Trochę zadań kombiatoryczych 1. a ile sposobów moża siedmiu stojących a peroie pasażerów umieścić w trzech wagoach? 2. Na szachowicy o wymiarach umieszczamy 8 ierozróżialych wież szachowych tak aby żade dwie ie biły się. Na ile to moża zrobić sposobów? Jak zmiei się liczba sposobów jeśli założymy, że wieże są rozróżiale? 3. Na ile sposobów moża podzielić 24 studetów a dwie dwuastoosobowe grupy podczas kolokwium? 4. Na ile sposobów moża wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 11 chłopców i 13 dziewczyek, tak by w skład delegacji wchodziło więcej chłopców iż dziewczyek? 5. Ile jest możliwości ustawieia 24 osobowej klasy w szeregu tak, by każdy uczeń stał a miejscu o umerze k, gdzie k 3, zaś ozacza umer uczia a liście w dzieiku. 6. Na ile sposobów moża wybrać 13 kart z 52 kartowej talii tak, by w pewym kolorze mieć 7 kart, zaś w pozostałych po dwie karty? 7. Gramy w pokera talią 24 kartową. Na ile sposobów moża otrzymać z ręki 5 kart staowiących a) parę b) dwie pary c) trójkę d) fulla e) karetę f) kolor g) pokera? 8. Ile różych (iekoieczie sesowych) słów 12 literowych moża ułożyć permutując litery słowa DEGRENGOLADA? 9. Na ile sposobów moża wybrać trzy róże wierzchołki 12 kąta foremego by tworzyły oe trójkąt prostokąty? A rozwartokąty? 10. Na ile sposobów moża rozdać 28 kostek domia czterem graczom? 11. Na ile sposobów moża umieścić N listów w N zaadresowaych kopertach tak, by żade ie trafił do właściwego adresata? 1
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 1 1. Daa jest przestrzeń probabilistycza (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalym i F = 2 Ω. Udowodij, że istieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A) = ω A p ω dla wszystkich A F. 2. Opisać wszystkie przestrzeie probabilistycze z przeliczalym zbiorem zdarzeń elemetarych Ω. 3*. Udowodij, że każde ieskończoe σ-ciało jest ieprzeliczale. 4. Udowodij astępujące tożsamości (lim sup A ) = lim if(a ), (lim if A ) = lim sup(a ), lim if A lim sup A, lim sup(a B ) = lim sup A lim sup B, lim sup A lim if B lim sup(a B ) lim sup A lim sup B, A A lub A A to A = lim sup A = lim if A. 5. Wykaż, że jeśli A = (, x ) oraz x = lim sup x to lim sup A = (, x) lub (, x] oraz oba te przypadki mogą zajść. 6. Udowodij, że astępujące dwie pseudometryki a F ρ 1 (A, B) = (A B) { (A B) ρ 2 (A, B) = (A B) jeśli (A B) > 0 0 jeśli (A B) = 0 spełiają waruek trójkąta. 7*. Rzucamy moetą dopóki ie wypadą dwa orły pod rząd. Zaleźć prawdopodobieństwo, że rzucimy dokładie k razy. 8. Klasa liczy 15 ucziów, a każdej lekcji do odpowiedzi jest losoway jede uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każy uczeń będzie przepytay. 9. W szafie zajduje się par butów, a chybił trafił wybieramy z ich 2k butów przy czym 2k <. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wylosowaych butów jest coajmiej jeda para, b) wśród wylosowaych butów jest dokładie jeda para. 10*. Roztrzepaa sekretarka rozmieściła losowo N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokładie k listów trafiło do właściwej koperty. 11. W rozróżialych urach umieszczoo w sposób losowy k rozróżialych kul. Oblicz prawdopodobieństwo p m (k, ), że dokładie m ur pozostaie pustych 0 m 1. (Wskazówka: policz ajpierw p 0 (k, )). 2
