P (A B) 7. Rzucamy monet a dopóki nie wypadn a dwa or ly pod rz ad. Znaleźć prawdopodobieństwo,

Transkrypt

1 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istniej a liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A) = ω A p ω dla wszystkich A F. 2. Opisać wszystkie przestrzenie probabilistyczne z przeliczalnym zbiorem zdarzeń elementarnych Ω 3. Udowodnij, że każde nieskończone σ-cia lo jest nieprzeliczalne 4. Udowodnij nastȩpuj ace tożsamości (lim sup A n ) = lim inf(a n), (lim inf A n ) = lim sup(a n), lim inf A n lim sup A n, lim sup(a n B n ) = lim sup A n lim sup B n, lim sup A n lim inf B n lim sup(a n B n ) lim sup A n lim sup B n, A n A lub A n A to A = lim sup A n = lim inf A n 5. Wykaż, że jeśli A n = (, x n ) oraz x = lim sup x n to lim sup A n = (, x) lub (, x] oraz oba te przypadki mog a zajść. 6. Udowodnij, że nastȩpuj ace dwie pseudometryki na F ρ 2 (A, B) = spe lniaj a warunek trójk ata. ρ 1 (A, B) = (A B) { (A B) (A B) jeśli (A B) > 0 0 jeśli (A B) = 0 7. Rzucamy monet a dopóki nie wypadn a dwa or ly pod rz ad. Znaleźć prawdopodobieństwo, że rzucimy dok ladnie k razy. 8. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi jest losowany jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ci agu 16 lekcji każy uczeń bȩdzie przepytany. 9. W szafie znajduje siȩ n par butów, na chybi l trafi l wybieramy z nich 2k butów przy czym 2k < n. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wylosowanych butów jest conajmniej jedna para b) wśród wylosowanych butów jest dok ladnie jedna para 10. Roztrzepana sekretarka rozmieści la losowo N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dok ladnie k listów trafi lo do w laściwej koperty. 11. W n rozróżnialnych urnach umieszczono w sposób losowy k rozróżnialnych kul. Oblicz prawdopodobieństwo p m (k, n), że dok ladnie m urn pozostanie pustych 0 m n 1. (Wskazówka: policz najpierw p 0 (k, n)). 1

2 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Na loterii jest 10 losów wygrywaj acych, 100 przegrywaj acych i 1000 uprawniaj acych do kolejnego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania? 2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy dok ladnie 3 asy jeśli wiadomo, że a) mamy conajmniej jednego asa b) mamy asa czarnego koloru c) mamy asa pik d) pierwsz a wylosowan a kart a jest as e) pierwsz a wylosowan a kart a jest czarny as f) pierwsz a wylosowan a kart a jest as pik. 3. K. wybra l siȩ w odwiedziny do znajomych o których wiedzia l, że maj a dwójkȩ dzieci, ale nie zna l ich p lci ani wieku. Drzwi domu otworzy la mu dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko znajomych K. też jest dziewczynk a? 4. (schemat urnowy olya) Urna zawiera b kul bia lych i c kul czarnych. Wykonujemy kolejno nastȩpuj ace doświadczenie: losujemy z urny kulȩ, a nastȩpnie wk ladamy j a z powrotem do urny, a wraz z ni a dok ladamy do urny a kul tego samego koloru. Udowodnij, że prawdopodobieństwo wylosowania w n-tym losowaniu kuli bia lej jest b b+c. 5. rawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma n dzieci jest równe { αp n n = 1, 2,... p n = 1 n=1 αpn = 1 αp 1 p n = 0 Zak ladaj ac, że wszystkie 2 n rozk ladów p lci dzieci w rodzinie o n dzieciach jest równoprawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma a) conajmniej jedn a córkȩ b) dok ladnie jedn a córkȩ? c) Losowo wybrana rodzina ma przynajmniej jedn a córkȩ, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest ona jedynaczk a? 6. Dwaj gracze rzucaj a symetryczn a monet a aż pojawi siȩ ci ag OOO lub ORO. Jeśli najpierw pojawi siȩ OOO wygrywa gracz A, jeśli ORO gracz B. a) Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 gra siȩ zakończy b) Jakie s a szanse, że grȩ wygra gracz A? 7. Dwaj gracze graj a w or la i reszkȩ monet a symetryczn a. Jeśli wypadnie orze l gracz A p laci B 1 z l., jeśli reszka to B p laci A 1 z l. Gra siȩ kończy, gdy któryś z graczy zostanie bez pieniȩdzy. Na pocz atku gry gracz A ma a z l., a B b z l. 2

