Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji. Tadeusz Trzaskalik
|
|
|
- Angelika Grzybowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji Tadeusz Trzaskalik
2 5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Niepełna informacja Stan natur Macierz wpłat Podejmowanie deczji w warunkach rzka Podejmowanie deczji w warunkach niepewności Reguła maksmalizacji oczekiwanej korzści Decdent z awersją do rzka Decdent ze skłonnością do rzka Użteczność Funkcja użteczności Reguła maksmalizacji oczekiwanej użteczności Deczje jednoetapowe Deczje wieloetapowe Drzewo deczjne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
3 5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Reguł deczjne w warunkach niepewności Regułą ma-min, min-ma, ma-ma Współcznnik ostrożności Reguła minimalnego żalu Teoria gier Gra dwuosobowa o sumie zero Strategia Strategia optmalna Strategia zdominowana Strategia dominująca Punkt siodłow Strategia mieszana T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
4 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Przkład 5. Cena hurtowa: 8 gr/szt, Cena sprzedaż:, zł/szt, Liczba gazet w paczce: szt, Dzień słab : popt 5 szt, częstotliwość 6% Dzień przeciętn : popt szt, częstotliwość % Dzień dobr : popt 5 szt, częstotliwość % Deczja Zsk gazeciarza prz popcie wnoszącm: n=5 n= n=5 = = -9 = - 6 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Reguła maksmalizacji oczekiwanej korzści Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnch stanów natur obliczam oczekiwane korzści dla poszczególnch deczji. Deczją rekomendowaną jest ta, dla której oczekiwana korzść jest maksmalna. EK(=) =,6 +, +, = EK(=) = ( 9),6 +, +, = 5, EK(=) = ( ),6 +, + 6, = 7,8 EK(=) = ( 7),6 + ( 8), + 7, =,6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
6 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Jednoetapowe drzewo deczjne Węzeł deczjn = EK( = ) = = EK( = ) = 5, Węzł losowe = EK( = ) = 7,8 = EK( = ) =,6 a b c d n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
7 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Jednoetapowe drzewo deczjne (c.d.) = EK( = ) = n = (, ) n = 5 (,6 ) 9 = EK( = ) = 5, = EK( = ) = 7,8 = EK( = ) =,6 a b c n = lub n = 5 (,7 ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
8 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Przkład 5. Kapitał gazeciarza na początku pierwszego dnia = 75 Deczje dopuszczalne Strategia - Strategia optmalna - Dzień pierwsz Dzień drugi (75) = (87) = (66) = (99) = (75) = (87) = (66) = (99) = (99) = funkcja przporządkowująca każdemu węzłowi deczjnemu pewną deczję przporządkowuje każdemu stanowi deczję optmalną z punktu widzenia przjętej reguł deczjnej T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
9 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Zadanie dwuetapowe Etap Etap EK( (87)=) = 99 EK( (87)=) = 78,6 +,7 =, EK( (66)=) = 78 EK( (66)=) = 57,6 + 9,7 = 8, EK( (99)=) = EK( (99)=) = 9,6 +,7 =, EK( (99)=) = 58,6 +, + 5, = 6,8 EK( (75)=) =, EK( (75)=) = 8,,6 +,,7 = 5,8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9
10 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Dwuetapowe drzewo deczjne = EK( (75)=) =, Kapitał = 75 = EK( (75)=) = 5,8 a n = 5 lub n = lub n =5 () n = 5 (,6) n = lub n = 5 (,7) = EK( (87)=) = 99 Kapitał = 87 n = 5 lub n = lub n = 5 () = EK( (87)=) =, n = lub n = 5 (,7) = EK( (66)=) = 78 Kapitał = 66 b n = 5 (,6) n = 5 lub n = lub n = 5 () = EK( (66)=) = 8, n = lub n = 5 (,7) c = EK( (99)=) = n = 5 (,6) n = 5 lub n = lub n = 5 () = EK( (99)=) =, n = lub n = 5 (,7) Kapitał = 99 = EK( (99)=) = 6,8 n = (,) e T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem d n = 5 (,6) n = 5 (,6) n = 5 (,)
11 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Strategia optmalna Etap Węzeł deczjn Deczja optmalna = = = = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
12 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Funkcja użteczności prz awersji do rzka u ) = ( Deczja = = = =,, < Wartości funkcji użteczności u prz popcie wnoszącm: n = 5 n = n = 5,6,6,6 8, 8,99 8,99 68, 7, 6 5,9, 6,8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
13 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Zastosowanie reguł maksmalizacji oczekiwanej użteczności Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnch stanów natur obliczam oczekiwane użteczności dla poszczególnch deczji. Deczją rekomendowaną jest ta, dla której oczekiwana użteczność jest maksmalna. Eu (=) =,6,6 +,6, +,6, =,6 Eu (=) = ( 8,),6 + 8,99, + 8,99, =,5 Eu (=) = ( 68,),6 + 7,, + 6, = 8, Eu (=) = ( 5,9),6 + (,), + 6,8, =,8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
14 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Funkcja użteczności prz skłonności do rzka u (, ) = Deczja, < Wartości funkcji użteczności u prz popcie wnoszącm: n = 5 n = n = 5 =,,, = 57,6 57,6 = 6, 9,6 9,6 = 85,, 6,9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