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 2 1. Na loterii jest 10 losów wygrywających, 100 przegrywających i 1000 uprawiających do kolejego losowaia. Jakie jest prawdopodobieństwo wygraia? 2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracaia. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy dokładie 3 asy jeśli wiadomo, że a) mamy coajmiej jedego asa b) mamy asa czarego koloru c) mamy asa pik d) pierwszą wylosowaą kartą jest as e) pierwszą wylosowaą kartą jest czary as f) pierwszą wylosowaą kartą jest as pik. 3.* (schemat urowy olya) Ura zawiera b kul białych i c kul czarych. Wykoujemy kolejo astępujące doświadczeie: losujemy z ury kulę, a astępie wkładamy ją z powrotem do ury, a wraz z ią dokładamy do ury a kul tego samego koloru. Udowodij, że prawdopodobieństwo wylosowaia w -tym losowaiu kuli białej jest b b+c. 4. rawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma dzieci jest rówe { αp = 1, 2,... p = 1 =1 αp = 1 αp 1 p = 0 Zakładając, że wszystkie 2 rozkładów płci dzieci w rodziie o dzieciach jest rówoprawdopodobe oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma a) coajmiej jedą córkę b) dokładie jedą córkę? c) Losowo wybraa rodzia ma przyajmiej jedą córkę, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest oa jedyaczką? 5.* Dwaj gracze rzucają symetryczą moetą aż pojawi się ciąg OOO lub ORO. Jeśli ajpierw pojawi się OOO wygrywa gracz A, jeśli ORO gracz B. a) Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 gra się zakończy b) Jakie są szase, że grę wygra gracz A? 6.* Dwaj gracze grają w orła i reszkę moetą symetryczą. Jeśli wypadie orzeł gracz A płaci B 1 zł., jeśli reszka to B płaci A 1 zł. Gra się kończy, gdy któryś z graczy zostaie bez pieiędzy. Na początku gry gracz A ma a zł., a B b zł. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że grę wygra gracz A. b) Jak zmiei się to prawdopodobieństwo, jeśli moeta jest sfałszowaa tz. orzeł wypada z prawdopodobieństwem p 1/2? 7.* Udowodij, że ie istieje prawdopodobieństwo określoe a wszystkich podzbiorach Z + takie, że dla wszystkich k, (A k ) = 1/k, gdzie A k jest zbiorem liczb podzielych przez k. 8.* Załóżmy, że koła rozłącze B(x i, r i ) są zawarte w pewym prostokącie oraz pokrywają te prostokąt z dokładością do zbioru miary 0. Wykaż, że i r i =. 3
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 3 1. odaj przykład rodziy zbiorów A oraz dwu miar probabilistyczych pokrywających się a A, ale ie a σ(a). 2. Udowodij, że dla dowolych zdarzeń probabilistyczych a) ( A i) = k=1 ( 1)k 1 1 i 1<...<i k (A i 1... A ik ) b*) ( A i) m k=1 ( 1)k 1 1 i 1<...<i k (A i 1... A ik ) dla m ieparzystych c*) ( A i) m k=1 ( 1)k 1 1 i 1<...<i k (A i 1... A ik ) dla m parzystych. 3* Wykaż, że jeśli zdarzeia A i są parami iezależe oraz (A i) = to (lim sup A i ) = 1. 4. Na kiju długości l wybrao a chybił trafił 2 pukty i w tych puktach przełamao kij. Oblicz prawdopodobieństwo, że z otrzymaych 3 kawałków moża zbudować trójkąt. 5. (Igła Buffoa) Igłę o długości l rzucoo w sposób losowy a płaszczyzę z zazaczoymi liiami rówoległymi. Odległość między sąsiedimi liiami wyosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo, że igła przetie którąś z liii. 6* Wielokąt wypukły o średicy miejszej iż d rzucoo a płaszczyzę poliiowaą jak w poprzedim zadaiu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wielokąt przetie którąś z liii. 7* Udowodij, że w defiicji iezależości zdarzeń każde z 2 1 rówań jest iezbęde (tz. jeśli odrzucimy jedo z rówań to istieją zdarzeia zależe spełiające wszystkie pozostałe rówaia). 8. Dla A F zdefiiujmy A 1 = A i A 1 = A. Udowodij, że dla dowolych A 1,..., A F i ε 1,..., ε { 1, 1} zdarzeia A 1,..., A są iezależe wtedy i tylko wtedy gdy zdarzeia A ε1 1,..., Aε są iezależe. 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że w schemacie Beroulliego w próbach i prawdopodobieństwu sukcesu w pojedyczej próbie rówym p będzie parzysta liczba sukcesów. 10. Dwaj gracze rzucają symetryczą moetą razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymają tę samą liczbę orłów? 11. Rzucamy wielokrotie parą symetryczych kości. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek rówa 7 wypadie przed sumą oczek 8. 12. Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 w ciągu iezależych rzutów moetą wystąpi każdy skończoy ciąg złożoy z orłów i reszek. 13. Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe i mają rówe prawdopodobieństwa. Jaka jest szasa, że zajdzie ieskończeie wiele spośród zdarzeń A i? 4
