczamy odpowiedź reguły 1: 14

15 Sterownik Takagi-Sugeno Powtarzamy dla każdej reguły 1... N: 15

16 Sterownik Takagi-Sugeno Odpowiedź sterownika Takagi - Sugeno jest znormalizowaną sumą ważoną poszczególnych wyjść 16

17 Sterownik Takagi-Sugeno W przypadku liniowym bazę reguł sterownika można zapisać jako dla k = 1,..., N 17

18 Sterownik Takagi-Sugeno Przykład: 18

19 Sterownik Takagi-Sugeno 1 MAŁE DUŻE x1 19

20 Sterownik Takagi-Sugeno MAŁE 1 ŚREDNIE x2 20

21 Sterownik Takagi-Sugeno Wyznaczymy sygnał wyjściowy dla oraz 21

22 Sterownik Takagi-Sugeno 1 MAŁE DUŻE x1 = 2 x1 22

23 Sterownik Takagi-Sugeno MAŁE 1 ŚREDNIE x2 = 3 x2 23

24 Sterownik Takagi-Sugeno Wyznaczymy sygnał wyjściowy dla oraz Otrzymujemy: oraz (zamiast min może tu wystapić również iloczyn) 24

25 Sterownik Takagi-Sugeno Odpowiedź reguły 1: Odpowiedź reguły 2: Ostateczna odpowiedź sterownika: 25

26 Funkcje aktywacji Klasa s 26

27 Funkcje aktywacji Klasa s a = 120 b = 150 c =

28 Funkcje aktywacji Klasa pi 28

29 Funkcje aktywacji Klasa pi b = 30 c =

30 Funkcje aktywacji Klasa gamma 30

31 Funkcje aktywacji Klasa gamma a = 150 b =

32 Funkcje aktywacji Klasa t (trójkątna) 32

33 Funkcje aktywacji Klasa t (trójkątna) a = 130 b = 150 c =

34 Funkcje aktywacji Klasa L 34

35 Funkcje aktywacji Klasa L a = 150 b =

36 Funkcje aktywacji Trapezoidalna 36

37 Funkcje aktywacji Trapezoidalna a = 120 b = 140 c = 160 d =

38 Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a cetrum b nachylenie c - szerokość 38

39 Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a = 150 b = 5 c = 20 39

40 Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a = 150 b = 20 c = 20 40

41 Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a = 150 b = 5 c = 30 41

42 Funkcje aktywacji Funkcja Gaussa a centrum b - szerokość 42

43 Funkcje aktywacji Funkcja Gaussa a = 150 b = 20 43

44 Funkcje aktywacji Funkcja Gaussa a = 150 b = 80 44

45 Funkcje aktywacji Funkcje gładkie są wolniejsze w obliczeniach, jednak są różniczkowalne w każdym punkcie dziedziny. Jest to istotne podczas budowania systemów neuronowo-rozmytych, które mają być uczone metodami gradientowymi, gdzie występuje konieczność liczenia pochodnych cząstkowych. 45

46 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych W przypadku przesłanek reguł z kilkoma jednostkowymi warunkami połączonymi operacją AND istnieje konieczność dokonania operacji przecięcia zbiorów rozmytych (iloczyn zbiorów rozmytych). W przypadku wystąpienia wielu reguł z wnioskami w postacie zbiorów rozmytych (styl Mamdaniego) istnieje konieczność zagregowania odpowiedzie wszystkich reguł, czyli dokonania sumy zbiorów rozmytych. Operacje te można zdefiniować na kilka sposobów. 46

47 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 47

48 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 48

49 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 49

50 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 50

51 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 51

52 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 52

53 Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych Powyższe funkcje są przykładami T-norm oraz S-norm 53

54 Rozmyte implikacje Aby przeprowadzić rozmyte wnioskowanie, należy również zdefiniować rozmytą implikację, czyli sposób obliczania funckji przynależności wynikowego zbioru rozmytego danej reguły. 54

55 Iloczyn skalarny zbiorów rozmytych lub 55

56 Rozmyte implikacje Reguła typu minimum: Reguła typu iloczyn: Reguła Łukasiewicza: 56

57 Rozmyte implikacje Reguła typu max-min (reguła Zadeha): Reguła binarna: Reguła Goguena: 57

58 Rozmyte implikacje Reguła Sharpa: Reguła Godela: 58

59 Rozmyte implikacje Reguła probabilistyczna: Reguła ograniczonej sumy: 59

60 Rozmyte wnioskowanie Wnioskowaniem rozmytym z punktu widzenia matematyki nazywamy złożenie zbioru rozmytego (A') oraz rozmytej implikacji (A B). W wyniku otrzymujemy również zbiór rozmyty B'. operacja złożenia rozmyta implikacja 60

61 Rozmyte wnioskowanie Uogólniona rozmyta reguła wnioskowania modus ponens operacja T-normy Uogólniona rozmyta reguła wnioskowania modus tollens 61

62 Rozmyte wnioskowanie Aby przeprowadzićrozmyte wnioskowanie, należy zatem zdefiniować: T-normę wykorzystaną w operacji złożenia Sposób wykonywania iloczynu skalarnego zbiorów rozmytych Sposób wykonywania rozmytej implikacji Sposób agregacji zbiorów rozmytych będących wnioskami poszczególnych reguł (S-normę) Dodatkowo: Sposób rozywania Sposób wyostrzania 62

63 Rozmyte wnioskowanie Wszystkie te operacje się uprszaczają, jeśli przyjętym sposobem rozmywania jest singleton. Singleton to zbiór rozmyty, do którego jeden element (jedna wartość) należy w stopniu 1, a wszystkie inne w stopniu 0. Znacznie upraszcza to wykonanie operacji sup. 63