15 5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Zastosowanie reguł maksmalizacji oczekiwanej użteczności Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnch stanów natur obliczam oczekiwane użteczności dla poszczególnch deczji. Deczją rekomendowaną jest ta, dla której oczekiwana użteczność jest maksmalna. Eu (=) =,,6 +,, +,, =, Eu (=) = ( ),6 + 57,6, + 57,6, =,8 Eu (=) = ( 6,),6 + 9,6, + 9,6, = 5,6 Eu (=) = ( 85,),6 + (,), + 6,9, = 7,6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
16 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Przkład 5. Rodzaj upraw Warunki pogodowe Susze Normalne Deszcze Jaką deczję powinien podjąć rolnik nie znając prawdopodobieństw wstąpienia możliwch stanów natur? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 6
17 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Reguła ma-min Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji minimalną korzść, którą możem uzskać biorąc pod uwagę możliwość realizacji kolejnch stanów natur. Wbieram tę deczję, dla której minimalna korzść jest największa. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze min ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
18 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Reguła min-ma. Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji maksmalną stratę, którą możem ponieść biorąc pod uwagę możliwość realizacji kolejnch stanów natur. Wbieram tę deczję, dla której maksmalna strata jest najmniejsza T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
19 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Reguła ma-ma Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji maksmalną korzść, którą możem uzskać biorąc pod uwagę możliwość realizacji kolejnch stanów natur. Wbieram tę deczję, dla której maksmalna korzść jest największa. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze ma ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9
20 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Współcznnik ostrożności a i - minimalna wpłata dla deczji i, A i - maksmalna wpłata dla deczji i, H i (γ) = a i γ + A i ( - γ) γ [, ] - współcznnik ostrożności Wartość charakterzuje skrajną awersję do rzka, wartość skrajną skłonność do rzka. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
21 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Reguła Hurwicza Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji o numerze i wartości: a i, A i oraz H i (γ). Wbieram tę deczję, dla której wartość H i (γ) jest największa. Rodzaj upraw Warunki pogodowe Susze Normalne Deszcze min ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem H i (γ-=,5) 9,5 8,5 9,5 ma
22 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Funkcja H H (γ) = 8 γ + ( γ) H (γ) H (γ) = 8 γ + (γ) 8 O γ T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
23 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Funkcja H H 5 H (γ) = 8 γ + ( γ) H (γ) = 7 γ + ( γ) H (γ) = 8 γ + ( γ) H (γ) = 6 γ + ( γ) H 5 (γ) = 9 γ + ( γ) H(γ) O γ T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
24 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (5/5) Rozwiązanie w zależności od wartości współcznnika ostrożności H(γ) = ma { H (γ), H (γ), H (γ), H (γ), H 5 (γ) } H (γ) = 8 γ + (γ) A H 5 (γ) = 9 γ + (γ) B H (γ) = 8 γ + (γ) C H (γ) = 7α + (γ) H (γ) = 6 γ + (γ) O γ T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
25 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguła braku dostatecznej racji (/) Reguła Laplace a Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji oczekiwaną korzść, przjmując, że realizacje kolejnch stanów natur są równie prawdopodobne. Wbieram tę deczję, dla której oczekiwana korzść jest największa. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze Oczekiwana korzść / 8/ / 7/ 9/ ma ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
26 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguła minimalnego żalu (/) Macierz żalu Pozwala na określenie utraconch korzści, związanch z podjęciem deczji, która okazała się nietrafna w kontekście zrealizowanego stanu natur. w * j - maksmalna wartość w j-tej kolumnie macierz wpłat, w ij - korzści dla deczji =i oraz j-tego stanu natur, z ij - element macierz żalu: z ij = w * j w ij W 8 = w * j Z = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 6 5 6
27 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguła minimalnego żalu (/) Reguła Savage a Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdego stanu natur wartości maksmalnch korzści w * j i tworzm macierz żalu Z. Dla kolejnch deczji znajdujem maksmalne wartości macierz Z. Wbieram deczję, która minimalizuje największą możliwą stratę. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze Maksmaln żal min min T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 7 5 6