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 4 1* Niech F : R [0, 1] będzie prawostroie ciągłą iemalejącą fukcją taką, że F ( ) = 1 oraz F ( ) = 0. Na odciku [0, 1] z miarą Lebesgue a skostruuj zmieą losową, która ma dystrybuatę F. 2* Wykaż, że dwie ograiczoe zmiee losowe X, Y są iezależe wtedy i tylko wtedy gdy E(X Y m ) = EX EY m dla dowolych liczb aturalych i m. 3. Załóżmy, że (E, E) jest przestrzeią mierzalą oraz A pewą klasą podzbiorów E taką, że σ(a) = E. Niech X, Y będą zmieymi losowymi o wartościach w (E, E) takimi, że (X A) = (Y A) dla wszytkich A A. Wykaż, że powyższe założeia ie implikują rówości rozkładów X i Y. 4. a) okazać, że fukcje Rademachera r (x) = sg(cos(2 πx)) są iezależymi zmieymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]),. ) b) dla t [0, 1] i = 1, 2,... iech X (t) ozacza -tą cyfrę rozwiięcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rozwiięć wybieramy p. to ze skończoą liczbą 1). Udowodij, że X 1, X 2,... są iezależymi zmieymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]),. ). 5. Niech ε 1, ε 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych takich, że (ε i = ±1) = 1 2 (zob. zad. 4.). Dla skończoych podzbiorów A liczb całkowitych dodatich zdefiiujmy fukcje Walsha { w A = i A ε i jeśli A 1 jeśli A = a) zajdź rozkład w A b) wykaż, że w A, w B są iezależe gdy A B. Czy w A, w B, w C muszą być iezależe dla różych ideksów A, B, C? 6. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuatą F. Dla ω Ω iech X 1 (ω),..., X (ω) będzie ustawieiem X 1 (ω),..., X (ω) w porządku rosącym X 1 (ω) X 2 (ω)... X (ω) (czyli w szczególości X 1 = mi(x 1,..., X ), X = max(x 1,..., X ). Zajdź dystrybuatę X k dla k = 1,..., (X k azywamy k-tą statystyką porządkową ciągu X 1,..., X ) 7. Niech X (j) i, 1 i j, j = 1, 2,... będą iezależymi zmieymi losowymi, a f j fukcjami mierzalymi a R j. Czy zmiee f j (X (j) 1,..., X(j) j ), j = 1, 2... są iezależe? Odpowiedź uzasadij. 8* Załóżmy, że X, Y zmiee losowe takie, że X jest σ(y )-mierzale tz. σ(x) σ(y ).Udowodij, że istieje ϕ : R R mierzala taka, że X = ϕ(y ). 9* Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem iezależych rzeczywistych zmieych losowych. Określmy Y := lim sup X, Z := lim if X. Udowodij, że Y i Z są zdegeerowaymi zmieymi losowymi tz. istieją c, d R {± } takie, że (Y = c) = (Z = d) = 1. 10* Czy a odciku [0, 1] istieją dwie iestałe fukcje ciągłe, będące iezależymi zmieymi losowymi względem miary Lebesgue a? 5
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 5 1. Niech X, Y będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie geometryczym z parametrami odpowiedio p i r. Oblicz (X < Y ). 2. Rozwiąż zadaie j.w., ale w przypadku gdy X i Y mają rozkład wykładiczy z parametrami λ i µ. 3. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym dystrybuata X jest ciągła. Wykaż, że (X = Y ) = 0. 