3 a) Oblicz prawdopodobieństwo, że grȩ wygra gracz A. b) Jak zmieni siȩ to prawdopodobieństwo, jeśli moneta jest sfa lszowana tzn. orze l wypada z prawdopodobieństwem p 1/2? 3

4 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Na kiju d lugości l wybrano na chybi l trafi l 2 punkty i w tych punktach prze lamano kij. Oblicz prawdopodobieństwo, że z otrzymanych 3 kawa lków można zbudować trójk at. 2. (Ig la Buffona) Ig lȩ o d lugości l rzucono w sposób losowy na p laszczyznȩ z zaznaczonymi liniami równoleg lymi. Odleg lość miȩdzy s asiednimi liniami wynosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo, że ig la przetnie któr aś z linii. 3. Wielok at wypuk ly o średnicy mniejszej niż d rzucono na p laszczyznȩ poliniowan a jak w poprzednim zadaniu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wielok at przetnie któr aś z linii. 4. Udowodnij, że w definicji niezależności n zdarzeń każde z 2 n n 1 równań jest niezbȩdne (tzn. jeśli odrzucimy jedno z równań to istniej a zdarzenia zależne spe lniaj ace wszystkie pozosta le równania). 5. Dla A F zdefiniujmy A 1 = A i A 1 = A. Udowodnij, że dla dowolnych A 1,..., A n F i ε 1,..., ε n { 1, 1} zdarzenia A 1,..., A n s a niezależne wtedy i tylko wtedy gdy zdarzenia A ε1 1,..., Aεn n s a niezależne. 6. Niech F : R [0, 1] bȩdzie lewostronnie ci ag l a niemalej ac a funkcj a tak a, że F ( ) = 1 oraz F ( ) = 0. okaż, że F jest dystrybuant a pewnej rzeczywistej zmiennej losowej tzn. istnieje przetrzeń probabilistyczna i zmienna X na niej okreĺona takie, że F (t) = (X < t) dla t R. 7. Za lóżmy, że (E, B) jest przestrzeni a mierzaln a oraz A pewn a klas a podzbiorów E tak a, że σ(a) = B. Niech X, Y bȩd a zmiennymi losowymi o wartościach w (E, B) takimi, że (X A) = (Y A) dla wszytkich A A. Wykaż, że powyższe za lożenia nie implikuj a równości rozk ladów X i Y. 8. a) okazać, że funkcje Rademachera r n (x) = sgn(cos(2 n πx)) s a niezależnymi zmiennymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]),. ) b) dla t [0, 1] i n = 1, 2,... niech X n (t) oznacza n-t a cyfrȩ rozwiniȩcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rowiniȩć wybieramy np. to ze skończon a liczb a 1). Udowodnij, że X 1, X 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi w ([0, 1], B([0, 1]),. ). 9. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 w ci agu niezależnych rzutów monet a wyst api każdy skończony ci ag z lożony z or lów i reszek. 4