28 5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności Porównanie wników uzskanch prz zastosowaniu różnch reguł deczjnch (/) Zestawienie reguł Reguła deczjna Ma-min Rekomendowana deczja 5 Ma-ma Hurwicza Laplace a, Savage a, 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
29 ach niepełnej informacji S spędzić po jednm dniu w mieście A i mieście B S spędzić obdwa dni w A S spędzić obdwa dni w B. 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie dominujące i zdominowane (/) Przkład Podejmowanie deczji w warunka T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9 = 5 W = 5 W = 5 W Macierze wpłat Macierze wpłat
30 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie dominujące i zdominowane (/) Eliminacja strategii zdominowanch Dominacja strategii Strategia dominująca W = 5 = Strategia zdominowana Strategia niezdominowana W = W W = [ ] W = [ ] 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
31 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Punkt siodłow (/) Definicja w I * - w II * - Jeżeli wpłata gracza I otrzmana prz wkorzstaniu strategii S I (i*) wbranej prz pomoc reguł ma-min. wpłata gracza II otrzmana prz wkorzstaniu strategii S II (j*) wbranej prz pomoc reguł min-ma. w I * = w II * racjonalne oczekiwania Gracza I spotkają się z racjonalnmi oczekiwaniami Gracza II (S I (i*), S II (j*) ) - punkt siodłow O ile istnieje punkt siodłow, jest on rozwiązaniem optmalnm gr. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
32 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Punkt siodłow (/) Przkład 5.5 Gracz I Gracz II S II S II S II S II S II 5 S I 8 5 S I S I S I S I 5 ma min min ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
33 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Przkład 5.6 Człowiek Kogut Robak min Człowiek Kogut Robak ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
34 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Definicje Wektor wierszow = [,,, m ] taki, że i m = nazwam strategią mieszaną gracza I. Wektor kolumnow = [,,, n ] taki, że j n = nazwam strategią mieszaną gracza II. oraz oraz Strategia czsta jest szczególnm przpadkiem strategii mieszanej, w której ustaloną strategię wbieram z prawdopodobieństwem. w I (, ) w II (, ) oczekiwana wpłata Gracza I, o ile będzie on stosował strategię, a Gracz II strategię. oczekiwana wpłata Gracza II, o ile będzie on stosował strategię, a Gracz I strategię. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
35 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Oczekiwana wpłata gracza I Gracz I stosuje strategię * = [ *, *, * ] Gracz II stosuje strategię = [,, ] Strategia S I [ + + () ] * Strategia S I Strategia S I S S S I I I [() + + ] * [ + () + ] * czli - w I ( *, ) = ( ) * + ( + ) * + ( ) * - - T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
36 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Oczekiwana wpłata gracza II Gracz I stosuje strategię = [,, ] Gracz II stosuje strategię * = [ *, *, * ] Strategia S II [ + () + ] * Strategia S II Strategia S II [ + + () ] * [() + + ] * czli S II - w II (, * ) = ( + ) * + ( ) * + ( + ) * S II - S - T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 6 II
37 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (5/7) Przpadek ogóln m liczba strategii Gracza I n liczba strategii Gracza II w w I ( * W, ) = = m i= w w... wm ( w w w w... m + w... w... w T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 7 w n n... mn w n n * II (, ) = ( w + w wmm ) j= n ) * i * j
38 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (6/7) Podstawowe twierdzenia Twierdzenie Dla dowolnej strategii Gracza I oraz Gracza II zachodzi związek: Twierdzenie w I (, ) w II (, ) Istnieje para strategii optmalnch * oraz * taka, że: Twierdzenie w I ( *, * ) = w II ( *, * ) Wartość v oraz strategie optmalne * oraz * wznaczam przez rozwiązanie następującch zadań programowania liniowego, sformułowanch dla poszczególnch gracz: Gracz I v ma W v = Gracz II v min W v = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
39 ach niepełnej informacji,, ma = Gracz I,, min = Gracz II 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (7/7) Wznaczenie optmalnch strategii mieszanch 5. Podejmowanie deczji w warunka T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9,,,,,, ma = + + +,, min = Rozwiązanie optmalne,,,, * * * * = = = =,,,, * * * * = = = =
40 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5. Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji
PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 5 PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH NIEPEŁNEJ INFORMACJI 5.2. Ćwiczenia komputerowe
Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka. Zajęcia 2