4. Na skrzyżowaiu ulic a pewym kieruku światło czerwoe świeci się 2 miuty, zaś światło zieloe 1 miutę (zakładamy, że ie ma światła żółtego). W losowym momecie samochód przyjeżdża a skrzyżowaie, ozaczmy przez X długość oczekiwaia a światło zieloe. a) Zajdź rozkład X b) Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 5* Niech X będzie iestarzejącą się zmieą losową tz. t,s>0 (X > s + t X > s) = (X > t) (zakładamy, że (X > t) > 0 dla wszystkich t). Udowodij, że X ma rozkład wykładiczy. 6* Niech ε 1, ε 2,... będą iezależymi symetryczymi zmieymi losowymi Beroulliego tz. (ε i = ±1) = 1/2. Jaki rozkład ma zmiea X = 2 i ε i? 7. Udowodij, że dla dowolych liczb rzeczywistych a 1,..., a E( a i ε i ) 4 3(E( a i ε i ) 2 ) 2, gdzie ε 1,..., ε są takie jak w poprzedim zadaiu. Wykaż, że stałej 3 ie moża poprawić. 8* Roztrzepaa sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Niech X ozacza liczbę listów, które trafiły do właściwej koperty. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 9* Niech F będzie dystrybuatą pewej zmieej losowej X. Udowodij, że jeśli F jest fukcją różiczkowalą w każdym pukcie, to X ma rozkład ciągły. 10* rzy ozaczeiach jak w zadaiu 7 wykaż, że dla wszystkich t 0 t 2 ( a i ε i t) 2 exp( 2 ). a2 i 6
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 6 1. Ura zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy z ury bez zwracaia kul ( N) i defiiujemy zmieą losową X jako liczbę wylosowaych kul białych. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację X. 2. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację rozkładu gamma Γ(α, β). 3. Niech X będzie miał rozkład N (0, 1). Oblicz E X p dla p R, jak wygląda ta liczba dla p aturalych? 4* X jest rzeczywistą zmieą losową, udowodij, że E X p = p 0 t p 1 ( X t)dt. 5* Rzeczywista zmiea losowa X spełia E X p <, udowodij, że lim t tp ( X t) = 0. 6* (Nierówość Chiczya) Zmiee ε 1, ε 2,... są iezależymi Rademacherami tz. (ε i = ±1) = 1 2. Udowodij, że dla dowolego p > 0 istieje stała C p < zależa tylko od p taka, że dla dowolych liczb a 1, a 2,..., a (E a i ε i p ) 1/p C p 7* X jest ieujemą zmieą losowa, udowodij, że dla λ (0, 1) a 2 i (X > λex) (1 λ) 2 (EX)2 EX 2. 8. Niech (ε i ) będą jak w zadaiu 7. Wykaż, że istieje stała uiwersala c > 0 taka, że dla dowolych liczb a 1, a 2,..., a a*) ( a iε i 1 ) 2 a2 i c b**) ( a iε i ) a2 i c. 7
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 7 1. a) X N (a, σ 2 ), jaki rozkład ma bx + c dla b, c R? b) X N (0, 1), zajdź rozkład e X (tzw. rozkład logormaly). c) X, Y iezależe zmiee losowe o rozkładzie N (0, 1), jaki rozkład mają zmiee X + Y, X Y, czy są iezależe? 2. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład jedostajy a przedziale [0, 1]. Jaki rozkład mają zmiee X + Y oraz X 2 + Y 2? 3. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ekspoecjalym z parametrami λ i µ, zajdź rozkład zmieej X/Y. 4. Jaki rozkład ma zmiea X Y, jeśli X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie wykładiczym? 5. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie Exp(λ). Zdefiiujmy S 0 = 0, S 1 = X 1, S 2 = X 1 + X 2,.... Dla t > 0 iech N t = sup{ : S t}. Wykaż, że N t ma rozkład oissoa z parametrem λt. 6. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie Cauchy ego z parametrami h 1 i h 2, udowodij, że X + Y ma rozkład Cauchy ego z parametrem h 1 + h 2 (iaczej jeśli X, Y iezależe o stadardowym rozkładzie Cauchy ego to h 1 X + h 2 Y (h 1 + h 2 )X). 7. Niezależe zmiee losowe X, Y przyjmują wartości w T = {z C : z = 1}. Co moża powiedzieć o rozkładzie XY jeśli X ma rozkład jedostajy a T? 8* X 0, X 1,... są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuatą. Niech N = if{ : X > X 0 }. Zajdź rozkład N i oblicz EN. 9* Udowodij, że dla 0 < λ < 1 2 rozkład =1 λ ε ie jest ciągły (ε 1, ε 2,... są iezależymi zmieymi takimi, że (ε i = ±1) = 1/2). 10* Niech Z będzie zmieą losową Cauchy ego z parametrem 1. Udowodij, że zmiee Z 2 = 2Z ( ) ( 1 Z 2, Z 3Z Z3 3 = 1 3Z 2,..., Z 1 Z = 3) Z 3 + ( 5) Z 5... 1 ( ) 2 Z2 + (,... 4) Z4... mają rozkład Cauchy ego. 8
