Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego zbioru Deicja 2 (silia)! = ( 1) 1 0! = 1 Twierdzeie 1! to liczba permutacji zbioru -elemetowego (liczba ustawie«elemetów w rz dzie)! Twierdzeie 2 = dla 0 k, = 0 dl < k k k!( k)! k Twierdzeie 3 (wzór dwumiaowy) (a + b) = a k b k k 2 Liczby zespoloe 21 Podstawy Deicja 3 Liczby zespoloe to zbiór C = {a + bi : a, b R}, gdzie i jest pewym symbolem Mo»emy je uto»samia z puktami a pªaszczy¹ie, tj a + bi uto»samiamy z puktem o wspóªrz dych (a, b) Deiujemy dziaªaia w taki sposób,»e i 2 = 1: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Deicja 4 (dªugo± ) Dla z = a + bi C deiujemy dªugo± (moduª): z = a 2 + b 2 Deicja 5 (sprz»eie) Sprz»eiem liczby z = a+bi C azwiemy liczb z = a bi C Twierdzeie 4 z z = z 2 Twierdzeie 5 Liczb odwrot do a + bi jest 1 k=0 z z 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i
22 Posta bieguowa Deicja 6 (posta bieguowa) Liczb z = a + bi mo»emy zapisa w postaci z = r(cos α + i si α) dla r = z oraz α = arctg b a K t α azywamy argumetem liczby z i ozaczamy Arg z W te sposób mo»emy patrze a liczb zespolo z jako a wektor dªugo±ci r = z achyloy pod k tem α do dodatiej póªosi rzeczywistej Twierdzeie 6 Je±li z = z (cos α + i si α), w = w (cos β + i si β), to zw = z w (cos(α + β) + i si(α + β)) Czyli mo»eie liczb zespoloych to mo»eie ich dªugo±ci oraz dodawaie ich argumetów Twierdzeie 7 (wzór de Moivre'a) z = z (cos α+i si α), wtedy z = z (cos α+i si α) 23 Pierwiastki z jedo±ci Deicja 7 Pierwiastkiem z 1 stopi azwiemy tak liczb zespolo z,»e z = 1 Iaczej mówi c, z jest pierwiastkiem wielomiau P (x) = z 1 Twierdzeie 8 Je±li z jest pierwiastkiem z jedo±ci stopi, to istieje takie caªkowite 0 k 1,»e z = cos 2kπ 2kπ + i si 3 Pochode f(x) f(x 0 ) Deicja 8 Niech f : R R, x 0 R Wówczas, je»eli istieje graica lim x x0 x x 0 to azywamy j pochod (albo ró»iczk ) fukcji f w pukcie x 0 i ozaczamy f (x 0 ) Zasadiczo, ie b dziemy korzysta z tej deicji, lecz z kilku podstawowych wªaso±ci pochodych oraz zajomo±ci pochodych dla kilku wa»ych fukcji Cz sto spotykay jest zapis (f(x)) Zwykle ozacza o f (x) f (x) to druga pochoda f(x), to zaczy pochoda f (x): f (x) = (f (x)) Aalogiczie, f () (x) to -ta pochoda, czyli pochoda f ( 1) (x), gdzie f (0) (x) = f(x) Twierdzeie 9 (podstawowe wªaso±ci) Niech f, g : R R, x, c R oraz istiej pochode f (x) oraz g (x) Wówczas zachodz ast puj ce rówo±ci: Liiowo± pochodej: (f + g) (x) = f (x) + g (x), (c f) (x) = c f (x) Wzór a pochod iloczyu: (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) f Wzór a pochod ilorazu, prawdziwy o ile g(x) 0: (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (g(x)) 2 Wzór a pochod zªo»eia: (g f) (x) = g (f(x)) f (x) 2