5 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Niech ε 1, ε 2,... bȩdzie ci agiem niezależnych zmiennych losowych takich, że (ε i = ±1) = 1 2 (por. zad 3.8). Dla skończonych podzbiorów A liczb ca lkowitych dodatnich zdefiniujmy funkcje Walsha { w A = i A ε i jeśli A 1 jeśli A = a) znajdź rozk lad w A b) wykaż, że w A, w B s a niezależne gdy A B. Czy w A, w B, w C musz a być niezależne dla różnych indeksów A, B, C? 2. Niech X 1,..., X n bȩd a niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie z ci ag l a dystrybuant a F. Dla ω Ω niech X 1 (ω),..., X n(ω) bȩdzie ustawieniem X 1 (ω),..., X n (ω) w porz adku rosn acym X 1 (ω) X 2 (ω)... X n(ω) (czyli w szczegolności X 1 = min(x 1,..., X n ), X n = max(x 1,..., X n ). Znajdź dystrybuantȩ X k dla k = 1,..., n (X k nazywamy k-t a statystyk a porz adkow a ci agu X 1,..., X n ) 3. Za lóżmy, że X, Y zmienne losowe takie, że X jest σ(y )-mierzalne tzn. σ(x) σ(y ). Udowodnij, że istnieje ϕ : R R mierzalna taka, że X = ϕ(y ). 4. Niech X 1, X 2,... bȩdzie ci agiem niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych. Określmy Y = lim sup X n, Z = lim inf X n. n n Udowodnij, że Y i Z s a zdegenerowanymi zmiennymi losowymi tzn. istniej a c, d R {± } takie, że (X = c) = (Y = d) = 1. 5

6 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Niech X, Y bȩd a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie geometrycznym z parametrami odpowiednio p i r. Oblicz (X < Y ). 2. Rozwi aż zadanie j.w., ale w przypadku gdy X i Y maj a rozk lad eksponencjalny z parametrami λ i µ. 3. Zmienne losowe X i Y s a niezależne, przy czym dystrybuanta X jest ci ag la. Wykaż, że (X = Y ) = Na skrzyżowaniu ulic na pewnym kierunku świat lo czerwone świeci siȩ 2 minuty, zaś świat lo zielone 1 minutȩ (zak ladamy, że nie ma świat la żó ltego). W losowym momencie samochód przyjeżdża na skrzyżowanie, oznaczmy przez X d lugość oczekiwania na świat lo zielone. a) Znajdź rozk lad X b) Znajdź wartość oczekiwan a i wariancjȩ X. 5. Niech X bȩdzie niestarzej ac a siȩ zmienn a losow a tzn t,s>0 (X > s + t X > s) = (X > t) (zak ladamy, że (X > t) > 0 dla wszystkich t). Udowodnij, że X ma rozk lad eksponencjalny. 6. Niech ε 1, ε 2,... bȩd a niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi Bernoulliego tzn. (ε i = ±1) = 1/2. Jaki rozk lad ma zmienna X = 2 i ε i? 7. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a 1,..., a n E( a i ε i ) 4 3(E( a i ε i ) 2 ) 2, gdzie ε 1,..., ε n s a dobrane jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że sta lej 3 nie można poprawić 8. Roztrzepana sekretarka umieści la w sposób losowy N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Niech X oznacza liczbȩ listów, które trafi ly do w laściwej koperty. Znajdź wartość oczekiwan a i wariancjȩ X. 9. Niech F bȩdzie dystrybuant a pewnej zmiennej losowej X. Udowodnij, że jeśli F jest funkcj a różniczkowaln a w każdym punkcie to X ma rozk lad ci ag ly. 10. rzy oznaczeniach jak w zadaniu 7 wykaż, że dla wszystkich t 0 t 2 ( a i ε i t) 2 exp( 2 n ). a2 i 6