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 8 1. Rzucamy 10 razy symetryczą moetą. Niech X ozacza łączą liczbę orłów, zaś Y liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach. Zajdź E(X Y ) oraz E(Y X). 2* Zmiee losowe X, Y są iezależe o tym samym rozkładzie. Udowodij, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = X + Y p.. 2 3* Niech X 1, X 2,... będą iezależymi zmieymi losowymi o wspólym rozkładzie oraz S k = X 1 + X 2 +... + X k. Zajdź dla i, 1 E(X i S, S +1,...) := E(X i σ(s, S +1,...)). 4. Zajdź przykład zmieych losowych X, Y, które ie są iezależe, ale E(X Y ) = EX. 5. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = Zajdź E(X Y ). { x 3 2 e x(y+1) jeśli x > 0, y > 0 0 w przeciwym przypadku 6. X jest zmieą losową o rozkładzie wykładiczym z parametrem 1, zaś Y - zmieą losową taką, że jeśli X = x, to Y ma rozkład wykładiczy z parametrem X. a) Zajdź rozkład Y, b) Oblicz (X > r Y ). 7. X 1, X 2,..., X są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a przedziale [0, a], oblicz E(X 1 max(x 1,..., X )). 9
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 9 1. Niech będzie miarą probabilistyczą a (R 2, B(R 2 )) z gęstością f(x, y) względem miary Lebesgue a (czyli (A) = f(x, y)dxdy). Niech G = A {A R : A B(R)}. Zajdź Π( G) rozkład warukowy względem G. 2. (Wersja twierdzeia Bayesa dla rozkładów warukowych) Załóżmy, że (Ω, F, ) jest przestrzeią probabilistyczą, G F σ-podciałem, zaś Π( G) regularym rozkładem warukowym względem G. Wykaż, że dla wszystkich G G, A F takich, że (A) > 0 zachodzi (G A) = G Π(A G)(ω)d(ω) Ω Π(A G)(ω)d(ω). 3* Załóżmy, że X jest ieujemą zmieą losową a (Ω, F, ) oraz G F σ-podciało. Udowodij, że a) E(X G) = (X > t G)dt p.. 0 b) (X > t G) t k E(X k G) p.. 4. Zmiee X i Y są iezależe, a f jest borelowską fukcją dwu zmieych. Wykaż, że E(f(X, Y ) Y = y) = Ef(X, y) p.. 5* Oblicz E(X X 2 +Y 2 ) i E(X 2 X+Y ), gdy X i Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a [ 1, 1]. 6* X jest zmieą losową taką, że E X p < dla pewego p > 0. Wykaż, że lim p 0+ (E X p ) 1/p = X 0 := exp(e l X ) (przyjmujemy, że e = 0). 7. Dla p < 0 określmy podobie jak dla p > 0, X p = (E X p ) 1/p używając dodatkowej kowecji α = 0 dla α < 0. Wykaż, że X q X p dla < q p. 8. Udowodij, że lim p X p = X := esssup X. 9* Udowodij, że fukcja f(r) := r l E X 1/r jest wypukła dla r (0, ). 10* (Ogóla postać ierówości Chiczya) Wykaż, że dla p, q > 0 istieje stała C p,q < taka, że dla dowolych liczb a 1,..., a (E a i ε i p ) 1/p C p,q (E a i ε i q ) 1/q (ε 1,..., ε - iezależe zmiee losowe takie, że (ε i = ±1) = 1/2) 10
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 10 1. Dla przestrzei probabilistyczej (Ω, F, ) określmy Dla X, Y L 0 (Ω, F, ) iech L 0 (Ω, F, ) := {X : Ω R: mierzale}. d 1 (X, Y ) := E mi(1, X Y ), d 2 (X, Y ) := E X Y 1 + X Y. Wykaż, że metryki d 1 i d 2 są rówoważe oraz zbieżość w każdej z tych metryk jest rówoważa zbieżości według prawdopodobieństwa. 2* Wykaż, że zbieżość prawie wszędzie jest iemetryzowala tz. ie istieje metryka a L 0 (Ω, F, ), która metryzowałaby zbieżość prawie a pewo. 3. Udowodij, że dla dowolych zmieych losowych X, Y, X, Y a) jeśli X X i X Y to (X = Y ) = 1 b) jeśli X X i Y X to lim ( X Y > ε) = 0 dla każdego ε > 0 4. Wykaż, że jeśli X X i Y Y to ax +by ax +by dla dowolych liczb rzeczywistych a, b. 5* Udowodij ierówość Levy ego: jeśli X 1,..., X są iezależymi symetryczymi zmieymi losowymi to dla t > 0 gdzie S k = X 1 +... + X k. ( max 1 k S k t) 2( S t), 6* Udowodij, że istieje stała C < taka, że dla dowolych iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie i wartościach w ośrodkowej przestrzei Baacha (F,. ) dla dowolego t > 0 zachodzi ierówość gdzie S k = X 1 +... + X k. ( max 1 k S k Ct) C( S t), 11