Twierdzeie 10 (pochode iektórych fukcji) α R (x α ) = αx α 1, o ile wyra»eie x α ma ses (e x ) = e x l (x) = 1 x, o ile x > 0 si (x) = cos(x) cos (x) = si(x) 4 Fukcje tworz ce 41 Deicja Deicja 9 (fukcja tworz ca) Fukcj tworz c (szeregiem formalym) ci gu azywamy szereg formaly A(x) = 0 x Deicja 10 (operacje a fukcjach tworz cych) F (x) fukcja tworz ca ci gu (f ), G(x) fukcja tworz ca ci gu (g ) Dla uproszczeia zapisu iech f 1 = f 2 = = 0 = g 1 = g 2 = αf (x) + βg(x) = 0(αf + βg )x mo»eie: F (x)g(x) = 0 ( 0 k f k g k ) x ró»iczkowaie: G (x) = 0( + 1)g +1 x 42 Rozwijaie w szereg Deicja 11 (fukcje aalitycze) Fukcje aalitycze to takie, które rozwijaj si w szereg, tj f(x) jest aalitycza w otoczeiu x 0, je±li dla x (x 0 ε, x 0 + ε): f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + = 2! 0 f () (x 0 ) (x x 0 )! Mówimy wtedy,»e fukcja rozwija si w szereg Taylora w x 0 Je±li x 0 = 0, to mamy szereg Maclauria: f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + = f () (0) x 2! 0! Twierdzeie 11 Fukcje: staªa, x a (w tym wielomiay), wykªadicza e x, logarytmicza l x, fukcje trygoometrycze, s aalitycze (tam, gdzie s dobrze okre±loe) Fukcje: odwrota do aalityczej, suma fukcji aalityczych, iloczy fukcji aalityczych, iloraz fukcji aalityczych, zªo»eie fukcji aalityczych s aalitycze (tam, gdzie s dobrze okre±loe) 3
Fukcje tworz ce cz sto wolimy aalizowa w postaci zwartej Korzystaj c ze wzoru a szereg Maclauria fukcji otrzymujemy mi: Twierdzeie 12 1 1 x = 0 x l(1 + x) = 1 e x = x 0 1! x 5 Wielomiay 51 Podzielo± ( 1) +1 x Deicja 12 Wielomia P (x) dzieli wielomia Q(x), je±li istieje taki wielomia R(x),»e Q(x) = P (x)r(x) Twierdzeie 13 (Bézout) Dla dowolego a, je±li P (x) to wielomia, to istieje dokªadie jede taki wielomia Q(x),»e 52 Rozkªad w C P (x) = (x a)q(x) + P (a) Twierdzeie 14 (zasadicze twierdzeie algebry) Ka»dy wielomia ma pierwiastek w C, to zaczy dla ka»dego wielomiau P (x) istieje takie x 0 C,»e P (x 0 ) = 0 Z twierdzeia Bézout wyika,»e je±li P (x 0 ) = 0, to P (x) = (x x 0 )Q(x) dla pewego wielomiau Q(x) Nast pie zajdujemy x 1 takie,»e Q(x 1 ) = 0 i mamy P (x) = (x x 0 )Q(x) = (x x 0 )(x x 1 )R(x) Kotyuuj c, otrzymujemy Twierdzeie 15 Ka»dy wielomia rozkªada si a czyiki liiowe w C, to zaczy dla ka»dego wielomiau P istiej takie liczby a, w 1,, w C,»e P (x) = a(x w 1 )(x w 2 ) (x x ) = a (x w i ) Uwaga 1 Powy»szy rozkªad jest jedozaczy z dokªado±ci do kolejo±ci czyików 53 Pierwiastki Deicja 13 Je±li w jest pierwiastkiem P (x) oraz P (x) = a (x w i ), to kroto±ci pierwiastka w jest liczba wyst pie«w w ci gu w 1,, w Rówowa»ie, k jest kroto±ci w, je±li P (x) = (x w) k Q(x) oraz Q(w) 0 4
Twierdzeie 16 (wzory Viete'a) Je±li P (x) = a k x k = zachodz rówo±ci: k=0 (x w ) dla 0, to 1 i 1 <i 2 1 i 1 <<i k w i = 1 w i1 w i2 = 2 w i1 w ik = ( 1) k k w 1 w 2 w = ( 1) a 0 5