7 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa a) X N (a, σ 2 ), jaki rozk lad ma bx = c dla b, c R? b) X N (0, 1), znajdź rozk lad e X (tzw. rozk lad lognormalny). c) X 1,..., X n niezależne zmienne losowe o rozk ladach N (a i, σi 2 ), udowodnij, że dla dowolnych liczn rzeczywistych b i, n b ix i ma rozk lad normalny, znajdź parametry tego rozk ladu. d) X, Y niezależne zmienne losowe o rozk ladzie N (0, 1), jaki rozk lad maj a zmienne X + Y, X Y, czy s a niezależne? 2. X, Y niezależne zmienne losowe o rozk ladzie Γ(α 1, β) i Γ(α 2, β). Udowodnij, że X + Y ma rozk lad Γ(α 1 + α 2, β). 3. Niech X 1, X 2,... bȩdzie ci agiem niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozk ladzie Exp(λ). Zdefiniujmy S 0 = 0, S 1 = X 1, S 2 = X 1 + X 2,.... Dla t > 0 niech N t = sup{n : S n t}. Wykaż, że N t ma rozk lad oissona z parametrem λt. 4. X, Y niezależne zmienne losowe o rozk ladzie Cauchy ego z parametrami h 1 i h 2, udowodnij, że X +Y ma rozk lad Cauchy ego z parametrem h 1 +h 2 (inaczej jeśli X, Y niezależne o standardowym rozk ladzie Cauchy ego to h 1 X + h 2 Y (h 1 + h 2 )X). 5. X, Y s a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie eksponencjalnym z parametrami λ i µ, znajdź rozk lad zmiennej X/Y. 6. X, Y niezależne zmienne losowe o wartościach w T = {z C : z = 1}. Co można powiedzieć o rozk ladzie XY jeśli X ma rozk lad jednostajny na T. 7. X 0, X 1,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk l]adzie z ci ag l a dystrybuant a. Niech N = inf{n : X n > X 0 }. Znajdź rozk lad N i oblicz EN. 8. Udowodnij, że dla 0 < λ < 1 2 rozk lad n=1 λn ε n nie jest ci ag ly (ε 1, ε 2,... s a niezależnymi zmiennymi takimi, że (ε i = ±1) = 1/2). 9. Niech Z bȩdzie zmienn a losow a Cauchy ego z parametrem 1. Udowodnij, że zmienne Z 2 = 2Z ( n ) ( 1 Z 2, Z 3Z Z3 3 = 1 3Z 2,..., Z 1 Z n n = 3) Z 3 + ( n 5) Z ( ) n 2 Z2 + ( n,... 4) Z4... maj a rozk lad Cauchy ego. 7

8 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Urna zawiera N kul w tym b kul bia lych. Losujemy z urny bez zwracania n kul (n N) i definiujemy zmienn a losow a X jako liczbȩ wylosowanych kul bia lych. Oblicz wartość oczekiwan a i wariancjȩ X. 2. W urnie jest N kul w tym N 1 bia lych i 1 czerwona. Gracz ci agnie kule bez zwracania i wygrywa 1 z l za każd a wyci agniȩt a kulȩ bia l a, ale traci wszystko i kończy grȩ, jeśli wyci agnie kulȩ czerwon a. rzed każdym losowaniem kuli gracz może zdecydować (oczywiście jeśli nie pojawi la siȩ kula czerwona) czy grać dalej czy zadowolić siȩ dotychczasow a wygran a. Znaleźć strategiȩ optymaln a tzn maksymalizuj ac a średni a wygran a. Rozwi azać to samo zadanie przy za lożeniu, że losujemy kule ze zwracaniem. 3. Oblicz wartość oczekiwan a i wariancjȩ rozk ladu gamma Γ(α, β). 4. Niech X bȩdzie mia l rozk lad N (0, 1). Oblicz E X p dla p R, jak wygl ada ta liczba dla p naturalnych? 5. X jest rzeczywist a zmienn a losow a, udowodnij, że E X p = p 0 t p 1 ( X t)dt. 6. Rzeczywista zmienna losowa X spe lnia E X p <, udowodnij, że lim t tp ( X t) = (Nierwność Chinczyna) Zmienne ε 1, ε 2,... s a niezależnymi Rademacherami tzn (ε i = ±1) = 1 2. Udowodnij, że dla dowolnego p > 0 istnieje sta la C p < zależna tylko od p taka, że dla dowolnych liczb a 1, a 2,..., a n (E a i ε i ) 1/p C p n 8. X jest nieujemn a zmienn a losowa, udowodnij, że dla λ (0, 1) a 2 i (X > λex) (1 λ) 2 (EX)2 EX Niech (ε i ) bȩd a jak w zadaniu 7. Wykaż, że istnieje sta la uniwersalna c > 0 taka, że dla dowolnych liczb a 1, a 2,..., a n a*) pdf ( n a iε i 1 n ) 2 a2 i c b**) ( n a iε i n ) a2 i c. 8