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 11 1. Udowodij, że dla ciągu ieujemych zmieych losowych X i, X i < p.. wtedy i tylko wtedy gdy E Xi 1+X i <. 2* Zmiee X i oraz ε i są iezależe przy czym (ε i = ±1) = 1 2. Wykaż, że εi X i jest zbieży p.w. wtedy i tylko wtedy gdy X2 i < p.. (proszę udowodić te fakt bez odwoływaia się do twierdzeia Kołmogorowa o trzech szeregach) 3. Zmiee ε i są zdefiiowae jak w poprzedim zadaiu, wykaż, że dla liczb rzeczywistych a i szereg a i ε i jest zbieży p.w. wtedy i tylko wtedy gdy a 2 i <. 4* Z poprzediego zadaia wyika, że S = =1 1 ε jest zbieży p.w. Czy S ma rozkład ciągły? 5. Dla 0 < λ < 1/2 zdefiiujmy zmieą losową S λ = =1 λ ε. Wykaż, że S λ ma ciągłą dystrybuatę oraz czysto sigulary rozkład tz. istieje zbiór borelowski A miary Lebesgue a zero taki, że (S λ A) = 1. 6* Wykaż, że dla dowolych iezależych zmieych losowych X i o wartościach w ośrodkowej przestrzei Baacha szereg X i jest zbieży wg prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieży p.. 7. Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe oraz p = (A ), N = I A i, = 1, 2,.... Udowodij, że wg prawdopodobieństwa. N p 1 + p 2 +... + p 0 8* Fukcja rzeczywista f jest ciągła a [0, 1] 2. Dla x, y [0, 1] określmy B f, (x, y) = f( k, l ( )( ) ) x k (1 x) k y l (1 y) l. k l k,l=0 Udowodij, że B f, (x, y) zbiega jedostajie do f(x, y) a [0, 1] 2. 9. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o jedakowym rozkładzie, 0 X i < 1 p.., udowodij, że X 1 X 2... X 0 p.. 10* Niezależe zmiee losowe X 1, X 2,... mają jedakowy rozkład i spełiają słabe prawo wielkich liczb tz. S / 0. Czy wyika stąd, że: a) t( X 1 t) 0 gdy t ; b) E X 1 <? 12
Zadaia z Rachuku rawdopodobieństwa - 12 1. Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. okazać, że ciągi zmieych losowych a) X 1X 2 + X 2 X 3 +... + X X +1, b) X 1 + X 2 +... + X X1 2 + X2 2 +... + X2 są zbieże prawie a pewo i zaleźć ich graice. 2. Dla ciągu X 1, X 2,... iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie o skończoej wariacji defiiujemy średią empiryczą m i dystrybuatę empiryczą σ 2 wzorami m = X 1 + X 2 +... + X, σ 2 = 1 1 (X k m ) 2. Udowodij, że E m = EX 1, E σ 2 = Var(X 1 ) (tz. m i σ 2 są ieobciążoymi estymatorami średiej i wariacji) oraz m EX 1, σ 2 Var(X 1 ) prawie a pewo gdy. 3* Day jest ciąg X 1, X 2,... iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie taki, że EX i = (tz EX 1 < oraz EX+ i = ). Udowodij, że X1+X2+...+X prawie a pewo gdy. 4. Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe oraz (X i = 1) = p, (X i = 1) = 1 p dla pewego p (1/2, 1]. Wykaż, że X 1 +... + X prawie a pewo gdy. Co się dzieje, gdy p = 1/2? 5** (Sile prawo wielkich liczb Marcikiewicza) Niech X 1, X 2,... będą iezależymi jedakowo rozłożoymi zmieymi losowymi oraz 0 < p < 2. Udowodij, że X 1 + X 2 +... + X p.. 1/p wtedy i tylko wtedy gdy E X p < oraz dodatkowo EX = 0 dla 1 p < 2. k=1 6* rzy założeiach poprzediego zadaia udowodij, że X 1 + X 2 +... + X p.. wtedy i tylko wtedy gdy X i = 0 p... 7** Udowodić, że jeśli X 1, X 2,... są rzeczywistymi zmieymi losowymi parami iezależymi o jedakowym rozkładzie takimi, że E X 1 < to zachodzi Moce rawo Wielkich Liczb tz. lim X i = EX 1 p.. 13