Przedsiębiorczość i Podejmowanie Ryzyka Zajęcia 2 Reguły podejmowania decyzji w warunkach niepewności Wybór spośród A1, A2,, Am alternatyw (decyzji dopuszczalnych, opcji, działań), gdzie relatywna użyteczność
Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Gry z naturą 1. Przykład
Gry z naturą 1 Gry z naturą to gry dwuosobowe, w których przeciwnikiem jest natura. Przeciwnik ten nie jest zainteresowany wynikiem gry, a więc grę rozwiązuje się z punktu widzenia jednego z graczy. Optymalną
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Programowanie wypukłe i kwadratowe. Tadeusz Trzaskalik
Proramowanie wpukłe i kwaratowe Taeusz Trzaskalik 6.. Wprowazenie Słowa kluczowe Zaanie proramowania nielinioweo Ekstrema lobalne i lokalne Zbior wpukłe Funkcje wklęsłe i wpukłe Zaanie proramowania wpukłeo
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Elementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.
mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w
Badania operacyjne i teorie optymalizacji
Badania operacyjne i teorie optymalizacji dr Zbigniew Karwacki Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Katedra Badań Operacyjnych Centrum Informatyczno-Ekonometryczne pok. E-137 Środa, 16.30-18.00 zakarwacki@uni.lodz.pl
Minimalizacja kosztów
Minimalizacja kosztów 1. (na wkładzie) Firma genealogiczna Korzenie produkuje dobro korzstając z jednego nakładu x użwając funkcji produkcji f(x) = x. (a) Ile jednostek x jest potrzebnch do wprodukowania
PODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM. cz. 6. dr BOŻENA STARUCH
PODSTAWY WSPOMAGANIA PODEJMOWANIA DECYZJI W ZARZĄDZANIU BEZPIECZEŃSTWEM cz. 6 dr BOŻENA STARUCH bostar@matman.uwm.edu.pl Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia
Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5
Tworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Czym jest użyteczność?
Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,
Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
PODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstawy optymalizacji konstrukcji, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 2005]
![PODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstawy optymalizacji konstrukcji, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 2005]](/thumbs/63/49371066.jpg "PODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstawy optymalizacji konstrukcji, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 2005]")
PODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstaw optmalizacji konstrukcji, Wd. Politechniki Poznańskiej, 2005] POW Problem optmalnego wboru PWOW Problem wielokrterialnego wboru OW Optmalizacja wielokrterialna
f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 2006
dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, 26 Gra z naturą polega na tym, że przeciwnikiem jest osoba, zjawisko naturalne, obiekt itp. nie zainteresowany wynikiem gry. Strategia, którą podejmie przeciwnik ma charakter
Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1
1 Optymalizacją wielokryterialną nazwiemy próbę znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x 1,x 2,,x k ], który spełnia warunki ograniczające: g i (x) 0 (i = 1 m), h i (x) = 0 (i = 1 p) oraz optymalizuje
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Gry w postaci normalnej
Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać
8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności
8. Podejmowanie Decyzji przy Niepewności Wcześniej, losowość (niepewność) nie była brana pod uwagę (poza przypadkiem ubezpieczenia życiowego). Na przykład, aby brać pod uwagę ryzyko że pożyczka nie zostanie
Metody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)
euler-przkl_.xmcd Metod Eulera i Eulera-Cauch'ego rozwiązwania równań różniczkowch zwczajnch ' ( x, ) : x () + Rozwiązanie dokładne równania () ( x, C) : + C exp( atan( x) ) () Sprawdzenie: d dx ( x, C)
Wyznaczanie strategii w grach
Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie
BADANIA OPERACYJNE Tomasz Łukaszewski
BADANIA OPERACYJNE Tomasz Łukaszewski 3.03.06 Tomasz Łukaszewski - Badania Operacjne Spis Treści WSTĘP 3 PROGRAMOWANIE LINIOWE 7. WPROWADZENIE 7.. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA ZADANIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji
1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu
Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Strategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacyjnego z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych
Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacjnego z zakresu przedmiotów matematczno-przrodniczch Z a d a n i a z a m k n i ę t e Numer zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3
Teoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:
1. Opierał się wyłącznie na strategiach czystych, a, jak wiadomo, gra może mieć jedyne równowagi w strategiach mieszanych.
