Systemy przetwarzania sygnałów

Transkrypt

1 Sstem przetwarzania sgnałów x(t) (t)? x(t) Sstem przetwarzania sgnałów (t)

2 Sstem przetwarzania sgnałów sgnał ciągł x(t) (t)=h(x(t)) Sstem czasu ciągłego (t) np. megafon - wzmacniacz analogow sgnał dskretn x(n) (n)=h(x(n)) Sstem czasu dskretnego (n) np. model pogłosu: (n)=.*(n-) +x(n), filtr cfrowe t ciągła zmienna czasu n dskretna zmienna czasu n =,, N,

3 Właściwości sstemów przetwarzania sgnałów. Sstem z pamięcią i bez pamięci. Sstem odwracalne i nieodwracalne 3. Sstem przcznowe i nieprzcznowe 4. Sstem stabilne i niestabilne 5. Sstem liniowe i nieliniowe 6. Sstem niezmienne względem czasu (przesunięcia) i zmienne względem czasu 3

4 Sstem z pamięcią i bez pamięci Sgnał wjściow sstemu bez pamięci w chwili n zależ tlko od sgnału wejściowego w tej samej chwili, np.: n 3x n x n Sgnał wjściow sstemu z pamięcią w chwili n zależ sgnału wejściowego wstępującego w chwilach czasu kn, np.: n n xk xn n n xn 4

5 Sstem przcznowe Sstem jest przcznow gd jego sgnał wjściow w chwili n jest zależn tlko sgnału wejściowego w chwili n i/lub sgnału wejściowego z chwil przeszłch, np.: n xn x( n ) n xn x( n ) nieprzcznow 5

6 Sstem stabilne/niestabilne Sstem jest stabiln jeżeli dla sgnału wejściowego x(n) spełniającego warunek x(n) <A (gdzie: A jest stałą o ograniczonej wartości) próbki wtwarzane wjściu sstemu spełniają warunek (n) <B (gdzie: B jest również stałą o ograniczonej wartości). Któr z poniższch sstemów jest stabiln? a) b) c) d) n x 3 ( n) n n a n u n n k x( n) n N n x n gdzie u(n) jest sekwencją impulsów jednostkowch gdzie k jest stałą 6

7 Sstem jednorodne Jeżeli: x(n) Sstem (n) to: k x(n) Sstem k (n) 7

8 Sstem addtwne Jeżeli: x(n) Sstem (n) oraz: x(n) Sstem (n) to: x(n) + x(n) Sstem (n) + (n) 8

9 Sstem liniowe Jeżeli sstem jest jednorodn i addtwn to jest liniow. jednorodn addtwn liniow 9

10 Zasada superpozcji Sstem linowe spełniają zasadę superpozcji: ax n bx n ahx n bhbx n a n b n H tj. odpowiedź sstemu liniowego na sumę sgnałów wejściowch jest równa sumie odpowiedzi sstemu na poszczególne sgnał składowe. Przkład sstemu liniowego: Przkład sstemu nieliniowego: n n 3x x n n

11 Sstem liniowe Cz sstem: Niech: x n xn n i x n 3 jest liniow? Nie! n x n 5 Jednakże: n x n 7 n x n x n n n 3 Wniosek: Odpowiedź sstemu liniowego na zerowe pobudzenie jest?

12 Sstem liniowe Cz sstem: n xn liniow? Zasada superpozcji mówi: Jednak: a ax n bx n a n b n H n bx n ax n bx n ax n bx n H ax n b n ax n bx n a b

13 Sstem liniowe. Któr z poniższch sstemów jest liniow? Pokaż obliczenia. a) n 3x( n) b) n N n x n c) d) e) f) n k x( n) n x ( n) t alog( x( t)) t t x( ) d o 3

14 Sstem liniowe niezmienne względem przesunięcia Sstem niezmienne względem przesunięcia posiadają następującą właściwość: Jeżeli (n) jest odpowiedzią sstemu na pobudzenie x(n) to (n-k) jest odpowiedzią sstemu na x(n-k). n H xn n k Hxn k Skoncentrujem się na sstemach liniowch niezmiennch względem przesunięcia. 4

15 Sstem liniowe niezmienne względem przesunięcia Pokażem, że dla sstemów liniowch niezmiennch względem przesunięcia, znajomość odpowiedzi sstemu na pobudzenie impulsowe (n) pozwala wznaczć odpowiedź sstemu na dowoln sgnał wejściow. (n) Odpowiedź impulsowa h(n) Sstem liniow 5

16 Sgnał ciągł a sgnał dskretn - ciąg impulsow Diraca Impuls jednostkow: n dla dla n k k n n n k n= n n n=k n 6

17 Sgnał ciągł a sgnał dskretn xt x(t) k x n = k x(nt) t n x k n xt n k 3 Dt n 7

18 Definicja sgnału dskretnego Sgnał dskretn jest ciągiem impulsowm {x(ndt)} dla Dt= {x(), x(), x(k), } x(ndt) x 3 k n xk n k Dt n 8

19 Sgnał dskretn - przkład x(ndt) x(-) - 3 Dt n x n x n x n x n x n 9

20 Odpowiedź sstemu liniowego na pobudzenie sgnałem dskretnm k Sgnał wejściow x(n): xn xk n k Odpowiedź impulsowa: hn H n Odpowiedź sstemu na sgnał wejściow x(n) obliczam korzstając z zasad superpozcji: k k n H xk n k xk H n k xk hn k k

21 Odpowiedź sstemu liniowego na pobudzenie sgnałem dskretnm Sgnał wejściow x(n): x k n xk n k Sgnał wjściow (n): k k n xk hn k xn khk

22 Przkład splotu x h n,, n [, ] x(k) h(k) - 3 k - 3 k k n xn khk x(-k) k x khk x h k - - k

23 Przkład splotu x h n,, n [, ] x(k) h(k) - 3 k - 3 k k n xn khk x(-k) k x khk x h k x( ) h()... x( ) h() - - k 3

24 Przkład splotu x h n,, n [, ] x(k) h(k) - 3 k - 3 k k n xn khk x(-k) k x khk x h k x( ) h()... x( ) h() - - k 4

25 Przkład splotu x h n,, n [, ] x(k) h(k) - 3 k - 3 k k n xn khk x(3-k) k 3 x3 khk x3 h k x(3 ) h() x(3 ) h() - k 5

26 Wnik splotu x(k) h(k) x h n n [ ] - 3 k k n xn hn xk hn k n xn hn [ ] (n) - 3 k - 3 n 6

27 Splot (ang. Convolution) Dla sgnałów ciągłch : t xt ht x ht d Dla sgnałów dskretnch: k n xn hn xk hn k Warto spojrzeć na stronę internetową: 7

28 Odpowiedź sstemu liniowego na pobudzenie sgnałem okresowm Niech sgnał wejściow: x n e jn Sgnał wjściow (n): jnk n xn khk e hk e jn k k k k e jk h k k xnh j n H e j n H e 8

29 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h Splot

30 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h Splot

31 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h Splot

32 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h Splot

33 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h Splot

34 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h Splot

35 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h * Splot

36 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h * Splot

37 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h * Splot

38 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h * Splot

39 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h * Splot

40 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Sgnał h * Splot

41 Splot (ang. Convolution) k n xn hn xk hn k Sgnał x Zwróć uwagę na długość sgnału wnikowego. Sgnał h Porównaj sgnał wnikow z sgnałem wejściowm Splot L M N

42 Splot - przkład h(t) - t x(t) t x ht d -Dt -Dt Dt Dt t Wznacz (t)= x(t) h(t), dla: Dt=4, Dt=, Dt=3/ i Dt= 4

43 conv(x,h) x h Splot - przkład Dt=

44 conv(x,h) x h Splot - przkład Dt=

45 conv(x,h) x h Splot - przkład Dt=

46 conv(x,h) x h Splot - przkład Dt=

47 Splot Równanie: k n xk hn k xn hn jest nazwane splotem (konwolucją), x(n) z h(n), tj. ciągu wejściowego z odpowiedzią impulsową sstemu. Zachodzi: k k n xk hn k hk xn k 47

48 Obliczanie splotu x(k) x(n-k) x(-k) x(-k) h(k) k k k h(k) k k n hk xn k k 48

49 Obliczanie splotu - przkład Niech jest dan sstem liniow H(.): Odpowiedź impulsowa sstemu: x(n) Dt / / h (n) n xn xn n n n h(n) / (n) h(.) 49

50 Obliczanie splotu - przkład Sgnał odp. Imp x()= h()= x()= h()= x()= h()= k n hk xn k k n xk hn k () = x()h() + x()h(-) + x()h(-) = ++ = () = x()h() + x()h() + x()h(-) = ++ = () = x()h() + x()h() + x()h( ) = ++ = (3) = x()h(3) + x()h() + x()h( ) = ++ = (4) =. 5

51 Obliczanie splotu - przkład Sgnał odp. Imp x()= h()= x()= h()= x()= h()= k n hk xn k k n xk hn k () = x()h() + x()h(-) + x()h(-) = ++ = () = x()h() + x()h() + x()h(-) = ++ = () = x()h() + x()h() + x()h( ) = ++ = 3 (3) =.. (4) =. 5

52 Nieskończona odpowiedź impulsowa Odpowiedź impulsowa sstemu może bć nieskończona: n a n xn Sprzężenie zwrotne x(n) (n) a (n-) a (n-) Dt Dla jakich wartości współcznnika a sstem ten jest stabiln? 5

53 Ptania. Sgnał dskretn w czasie można zdefiniować jako: a) kombinację liniową ważonch, jednostkowch funkcji impulsowch b) kombinację liniową kolejno opóźnianch jednostkowch funkcji impulsowch c) kombinację liniową jednostkowch funkcji impulsowch d) kombinację liniową ważonch i kolejno opóźnianch jednostkowch funkcji impulsowch. Znajomość funkcji impulsowej umożliwia w pełni scharakterzować: a) liniow sstem bez pamięci b) sstem liniow c) sstem niezmienn względem przesunięcia d) sstem liniow, niezmienn względem przesunięcia 53

54 Splot jako filtracja Przekład: Oblicz splot sgnału EKG z odpowiedzią impulsową: h n k n xn k k

55 Splot jako filtracja # Pthon (interactive mode) from scip.io import loadmat,savemat ecg=loadmat('ecg_all.mat')['ecg_s'] #load ecg signal and assign to variable ecg ecg=reshape(ecg,len(ecg)) #reshaping required for.mat files plot(ecg) h=/4.*ones(4) #define impulse response h =convolve(h,ecg) #result of filtering plot() k 3 k n hxn h xn h3xn 3 hk xn k 55

56 Splot jako filtracja.6 Sgnał EKG Odpowiedź impulsowa filtru

57 Splot jako filtracja.6.4. Wnik filtracji splotowej Filtr wgładzając x conv(x,h) 57

58 Splot filtr cfrowe x(k) współcznniki ruchomej średniej b współcznniki autoregresji (k) z - z - x(k-) b a (k-) z - z - x(k-) b a (k-) z - z - x(k-m) b M a N (k-n) 58

59 Podsumowanie. Rodzaje sstemów przetwarzania sgnałów dskretnch. Własności sstemów 3. Sstem liniowe niezmienne względem przesunięcia 4. Splot - definicja - obliczanie - przkład - filtracja 59