9 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Zmienne losowe X, Y s a niezależne o tym samym rozk ladzie. Udowodnij, że E(X X + Y ) = E(Y X + Y ) = X + Y 2 p.w. 2. Niech X 1, X 2,... bȩd a niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozk ladzie oraz S k = X 1 + X X k. Znajdź dla i, n 1 E(X i S n, S n+1,... ) := E(X i σ(s n, S n+1,... )). 3. Znajdź przyk lad zmiennych losowych X, Y, które nie s a niezależne, ale E(X Y ) = EX. 4. Wektor losowy (X, Y ) ma gȩstość g(x, y) = Znajdź E(X Y ). { x 3 2 e x(y+1) jeśli x > 0, y > 0 0 w przeciwnym przypadku 5. X jest zmienn a losow a o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1, zaś Y - zmienn a losow a tak a, że jeśli X = x to Y ma rozk lad wyk ladniczy z parametrem X. a) Znajdź rozk lad Y b) Oblicz (X > r Y ). 6. X 1, X 2,..., X n s a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, a], oblicz E(X 1 max(x 1,..., X n )). 7. Niech bȩdzie miar a probabilistyczn a na (R 2, (R 2 )) z gȩstości a f(x, y) wzglȩdem miary Lebesgue a (czyli (A) = f(x, y)dxdy). Niech G = A {A R : A B(R)}. Znajdź Π( G) rozk lad warunkowy wzglȩdem G. 8. (Wersja twierdzenia Bayesa dla rozk ladów warunkowych) Za lóżmy, że (Ω, F, ) jest przestrzeni a probabilistyczn a, G F σ-podcia lem, zaś Π( G) regularnym rozk ladem warunkowym wzglȩdem G. Wykaż, że dla wszystkich G G, A F takich, że (A) > 0 zachodzi Π(A G)(ω)d (ω) (G A) = G. Π(A G)(ω)d (ω) Ω 9. Za lóżmy, że X jest nieujemn a zmienn a losow a na (Ω, F, ) oraz G F σ-podcia lo. Udowodnij, że a) E(X G) = (X > t G)dt p.w. 0 b) (X > t G) t k E(X k G) p.w. 9

10 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa X jest zmienn a losow a tak a, że E X p < dla pewnego p > 0. Wykaż, że lim p 0+ (E X p ) 1/p = X 0 := exp(e ln X ) (przyjmujemy, że e = 0). 2. Dla p < 0 określmy podobnie jak dla p > 0, X p = (E X p ) 1/p używaj ac dodatkowej konwencji α = 0 dla α < 0. Wykaż, że X q X p dla < q p. 3. Udowodnij, że lim p X p = X := esssup X. 4. Udowodnij, że funkcja f(r) = r ln E X 1/r jest wypuk la dla r (0, ). 5. (Ogólna postać nierówności Chinczyna) Wykaż, że dla p, q > 0 istnieje sta la C p,q < taka, że dla dowolnych liczb a 1,..., a n (E a i ε i p ) 1/p C p,q (E a i ε i q ) 1/q (ε 1,..., ε n - niezależne zmienne losowe takie, że (ε i = ±1) = 1/2) 6. Dla przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, ) określmy L 0 (Ω, F, ) = {X; Ω R : mierzalne}. Dla X, Y L 0 (Ω, F, ) niech d 1 (X, Y ) = E min(1, X Y ), d 2 (X, Y ) = E X Y 1+ X Y. Wykaż, że metryki d 1 i d 2 s a równoważne oraz zbieżność w każdej z tych metryk jest równoważna zbieżności wed lug prawdopodobieństwa. 7. Wykaż, że zbieżność prawie wszȩdzie jest niemetryzowalna tzn. nie istnieje metryka na L 0 (Ω, F, ), która metryzowa laby zbieżność prawie na pewno. 8. Udowodnij, że dla dowolnych zmiennych losowych X n, Y n, X, Y a) jeśli X n X i Xn Y to (X = Y ) = 1 b) jeśli X n X i Yn X to limn ( X n Y n > ε) = 0 dla każdego ε > 0 9. Wykaż, że jeśli X n X i Yn Y to axn +by n ax +by dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b. 10. Udowodnij nierówność Levy ego: jeśli X 1,..., X n s a niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi to dla t > 0 gdzie S k = X X k. ( max 1 k n S k t) 2 ( S n t), 11. Udowodnij, że istnieje sta la C < taka, że dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie i wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha (E,. ) dla dowolnego t > 0 zachodzi nierówność gdzie S k = X X k. ( max 1 k n S k Ct) C ( S n t), 10

11 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Udowodnij, że dla ci agu nieujemnych zmiennych losowych X i, X i < p.w. wtedy i tylko wtedy gdy E Xi 1+X i <. 2. Zmienne X i oraz ε i s a niezależne przy czym (ε i = ±1) = 1 2. Wykaż, że ε i X i jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy X2 i < p.w. (proszȩ w miarȩ możliwości udowodnić ten fakt bez odwo lywania siȩ do twierdzenia Ko lmogorowa o trzech szeregach) 3. Zmienne ε i s a zdefiniowane jak w poprzednim zadaniu, wykaż, że dla liczb rzeczywistych a i szereg a i ε i jest zbieżny p.w. wtedy i tylko wtedy gdy a 2 i <. 4. Z poprzedniego zadania wynika, że S = n=1 1 n ε n jest zbieżny p.w. Czy S ma rozk lad ci ag ly? 5. Dla 0 < λ < 1 zdefiniujmy zmienn a losow a S λ = n=1 λn ε n. Wykaż, że S λ ma ci ag l a dystrybuantȩ oraz czysto singularny rozk lad tzn. istnieje zbiór borelowski A miary Lebesgue a zero taki, że (S λ A) = Wykaż, że dla dowolnych zmiennych losowych X i o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha E szereg X i jest zbieżny wg prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.w. 7. Zdarzenia A 1, A 2,... s a niezależne oraz p n = (A n ), N n = n I A i, n = 1, 2,.... Udowodnij, że wg prawdopodobieństwa. N n n p 1 + p p n 0 n 8. Funkcja rzeczywista f jest ci ag la na [0, 1] 2. Dla x, y [0, 1] określmy B f,n (x, y) = f( k n, l ( )( ) n n n ) x k (1 x) n k y l (1 y) n l. k l k,l=0 Udowodnij, że B f,n (x, y) zbiega jednostajnie do f(x, y) na [0, 1] Zmienne X 1, X 2,... s a niezależne o jednakowym rozk ladzie, 0 X i < 1 p.w., udowodnij, że X 1 X 2... X n 0 p.w. 11

12 Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa Zmienne losowe X 1, X 2,... s a niezależne o wspólnym rozk ladzie eksponencjalnym z parametrem λ. okazać, że ci ag zmiennych losowych X 1 X 2 + X 2 X X n X n+1 n jest zbieżny prawie na pewno i znaleźć jego granicȩ. 2. Dla ci agu X 1, X 2,... niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozk ladzie o skończonej wariancji definiujemy średni a empiryczn a m n i dystrybuantȩ empiryczn a σ 2 n wzorami m n = X 1 + X X n, σ n 2 = 1 n n 1 (X k m n ) 2. Udowodnij, że E m n = EX 1, E σ 2 n = V (X 1 ) (tzn. m n i σ 2 n s a nieobci ażonymi estymatorami średniej i wariancji) oraz m n EX 1, σ 2 n V (X 1 ) prawie na pewno gdy n. 3. Dany jest ci ag X 1, X 2,... niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozk ladzie taki, że EX i = (tzn EX 1 < oraz EX+ i = ). Udowodnij, że X1+X2+...+Xn n prawie na pewno gdy n. 4. Zmienne losowe X 1, X 2,... s a niezależne oraz (X i = 1) = p, (X i = 1) = 1 p dla pewnego p (1/2, 1]. Wykaż, że X X n prawie na pewno gdy n. Co siȩ dzieje, gdy p = 1/2? 5. (Silne prawo wielkich liczb Marcinkiewicza) Niech X 1, X 2,... bȩd a niezależnymi jednakowo roz lożonymi zmiennymi losowymi oraz 0 < p < 2. Udowodnij, że k=1 X 1 + X X n n 1/p p.w. wtedy i tylko wtedy gdy E X p < oraz dodatkowo EX = 0 dla 1 p < rzy za lożeniach poprzedniego zadania udowodnij, że X 1 + X X n n p.w. wtedy i tylko wtedy gdy X i = 0 p.w.. 12