Rozdział 4 Uczenie się w grach Na dzisiejszym wykładzie robimy krok w tył w stosunku do tego, o czym mówiliśmy przez ostatnie tygodnie. Dotychczas mówiliśmy o dowolnych grach wieloetapowych, dziś opowiem
ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP
ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP. Podstawowe związki (równania równowagi, liniowe i nieliniowe związki geometrczne, związki fizczne, warunki brzegowe) w zapisie wskaźnikowm
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik
Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja
Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Materiały wykładowe (fragmenty)
Materiały wykładowe (fragmenty) 1 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7
Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak
Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Wektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Prognozowanie i symulacje
Prognozowanie i smulacje Lepiej znać prawdę niedokładnie, niż dokładnie się mlić. J. M. Kenes dr Iwona Kowalska ikowalska@wz.uw.edu.pl Prognozowanie meod naiwne i średnie ruchome Meod naiwne poziom bez
TEORIA GIER DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) GRA. jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w
TEORIA GIER GRA DEFINICJA (VON NEUMANN, MORGENSTERN) Gra składa się z zestawu reguł określających możliwości wyboru postępowania jednostek (graczy) znajdujących się w sytuacji konfliktowej (konflikt interesów),w
Równania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Teoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier Strategie stabilne ewolucyjnie 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 1 John Maynard Smith (1920-2004) 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 2 Hawk- Dove Game Przedstawimy uproszczony model konfliktu omówiony w
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe
51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
OPTYMALIZACJA JEDNOSTADIALNEGO STEROWANIA WIELKOŚCIĄ ZAPASU W LOGISTYCZNYCH SYSTEMACH ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI
POLITECHNIKA ŚLĄSKA Wydział Inżynierii Materiałowej i Metalurgii KATEDRA INŻYNIERII PRODUKCJI OPTYMALIZACJA JEDNOSTADIALNEGO STEROWANIA WIELKOŚCIĄ ZAPASU W LOGISTYCZNYCH SYSTEMACH ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MARCA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Stężenie roztworu poczatkowo wzrosło
Równania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Badania operacyjne egzamin
Imię i nazwisko:................................................... Nr indeksu:............ Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności W stronę teorii decyzji 2011-12-29 Zdzisław Dzedzej 1 2011-12-29 Zdzisław Dzedzej 2 Rybołówstwo na Jamajce W.C. Davenport, Jamaican fishing: a game theory analysis,
Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA
Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet
Nieliniowe PCA kernel PCA
Monitorowanie i Diagnostka w Sstemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Sstem Sterowania i Podejmowania Deczji Nieliniowe PCA kernel PCA na podstawie: Nowicki A. Detekcja i lokalizacja uszkodzeń
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć
Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:
Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną
EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.
Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Założenia prognostyczne WPF
Załącznik nr 3 do Uchwał o Wieloletniej Prognozie Finansowej Założenia prognostczne WPF Wieloletnia Prognoza Finansowa opiera się na długoterminowej prognozie nadwżki operacjnej, która obrazują zdolność
Mikroekonomia. O czym dzisiaj?
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...
Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób